Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
Замкнутая система Закон сохранения импульса является прямым следствием второго и третьего законов Ньютона. Для изолированного тела этот закон является очевидным следствием второго закона Ньютона если на тело не действуют никакие силы, то его скорость, а значит, и импульс остаются постоянным. В случае взаимодействия тел закон сохранения импульса является следствием обоих законов Ньютона (если тела взаимодействуют, ноне подвергаются действию внешних сил). Рассмотрим замкнутую систему (взаимодействуют только тела, включенные в систему, состоящую из материальных тел m 1 , m 2 , m 3 , … Если скорости тел G v 1 , G v 2 , G v 3 , …, внутренние силы, действующие между ними G F 12 , G F 13 , … G F 21 , G F 23 , … ( G F ik – сила, действующая на е тело о стороны го, то уравнения второго закона Ньютона для каждого из этих тел имеют вид v F F F d dt m v F F F n ( ) , ( ) 1 1 12 13 1 2 2 21 23 2 G G G G G G G G = + + + = + + + nn n n n n n n d dt m v F F F , ( ) , G G G G = + + + ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 1 2 1 (Складывая левые и правые части этих уравнений, получим v F F F F F F i i i i ik k i i ii ii in i G G G G G G G ∑ ∑ ∑ ∑ = = + + + + + − + ( ) 1 2 1 1 . (В правой части равенства (3.54), под знаком суммы, собраны все силы, действующие между телами замкнутой системы. Представим их в виде таблицы, в каждой строчке которой расположим только силы, приложенные к определенному телу ) G G G G G G G G G F F F F F F F F F n n n = 0 0 12 13 1 21 23 2 1 22 1 0 n n n F , G − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ (Такая таблица в математике называется квадратной матрицей размера с нулевыми диагональными элементами, так как G F ii = 0 , (i = 1, 2, ..., n). Учитывая, что согласно третьему закону Ньютона G G F F ik ki = − , перепишем ее в другом виде. Закон сохранения и изменения импульса 193 194 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ) G G G G G G G G F F F F F F F F n n n = − − 0 0 12 13 1 12 23 2 1 −− ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ − G G F F n n n 2 1 0 , (Такая матрица называется кососимметрической, так как все ее элементы симметричны относительно диагонали и отличаются знаком. Складывая эти элементы попарно, получим сумму всех членов в правой части соотношения (3.54) G G G G G G F F F F F F ik k i i i ii ii in i ∑ ∑ ∑ = + + + + + = − + ( ) 1 2 1 1 0 , (те. полная сумма всех сил в замкнутой системе равна нулю. Следовательно, для всякой замкнутой системы выполняется равенство v i i i G ∑ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 0 → m v i i i n G = ∑ = 1 const. (Последнее соотношение представляет собой закон сохранения импульса для замкнутой системы — полный импульс замкнутой системы есть величина постоянная. Незамкнутая система Если система материальных тел не является замкнутой и на входящие в нее тела действуют внешние силы Ф 1 , Ф 2 …, Ф n со стороны внешних тел, то импульс системы не является величиной постоянной. Система уравнений движения для всех тел имеет вид Ф v F F n ( ) , ( ) 1 1 12 13 1 1 2 2 21 23 = + + + + = + + ++ + = + + +Ф Ф n n n n n n 2 2 1 2 1 , ( ) , ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (Если теперь сложить все эти уравнения, то получим = + d dt m Ф i i ik i Сумма внутренних сил, согласно (3.57), равна нулю. Следовательно Ф i i i i = , (то есть производная от полного импульса незамкнутой системы равна геометрической сумме всех внешних сил, те. полный импульс не сохраняется. Поскольку уравнение (3.60) — векторное, то оно эквивалентно трем уравнениям для компонент импульса системы потрем координатным осям Ф ix i ix i = ; ∑ ∑ d dt m Ф iy i iy i = ; ∑ ∑ d dt m Ф где Ф, Ф, Ф суммы компонент всех внешних сил пока- ждой из координатных осей. Если сумма компонент всех внешних сил, действующих на систему, в каком-либо определенном направлении, например в направлении оси х, равна нулю, то для этого направления (Следовательно, компонента полного импульса системы в направлении, в котором не действуют внешние силы, есть величина постоянная, ив этом направлении незамкнутая система ведет себя как замкнутая. Согласно (3.60) полный импульс незамкнутой системы сохраняется, если действующая на нее результирующая внешняя сила равна нулю. Отметим, что в микроскопическом мире атомов и молекул второй и третий законы Ньютона не выполняются, а законы сохранения энергии и импульса, что подтверждается многочисленными экспериментальными данными, продолжают выполняться. Именно поэтому считается, что законы сохранения имеют более общий характер и рассматриваются как более фундаментальные, чем законы Ньютона. Закон сохранения и изменения импульса 195 196 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение импульса тела. Импульс — величина векторная или скалярная. Представьте кинетическую энергию тела через его импульс и массу. Выведите закон сохранения импульса для замкнутой и незамкнутой систем материальных