Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си

• Название: Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
• Дата: 15.03.2022
• Размер: 4.22 Mb.
• Имя файла: Физика. Механика.pdf
• Тип: Тесты; #397679
• страница: 19 из 40

Примечание. Теперь рассчитаем кинетические энергии пули до столкновения и тела (пуля + шар) в момент столкновения 0
2 2
=
=
5,8 Дж
K
m M v
2 2
2
=
+
=
(
)
0,3 Дж;
и из отношений 2
1 0 3 5 8 100 5 17
=
=
⋅
=
K
K
,
,
%
,
%
;
η
2 1
5 5 5 8 100 94 83
=
=
⋅
=
Q
K
,
,
%
, установим, что большая часть ( > 94 %) первоначальной кинетической энергии пули при столкновении тел тратится на образование тепла.
Ответ:
v
gh
gL
=
=
−
(
)
2 2
1 cos
α
= 1,62 мс 1
2 1
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
(
cos )
α
= 34,02 мс m gL
=
+
−
(
)
(
cos )
1
α
= 5,5 Дж.
Абсолютно упругий удар
Абсолютно упругий удар — кратковременное взаимодействие тел, после которого в обоих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию. После такого соударения тела полностью восстанавливают свою форму. Реальные тела не обладают такими идеально упругими свойствами, нов некоторых из них возникающие после удара деформации настолько малы, что с высокой степенью точности ими можно пренебречь. Таковы, например, хорошие сорта стали и стекол, слоновая кость и т. д.
Если удар можно считать абсолютно упругим, то для скоростей до удара и после удара должны быть справедливы уравнения, выражающие законы сохранения импульса и энергии. Столкновения тел
203

204 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ v
m v
m u
m u
1 1 2 2 1 1 2 2
G
G
G
G
+
=
+
; (3.65)
m v
m v
m u
m u
1 1 2
2 2 2
1 1 2
2 2 2
2 2
2 2
+
=
+
, (где m
1
, m
2
— массы сталкивающихся шаров
G
v
1
,
G
v
2
— их скорости до удара и
G
u
2
— их скорости после удара.
Для простоты анализа остановимся на случае центрального удара. Тогда уравнение (3.65) можно рассматривать как скалярное (все скорости дои после удара направлены по линии центров, и их разные направления различаются только знаками) и переписать систему уравнений в таком виде v
u
m u
v
m v
u
m u
v
1 1
1 2
2 2
1 1
2 1
2 2
2 2
2 Разделив второе уравнение на первое, и перегруппировав слагаемые, получим u
m u
m v
m v
1 1 2 2 1 1 2 2
+
=
+
; (3.67)
u
u
v
v
1 2
1 2
−
= − +
. (Неизвестные скорости u
1
и u
2
найдем, воспользовавшись правилом Крамера, хотя систему уравнений (3.67), (3.68) можно решить и другими способами. Для этого запишем следующие определители =
−
= −
+
m
m
m
m
1 2
1 2
1 1
;
;
;
;
(
)
;
Δ
u
m v
m v
m
v
v
m
m v
m v
1 1 1 2 2 2
1 2
1 2
1 2 2 1
2
=
+
− +
−
= −
−
−
;
;
;
;
(
)
;
Δ
u
m
m v
m v
v
v
m
m v
m v
2 1
1 1 2 2 1
2 2
1 2
1 1 1
2
=
+
− +
= Теперь получим выражения для скоростей тел после удара, являющихся решениями системы (3.67), (3.68).
u
m
m v
m v
m
m
u
1 1
2 1
2 2 1
2 1
2
=
=
−
+
+
Δ
Δ
(
)
; (3.69)
u
m
m v
m v
m
m
u
2 2
1 2
1 1 1
2 2
2
=
=
−
+
+
Δ
Δ
(
)
. (3.70)

