Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
Задача Сколько времени идет по стальному рельсу звуковая волна, когда поезд находится на расстоянии S = 1000 мот наблюдателя Модуль Юнга для стали Е = 2 · 10 11 Нм, плотность стали ρ = 7,8 · 10 3 кг/м 3 Дано: S = 1000 м Е = 2 · 10 11 Нм ρ = 7,8 · 10 3 кг/м 3 Найти: Звуковая волна, распространяющаяся по рельсу, является про- дольной. Скорость распространения продольной волны в твердом тонком стержне вычисляется по формуле u E = ρ , где Е — модуль Юнга (модуль продольной упругости стали, ρ — плотность стали. Так как звуковая волна распространяется прямолинейно и равномерно вдоль рельсов, то время t прохождения звуком расстояния S равно = ρ 6.8. Механические волны 393 394 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Подставив числовые значения в полученное выражение, получим Ответ звуковая волна проходит расстоянием по стальному рельсу за 0,2 с. Задача Левому концу длинной горизонтальной натянутой струны сообщается простое гармоническое колебательное движение с частотой ν = 250 Гц и амплитудой А = 2,6 см. Сила натяжения струны F = 140 Н, масса, приходящая на единицу длины, m l = 0,12 кг/м. Записать уравнение, описывающее бегущую волну, и вычислить длину волны, если при t = 0 конец струны смещен вверх на 1,6 см и движется вверх. Дано: ν = 250 Гц А = 2,6 см F = 140 Н m l = 0,12 кг/м; ξ( , ) x t = 0 = 1,6 см. Найти: ξ( , ) x t , λ. 1. Вычислим длину волны Так как объемная плотность ρ = = m V m lS или ρS m l = , то скорость распространения поперечной волны равна u F S Fl m = = ρ Тогда длина волны равна ν = Подставив числовые значения в полученное выражение, получим см. Если за начало отсчета принять левый конец струны хна- чальную фазу колебания (при t = 0) обозначить ϕ 0 , то уравнение плоской волны можно записать в виде , ) cos( ) x t A t kx = − +Так как при хи см, то получим 6 2 6 0 , , cos = ϕ Начальный сдвиг фазы ϕ 0 1 6 2 6 52 0 91 = = ° = arccos , , , рад. Циклическая частота ω πν = = ⋅ ⋅ = 2 2 3 14 250 1570 , рад/с. Модуль волнового векторам Ответ уравнение ξ( , ) x t бегущей волны, имеет вид , ) , cos( , ) x t t x = − + 0 026 1570 45 0 91 , м. Задача Интенсивность сейсмической волны в х = 100 км от центра землетрясения составляет I 1 6 1 10 = ⋅ Вт/м 2 . Чему равна интенсивность этой волны на расстоянии х = 400 км от центра землетрясения? Дано: хм Вт/м 2 ; х = 4 · 10 5 м. Найти: Интенсивность волн (энергия, переносимая волной через единичную площадь поверхности за единицу времени) убывает по мере удаления от источника обратно пропорционально квадрату расстояния от источника. Если обозначить энергию, излучаемую в точке землетрясения за единицу времени, через W, то 1 2 = , I W x 2 2 2 = или I I x x 1 2 2 2 1 Вычислим I I x x 2 1 1 2 2 2 6 4 4 4 10 10 16 10 6 2 10 = = ⋅ = ⋅ , Вт/м 2 Ответ: интенсивность волны на расстоянии 400 км от центра землетрясения равна 4 6 2 10 = ⋅ , Вт/м 2 6.8. Механические волны 395 396 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Кинематика механических гармонических колебаний Колебания — физический процесс, характеризующийся той или иной повторяемостью во времени и пространстве Свободные или собственныеколебания — колебания, происходящие в системе, предоставленной самой себе после выведения ее из состояния устойчивого равновесия Периодические колебания колебания, в которых изменяющиеся физические величины повторяются через равные промежутки времени Механические гармонические колебания — прямолинейные, неравномерные, периодические движения, при которых расстояние х материальной точки от положения равновесия до точки, в которой в данный момент времени она находится, описывается уравнением Период колебаний наименьший промежуток времени Т, по истечении которого, значение изменяющейся физической величины повторяется по модулю и направлению, если эта величина векторная по величине, если она