Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
3.58 Два шара массами m 1 = 0,3 кг и m 2 = 0,7 кг движутся вдоль оси Ох навстречу друг другу со скоростями G G v i 1 3 = и G G v i 2 2 = − . Найти импульс G p тела, образовавшегося после центрального абсолютно неупругого столкновения шаров. Проверьте выполнение закона сохранения импульса для полученного значения. 3.59 Тело массой m = 3 кг движется со скоростью v = 4 мс и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Найти количество Q тепла, выделившееся при ударе, если столкновение тел центральное и абсолютно неупругое. 3.60 Железнодорожная платформа массой m 1 = 13,4 т, двигаясь со скоростью мс, сталкивается с платформой массой m 2 = 22 т, движущейся со скоростью v 2 = 8,3 мс в противоположном направлении. Двигаясь вместе, обе платформы сталкиваются с неподвижной платформой массой m 3 = 8,2 т и продолжают совместное движение. Найти скорости u 1 и u 2 платформ на разных участках пути после столкновений и направления их движения. 3.61 Тело массой m 1 = 1 г, движущееся со скоростью G G v i 1 3 = , испытывает абсолютно неупругое столкновение с другим телом массой m 2 = 2 г, скорость которого G G G v i j 2 2 3 = + . Найти импульс G p образовавшегося тела, модуль импульса p = G p и угол между направлением его движения и направлением движения первого тела. 3.62 Вагон массой m 1 = 60 т подходит к неподвижной платформе со скоростью v 1 = 0,2 мс и сталкивается с ней. После этого платформа начинает двигаться со скоростью u 2 = 0,4 мс. Найти массу m 2 плат- Задачи для контрольных работ 233 234 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ формы, если после столкновения скорость вагона уменьшается дом с. Абсолютно упругий удар 3.63 Два шара массами m 1 = 0,15 кг и m 2 = 0,35 кг движутся вдоль оси Ох навстречу друг другу со скоростями G G v i 1 3 = (мс) им с. Найти импульсы G p 1 и G p 2 тел после их центрального абсолютно упругого столкновения. Проверьте выполнение закона сохранения импульса для полученных значений Глава МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ. МОМЕНТ СИЛЫ Моментом G L импульса G p частицы относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора частицы G r и ее импульса (рис. 4.1) G L = [ G G r,p ]. (Модуль вектора G L (величина момента импульса) равен = rp sinα = lp, (где l = r sinα — плечо вектора G p относительно точки От. е. длина перпендикуляра, опущенного из точки Она линию вектора G p , α — угол между векторами G r и G p . Отметим, что углом между двумя векторами называется наименьший из двух углов, на который надо повернуть один вектор до совмещения с другим, те и sin α ≥ Рис. 4.1 236 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Из выражения (4.2) следует, что модуль L равен площади параллелограмма, построенного на векторах G r и G p как на сторонах. Направление вектора G L задается направлением поступательного движения правого винта, если он вращается от первого вектора ввек- торном произведении G r ко второму вектору G p по кратчайшему пути. Перед этим необходимо один из векторов перенести параллельно самому себе так, чтобы совместить начала векторов). Размерность вектора — [L] = кг · м 2 /c]. Моментом G M силы G F , действующей на частицу относительно точки О, называется векторное произведение радиус-вектора материальной точки G r и вектора силы рис. 4.2) G M = [ G G r F , ]. (Модуль вектора величина момента силы) равен, (где l = r sin α ( 0 ≤ ≤ α π ) — плечо вектора G F относительно точки От. е. длина перпендикуляра, опущенного из точки Она линию действия силы G F . Из выражения (4.4) следует, что модуль М равен площади параллелограмма, построенного на векторах G r и G F как на сто- ронах. Направление вектора G M задается направлением поступательного движения правого винта, если он вращается от первого вектора G r ко второму вектору G F по кратчайшему пути. M G A r G O F G l A F G r G l O M G r G F G O A l F G Рис. 4.2 4.1. Момент импульса частицы. Момент силы Размерность вектора [M] = Нм. Из определения момента силы G M (4.3) следует, что момент силы относительно произвольной точки О не меняется при перенесении точки приложения силы вдоль линии ее действия (рис. Если место приложения силы перенести из точки Авто параллелограмм OABC перейдет в параллелограмм O ′ ′ A B C. Оба параллелограмма имеют общее основание и общую высоту OK. Поэтому их площади равны. Из этого следует, что модули моментов сил G M и одинаковы. Так как векторы и G ′ F лежат в той же плоскости, что и векторы G r и G F , то вектор M M G G ′ ↑↑ . Следовательно M = Момент силы относительно точки О равен нулю, если модуль силы F или плечо силы l равны нулю. Плечо силы равно нулю, когда или G G F r ↑↓ (те. линия действия силы проходит через точку О). Моменты сил и моменты импульсов зависят не только от величины и направления этих векторов, но и от положения точек, относительно которых они