Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
Вопросы и задания для самопроверки. Как изменится частота, максимальная скорость, максимальное ускорение и полная механическая энергия гармонических колебаний, если удвоить амплитуду колебаний. Два тела с одинаковыми массами подвешены к двум одинаковым пружинам. Тела оттягивают вниз — одно на 10 см, другое на 20 см — и затем одновременно отпускают. Какое из них первым пройдет положение равновесия. Отличается ли максимальное значение кинетической энергии груза пружинного маятника от максимального значения потенциальной энергии деформированной пружины. Отличается ли циклическая частота колебаний кинетической энергии от циклической частоты колебаний потенциальной энергий пружинного маятника. Математический маятник длиной L = 1 м подвешен к потолку кабины, которая начинает опускаться вертикально с ускорением a g = 4 . Определить период T малых колебаний маятника. Какую длину должен иметь математический маятник, чтобы его период колебаний был равен одной секунде. Докажите, что скорость математического маятника достигнет максимального значения, если его угловое смещение равно нулю. Твердое тело закреплено таким образом, что ось вращения z проходит через точку приложения силы тяжести. Является ли это тело физическим маятником. Период колебаний физического маятника тем больше, чем больше расстояние от точки приложения силы тяжести до оси вращения. Верно ли это утверждение. Динамика механических гармонических колебаний 345 346 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Примеры решения задач Задача Рассказ Мюнхгаузена: «Как-то, гуляя, яневзначай забрался в горы. Захотелось узнать, на какой высоте я нахожусь. К счастью, в моей дорожной сумке оказались маятниковые часы. Держа их в правой руке неподвижно, я начал сравнивать ход механических часов с показаниями электронных часов на левой руке. За час маятниковые часы отстали от электронных на пять секунд, и я сразу понял, на какой высоте нахожусь. Вычислите эту высоту. Примечание: Маятник часов сделан из такого сплава, что длина его от температуры не зависит. Электронные часы — точные. Радиус Земли примите равным R = 6400 км. Дано: t = 1 ч = 3600 c; R = 6400 км = 6,4 · 10 6 м Δt = 5 Найти Из второго закона Ньютона найдем ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли (на тело массой действует только гравитационная сила h ma ( ) + = 2 или g G M R На поверхности Земли (h = 0) ускорение свободного падения равно Таким образом, при подъеме на высоту h ускорение свободного падения уменьшается h GM GM R R h R h = + = + ( ) ( ) 2 2 2 Период колебаний маятниковых часов на поверхности Земли и на высоте h равны соответственно 2π и T l g h h = а их отношение h R R h h h = = + = + 2 2 ( ) , где R Так как при подъеме на высоту h ускорение свободного падения уменьшается, то период колебаний маятника на высоте h увеличится на ΔT ΔT T T T R h R T T h R h = − = + − Если заодно колебание на высоте h период T увеличивается на ΔT, то за время t, равное 3600 сна этой же высоте суммарный период колебания увеличится нате те. или Ответ высота, на которую поднялся Мюнхгаузена, равна 8889 м. Примечание: Полученная высота чуть больше высоты Джамалун- гмы (8848 м) — самой высокой вершины на Земле. Сомнений в правильности расчетов не должно быть, поскольку при решении были приняты допущения Δt = Задача Насколько будут отставать за сутки часы с секундным маятником, если их перенести из подвала на верхний этаж здания Расстояние между ними — 200 м. Дано: h = 200 м t c = 24 · 3600 = 8,64 · 10 4 с. Найти: Маятник часов за сутки должен совершить N t T c = 1 колебаний, где T 1 — период колебаний маятника в подвале. Если период колебаний маятника на верхнем этаже обозначить Т, то за сутки часы отстанут на N T T = − ( ) 2 Периоды колебания часов дои после переноса равны. Динамика механических гармонических колебаний 347 348 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 1 2 2 2 Отношение периодов 2 2 Из закона всемирного тяготения следует, что h 2 где R — радиус Земли. Отсюда следует, что h R 2 1 = + и Δt N T T Nh R T = − = ( ) 2 Ответ отставание часов за сутки при переносе их с подвала на верхний этаж 2,7 с. Задача Амплитуда гармонических колебаний груза пружинного маятника А = 2 см, полная энергия W = 0,3 мкДж. При каком смещении грузах от положения равновесия на груз действует сила F = 22,5 мкН? Дано: A = 2 см = 0,02 м W = 0,3 мкДж = 3 · 10 –7 Дж F = 22,5 мкН = 2,25 · 10 –7 Н. Найти: х. Запишем уравнение гармонических колебаний точки в общем виде Найдем скорость точки, взяв производную от функции х) повремени Полная энергия системы, равна сумме потенциальной и кинетической энергий 2 2 2 0 0 2 0 2 2 0 0 2 2 2 2 v sin ( ) cos (Учитывая, что ω 0 2 = k m , получим W kA t mA k m t kA = + + + = 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 sin ( ) cos (Коэффициент упругости пружины находится через полную