В таком виде полученные выражения для анализа достаточно сложны. Наиболее интересные частные случаи рассмотрим ниже в примерах решения задач.
Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение абсолютно неупругого удара. Может лине- упругое тело сталкиваться с упругим абсолютно упруго или абсолютно неупруго. В чем сходство и отличие абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов. При рассмотрении абсолютно упругого удара закон сохранения энергии используется в общефизическом или механическом смысле. Решите систему уравнений (3.65) и (3.66) любым способом, отличным от приведенного в тексте. В формулы (3.69) и (3.70) входят модули скоростей взаимодействующих тел или их проекции?
Примеры решения задач
Задача Найти скорости u
1
и u
2
двух шаров массами m
1
и m
2
после центрального и абсолютно упругого удара, если их скорости до удара v
1
, v
2
, и сумма импульсов шаров до удара равна нулю, те. Исследуйте характер движения шаров после удара.
Дано: m
1
; m
2
; v
1
; v
2
; m
1
v
1
+ m
2
v
2
= Найти u
1
, При решении задачи проведите последовательные математические преобразования для центрального и абсолютно упругого удара двух шаров и выведете следующую систему уравнений + m
2
v
2
= 0;
(1)
u
1
– u
2
= –v
1
+ v
2
, (которая легко получается из уравнений (3.67) и (3.68), полагая впер- вом из них m
1
v
1
+ m
2
v
2
= 0. Решите систему самостоятельно и сравните полученные результаты с приведенными ниже.
Для решения задачи можно непосредственно воспользоваться соотношениями) и представить их в виде. Столкновения тел
205

206 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ v
m v
m v
m v
m
m
1 1 1 2 2 2 1 2 2 1
2
=
+
−
+
+
(
)
=
−
+
+
m v
m v
m
m
2 1 2 2 1
2
. (Учитывая, что по условию задачи m
2
v
2
= –m
1
v
1
, равенство (3) принимает вид 1
2 1
2 1
1
=
−
+
+
= −
(
)
. (Аналогично получим скорость второго тела = –v
2
. (Согласно последним соотношениям сталкивающиеся шары сим- пульсом до удара равным нулю, те, после центрального и абсолютно упругого удара шары меняют направление движения на противоположное без изменения модулей скорости (см. рис.).
Ответ: u
1
= –v
1
; u
2
= Задача Найти скорости u
1
и u
2
двух шаров массами m
1
и m
2
после центрального и абсолютно упругого удара, если до удара скорость первого шара v
1
, а второй шар покоится v
2
= 0. Исследуйте характер движения шаров после удара.
Дано: m
1
; m
2
; v
1
; v
2
= Найти u
1
, Для решения задачи воспользуемся соотношениями (3.69), (3.70). Полагая в них v
2
= 0, имеем 1
2 1
2 1
=
−
+
;
u
m
m
m
v
2 1
1 2
1 Движение шаров после столкновения зависит от соотношения между их массами. Действительно:
а) если m
1
> m
2
, тот. е. направления движения обоих тел после столкновения совпадают с направлением движения первого тела до столкновения. При этом до удара
v
2
G
–v
1
G
–v
2
G
v
1
G
после удара

скорость первого тела уменьшается, а скорость второго превосходит его скорость до удара (см. рис. б) если m
1
= m
2
, то u
1
= 0, u
2
= Последние соотношения означают, что после столкновения первое тело останавливается, а второе движется со скоростью первого ив его направлении до удара. Иначе говоря, при столкновении шаров происходит обмен скоростями между ними (рис. в) если m
1
< m
2
, то u
1
< 0, u
2
> 0. Из этих неравенств следует, что первое тело после столкновения изменяет направление движения на противоположное и движется с меньшей скоростью, чем до удара. Скорость второго шара при этом совпадает по направлению со скоростью первого до удара, но меньше ее по модулю (рис. Ответ
u
m
m
m
m
v
1 1
2 1
2 1
=
−
+
;
u
m
m
m
v
2 1
1 2
1 Задача Найти скорость u
1
шара массой m
1
после центрального и абсолютно упругого удара о неподвижный второй шар, если до удара скорость первого шара и масса второго шара значительно превышает массу первого, те. Исследуйте характер движения шаров после удара.
Дано: m
1
; v
1
;
m
m
2 Найти до удара после удара
1
v
G
m
1
v
G
m
m
m
m
Рис. 2
v < после удара до удара Рис. до удара после удара 1
u
G
u
2
G
m
1 Рис. 3 3.7. Столкновения тел
207