скалярная Частота колебаний ν — число полных колебаний, совершаемых колеблющейся величиной за единицу времени Циклическая частота — число полных колебаний, совершаемых колеблющейся величиной, за 2 π с Динамика механических гармонических колебаний Квазиупругие силы — силы любой физической природы, под действием которых тело совершает гармоническое колебание Пружинный маятник система, состоящая из абсолютно упругой невесомой пружины и груза массой m. • Период колебаний пружинного маятника — T m k = 2π • Кинетическая и потенциальная энергии пружинного маятника – 2 2 2 0 0 0 cos (к + ϕ , 2 2 2 0 0 0 sin (п + ϕ • Полная энергия пружинного маятника — 2 2 0 2 к п m A W W W ω = + = • Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести Период колебания математического мятника — T l g = 2π • Физический маятник — абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести mg G вокруг неподвижной горизонтальной осине проходящей через центр тяжести тела Период колебаний физического маятника — T J mgd z = Сложение гармонических колебаний Результирующее колебание при сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих вдоль одной прямой: ослабляется, если колебания находятся в противофазе, те. разность фаз кратна 01 усиливается, если колебания находятся в фазе, те. разность фаз кратна 01 2 − = n • Результирующее колебание при сложении двух гармонических колебаний слегка отличающимися частотами, происходящими вдоль одной прямой, описывается уравнением t A t t ( ) cos cos = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + 2 2 2 1 2 1 2 ω ω ω Основные положения 397 398 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Биение — колебания с периодически изменяющейся амплитудой Результирующее колебание при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты ω при разности фаз, равной нулю — гармоническое колебание с амплитудой, частотой ω, совершающее вдоль ограниченной прямой, наклоненной коси х под углом ϕ = arctg A B • Траектория движения при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты и разных амплитуд (А ≠ В) при разности фаз, равной π 2 — эллипс, период которого равен периоду складываемых колебаний Результирующее колебание при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты при разности фаз, равной π: — прямая, описываемая уравнением Затухающие механические колебания Затухающие механические колебания — колебания, амплитуда которых стечением времени уменьшается Апериодический процесс — процесс возвращения системы, выведенной из состояния равновесия, в исходное состояние без колебаний Условный период затухающих механических колебаний – T = − 2 0 2 2 π ω β • Время релаксации τ — время, в течениекоторого амплитуда колебаний уменьшается враз Коэффициент затухания β — величина, обратная времени τ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается враз Логарифмический декремент затухания λ— величина, обратная числу колебаний, совершаемых за время релаксации Вынужденные механические колебания Вынужденные механические колебания колебания в системе, происходящие под действием внешней периодической возмущающей силы. Если внешняя возмущающая сила изменяется по гармоническому закону, то вынужденные колебания являются гармоническими Механический резонанс — явление резкого возрастания амплитуды установившихся вынужденных колебаний при приближении частоты Ω внешней возмущающей силы к некоторой характерной для данной системы частоте рез Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения частот возмущающей силы и собственных колебаний, вязкости среды Резонансная частота — частота возмущающей силы при которой амплитуда колеблющейся системы достигает максимального зна- чения. Ω рез = − ω β 0 2 2 2 Механические волны Механические волны — процесс распространения возмущений (деформаций) в упругой среде, несущий с собой энергию, в котором одновременно совершаются