энергию и амплитуду колебания Модуль квазиупругой силы, дeйствующей на груз в процессе колебаний, равен = kx или F E A x = 2 Ответ смещение грузах от положения равновесия при действии силы F = 22,5 мкН равно 2 1 5 , см. Задача 6.7 Однородныйдиск радиуса R колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей на расстоянии от центра диска. Каков период его колебаний? Дано: Найти Период колебаний физического маятника где d — расстояние от оси вращения до точки приложения силы тяжести. Согласно теореме Штейнера момент инерции I относительно осине проходящей через цент тяжести диска + 0 где I 0 — момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр тяжести m — масса диска A — расстояние между осями, равно Учитывая, что I mR = 1 2 2 , получим 2 2 2 6.3. Динамика механических гармонических колебаний 349 350 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Ответ: период колебания физического маятника равен 1 2 2 2 Задача Ареометр, имеющий форму цилиндрической трубки, массой m и с поперечным смещением S, помещенный в жидкость с плотностью ρ, совершает свободные колебания около положения равновесия. Вычислить период колебания ареометра. Дано: m; S; Найти Т. Ареометр — прибор для измерения плотности жидкости. Ось цилиндрической трубки ареометра перпендикулярна ее поверхности. На плавающий ареометр действует сила тяжести mg G , направленная вниз, и сила Архимеда G F A , направленная вертикально вверх. В положении равновесия где Sh — объем погруженной части прибора. Если погрузить ареометр на глубину h + x, то условие равновесия нарушится и, на ареометр будет действовать результирующая сила Так как ρ, g, S — константы, то F = kx, где k = ρgS. Результирующая сила, действующая на ареометр, подобна упругой силе, действующей груз, висящий на пружине. Силы, не являющиеся упругими по своей природе, но подобные упругим силам по характеру зависимости от координаты, называются квазиупругими. Под действием квазиупругой силы движение ареометра описывается такими же уравнениями, как и пружинный маятник. Следовательно, период колебания ареометра можно вычислить по формуле g = = 2 Ответ период колебания ареометра T m s g = 2π ρ 6.4. СЛОЖЕНИЕ ОДНОНАПРАВЛЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ Под сложением колебаний понимают нахождение результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два случая: —сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих вдоль одной прямой; —сложение гармонических колебаний со слегка отличающимися частотами, происходящими вдоль одной прямой. Сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих вдоль одной прямой Сложить два или несколько колебаний — значит найти уравнение, описывающее результирующее колебание. Эта задача в общем случае решается аналитически, нов ряде случаев возможно графическое решение методом векторных диаграмм (рис. 6.6). Гармоническое колебание на этой диаграмме представляет собой колебания проекции равномерно вращающегося вектора на ось х. Модуль вектора G A равен амплитуде рассматриваемого колебания, а угловая скорость вращения вектора G A равна угловой частоте колебаний ω 0 . Начальная фаза колебания ϕ 0 — это угол, образованный вектором G A с осью x в начальный момент времени. Пример сложения двух гармонических колебания, происходящих вдоль оси хи. (Изначала оси x проведем под углом ϕ 01 вектор G A 1 , под углом ϕ 02 — вектор G A 2 . Построим вектор G A , равный сумме векторов G A 1 и G A 2 . Проекции векторов G A 1 , G A 2 и G A на ось x определяют составляющие смещения x 1 , x 2 и результирующее смещение x в начальный момент времени. Так как в процессе колебаний векторы G A 1 и G A 2 вращаются с одной и той же угловой скоростью ω 0 , то с такой же скоростью будет вращаться и вектор G A . Следовательно, проекция на ось x также будет совершать гармоническое колебание, те. ре. Сложение однонаправленных колебаний одинаковой частоты 351 352 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ зультирующее движение является гармоническим колебанием с частотой ω 0 . Из рис. 6.6 видно, что в начальный момент времени x x x A = + = 1 2 0 cos ϕ , в произвольный момент времени x t x t x t A t ( ) ( ) ( ) cos( ) = + = + 1 2 0 0 ω ϕ , где A и ϕ 0 — амплитуда и начальная фаза результирующего колебания. Из треугольника ΔOA 1 A по теореме косинусов для момента времени t = 0 имеем A A A A A = + − − − [ ] = = + + − 1 2 2 2 1 2 01 02 1 2 2 2 1 2 02 01 2 2 cos ( ) cos( ) π ϕ ϕ ϕ ϕ ,, (6.23) tg ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 0 1 01 2 02 1 01 2 02 = + + A A A A sin sin cos cos . (Выделим три характерных случая если разность начальных фаз ϕ 02 –ϕ 01 колебаний равна 0 или 2 πn, где n = 1, 2, …, то колебания находятся в фазе и амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний, те. колебания усиливают друг друга если разность фаз ϕ 02 –ϕ 01 = (2n + 1) π, колебания находятся в противофазе, A A A = − 1 