Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
4.13 На каком расстоянии y от дна находится центр тяжести (масс) тонкостенного цилиндрического стакана, имеющего высоту h = 12 см и внешний диаметр d = 8 см, если толщина дна в два раза больше толщины стенок, равной b = 0,5 см? 4.14 Четыре однородных шара с массами m 1 = 1 кг, m 2 = 5 кг, m 3 = 7 кг и m 4 = 3 кг укреплены на невесомом стержне так, что их центры находятся на равных расстояниях d = 0,2 м друг от друга. На каком расстоянии от центра третьего шара находится центр тяжести (масс) системы? 4.15 К концам однородного стержнями массой m = 2 кг подвешены два груза m 1 = 1 кг и m 2 = 2 кг. На каком расстоянии хот большей массы находится центр тяжести системы Глава ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Для описания положения одной частицы в пространстве необходимо знать три ее координаты. Говорят, что материальная точка обладает тремя степенями свободы. В общем случае для описания положения системы, состоящей из N произвольных частиц, необходимо знать 3 · N координат. Можно показать, что твердое тело, представляющее собой систему N жестко связанных между собой частиц, обладает шестью степенями свободы, те. для задания местоположения всех точек тела необходимо шесть независимых координат. Запишем уравнения, определяющие движение системы частиц (4.34, внеш (внеш. (Часто удобнее вместо уравнения (4.23) использовать уравнение (4.37) внеш Ц Ц dL M dt = G G . (Как отмечалось ранее при рассмотрении одного твердого тела, индекс внеш можно не указывать, так как в этом случае все силы внешние. Если система частиц представляет собой систему твердых тел или твердых тел и частиц, то внутри такой системы можно определить внутренние (внутрисистемные) силы и внешние, действующие на тела системы извне. Проектируя уравнения (5.1, 5.2) или (5.1, 5.3) на оси координат, получаем шесть уравнений для нахождения шести координат тела. 278 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Зная законы действия внешних сил, точки их приложения с помощью этих уравнений и начальных условий можно найти положение каждой точки тела и ее скорость в любой момент времени. Напомним, что переменные в уравнениях (5.1) и (5.2) рассчитываются относительно произвольной неподвижной инерциальной системы отсчета, а в (5.3) — относительно системы отсчета, связанной с центром масс системы (Ц-система). Несмотря на внешнюю простоту этих уравнений, получение их решения для произвольного движения тела представляет собой достаточно сложную математическую задачу. Ограничимся рассмотрением условий равновесия твердых тел и трех видов движений (поступательного, вращательного вокруг неподвижной оси и плоского. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Из (5.1) и (5.2) следует, что твердое тело находится в равновесии, если векторная сумма сил, приложенных к телу, равна нулю (или 0 0 , , ; (и 2) векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно неподвижной точки, равна нулю 0 (или 0 0 , , (5.7) Так как имеет место равенство (5.4), то, следуя (4.22), можно утверждать, что равенства (5.6–5.7) справедливы относительно любой неподвижной точки пространства. Рассмотрим частный случай. Пусть все силы, действующие на твердое тело, лежат в плоскости ХО риса, те. имеют нулевые проекции на ось Z. Тогда любой вектор силы и радиус-вектор точки ее приложения можно представить в виде 0 k = + + ⋅ ; (5.8) G G G G F F i F j 0 k x y = + + где G G i j , и G k — единичные векторы вдоль соответствующих осей X, Y и Z. Подставим (5.8) в (4.3) G M =[ G G r F , ]=[ xi yj k, F i F j k x y G G G G G G + + ⋅ + + ⋅ 0 и, используя свойства векторного произведения G a b , ] = ( ) ( ) ( ) a b a b i a b a b j a b a b k y z z y z x x z x y y получим ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + − = = ⋅ + ⋅ + = ( ) ( ) ( ) y F i F x j xF yF k i j M k y x y x z 0 0 0 0 0 0 M k z G , (где. (Система уравнений (5.7) в данном случае сводится к одному уравнению. (Пусть точка О неподвижна, а к точке O' приложена сила риса. Тогда: если направление действия силы составляет с направлением прямой О угол 0 < < α π , то сила G F вращает тело относительно т. О влево, те. против часовой стрелке; если направление силы составляет с направлением прямой О угол − < ′ < π α 0 , то сила G F вращает тело относительно т. О вправо, те. почасовой стрелки; если направление силы составляет с направлением прямой О нулевой угол или угол π , те или G G r F ↑↓ , то никакого вращения не происходит. Условия равновесия твердого тела 279 280 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Выберем ось Z вдоль оси вращения например так, как показано на рис. 5.1. Рассмотрим проекцию на ось Z момента силы G F , образующей с прямой О угол α (рис. б, те. вращающей тело против часовой стрелки. Из свойств векторного произведения следует, что момент G M параллелен оси Z