Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
Задача Пружинный маятник совершает затухающие колебания. Вычислить коэффициент затухания, если колебания прекратились через t = 20 с. Считать условно, что колебания прекратились, если их амплитуда уменьшилась в 100 раз. Дано: t 1 = 20 c; A A t n 0 1 100 ( ) = Найти Амплитуда затухающих колебаний Через t 1 секунд амплитуда колебаний уменьшилась n раз. Затухающие механические колебания 367 368 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ t e n t 0 1 1 ( Прологарифмируем полученное уравнение ln n t = Расчетная формула для вычисления коэффициента затухания имеет вид = ln Ответ коэффициент затухания пружинного маятника β = 0,23 c —1 6.7. ВЫНУЖДЕННЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Рассмотрим колебания на примере пружинного маятника (рис. 6.11), который периодически подвергается внешним воздействиям в виде толчков, направленных в одну и туже сторону и повторяющихся через одинаковые промежутки времени. Переменную внешнюю силу, приложенную к телу на пружине и вызывающую механические колебания, называют возмущающей силой. Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону G G F F t = 0 sin Ω , где F 0 , Ω — амплитуда и циклическая частота возмущающей силы. Пусть на систему действуют сила тяжести mg G , сила упругости упр F G , сила сопротивления среды G F R и возмущающая сила Запишем второй закон Ньютона для груза упр F F F t ma + + + Ω = G G G G G . (Если повторить процедуры, проделанные в параграфе 6.6, с учетом возмущающей силы, получим x dt kx r dx dt F t 2 2 0 = − − + sin или x dt dx dt x F m t 2 2 0 2 0 2 + + = β ω sin Ω (Общее решение полученного неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (см. § 4.5 главы Математическое введение) складывается из двух слагаемых 1) общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения x dt dx dt x 2 2 0 2 2 имеющего при ω 0 > β вид t A e t t 1 0 0 ( ) sin( ), = + −β ω ϕ 2) частного решения неоднородного дифференциального уравнения имеющего вид t A t 2 ( ) sin , = − ( ) Ω θ Пояснение При наличии вязкого сопротивления среды в линейных системах (линейными системами называются системы, содержащие производные и функции впервой степени) нет явления резонанса (о резонансе будет сказано позже. Поэтому частное решение x 2 (t) можно искать в виде правой части (6.45). Однако из-за наличия вязкого сопротивления среды, движение груза отстает по фазе на θ от возмущающей силы F. Вследствие этого частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется не в в виде x t A t ( ) sin = Ω , а в виде x t A t 2 ( ) sin( ) = − Ω Общее решение уравнения (6.45) равно сумме двух решений t x t x t ( ) ( ) ( ) = + 1 или t A e t A t t ( ) sin( ) sin( ). = + + − − 0 0 β ω Вынужденные колебания устанавливаются не сразу, так как груз одновременно совершает и собственные, и вынужденные колебания. Собственные колебания маятника x 1 (t) постепенно затухают. Остаются только вынужденные колебания с частотой возмущающейся силы Ω x t A t ( ) sin( ) = − Ω θ . (6.45а) Чтобы найти A и θ необходимо решение (а) подставить (6.45). Однако возникают затруднения из-за того, что хи правая часть (6.45) имеют разные фазы. Чтобы устранить затруднение, искусст- 6.7. Вынужденные механические колебания 369 370 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ венно преобразуем правую часть (6.45) таким образом, чтобы фазы были одинаковые. Пояснение к искусственному преобразованию Распишем по формуле синус суммы двух углов sin sin( ) sin( ) cos cos( )sin Ω Ω Ω Ω t t t t = − + = − + − θ θ θ θ θ θ . (6.45б) Подставим решение (а) в (6.45), при этом в правой части уравнения учтем преобразование (б + − + − ≡ ≡ − A t A t A t F m t Ω Ω Ω Ω Ω Ω 2 0 2 0 2 sin( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos θ β θ ω θ θ θθ θ θ + − [ ] cos( )sin . Ωt (6.45в) Так как (весть тождество, то приравняв соответствующие коэффициенты при sin( ) Ωt − θ и cos( ) Ωt − θ , получим+ − + = = A F m A F m ( ) cos , sin . Ω Ω 2 0 2 0 0 2 ω θ β θ (6.45с) Для определения амплитуды А вынужденных колебаний возведем обе части уравнения (св квадрат, сложим и извлечем