Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
Вопросы и задания для самопроверки. В чем различие колебаний, получающихся в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты и с мало различающимися частотами. Чем различаются результаты сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, направленных вдоль одной прямой и взаимно перпендикулярных. При каких условиях в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты получаются колебания, траекториями движения которых будут эллипс, круги отрезок. Покажите, что равномерное движение материальной точки по окружности можно представить как результат сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний. Что изменится в уравнении гармонических колебаний, если навек- торной диаграмме вращать вектор амплитуды почасовой стрелке. Можно лис помощью векторной диаграммы найти результат сложения трех одинаково направленных гармонических колебаний одной частоты? Рис. 6.10 Примеры решения задач Задача Вычислить амплитуду результирующего колебания, полученного путем сложения двух гармонических колебаний, совершающихся вдоль одного направления с одинаковыми периодами и амплитудами, равными А = 10 см, А = 20 см. Начальные фазы колебаний равны соответственно и ϕ π 02 Дано T 1 = T 2 = T; ω 1 = ω 2 = ω; ϕ π 01 3 = ; ϕ π 02 6 = ; А = 0,1 мА м. Найти: А. Чтобы сложить два гармонических колебания, происходящих вдоль оси хи воспользуемся методом векторных диаграмм. Из начала оси (см. рис) проведем под углом ϕ 01 вектор G A 1 , под углом вектор G A 2 . Построим вектор G A , равный сумме векторов G A 1 и G A 2 . Проекции векторов G A 1 , G A 2 и G A на ось x определяют составляющие колебания x t x t 1 2 ( ), ( ) и результирующее колебание x (t). A и ϕ 0 — амплитуда и начальная фаза результирующего колебания. Из треугольника ΔOA 1 A по теореме косинусов для момента времени имеем A A A A A = + − − − [ ] = = + + − 1 2 2 2 1 2 01 02 1 2 2 2 1 2 02 01 2 2 cos ( ) cos( ) π ϕ ϕ ϕ ϕ ,, tg ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 0 1 01 2 02 1 01 2 02 = + + A A A A sin sin cos Ответ амплитуда результирующего колебания ) + ( ) + ⋅ ⋅ = = + + ⋅ = 0 1 0 2 2 0 1 0 2 30 0 01 0 04 0 04 0 87 0 29 2 2 , , , , м. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний 357 358 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ начальная фаза 0 1 60 0 2 30 0 1 60 0 2 30 0 83 = ° + ° ° + ° = , sin , sin , cos , cos , , ϕ 0 0 83 39 0 68 = = ° = arctg рад. ЗАТУХАЮЩИЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В реальных условиях механические колебания происходят в среде. Взаимодействие колеблющейся системы со средой приводит к рассеиванию (диссипации) энергии колебаний (механическая энергия колебаний превращается во внутреннюю энергию среды. Колебания затухают. Затухающие колебания не являются периодическими, так как через конечный промежуток времени физическая величина не принимает тоже значение. Однако через равные промежутки времени повторяются максимальные, но разные по абсолютной величине отклонения величины от положения равновесия. Переход от одного максимального значения физической величины до следующего максимального значения по абсолютной величине, деленное пополам, назовем амплитудой колебания. При затухающих колебаниях амплитуды уменьшаются, но время прохождения соседних амплитуд остается постоянным. За условный период затухающих колебаний принимается промежуток времени двух переходов от одного крайнего положения до другого. Найдем уравнение затухающих колебаний груза массой m, подвешенного на пружине, с коэффициентом упругости k. На рис. 6.11 показаны три состояния системы. Состояние 1 — естественная длина пружины. Состояние 2 — груз висит на пружине, система находится в состоянии статического равновесия. Рис. 6.11 упр F + = G G . (Начало координат совмещено с состоянием статического равновесия, так как любое колебание происходит около положения равновесия статическая деформация. Из проекции уравнения (6.34) на ось Х с учетом того, что модуль силы упругости равен k Δx, получим x = Δ . (Для удобства составления дифференциального уравнения состояние (рис. 6.11) зафиксировано в тот момент движения груза, когда деформация пружины х увеличивается и груз движется вниз. Пусть груз движется со скоростью, меньшей 20 мс. В этом случае сила сопротивления среды G F R пропорциональна первой степени скорости G G F r R = − v , где r — коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что сила сопротивления среды направлена в сторону, противоположную движению, те. в данном случае вверх. Модуль силы сопротивления равен F r r dx dt R = = v На рис. 6.11 показаны силы упр F G G и G F R . Модуль силы упругости упр пропорционален сумме статической и динамической деформации, те. упр x x = Δ +Запишем второй закон Ньютона применительно к грузу, находящемуся в состоянии 3. (см. рис. упр F F ma + + = G G G G . (Проекция векторного уравнения на ось равна k