колебания частиц среды около положения равновесия и поступательное движение состояния колеблющихся частиц без перемещения самих частиц вдоль заданного направления Амплитуда волны А — максимальная высота пучности или глубина впадины, измеренная относительно положения равновесия Частота волны ν — число полных колебаний за единицу времени, совершаемых любой из частиц упругой среды, в которой распространяется волна Период волны Т время, по истечении которого волна распространяется на расстояние, равное двум соседним пучностям или гребням. Основные положения 399 400 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Циклическая частота ω — число гребней, проходящих через данную точку за время 2 π с Скорость распространения волны G u — скорость, с которой перемещается пучность (впадина) вдоль заданного направления Длина волны λ— расстояние, на которое волна распространяется за один период = uT. • Разность фаз между двумя точками – Δ Δ ϕ π λ π λ = = − 2 2 1 2 x r r ( ) • Амплитуда волны уменьшается по мере удаления от источника обратно пропорционально расстоянию до источника Энергия, мощность и интенсивность волн убывают по мере удаления от источника обратно пропорционально квадрату расстояния до источника Волна называется продольной, если частицы упругой среды колеблются в направлении распространения волны Волна называется поперечной, если частицы упругой среды колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны Уравнение волны — уравнение, позволяющее найти смещение от положения равновесия любой из частиц волнового поля в любой момент времени Уравнение плоской гармонической волны – ξ ω ( , ) cos( ) G GG r t A t kr = − • Стоячая волна — волна, полученная при интерференции двух встречных плоских волн с одинаковыми частотами и амплитудами , ) cos cos x t A kx t = 2 • Координаты пучностей и узлов стоячей волны – пучн 2 x n λ = ± ; узл 1 2 2 x n λ ⎛ ⎞ ± + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ В ГЛАВЕ А — амплитуда — коэффициент упругости — волновой вектор — масса — длинах проекция скорости а х , d x dt 2 2 — проекция ускорения — ускорение свободного падения — мнимое число — сила — коэффициент трения — статическая деформация — коэффициент сопротивления среды — время — время релаксации — циклическая (круговая) частота, рез — циклическая частота вынужденных колебаний, резонансная частота — частота Т — период — угловое ускорение — угловое смещение, фаза колебания начальный сдвиг фазы — коэффициент затухания — логарифмический декремент затухания, длина волны — число колебаний момент силы относительно оси z I z — момент инерции относительно оси z, интенсивность волны W к — кинетическая энергия W п — потенциальная энергия — полная энергия — плотность материала Обозначения, использованные в главе 6 401 402 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ — фазовая скорость распространения волны в среде — площадь поперечного сечения Е — модуль Юнга — модуль сдвига, гравитационная постоянная — коэффициент Пуассона — плечо — радиус Земли скорость распространения волны ТЕСТЫ ДЛЯ ЭЛЕКТРОННОГО ЭКЗАМЕНА Собственные незатухающие колебания Т6.1 Еслиматериальная точка, совершающая гармоническое колебание с периодом 24 си нулевой начальной фазой, смещается от положения равновесия до половины амплитуды, то время смещения равно) 1,5 с 2) 2 с 3) 2,5 с 4) 3 с 5) 3,4 с Т6.2 Если начальная фаза гармонического колебания равна нулю, то какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости) 0,5 Т 2) 0,25 Т 3) 0,2 Т 4) 0,67 Т 5) 0,125 Т Т6.3 Еслиамплитуда гармонического колебания — 5 см, период — 4 сто максимальная скорость колеблющейся точки равна) 0,0225 мс 2) 0,0345 мс 3) 0,0535 мс 4) 0,0785 мс 5) 0,0865 м/с Т6.4 Если уравнение движения материальной точки описывается уравнением x t = + 2 2 4 sin( ) π π см, то период колебаний равен) 1,8 с 2) 2,5 с 3) 4 с 4) 4,2 с 5) 5,3 с Т6.5 