2 и они максимально ослабляют друг друга. В частности, если A A 1 2 = , наблюдается полное гашение колебаний в зависимости от разности фаз амплитуда результирующего колебания может принимать любые значения, лежащие в интервале A A 2 1 1 2 − ≤ Сложение гармонических колебаний со слегка отличающимися частотами, происходящими вдоль одной прямой Сложим два колебания, происходящие вдоль оси х, имеющие одинаковые амплитуды A 1 = A 2 = A и начальные фазы, равные ϕ 01 = ϕ 02 = 0 x t A t 1 1 ( ) cos = ω , x t A t 2 2 ( причем ω ω ω 1 2 1 − < и ω ω ω 1 2 2 + < . Сложение произведем анали- тически. Рис. 6.6 Результирующее смещение x равно сумме смещений составляющих колебаний x 1 и x 2 : x t x t x t A t A t A t t ( ) ( ) ( ) cos cos (cos cos ) = + = + = + 1 2 1 2 1 2 ω ω ω ω . (После преобразования получим t A t t ( ) cos cos = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + 2 2 2 1 2 1 2 ω ω ω ω . (Из двух сомножителей, содержащих косинус, первый изменяется со временем гораздо медленнее второго. Это позволяет считать колебание) почти гармоническим с амплитудой, изменяющейся со временем по периодическому закону t A t ( ) cos = − 2 2 1 2 ω ω . (Колебания с периодически изменяющейся амплитудой называются биениями. Частота колебаний амплитуды или частота биений равна ω π ν ν = − = − 1 2 1 2 2 , (где ν ω π 1 1 2 = и ν ω π 2 2 2 = — частоты составляющих колебаний. Чем меньше отличаются частоты составляющих колебаний, тем меньше частота биений. Величина A t ( ) , характеризующая размах колебаний при биениях, изменяется в пределах от A A 2 1 − до A A 1 2 + с циклической частотой Ω = − ω ω 1 2 , называемой циклической частотой биений. Поскольку частота биений во много раз меньше частоты колебаний, то переменную величину A t ( ) условно называют амплитудой биений. Период биений равен Характер зависимости хот времени t при биениях показан на рис. Рис. 6.7 6.4. Сложение однонаправленных колебаний одинаковой частоты 353 354 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Рассмотрим сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Допустим, что материальная точка может совершать колебания как вдоль оси ох, таки вдоль перпендикулярной к ней оси оу. В этом случае материальная точка будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний и их амплитуд. Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты при разности фаз, равной нулю Сложим два гармонических колебания, имеющих одинаковые частоты, начальные фазы, равные ϕ 01 = ϕ 02 = 0, происходящих вдоль осей x и y: x t A t ( ) cos = ω , y t B t ( ) cos = ω Разделим второе уравнение на первое, получим уравнение траектории результирующего движения Траектория результирующего колебания — отрезок прямой, проходящей через начало координат и наклоненная коси о под углом, тангенс которого равен B A (рис. Результирующее движение — гармоническое колебание с амплитудой C A B = + 2 2 , частотой ω, совершающееся вдоль отрезка, наклоненного коси х под углом Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты при разности фаз, равной Сложим два взаимно перпендикулярных гармонических колебания одинаковой циклической частоты, происходящих вдоль осей x и y, разность начальных фаз которых равна Рис. 6.8 x A t = cosω , (6.29) y B t = + ( ) cos ω Так как cos( ) cos ω π ω t t + = − , то − cosω . (Разделив (6.30) на (6.29), получим уравнение прямой с отрицательным значением тангенса угла наклона y B A x = − (рис. Результирующее движение — гармоническое колебание с амплитудой C A B = + 2 2 , частотой ω, совершающееся вдоль отрезка, наклоненного коси х под углом Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты при разности фаз, равной Сложим два взаимно перпендикулярных гармонических колебания одинаквой циклической частоты, происходящих вдоль осей x и y, разность начальных фаз которых равна π 2 x A t = cosω , (6. Так как cos sin ω π ω t t + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − 2 , то y B t = − sin ω . (Представим уравнения (6.31) ив виде cosω , y B t = −sin Возведем уравнение в квадрат и сложим 2 2 2 1 + = . (Рис. 6.9 6.5. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний 355 356 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Уравнение (6.33) — уравнение эллипса с полуосями Аи В (рис. Движение, происходящее по траектории (6.33), не является гармоническим. Материальная точка описывает эллипс за время, равное периоду складываемых колебаний. Если ϕ ϕ π 02 01 2 − = , то движение материальной точки по эллипсу происходит почасовой стрелке. Если ϕ ϕ π 02 01 2 − = − , то движение происходит против часовой стрелки. Если А = В, то эллипс вырождается в окружность. При сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с разными частотами результирующее движение будет происходить по сложным траекториям, называемым фигурами Лиссажу. Форма фигур Лиссажу зависит от соотношения частот составляющих колебаний и разности их начальных фаз. |