рассчитываются. Рассмотрим, как связаны друг с другом моменты (и G M , G ′ M ) одного итого же импульса G p и силы G F относительно разных точек О и О, если точки находятся на расстоянии R друг от друга (рис. 4.4). Радиус-векторы G r и одной и той же частицы, измеренные относительно разных начальных точек О и О, связаны соотношением + R = где G R — радиус-век- тор начальной точки О относительно начальной точки О. B` M (M )` G G r G r` G F G F Рис. 4.3 r G О` О R G r` G X Y p G X [R,p] G Рис. 4.4 238 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Так как G G G G G G a b c a,c b,c + ⎡⎣ ⎤⎦ = [ ] + ⎡⎣ то, подставляя эту связь в выражение (4.1) и (4.3), получим G r p , ] = [ ( ), G G G ′ + r R p ] = [ G G ′ r p , ] + [ G G R p , ] = G ′ L + [ G G R p , ], (4.5) G M = [ G G r F , ] = [ ( ), G G G ′ + r R F ] = [ G G ′ r F , ] + [ G G R F , ] = G ′ M + [ G G R F , ]. (Отметим, что исходя из определения векторного произведения [ G G R p , ] ⊥ G R и [ G G R Если на частицу действуют несколько сил, то момент векторной суммы сил момент равнодействующей силы равен векторной сумме моментов всех сил M r F r F r F F i i = ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡⎣ ⎤⎦ = + + ⎡⎣ ⎤⎦ = = ∑ , , ,( ...) 1 1 2 paвн = ⎡⎣ ⎤⎦ + ⎡⎣ ⎤⎦ + = = ∑ G G G G G r F r F M i i , , 1 2 1 , (так как равнодействующая сил, действующих на частицу, равна F F равн 1 i i = = ∑ . (4.8) 4.2. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ Выясним, как меняется момент импульса частицы со временем. Для этого рассчитаем производную момента импульса повремени для частного случая, когда точка О неподвижна относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Так как G G G G G ⎡⎣ ⎤⎦ = ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ , то v, G G G G G G G G G = [ ] = ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = vv r,m dv dt r,ma [ ] + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = [ ] G G G G . (Здесь векторное произведение двух одинаковых векторов G G v,v [ ] = и G G a dv dt = По второму закону Ньютона в инерциальной системе отсчета произведение массы частицы на ее ускорение равно равнодействующей всех сил, приложенных к частице, те С учетом (4.5) имеем G G G G G r,ma r, F M M i i 1 i i 1 [ ] = ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ и, (те. производная момента импульса частицы повремени равна векторной сумме моментов всех сил, приложенных к этой частице. Здесь моменты импульса и сил определены относительно одной и той жене- подвижнойточки О. Уравнение (4.10) называется уравнением моментов. Из (4.10) следует закон сохранения момента импульса частицы если G M 0 = , то G L = const, или t L t ( ) ( ) 1 Если векторная сумма моментов сил, действующих на частицу относительно неподвижной точки О равна нулю, то момент импульса частицы остается постоянным. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ Рассмотрим проекции момента импульса частицы G L на ось z относительно двух произвольных точек О и О, лежащих на этой оси рис. 4.4). Из (4.5) следует, что + [ G G R Так как [ G R , G p ] ⊥ G R , а значит и оси z, то [ G G R p , ] z = 0 и. (Аналогично можно показать, что. (4.13) 4.3. Уравнение моментов относительно оси. Закон сохранения момента импульса. 239 240 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Моментом импульса L z частицы относительно оси z называется проекция на эту ось вектора G L , определенного относительно произвольной точки О этой оси риса, (где α – угол между вектором G L и осью z. Момент импульса частицы относительно оси z одинаков для всех точек оси z (Моментом силы M z , действующей на частицу относительно оси z, называется проекция на эту ось вектора G M , определенного относительно произвольной точки О этой оси (рис. б, (где β — угол между вектором G M и осью z. Момент силы, действующей на частицу относительно оси z, одинаков для всех точек оси z (4.13). Спроектируем на неподвижную ось z векторное уравнение (4.10). Получим. (Уравнение (4.16) называется уравнением моментов относительно неподвижной оси. Из (4.16) следует закон сохранения момента импульса частицы относительно неподвижной оси если M z = 0 , то L z = const, или (t L (t z 1 z 2 ) ) = M G B r G O F G L G A p G r G O а б z z O` O` R G R G Рис. Если алгебраическая сумма моментов сил, действующих на частицу относительно некоторой неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остается постоянным Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение момента импульса частицы и момента силы относительно неподвижной точки О. Дайте определение плеча силы. В каких случаях момент силы равен нулю. Может ли меньшая сила создать больший момент силы. Почему канатоходцы держат в руках длинный тонкий шест. Запишите уравнение моментов. Сформулируйте закон сохранения момента импульса частицы. Дайте определение момента импульса частицы и момента силы относительно оси. Зависит ли момент импульса частицы