Если уравнение движения материальной точки описывается уравнением x t = + 2 2 4 sin( ) π π см, то ее максимальное ускорение равно) 0,0493 мс 2) 0,0454 мс 3) 0,0395 мс 4) 0,0342 мс 5) 0,0285 м/с 2 Т6.6 Если материальная точка совершает гармоническое колебание согласно уравнению x t = + 5 39 2 5 2 5 sin , , см, то частота колебаний равна) 1 Гц 2) 1,25 Гц 3) 1,85 Гц 4) 2 Гц 5) 2,45 Гц Т Если амплитуда гармонических колебаний 5 см, циклическая частота — 2 рад/с, начальная фаза — 0, то при скорости 8 см/с, ускорение точки в тот же момент времени равно) 8 см/с 2 2) 10 см/с 2 3) 12 см/с 2 4) 14 см/с 2 5) 16 см/с 2 Пружинный маятник Т6.8 Еслипод действием груза пружина маятника удлинилась на 9 см, то период колебаний маятника, совершающего гармонические колебания, будет равен) 1,5 с 2) 1,2 с 3) 1 с 4) 0,8 с 5) 0,6 с Т6.9 Если при амплитуде 5 см максимальная кинетическая энергия пружинного маятника равна 1 Дж, то коэффициент упругости пружины равен) 805 Нм 2) 890 Нм 3) 920 Нм 4) 950 Нм 5) 980 Н/м Т6.10 Если в пружинном маятнике, совершающем вертикальные колебания, медный шарик заменить алюминиевым такого же радиуса, то период колебания уменьшится враз раза 3) 1,6 раз 4) 1,8 раз 5) 2 раза Т6.11 Если коэффициент упругости пружины маятника 400 Нм, ион проходит положение равновесия со скоростью 1 мс, будучи выведенным из этого положения на расстояние 4 см, то масса груза равна) 0,560 кг 2) 0,80 кг 3) 0,620 кг 4) 0,640 кг 5) 0,700 кг Т6.12 Если пружины с коэффициентами упругости 4 Нм и 6 Нм соединить последовательно, то коэффициент упругости системы пружин равен) 10 Нм 2) 0,42 Нм 3) 2,4 Нм 4) 0,1 Нм 5) 3,2 Н/м Т6.13 Если пружины с коэффициентами упругости 8 Нм и 4 Нм соединить параллельно, то коэффициент упругости системы пружин равен) 12 Нм 2) 0,37 Нм 3) 2,67 Нм 4) 0,08 Нм 5) 5,6 Н/м Т6.14 Если дифференциальное уравнение колебательного движения груза массой m = 0,5 кг, подвешенного к пружине, имеет вид d x dt x 2 2 60 0 + = , то коэффициент упругости пружины равен) 22 Нм 2) 28 Нм 3) 30 Нм 4) 34 Нм 5) 38 Н/м Тесты для электронного экзамена 403 404 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Т6.15 Если дифференциальное уравнение колебательного движения груза, подвешенного к пружине, коэффициент упругости которого Нм, имеет вид d x dt x 2 2 20 0 + = , то масса груза равна) 6 кг 2) 6,5 кг 3) 7,1 кг 4) 7,5 кг 5) 7,7 кг Математический маятник Т6.16 Еслив неподвижном лифте период колебаний математического маятника равен 1 с, а в движущемся — 1,1 сто ускорение движения лифта равно) 0,12 g 2) 0,17 g 3) 0,2 g 4) 0,24 g 5) 0,28 Т При какой скорости поезда математический маятник длиной см, подвешенный в вагоне, имеет максимальную амплитуду колебаний, если длина рельсов равна 12,5 м) 58,4 км/час 2) 62,6 км/час 3) 64,4 км/час 4) 67,5 км/час 5) 72,3 км/час Т6.18 Если частота колебаний математического маятника, установленного на теплоходе, плывущего со скоростью 20 км/час и проходящего расстояние 800 км, составляет 1 Гц, то количество колебаний маятника, равно) 125 · 10 3 2) 130 · 10 3 3) 136 · 10 3 4) 140 · 10 3 5) 144 · 10 Т Еслимаятниковые часы, идущие точно на уровне моря, поднять на высоту, равную радиусу Земли, то их отставание в сутки составит ч 2) 6 ч 3) 12 ч 4) 18 ч 5) 20 ч Т6.20 Если период колебаний маятника на Земле Т з , то период колебаний того же маятника на Луне равен) 0,8Т з 2) 1,5Т з 3) 2,2Т з 4) 2,45Т з 5) 2,8Т з Т6.21 Период колебаний математического маятника в ракете, поднимающейся вертикально вверх, стал в два раза меньше, чем на Земле. Считая ускорение свободного падения постоянными равным g, определить ускорение ракеты) 1,5 g 2) 2 g 3) 2,4 g 4) 3 g 5) 3,6 Т Еслиодин математический маятник имеет период 3 с, а другой сто период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме длин указанных маятников, равен) 2,6 с 2) 3,8 с 3) 4,5 с 4) 5,0 с 5) 5,4 с Физический маятник |