208 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Полагая v
2
= 0 в формулах (3.69), (3.70), представим результат в виде 1
2 1
2 1
1 2
1 1
1 1
=
−
+
≈
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
;
u
m
m
m
m
v
m
m
v
1 1
2 1
2 1
1 2
1 2
1 Отсюда следует, что первое тело отскакивает от значительно большего по массе шара, слегка меняя скорость по модулю. Второе же после удара движется в направлении первого до удара сочень малой скоростью. В пределе m
2
→ ∞ первое тело меняет направление на противоположное без изменения модуля, а второе остается неподвижным Такой же результат получается при упругом столкновении шара со стеной при его нормальном падении на стену (рис до удара после удара
Ответ:
u
m
m
v
1 1
2 1
1
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
;
u
m
m
v
1 1
2 Задача Найти скорости u
1
и u
2
двух шаров с одинаковыми массами после центрального и абсолютно упругого удара, если до удара их скорости
v
1
и v
2
. Исследуйте характер движения шаров после удара.
Дано: m
1
= m
2
; v
1
; v
2
= Найти u
1
, В этом случая система (3.65), (3.66) имеет наиболее простой вид и приводится к следующим двум уравнениям 2
1 2
1 2
1 2
+
= +
−
= − +
⎧
⎨
⎩
;

Нетрудно видеть, что решением системы являются следующие значения скоростей = v
2
; u
2
= те. после удара шары обмениваются скоростями. Полагая m
1
= m
2
в формулах (3.69), (3.70), получим такой же результат.
При движении навстречу, обменявшись скоростями после столкновения, шары отскакивают друг от друга и двигаются в направлении, противоположном первоначальному (рис. 1). Если же один шар догоняет другой, то после удара они продолжают движение в том же направлении, но догоняющий шар становится отстающим (рис. 2).
Рис. 1 Рис. Ответ u
1
= v
2
; u
2
= Задача Резиновая пуля массой m
1
= 10 г, летящая горизонтально, абсолютно упруго соударяется с шаром массой m
2
= 0,2 кг, подвешенном на нити длиной L = 1 ми отскакивает в противоположном направлении. В результате удара шар отклоняется от вертикали на угол
α = 30°. Найти скорость v
0
пули до удара и скорости пули v
1
и шара
v
2
сразу после удара.
Дано: m = 10 г Мкг м
α = Найти v
0
, v
1
, v
2 3.7. Столкновения тел
209

210 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Систему уравнений для решения задачи упругого столкновения тел представим в следующем виде закон сохранения импульса
(1)
mv
mv
Mv
0 2
0 2
2 2
2 2
2
=
+
— закон сохранения кинетической энергии тел
(2)
Mv
Mgh
2 закон сохранения энергии для шара
(3)
h L L
= − высота подъема шара над равновесным состоянием. После простых преобразований перепишем систему (1–4) в более удобной форме 1
2
= −
+
;
(5)
m v
v
Mv
(
)
0 2
1 2
2 2
−
=
;
(6)
v
gh
2 Подставив в последнюю формулу выражение для высоты (4) подъема шара над равновесным состоянием, найдем его скорость сразу после удара пули 2
1
=
−
(
cos )
α
. (Систему уравнений (5,6)
m v
v
Mv
m v
v
Mv
(
)
;
(
)
;
0 1
2 0
2 1
2 после деления их правых и левых частей, запишем в виде 1
2
+ =
; (8)
v
v
v
0 1
2
− =
. (Складывая последние два уравнения, имеем 1
0 2
v
v
M
m
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→
v
M
m
v
0 2
1 2
1
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. (Теперь, вычитая из уравнения (8) соответствующие части уравнения, получим