и составляет с ней угол 0. Следовательно. (Если сила G F образует с прямой О угол ′ α (рис. в, те. вращает тело почасовой стрелке, то момент G M параллелен оси Z и, следовательно, составляет с ней угол π. Тогда − cos π . (Следовательно, уравнение (5.11) имеет вид ` r G а б в x y ` Рис. 5.1 M M M M zi n i = ± ± ± = ∑ 1 2 0 , (где знак (–) ставится, если сила вращает тело почасовой стрелке, а знак (+) — в противоположную сторону (против часовой стрелки). Отметим, что условия равновесия твердого тела определяют условия неизменности движения, а не его отсутствия, так как из равенства нулю сил и их моментов следует равенство нулю ускорений. При этом центр масс тела может двигаться равномерно и прямолинейно, а само тело — равномерно вращаться. Если тело покоится скорость тела равна нулю, то при выполнении условий равновесия оно не выйдет из состояния покоя (нулевая скорость не может измениться со временем, так как ускорение равно нулю. Таким образом, условия равновесия — это необходимые, ноне достаточные условия покоя. Для материальной точки, в отличие от твердого тела, среди всех инерциальных систем всегда можно всегда выбрать такую систему, в которой выполняются уравнения равновесия материальной точки (5.4), иона покоится. Вопросы и задания для самопроверки. Сформулируйте условия равновесия твердого тела. В каком случае проекция момента силы, лежащей в плоскости ХОУ, на ось z положительна и равна произведению модуля силы на плечо силы. В каком случае проекция момента силы, лежащей в плоскости ХОУ, на ось z отрицательна и равна минус произведению модуля силы на плечо силы. В каком случае проекция ненулевого момента силы, лежащей в плоскости ХОУ, на ось z равна нулю. Объясните разницу между утверждениями тело находится в равновесии, тело находится в покое. Примеры решения задач Задача К рукоятке гвоздодера приложена сила F = 150 H. Длина гвоздодера от основания до конца рукоятки L = 25 см, от гвоздя до боковой поверхности гвоздодера — l = 5 см. Определить силу, приложенную к 5.2. Условия равновесия твердого тела 281 282 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА гвоздю.(Рассмотреть состояние равновесия, силой тяжести гвоздодера пренебречь). Дано: F = 150 H; L = 25 см = 0,25 м l = 5 см = 0, 05 м. Найти: Рассмотрим силы, приложенные к гвоздодеру (риса и б. В процессе выдергивания гвоздя на него воздействуют четыре объекта (тела человек с силой G F , гвоздь с силой G K , Земля с силой и поверхность, на которую опирается гвоздодер, с силой реакции опоры нормальная составляющая) и тр F G (горизонтальная составляющая. Так как (то второе уравнение равновесия твердого тела (5.6) можно записать относительно произвольной точки O'. Выберем ее, как показано на рисунке. Отметим, что все силы, приложенные к гвоздодеру, лежат в плоскости ХО. Поэтому равенство (5.6) сводится к (которое имеет вид равенства (5.13). Рассчитаем проекции моментов всех сил, приложенных к гвоздодеру: М тр = 0, M N = 0 – так как точка O' лежит на линии действия этих сил M Mg = 0 – так как по условиям задачи силой тяжести гвоздодера можно пренебречь = FL – так как плечо силы (перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия силы G F ) равно L, и сила вращает гвоздодер относительно точки O' против часовой стрелки = –Kl – так как плечо силы (перпендикуляр, опущенный из точки O' на линию действия силы G K ) равно l, и сила вращает гвоздодер относительно точки O' почасовой стрелке. Таким образом, получаем уравнение 0 (1) или O` L l Q G F G K G N G тр F G g M G K G F G L l Y X O O` O` а б в FL Kl − = 0 . (Выражая из этого уравнения силу K, имеем. (По третьему закону Ньютона сила, с которой гвоздь действует на гвоздодер равна по модулю силе, с которой гвоздодер действует на гвоздь (рис. в, те. (Таким образом, сила, с которой действует гвоздодер на гвоздь, тем больше, чем длиннее его ручка. Подставляя численные значения, имеем 0 25 0 05 750 , , Н. Ответ Q F L = l = 750 Н. Задача На горизонтальной плоскости в равновесии находится куб массой. Определить величину, направление и точку приложения к кубу силы реакции опоры. Дано: Найти Пусть нормальная составляющая силы реакции опоры G N приложена в неизвестной точке поверхности куба K, соприкасающейся с опорой на расстоянии x от точки О. Запишем условия равновесия) и ( 5.6). G G N P + = 0 , (1) G G M M N P + = 0 . (Из равенства нулю суммы двух векторов следует, что эти вектора равны по модулю и противоположны по направлению, те. (4) g m P G G x N G K C О N G О g m P G G 5.2. Условия равновесия твердого тела 283 284 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Так как сумма сил, приложенных к телу, равна нулю (1), то для определения моментов сил выберем точку О например так, как показано на рисунке. Точка приложения силы тяжести (центр тяжести куба) находится в т. С — центре его симметрии. Следовательно, линия ее действия