x x r ma − + − = ( ) Δ v , (где mg k x = Δ , a d x dt = 2 2 , v = dx dt . Умножив уравнение (6.37) на 1 m , получим (Введя обозначения k m = ω 0 2 и r m = 2β , перепишем последнее уравнение в виде. Затухающие механические колебания 359 360 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ x dt dx dt x 2 2 0 2 2 0 + + = β ω . (Записанный в такой форме второй закон Ньютона — линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами ω 0 2 и Для решения уравнения (6.39) воспользуемся методом Эйлера. Решение ищем в виде x Ce t = α , где C — произвольная константа, α — неизвестная константа. Для нахождения констант подставим Ce t = α , dx dt C e t = α α , d x dt C e t 2 2 2 = в (6.39), получим тождество C e C e Ce t t t α β α ω α α α 2 0 2 2 0 + + ≡ , Ce t α α βα ω 2 0 2 В полученном тождестве один из сомножителей должен равняться нулю. C ≠ 0 , так как рассматривается движение, а не покой e t α ≠ 0 , по существу неравен нулю. Следовательно, α βα ω 2 0 2 Из этого уравнения, именуемого характеристическим, найдем неизвестную константу α: α β β ω 1 2 2 0 2 , = − В зависимости от соотношения ω 0 и β возможны 3 различных варианта возвращения системы в состояние равновесия вариант Если β ω > 0 , то корни α 1 и α 2 — действительные и разные. В этом случае нет колебательного движения, так как показатель степени e t α — вещественное число. Действительно, каждому корню характеристического уравнения соответствует по методу Эйлера частное решение вида t e e t t 1 1 2 0 2 ( ) , = = − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ α β β ω x t e e t t 2 2 2 0 2 ( ) = = − − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ α β β ω Тогда общее решение находится как линейная комбинация частных решений t C x C x ( ) = + 1 1 2 или t C e C e t t ( ) = + − + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 2 0 2 2 2 0 где Си С — произвольные константы. Проанализируем зависимость x Так как β β ω > − 2 0 2 , то степенная функция со временем убывает. Характер убывания зависит от начальной координаты хи начальной скорости G v 0 . Возможные ситуации приведены на рис. Если х > 0, начальная скорость направлена от положения равновесия, то зависимость x (t) имеет видана рис. Если х > 0, начальная скорость достаточно велика и направлена к положению равновесия, то груз один раз может пересечь положение равновесия, а затем устремиться к нему. Зависимость x (t) имеет вид б на рис. Если х > 0, начальная скорость мала и направлена к положению равновесия, то зависимость) имеет вид в на рис. 6.12. 2 вариант Если β ω = 0 , то корни α β 1 2 , = − , те. корни α 1 и являются кратными. Частные решения одинаковы и равны В этом случае, чтобы не потерять одночастное решение, вместо постоянных интегрирования Си С, следует записать многочлен, степень которого на единицу меньше кратности корня характеристического уравнения. Общее решение запишется в виде Рис. 6.12 6.6. Затухающие механические колебания 361 362 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ t C e C te e C tC t t t ( ) ( ) = + = + − − − 1 2 1 Поскольку многочлен (С + t C 2 ) растет намного медленнее, чем убывает сомножитель e t −β , то функция x (t) будет близка к видам а, б, в, приведенным на рис. Вывод. При β ω ≥ 0 движение груза перестает быть периодическим, те. система возвращается в равновесное состояние без колебательного процесса. Это может иметь место тогда, когда, например, сила сопротивления среды больше силы упругости пружины. Такой характер движения называют апеpиодическим затуханием вариант Если ω β 0 > , то корни α 1 и комплексные и принимают значения ω 1 2 1 0 2 2 0 2 2 , = − ± − − ( ) = − ± − ( ) = − где i — мнимое число, ω ω β = − 0 2 2 — циклическая частота затухающего колебания. Такая ситуация имеет место тогда, когда сила сопротивления среды меньше силы упругости пружины, те. упр > Каждому значению корня α 1,2 соответствует частное решение. Общее решение находится как линейная комбинация двухчастных решений cos ( e t i t C e t i t e t C t t t − − − + ( ) + − ( ) = = β β β ω ω ω ω ω ** * * * ) sin ( ) . + + − ⎡⎣ ⎤⎦ C t iC iC 2 Переобозначив константы C C C 1 1 2 = + * * , C iC iC 2 1 2 = − * * , получим t e C t C t t ( ) ( cos sin ) = + −β ω ω 1 Так как C t C t A t 1 2 0 0 cos sin cos( ) ω ω ω ϕ + = + (см. параграф 6.3.1), то t A e t t ( ) cos( ) = + − 0 0 β ω ϕ . (Это и есть решение уравнения (Собственные затухающие колебания маятника периодические, ноне являются гармоническими, так как амплитуда таких колебаний стечением времени уменьшается по экспоненте e t = − 0 β , (где β — коэффициент затухания График затухающих колебаний x (t) показан на рис. 6.13. Зависимость) не выходит за пределы огибающих функций x A e t = − 0 β и x A e t = Циклическая частота затухающих колебаний ω связана с собственной частотой пружинного маятника соотношением Условный период затухающих колебаний равен 2 0 2 2 π ω π ω β . (Условный период затухающих колебаний — наименьший промежуток времени Т, за который колеблющийся груз дважды проходит через положения равновесия, двигаясь водном и том же направлении. Период затухающих колебаний груза больше периода незатухающих колебаний этого же груза, так как силы сопротивления тормозят движение тело возвращается к равновесному состоянию медленнее. На рис. 6.13 сплошной линией показана зависимость x = x (t), штриховая линия проведена по максимальным значениям амплитуды затухающих колебаний. Основные параметры, характеризующие затухающие колебания Логарифмический декремент затухания — логарифм отношения двух амплитуд, смещенных повремени на один период e A e T t t T 0 0 . (Время релаксации затухающих колебаний τ — время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз. Из условия A e A e e t t 0 0 − − + ( Рис. 6.13 6.6. Затухающие механические колебания 363 364 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ e A e A e A e e e e t t t t 0 0 0 0 − − + ( находим время релаксации βτ = 1 , τ β = 1 и Коэффициент затухания β характеризует быстроту затухания колебаний. Эта величина обратно пропорциональна времени τ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз. Подставим выражение для β в (6.43), получим Так как число колебаний, совершаемых за время релаксации, равно, то = = T T N 1 Логарифмический декремент затухания — величина, обратная числу колебаний, совершаемых за время релаксации. Пример Логарифмический декремент затухания для кварцевой пластины λ = камертона λ = математического маятника λ = Следовательно, амплитуда затухающих колебаний уменьшается в 2,7 раза для кварцевой пластины после 10 4 –10 5 колебаний, камертона после 10 3 колебаний, математического маятника после 10 1 –10 2 колебаний. Выясним, по какому закону изменяется со временем энергия затухающих колебаний. Полная энергия деформированной пружины равна 2 2 2 0 0 2 п Таким образом, энергия затухающих колебаний уменьшается также по экспоненциальному закону Вопросы и задания для самопроверки. Как влияет коэффициент затухания на период затухающих колебаний. Можно ли утверждать, что дифференциальное уравнение затухающих колебаний x dt dx dt x 2 2 0 2 2 есть иная форма записи второго закона Ньютона. Циклическая частота затухающих колебаний ω больше или меньше собственной частоты ω 0 ? 4. Нет ли ошибки в утверждении Время релаксации затухающих колебаний — время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в 2,7 раза. Дайте определение коэффициента затухания β. 6. Дайте определение логарифмического декремента затухания λ. 7. Увеличивается или уменьшается период затухающих колебаний, если увеличивается сила сопротивление среды. Увеличивается или уменьшается условный период затухающих колебаний приуменьшении коэффициента упругости пружинного маятника. Будут ли происходить периодические колебания, если ω 0 < β? 10. Величину, равную числу полных колебаний в единицу времени, называют частотой колебаний или циклической частотой? Примеры решения задач Задача Затухающие колебания происходят по закону 0 Найти амплитуду колебаний после n = 10 полных колебаний. Дано: x e t t = − 10 0 3 , cos π ; n = Найти Амплитуда затухающих колебаний уменьшается по экспоненциальному закону С учетом условия задачи уравнение примет вид. Затухающие механические колебания 365 366 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 0 3 10 = − Так как амплитуду колебаний следует найти по истечении t = 10T, то 0 3 10 3 10 10 = = − Период колебания равен Ответ амплитуда после десяти полных колебании равна 3 2 6 10 10 0 025 = = = − ⋅ − , м. Задача Пружинный маятник, совершающий колебательное движение, теряет за период 9 % энергии. Сколько колебаний совершает маятник за время релаксации Дано η = = ΔW W 0 Найти Уравнение затухающих колебаний имеет вид e t t = + − 0 0 β ω Чтобы найти число колебаний N за время релаксации τ, необходимо найти время релаксации. Время релаксации τ — время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается враз, связанные с периодом Т и числом N колебаний, совершаемых за время релаксации, соотношением τ = NT. Коэффициент затухания β связан с временем релаксации τ соотношением Полная энергия маятника в моменты времени t и t + T имеют вид t kA t ( ) ( ) = 2 2 , W t T kA t T ( ) ( ) + = + 2 Амплитуды затухающих колебаний маятника в моменты времени и t + T имеют вид A t A e A e A e t t t TN ( ) = = = − − − 0 0 0 β τ , A t T A e A e A e t T t T t T TN ( ) ( ) + = = = − + − + − + 0 Из условия задачи следует = − + = − + = − + = = − − W t W t T W t W t T W t k A t T k A t A e t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 2 0 ++ − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = − T TN t TN N A e e 0 2 2 Преобразуем полученное выражение и прологарифмируем − − = − 2 1 2 Расчетная формула для вычисления количества колебаний за время релаксации имеет вид − − 2 Ответ за время релаксации пружинный маятник совершит N = 21,2 колебаний. |