и момент силы относительно оси от выбора точки на этой оси. Запишите уравнение моментов относительно оси. Сформулируйте закон сохранения момента импульса частицы относительно оси. Примеры решения задач Задача Найти момент импульса Луны массой МЛ относительно центра Земли массой М З и электрона массой m e в атоме водорода относительно протона, если они движутся по круговым орбитам радиусов R и r соответственно. Выразить через момент импульса L их кинетическую, потенциальную и полную энергии. Меняются ли со временем моменты импульса Луны и электрона? Дано: МЛ, М З , m e ; R, Найти Л Т Л , Л, ЕЛ G L e , Те, е, Е е . Движение Луны вокруг Земли Запишем второй закон Ньютона для Луны, двигающейся по окружности радиуса R вокруг центра Земли. Так как единственной силой G F , действующей на Луну, является сила ее гравитационного притяже- « - Fк G F G R G r G p G Le G p G R G p G Л L G p G Le G r G Луна Земля Протон Электрон Л L G 4.3. Уравнение моментов относительно оси. Закон сохранения момента импульса. 241 242 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ния к Земле (остальными пренебрегаем из-за их малости, то, следовательно, она является центростремительной силой, которая создает центростремительное (нормальное) ускорение и a G M Л п З Л = 2 , (или M R Л З Л 2 2 = , (где G — гравитационная постоянная. Сокращая левую и правую части уравнения на МЛ и R, получаем v G M R З 2 = , (3) или v G M R З = . (По определению момент импульса Луны относительно центра Земли равен G L R p = [ , Вращая правый винт от первого вектора ко второму G p по край- чайшему пути, по его поступательному движению определяем направление вверх. Так как G G R p ⊥ , то модуль момента импульса R Л Л З Л З = = = = sin π 2 . (и, следовательно, v L RM Л = . (Так как G G F R ↑↓ , то G G G M R F = = [ , ] 0 относительно центра Земли и из (4.11) следует, что момент импульса Луны G L перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы G R и G p , и не меняется при ее движении вокруг Земли. Кинетическая и потенциальная энергии движения Луны вокруг Земли равны T M Л 2 , (7) U G M M R Л З = − . (Подставляя (6) в (7) ив, получаем v L M R Л Л 2 2 2 2 2 , U L M Л − 2 2 , E T U L M Л + = − 2 Движение электрона вокруг протона Заменим в выражении (2) силу всемирного тяготения G M M R З Л 2 на силу Кулона e r 2 0 2 и массу Луны Л на массу электрона m e . Тогда получим 2 0 2 4 = π ε , (и r e = 2 0 4 πε . (Аналогично моменту импульса Луны при ее движении вокруг Земли момент импульса электрона (называемый орбитальным) при его движении вокруг протона перпендикулярен плоскости его движения и не меняется со временем. Модуль момента импульса по определению (и, следовательно r e = . (Тогда v m L m r L m r e e e e = = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 2 2 2 2 2 2 2 , U e r e m r r m L m r e e e = − = − = − 2 0 2 0 2 2 2 4 4 πε πε , E T U L m r e = + = − 2 2 2 4.3. Уравнение моментов относительно оси. Закон сохранения момента импульса. 243 244 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Ответ: Движение Луны вокруг Земли R Л З = = const, = = T M v L M R Л Л 2 2 2 2 2 , U G M M R L M R Л З Л = − = − 2 2 , E T U L M Л + = − 2 Движение электрона вокруг протона e m r e = 4 0 πε = const, T m v L m r e e = = 2 2 2 2 2 , U e r L m r e = − = − 2 0 2 2 4 πε , E T U L m r e = + = − 2 Задача Рассчитать модули моментов всех сил, действующих на дверь массой кг относительно верхнего крепления (точка О, если высота двери h = 2 м, ширина двери b = 1 м, расстояние от верхнего и нижнего краев двери до соответствующих креплений d = 0,2 м. Сила, приложенная к двери со стороны нижнего крепления, T 2 = 15 Н точка К). Дано: m = 4,8 кг h = 2 мм м T 2 = 15 H; g = 10 м/с 2 Найти: M M M T1 T2 P , , , На риса указаны все силы, действующие на дверь. На рис. б ив силы G T 2 , G P и их моменты относительно точки О. Дугой со стрелкой указано направление вращения правого винта от ра- диус-вектора точки приложения соответствующей силы по кратчайшему пути к вектору этой силы, соединенному началом с радиус-векто- ром. Поступательное б в 2d g m P G G b 1 T G d h/2 b / 2 2 T G O d Q 1 R G 2 R G K движение винта определяет направление момента силы. Модуль момента силы относительно точки О определяется произведением модуля силы на ее плечо силы. Плечо определяется как длина перпендикуляра, опущенного из точки Она линию действия силы (4.3–4.4). Определим плечи сил l = 0 , так как линия действия силы пересекает точку О (1) G R 1 : l = 0 , так как линия действия силы пересекает точку О (2) G R 2 : l = 0 , так как линия действия силы пересекает точку О (3) G T 2 : l = h- рисунок б G P : l = b 2 (рисунок в. (Тогда модули моментов сил G T 2 и G P равным Нм. Из определения направления момента сил следует, что момент G M 2 направленна нас, а K M P – от нас. Так как модули этих моментов равны, то Ответ 2 = 24 Нм Нм, моменты остальных сил равны нулю. |