2 1
1 2
v
v
M
m
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
→
v
M
m
v
1 2
1 2
1
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. (Окончательный результат получим после подстановки (7) в формулы) и (11)
v
M
m
gL
0 1
2 1
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
(
cos )
α
;
v
M
m
gL
1 1
2 1
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
(
cos Численные значения скоростей представлены в ответе. Самостоятельно проверьте для них выполнение законов сохранения импульса и энергии. Сравните решение и результаты этой задачи с соответствующими данными задачи Ответ
v
M
m
gL
0 1
2 1
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
(
cos )
α
= 17,01 мс L
1 1
2 1
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
(
cos )
α
= 15,39 мс 2
1
=
−
(
cos )
α
1,62 м/с.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Элементарная работа силы – скалярное произведение силы на перемещение, мера действия силы на материальное тело Работа постоянной силы –
A
F S
F
= ⋅ ⋅cosα
,
A
F S
F S
F S
F S
F
x
x
y
y
z
z
=
=
+
+
( , )
G G
• Работа переменной силы — криволинейный интеграл силы по траектории движения тела dS
S
=
∫
( Основные положения
211

212 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Мгновенная мощность –
P t
dA
dt
( )
=
=
=
( ,
)
( , )
G
G
G G
F dS
dt
F v
• Средняя мощность –
P t
A
t
( )
Δ
Δ
Δ
=
• Энергия – способность тела совершать работу Потенциальная энергия упругодеформированной пружины x
k
x
( )
=
2 2
,
где
k — коэффициент жесткости пружины x – величина ее растяжения (сжатия Равновесное состояние системы – устойчивому состоянию равновесия соответствует минимума неустойчивому — максимум потенциальной энергии любая замкнутая система стремится перейти в такое состояние, в котором ее потенциальная энергия минимальна Полная механическая энергия системы — сумма ее кинетической и потенциальной энергий = +
K U
• Закон сохранения полной механической энергии системы – в изолированной системе полная механическая энергия не изменяется со временем = + =
K Кинетическая энергия может переходить в потенциальную и обратно только в равных количествах.Закон сохранения механической энергии представляет собой следствие законов движения Закон изменения механической энергии системы – изменение механической энергии системы равно работе всех действующих на нее непотенциальных сил 2
1 12
=
− = A
• Закон сохранения энергии в общем физическом смысле — энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь переходит из одной формы в другую

• Кинетическая энергия – энергия механического движения работа, которую может совершить движущееся тело 2
• Теорема об изменении кинетической энергии – полная работа действующих на тело сил, равна изменению его кинетической энергии A K
K
K
=
−
=
2 1
Δ
• Потенциальная энергия – энергия, обусловленная конфигурацией тел системы. Скалярная физическая величина, равная работе, совершаемой потенциальной силой при перемещении тела из точки, в которой оно находится, в точку, принятую за начало отсчета потенциальной энергии Потенциальная энергия тела, поднятого над Землей –
U
mgh
=
,
где
h — высота над ее поверхностью Закон сохранения импульса системы – импульс замкнутой системы тел не изменяется со временем v
i i
i
n
G
=
∑
=
1
const и остается постоянным при любых взаимодействиях тел системы между собой Закон изменения импульса системы – изменение полного импульса незамкнутой системы равно импульсу внешних сил Ф dt
i Сохраняются компоненты полного импульса системы в направлении, в котором не действуют внешние силы Импульс силы временная характеристика действия силы на систему определяет изменение импульса системы (тела t
=
• Абсолютно неупругий удар – столкновение, при котором тела в результате взаимодействия движутся как единое целое. Разность кинетических энергий системы до удара и после удара — тепло, образующееся в результате удара.
Основные положения
213

214 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Абсолютно упругий удар – кратковременное взаимодействие тел, после которого в обоих телах не остается никаких деформаций, те. тела полностью восстанавливают свою форму. Вся кинетическая энергия, которой обладают тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.