проходит через точку О, и плечо силы тяжести относительно этой точки равно нулю. Тогда ⋅ = 0 0 . (Плечо нормальной составляющей силы реакции опоры N по определению равно x. Тогда модуль момента силы N xmg N = ⋅ = . (Следуя (4), запишем 0 , (и 0 . (Следовательно, силы и mg G лежат на одно прямой, те. точка О приложения силы реакции опоры G N к кубу — точка пересечения горизонтальной поверхности линией действия силы Ответ N mg = , G G N mg ↑↓ . Точка приложения силы реакции опоры пересечение горизонтальной поверхности и линии действия силы тяжести. Задача На наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, в покое находится цилиндр высотой H, радиусом окружности основания. Определить точку приложения к цилиндру силы реакции опоры и условие покоя цилиндра в зависимости от угла наклона плоскости, если коэффициент трения о плоскость равен Дано R; H; Найти, Под нарушением покоя цилиндра на наклонной плоскости понимают два процесса падение цилиндра на наклонную плоскость и скольжение его вдоль наклонной плоскости. Пусть нормальная G N и горизонтальная тр F G — составляющие силы реакции опоры приложены в произвольной точке поверхности цилиндра, соприкасающейся с опорой (наклонной плоскостью) на расстоянии от точки О. Запишем условия равновесия (5.4) и (5.6). тр 0 N P F + + = G G G , (1) тр 0 N P M M M + + = G G G . (Найдем условия, когда цилиндр не падает на наклонную плоскость. Так как все силы, приложенные к цилиндру, действуют водной плоскости XOY, то векторное равенство (2) можно заменить на равенство проекций на ось z M Nz + M Pz + M трz = 0. Определим моменты всех сил, например относительно точки О. Это возможно, так как предполагается, что сумма сил, приложенный к телу, равна нулю. Тогда = 0, (4) M трz = 0. так как линии действия этих сил проходят через точку О (плечи сил равны нулю. Следовательно + M Pz + M Nz = M Nz = 0. Так как сила G N вращает тело относительно точки О против часовой стрелки, то x Nz = ⋅ x N G K C О 2R H A P G тр F G H/2 R а б в О A тр F G C P G N G A тр F G г Y P G N G X A О A тр F G P G N G C A x Цилиндр Z 5.2. Условия равновесия твердого тела 285 286 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Тогда M Nz = N · x = 0 или = 0. Следовательно, если тело находится в равновесии, то нормальная составляющая G N силы реакции опоры всегда приложена к точке О — точке пересечения линии действия силы тяжести с опорой (наклонной плоскостью. Следовательно, точка приложения силы G N движется к краю цилиндра при увеличении угла наклона α . Это условие определяет предельно возможное положение равновесия тела на наклонной плоскости (рис. б. Если линия действия силы тяжести выйдет за край тела (а точка приложения силы G N по физическому смыслу не может выйти за область соприкосновения тела с опорой, то тело обязательно перевернется, так как теперь проекции моментов всех сил относительно точки О равны (рис. в = 0, три+ M трz = M Pz ≠ 0. Это означает, что цилиндр обязательно упадет вправо на наклонную плоскость. Таким образом, максимально возможный угол наклона плоскости к горизонту α 0 , когда тело еще находится в равновесии (рис. б, равен tg α 0 1 2 2 = = R H R H (и 2 = arctg R H . Найдем условия, когда цилиндр не скользит по наклонной плоскости. Из (1) следует, что + P x + F трx = 0, (13) N y + P y + F трy = 0. Определяя проекции всех сил (рис. г) на соответствующие оси координат, получаем 0, P x = mg sinα, F трx = –F тр , (15) N x = N, P y = –mg cosα, F трy = 0. (16) Подставим (15) ив) и (14). Тогда имеем F тр – F тр = 0, (17) N – mg cosα = 0. Пусть сила трения покоя достигает своего максимального значения при некотором угле наклона α 1 , тетр. Тогда выразим N из (18) и подставим в F тр (17). Таким образом mg sinα 1 = F тр = kN = kmg или tgα 1 = k. (Следовательно, равновесие цилиндра на наклонной плоскости нарушается тогда, когда угол наклонной плоскости с горизонтом α > = 0 падение α > = 1 arctg( ) k (скольжения). Если 2R H k < , то при увеличении угла наклонной плоскости от нуля цилиндр упадет на нее, если k R H < 2 , то он поедет по наклонной плоскости. Если k R H = 2 , то одновременно упадет и поедет. Ответ: тело находится в равновесии на наклонной плоскости, если ≤ min{ , ( )} arctg arctg 2R H k 5.3. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Поступательное движение — движение (рис. 5.2), при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Поступательное движение может быть прямолинейными криволинейным. Можно показать, что при поступательном движении одинаковыми являются все характеристики движения всех точек. Следовательно, в этом случае кинематика, динамика и статика твердого тела сводятся к кинематике, динамике и статике любой частицы (материальной точки) тела, которые рассматривались ранее. Поступательное движение твердого тела 287 288 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Рис. 5.2 |