корень квадратный. Так как амплитуда величина положительная, то оставим только положительное значение корня 0 2 2 2 2 2 0 2 2 4 ( ) ω β − + ⎡⎣ ⎤⎦ = Ω Ω , A F m = − + 0 0 2 2 2 2 2 4 ( ) ω β Ω Ω (Для определения сдвига фазы θ разделим второе уравнение напер- вое (с, получим tg θ β ω = − 2 0 2 Отсюда 0 2 Таким образом, если внешняя возмущающая сила изменяется по гармоническому закону, то вынужденные колебания являются также гармоническими Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой возмущающей силы Ω и не зависит от свойств колеблющейся системы и среды и Вынужденные колебания даже при наличии сопротивления среды являются незатухающими. Амплитуда вынужденных колебаний может быть очень большой при малых значениях сопротивления среды и возмущающей силы, если частота возмущающей силы Ω близка к собственной частоте И наоборот, амплитуда вынужденных колебаний может быть сколь угодно малой при больших значениях возмущающих сил, если частота возмущающих сил Ω сильно отличается от частоты ω 0 те либо Ω >> Амплитуда А вынужденных колебаний и величина θ, определяющая сдвиг фаз между вынужденными колебаниями и возмущающей силой, от начальных условий не зависят, но зависят от соотношения частот возмущающей силы и собственных колебаний. Рассмотрим зависимость амплитуды вынужденных колебаний А от частоты возмущающей силы Ω (рис. 6.14) при фиксированных и Если Ω = 0 (сила F постоянна, то A F m = = 0 где Δ — статическая деформация. Если Ω = ∞, то A → Если β = 0, то при Ω = ω 0 А стремиться к бесконечности. Это имеет место, когда коэффициент сопротивления среды равен нулю. Если β ≠ 0, то при некоторой определенной для данного пружинного маятника частоте возмущающей силы рез < ω 0 амплитуда колебаний А достигает максимального значения. Явление резкого возрастания амплитуды установившихся вынужденных колебаний при приближении частоты Ω внешней возмущающей Рис. 6.14 6.7. Вынужденные механические колебания 371 372 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ силы к некоторой характерной для данного маятника частоте рез получило название механического резонанса. Чтобы найти резонансную частоту рез для рассматриваемой системы, необходимо исследовать подкоренное выражение (6.46) на экстремум (при этом следует иметь ввиду, что экстремумы амплитуды A ( Ω) и подкоренного выражения f (Ω) противоположны). Возьмем производную от подкоренной функции ( ) ( ) Ω Ω Ω = − + ω β 0 2 2 2 2 2 по частоте Ω и приравняем ее к нулю ) ( )( ) Ω Ω Ω Ω Ω = − − + = 2 2 8 0 0 2 Из полученного равенства находится то значение аргумента Ω, при котором подкоренное выражение будет либо максимальным, либо минимальным 4 8 4 2 0 0 2 3 2 0 2 2 Так как Ω ≠ 0, то равенство имеет место только тогда, когда сомножитель. Отсюда следует = ± − ω β 0 2 2 Так как Ω — существенно положительная величина, то берем только положительное значение корня. Чтобы выяснить, какой экстремум имеет место при значении аргумента, необходимо взять вторую производную от функции f f = ( ) Ω и исследовать ее знак. Если d f d 2 2 0 Ω > , то функция f f = ( ) Ω — минимальна, если d f d 2 2 0 Ω < , то функция f f = ( ) Ω — максимальна f d 2 2 2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 2 4 12 8 4 12 24 8 Ω Ω Ω= − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = − + + = − + − + = ω β ω β ω ω β β == − = − = 8 16 8 2 8 0 2 2 0 2 Так как d f d 2 2 2 8 0 Ω Ω = > , то при частоте Ω = − ω β 0 2 2 2 подкоренное выражение f f = ( ) Ω принимает минимальное значение, следовательно, амплитуда колебаний А достигнет наибольшего (максимального) значения Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний А принимает максимальное значение, когда частота возмущающей силы равна Ω = − ω β 0 2 2 Частоту возмущающей силы, при которой амплитуда А достигает максимального значения, называют резонансной частотой рез 2 Ω = ω − β . Из формулы видно, что резонансная частота рез меньше частоты собственных незатухающих колебаний маятника Зависимость A = A ( Ω) называется резонансной кривой. На рис. 6.14 изображены резонансные кривые, соответствующие различным значениям коэффициента затухания ( β 0 = 