тел. Почему силы трения, действующие в замкнутой системе, приводят к нарушению закона сохранения импульса. Почему закон сохранения импульса в механике нельзя считать самостоятельным законом. Как выбрать пространственное направление, вдоль которого сохраняется компонента полного импульса системы. В каком случае полный импульс незамкнутой системы сохраняется. Почему законы сохранения энергии и импульса считаются более фундаментальными, чем законы Ньютона? Примеры решения задач Задача В результате взрыва неподвижное тело распадается натри части. Две его части массами m 1 = 1 кг и m 2 = 2 кг разлетаются под прямым углом друг к другу с начальными скоростями v 1 = 12 мс им с. Третья часть начинает движение со скоростью v 3 = 40 мс. Найти ее массу m 3 и углы между направлениями движения частей тела. Дано: m 1 = 1 кг m 2 = 2 кг v 1 = 12 мс мс м / с. Найти: m 3 , Согласно закону сохранения импульса импульс до события равен импульсу после события, те Поскольку импульсы первых двух частей направлены под прямым углом, то импульс третьего осколка может иметь направление и длину только, как представлено на рисунке, те. он должен лежать на продолжении диагонали прямоугольника и совпадать с ней по длине. Используя теорему Пифагора, получим v m v m v 3 2 3 2 1 1 2 2 2 Из последнего уравнения найдем массу третьего осколка v m v v 3 1 1 2 2 2 Углы между импульсами легко найти, используя следующие соотношения 1 2 Численные значения параметров представлены в ответе. Ответ: m m v m v v 3 1 1 2 2 2 2 3 0 кг β π = − = ° arctg m v m v 1 1 2 2 143 3.7. СТОЛКНОВЕНИЯ ТЕЛ Движение сталкивающихся тел может быть рассмотрено на основе законов Ньютона. Для этого необходимо знать силы, возникающие при контакте тел, и как они изменяются при соударении. Одна- кообычно представляет интерес конечный результат соударения, а не детали процесса, длящегося очень короткое время, ив большинстве случаев его можно представить как мгновенное изменение скоростей соударяющихся тел. Так как два сталкивающихся тела, на которые не действуют силы со стороны других тел, представляют собой замкнутую систему, ток ним применимы законы сохранения импульса и энергии. Зная параметры движения тел до столкновения, и применяя законы сохранения, можно определить параметры движения тел после столкновения, не привлекая соображения о том, как происходит само столкновение. Столкновения тел 197 198 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Для иллюстрации рассмотрим центральный удар двух шаров. Удар называется центральным, если скорости сталкивающихся тел лежат на линии, соединяющей их центры тяжести. Абсолютно неупругий удар Удар, после которого скорости обоих соударяющихся тел оказываются одинаковыми, называется абсолютно неупругим. После такого соударения тела не восстанавливают своей формы. Таким свойством обладают, например, мягкая глина, пластилин и многие другие пластичные тела. Случай абсолютно неупругого удара можно продемонстрировать при помощи пластилиновых шаров, подвешенных на нитях одинаковой длины. После удара шары будут двигаться вместе с одинаковой скоростью. Если удар двух тел абсолютно неупругий, то требуется определить только их общую скорость после удара. Пусть массы сталкивающихся тел m 1 и m 2 , их скорости до удара и G v 2 , а G u — общая скорость после удара. Согласно закону сохранения импульса импульс системы тел до столкновения равен импульсу образовавшегося тела массой (m 1 + m 2 ) после столкновения. (Вектор его скорости после удара v m v m m = + + 1 1 2 2 1 2 , (совпадает с прямой, вдоль которой направлены скорости тел до удара. Поэтому равенство (3.63) в скалярной форме имеет вид v m v m m = + + 1 1 2 2 1 2 . (Скорости в последнем равенстве следует считать совпадающими по знаку, когда они направлены в одну сторону, и противоположными по знаку, когда они направлены в разные стороны. Из (3.64) следует, что если шары движутся навстречу друг другу, то вместе они будут двигаться в сторону движения шара с большим импульсом. Рассмотрим несколько частных случаев 1. Если импульсы шаров равны по величине и направлены навстречу друг другу v m v 1 1 2 2 то после столкновения они остановятся, те. Если одно из тел сталкивается с неподвижным телом v 1 > 0, v 2 = 0, то, согласно (3.64), их скорость после столкновения 1 2 1 ; u меньше скорости первоначально движущегося тела и совпадает с ней по направлению. Если массы тел одинаковые m 1 + m 2 , то скорость их совместного движения определяется соотношением 2 1 В случае нецентрального удара обе скорости и можно разложить на составляющие вдоль линии, соединяющей центры шаров, перпендикулярном направлении. Для составляющих вдоль линии центров все будет обстоять также, как и при центральном ударе. Они окажутся равными и для них можно записать соотношение (3.64), что и при центральном ударе. Для перпендикулярных составляющих скоростей дело обстоит иначе. Их изменяют возникающие между телами силы трения, которые приведут к вращению шаров, и анализ движения существенно усложнится по сравнению с приведенным выше. Поэтому закон сохранения импульса позволит определить только составляющую результирующей скорости совместного движения в направлении линии центров шаров. Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение абсолютно неупругого удара. Могут ли упругие тела сталкиваться абсолютно неупруго. Дайте определение центра тяжести материального тела, центрального и нецентрального удара. Всякий ли абсолютно неупругий удар является центральным, а центральный — абсолютно упругим. Математически проанализируйте частные случаи абсолютно неупругого столкновения двух тел. Столкновения тел 199 200 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. Обоснуйте утверждение, что шары, движущиеся навстречу друг другу, после абсолютно неупругого удара вместе будут двигаться в сторону движения шара с большим импульсом. Может ли скорость тела, образованного после абсолютно неупругого столкновения, превышать скорость каждого из тел до их столкновения? Примеры решения задач Задача Найти изменение ΔK кинетической энергии двух шаров массами m 1 и m 2 , имеющих скорости и после их центрального и абсолютно неупругого удара. Дано: m 1 и m 2 ; G v 1 ; Найти Система уравнений для решения задачи имеет вид v m v 1 1 1 2 2 2 2 2 2 = + — кинетическая энергия шаров до их столкновения (1) K m m u 2 1 2 2 2 = + ( ) — кинетическая энергия шаров после их столкновения (2) G G G u m v m v m m = + + 1 1 2 2 1 2 — скорость шаров после их столкновения (3) ΔK K K = − 1 2 — изменение кинетической энергии шаров из-за столкновения. С учетом (3) запишем кинетическую энергию шаров после их столкновения (2) в виде v m v 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 = + + ( ) ( ) G G . (Подставляя (1) ив соотношение (4), имеем v m v m v m v m m = + − + + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 или, после приведения к общему знаменателю m v m v m v m v = + + + − + ⎡⎣ ⎤⎦ 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) G G ΔK m m m v m m v m m v m v m v m v = + + + + − − − − 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( 22 1 2 1 2 m m v v G После простых преобразований имеем m m m v v v v = + + − 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) G G . (Окончательный результат имеет вид K K m m m m v v = − = + − 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2( ) ( ) G G . (В заключение отметим, что ΔK > 0, те. кинетическая энергия системы тел до столкновения всегда превышает кинетическую энергию образующегося после столкновения тела, так как все множители в (7) положительны. Согласно закону сохранения энергии (в общефизическом смысле) разность между этими энергиями превращается в эквивалентное количество тепловой энергии. Причем, согласно (6), количество тепловой энергии определяется взаимным направлением начальных скоростей. Если скорости направлены навстречу друг другу (удар лобовой, то скалярное произведение скоростей отрицательно. Если же скорости тел направлены в одну сторону и одно тело догоняет другое, то G G v v v v v v 1 2 1 2 1 2 0 0 = ° Количество тепловой энергии, соответствующее каждому из этих случаев, получим на основе соотношения (6) ΔK m m m m v v 1 1 2 1 2 1 2 2 2 = + + ( ) ( ) ; ΔK m m m m v v 2 1 2 1 2 1 2 Из сравнения этих формул следует, что при лобовом ударе тел образуется большее количество тепла, чем при движении их друг за другом, те Ответ ΔK K K m m m m v v = − = + − 1 2 1 2 1 2 1 2 2 Задача Резиновая пуля массой m 1 = 10 г, летящая горизонтально, абсолютно неупруго соударяется с шаром массой m 2 = 0,2 кг, подвешенном на нити длиной L = 1 мВ результате удара образовавшееся тело отклоняется от вертикали на угол α = 30°. Найти скорость v 0 пули до уда- 3.7. Столкновения тел 201 202 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ра, скорость v образовавшегося тела (пуля + шар) после удара и количество Q выделившегося тепла. Дано: m = 10 г Мкг м α = Найти v 0 , v, Систему уравнений для решения задачи неупругого столкновения тел представим в виде m закон сохранения импульса (1) ( ) ( ) m M v m M gh + = + 2 закон сохранения энергии (2) h L L = − высота подъема пули + шара над равновесным состоянием (3) Q mv m M v = − + 0 2 2 количество образовавшегося при ударе тепла. Поскольку удар центральный, и скорости G v 0 и G v направлены вдоль одной прямой, то уравнение (1) можно переписать в скалярной форме M v 0 = + ( ) → v M m v 0 1 = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . (Из уравнения (2), с учетом (3), получим 2 1 cos α . (Подставляя (6) в (5), найдем выражение для скорости пули до столкновения 1 2 1 = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ( cos ) α . (Используя формулы (6) или (7), найдем выражение для количества тепла M v = + 2 0 2 ( ) = + − M m M m gL ( ) ( cos ) 1 α , (образовавшегося при столкновении тел После подстановки в формулы (6–8) численных значений параметров, определенных условиями задачи, получим = 1,62 с v 0 = 34,02 мс Q = 5,5 Дж. |