0, β 1 < β 2 < β 3 ). Максимум резонансной кривой тем выше и острее, чем меньше β. При отсутствии сопротивления среды ( β 0 = 0) амплитуда бесконечна (A → При сооружении строительных объектов в сейсмических зонах необходимо учитывать резонансные явления. Собственная частота объекта должна отличаться от частоты колебаний земной коры, наблюдаемой в данной местности. В этом случае при землетрясении есть вероятность сохранения построенных зданий. Вопросы и задания для самоподготовки. Почему незатухающие колебания в реальных системах могут быть только вынужденными. Почему важен случай гармонического внешнего воздействия на колебательную систему. Какие процессы наблюдаются при вынужденных колебаниях, когда частота возмущающей силы Ω приближается к собственной частоте ω 0 ? 4. Что такое резонансная частота вынужденных колебаний, отчего она зависит. Изменяется ли амплитуда вынужденных колебаний со временем при постоянной частоте возмущающей силы. От каких параметров зависит амплитуда вынужденных колебаний. Может ли амплитуда вынужденных колебаний быть бесконечно большой. Вынужденные механические колебания 373 374 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. Почему при увеличении частоты возмущающей силы, действующей на колеблющуюся систему, амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, затем убывает? Примеры решения задач Задача Тело совершает затухающие колебания с максимальным значением амплитуды А = 7 см, начальной фазой ϕ 0 = 0, коэффициентом затухания с. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид t t 2 ( ) sin( , ) = − 12 10 0 75 π π см. Найти уравнение (с числовыми коэффициентами) собственных затухающих колебаний. Дано: А = 7 см ϕ 0 = 0; β =1,6 с x t t 2 ( ) sin( , ) = − 12 10 0 75 π π см. Найти: x Запишем уравнение затухающих колебаний в общем виде t A e t t ( ) sin( ) = + − 0 0 β ω Чтобы записать приведенное уравнение с числовыми коэффициентами, необходимо вычислить циклическую частоту затухающих колебаний По тексту дано уравнение вынужденных колебаний t t 2 ( ) sin( , ) = − 12 10 0 75 π π см, где А = 0,12 м, Ω = 10π, ϕ = –0,75 Обозначим начальную фазу вынужденных колебаний — θ ивы- числим tg tg θ π = − = − ( , ) 0 75 Начальная фаза вынужденных колебаний вычисляется по формуле (см. § 6.7) tg θ β ω = − − 2 0 2 Приравняв правые части представленных выражений, получим = − − 1 2 0 2 2 β ω Ω Ω Собственная частота системы равна ω β 0 Частота затухающих колебаний равна ω ω β = − 0 2 2 , ω β β π π π = + − = + ⋅ ⋅ − = Ω Ω 2 2 2 2 2 10 2 1 6 10 1 6 10 Ответ уравнение затухающих колебаний системы с числовыми коэффициентами имеет вид x t e t t ( ) sin , , = − 7 10 5 1 6 π (см). Задача Период затухающих колебаний системы T = 0,1 с, а отношение амплитуд первого и одиннадцатого колебаний m A A = = 1 11 21 . Определить резонансную частоту Ω p , коэффициент затухания β и насколько резонансная частота меньше собственной частоты Δω данной колебательной системы. Дано: T = 0,1 с m A A = = 1 11 Найти Ω p , β, Резонансная частота вынужденных колебаний и период затухающих колебаний определяются по формулами Собственная частота ω 0 колеблющейся системы равна 2 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 4 4 4 = − − = = + π ω β ω β π ω β π , , (Из (1) и (2) находим резонансную частоту 2 2 2 2 2 2 4 2 Для нахождения коэффициента затухания β запишем уравнение, связывающее первую и одиннадцатую амплитуды с учетом того, что время между первой и одиннадцатой амплитудой составляет 10 периодов и равно t = 10T. A A e A A e t t T 1 0 11 0 10 = = − − + β β , ( ) 6.7. Вынужденные механические колебания 375 376 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Из уравнений следует e T 11 1 10 = −β , A A 5 m T 1 11 Прологарифмировав последнее уравнение, получим ln m T = Вычислим первую неизвестную величину β β = = ln , m T 10 3 Расчетные формулы и величины резонансной и собственной частоты системы равны соответственно ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 2 1 2 10 62 76 2 π π ln , рад/с, ω β π 0 2 2 2 4 62 83 = + = T , рад/с. Ответ: резонансная частота Ω p = 62,76 рад/с, коэффициент затухания, резонансная частота Ω p меньше собственной ω 0 на Δω = 0,07 рад/с. Собственная частота колебаний системы ω 0 = 62,83 рад/с. 6.8. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ. Общие сведения о механических волнах Если источник колебания (камертон, струна, мембрана и. т. дна- ходится в упругой среде, то он приводит в колебательное движение соприкасающиеся с ним частицы среды. (Под частицей среды, совершающей вынужденные колебания, понимают малый элемент среды, размеры которого во много раз больше размеров молекул. Вследствие этого в прилегающих к источнику колебания частиц упругой среды возникают периодические деформации (например, сжатия и растяжения. При этих деформациях в среде появляются упругие силы, стремящиеся вернуть элементы среды к первоначальным состояниям равновесия. Из-за взаимодействия соседних элементов среды упругие деформации будут передаваться от одних участков среды к другим с некоторой скоростью, зависящей от ее физических свойств. Частицы среды совершают колебательные движения около положений равновесия. От одних участков среды к другим передается только состояние деформации. Чем дальше расположена частица от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Распространение деформации от источника возмущения — процесс достаточно сложный, так как одновременно совершаются и колебания частиц около положения равновесия, и поступательное движение состояния колеблющихся частиц без перемещения самих частиц вдоль заданного направления. Состояние колеблющейся частицы среды и источника отличаются с увеличением расстояния между ними. Колебания во всех точках среды повторяют колебание источника с определенным запаздыванием, которое тем больше, чем больше расстояние от источника до точки среды. Если возмущения могут распространяться через упругую среду на большие расстояния, то каждая частица среды совершает колебания около своего положения равновесия в ограниченной области пространства. От точки к точке в упругой среде передается энергия механических колебаний, а не поток вещества. При изучении распределенных колебаний в среде обычно неучи- тывают дискретное (молекулярное) строение среды и не рассматривают колебательное движение отдельных молекул. Среда рассматривается как сплошная и обладающая упругими свойствами. Процесс распространения возмущений (деформаций) с конечной скоростью в упругой среде, несущий с собой энергию без переноса вещества, называется волной или волновым процессом. В большинстве случаев источниками любых волн являются ко- лебания. Если источник совершает гармонические колебания, то и волна будет иметь форму синусоиды как в пространстве, таки во времени, причем каждая точка среды имеет свою амплитуду колебаний. Наиболее часто встречаются упругие волны. Функция ξ ξ = ( , ) x t позволяет найти смещение от положения равновесия любой из частиц упругой среды в любой момент времени. Колебательное движение определяет смещение как функцию времени, а поступательное движение определяет зависимость функции ξ ξ = ( , ) x t от положениях. Таким образом, ξ ξ = ( , ) x t — функция двух переменных x и t. 6.8. Механические волны 377 378 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Энергия, мощность энергия, переносимая за единицу времени) и интенсивность энергия, переносимая через единичную площадь поверхностизаединицу времени пропорциональны квадрату амплитуды волны. Амплитуда волны уменьшается по мере удаления ее от источника обратно пропорционально расстоянию. Следовательно, энергия, мощность и интенсивность волн убывают по мере удаления от источника обратно пропорционально квадрату расстояния. Волны в упругой среде бывают продольные и поперечные. Волна называется продольной, если частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Продольные упругие волны — это распространение деформации сжатия и растяжения. В жидких и газообразных средах распространяются только продольные волны. Объясняется это тем, что из-за текучести этих сред в поперечном направлении на частицы не действует возвращающая сила. Поэтому в них возбуждаются только продольные волны, распространяющиеся в виде чередующихся сжатий и разрежений среды. Это свойство помогло геофизикам сделать вывод о существовании жидкого ядра Земли, поскольку обнаружено, что в диаметральном направлении сквозь Землю проходят только продольные волны, поперечные же никогда не регистрируются. Единственным возможным объяснением этого является наличие у Земли жидкого (расплавленного) ядра. Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. Например, волна, бегущая по струне. В твердых телах упругие волны могут быть как продольными, таки поперечными. Поперечные упругие волны — это распространение деформации сдвига, возможное только в твердых телах, где источник колебания деформирует кристаллическую решетку, сдвигая ее ячейки друг относительно друга. В среде, в которой распространяется волна, можно выделить множество волновых поверхностей. Волновой или фазовой поверхностью называются геометрическое место точек, в которых все частицы совершают колебания в одинаковой фазе Волновые поверхности неподвижны. В зависимости от формы волновых поверхностей различают волны плоские, сферические, цилиндрические и т. д. Область среды, охваченная волновым движением, называется волновым полем. Граница, отделяющая возмущенную область среды от невозмущенной, или геометрическое место точек, до которых доходят колебания к данному моменту времени t, называется фронтом волны. Фронт волны в отличие от волновых поверхностей все время пе- ремещается. Основными параметрами волны являются. Гребни (пучности) — высшие точки волнового движения. Впадины — низшие точки волнового движения. Амплитуда волны А — максимальная высота пучности или глубина впадины, измеренная относительно положения равновесия. Длина волны λ — расстояние между положениями ближайших частиц среды, колеблющихся со сдвигом фаз 2 π (расстояние между двумя соседними пучностями или соседними впадинами. Частота ν — число полных колебаний, совершаемых любой из частиц среды, в которой распространяется волна, за единицу времени (число гребней, проходящих через данную точку за единицу времени. Период волны Т — промежуток времени, в течение которого любая частица среды совершает одно колебание (время, по истечении которого волна распространяется на расстояние, равное двум соседним пучностям или гребням. Циклическая частота ω — число гребней, проходящих через данную точку за время, равное 2 π секунды (число полных колебаний, совершаемых за 2 π секунд. Скорость распространения волны G u — скорость, с которой перемещается пучность (впадина, вдоль заданного направления. Эту скорость называют фазовой скоростью, так как она характеризует перемещение в пространстве фазы колебаний. (Не путать со скоростью колеблющихся частиц. Например, в случае поперечных волн скорость колеблющихся частиц перпендикулярна скорости распространения волны. Механические волны 379 380 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. Волновой вектор G k – вектор, указывающий на направление распространения волны, по модулю равный k = 2 π λ , именуемый волновым числом. Длина волны равна расстоянию, на которое волна распространяется за время, равное периоду, теза период Т гребень проходит расстояние, равное длине волны λ, λ = uT . (Параметры волн связаны между собой соотношениями = = λ λν λ ω π 2 , (так как = 1 Учитывая (6.48), получим 2 2 π λ π πν ω . (Если колебания во всем пространстве имеют одинаковый период Т, следовательно, и одинаковую циклическую частоту ω π = 2 T , то волна называется монохроматической. Если при распространении колебаний не происходит потери их энергии (например, переход механической энергии колебаний в тепловую, то колебания по мере удаления от источника не затухают и амплитуда колебаний повсюду оказывается одинаковой. Такая волна называется незатухающей. На практике упругие волны обладают конечным, хотя обычно малым затуханием. Упругие волны с частотой 16 ≤ ν ≤ 20000 Гц называются звуковыми или акустическими. Они воспринимаются человеческим ухом. В звуковой волне колебание в каждой точке среды совершает не только плотность среды, но и давление, а также температура. Распределение давления звуковой волны в пространстве называется звуковым полем |