Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
при его вращении со скоростью G ω вокруг неподвижной оси (z направлена вдоль оси = Iω z • Основное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси = M z , где ε z = dω z /dt – проекция углового ускорения на ось Основные положения 319 320 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Закон сохранения момента импульса системы твердых тел при их вращательном движении вокруг неподвижной оси Если M z = 0, то L z (t ) = L z (t' ) или )ω z (t ) = I(t' )ω z (t' ), где t и t' – два момента времени, M z — проекция суммарного момента внешних сил действующих на систему на ось z. • Работа силы G F над твердым телом при его вращательном движении I d M d z z z = = ω ω ϕ , A M d z = ∫ 0 ϕ ϕ , где ϕ – угол поворота тела, M z – проекция момента силы на ось Кинетическая энергия вращения твердого тела вокруг неподвижной оси 2 • Плоское движение твердого тела можно представить как поступательное движение его центра масс и вращательное движение относительно оси, проходящей через центр масс, ] А С Ц А v v r = + ω G G G K , где K v A и G v C — скорости произвольной т. А тела и его центра масс в инерциальной системе отсчета, G r A — радиус-вектор т. А относительно центра масс, Ц — угловая скорость вращения относительно оси, проходящей через центр масс (в Ц-системе). • Уравнения динамики твердого тела при плоском движении, С Цz Цz I M ε = • Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении 2 2 2 С Ц С I mv Т ω = + ОБОЗНАЧЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ГЛАВЕ 5 G ϕ – вектор углового перемещения проекция вектора углового перемещения на ось z G ω – вектор угловой скорости ω z – проекция вектора угловой скорости на ось z G ε – вектор углового ускорения проекция вектора углового ускорения на ось z I, I C – момент инерции тела относительно произвольной оси и момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс Т пост , Т вращ – поступательная и вращательная кинетические энергии тела А – работа силы ТЕСТЫ ДЛЯ ЭЛЕКТРОННОГО ЭКЗАМЕНА Условия равновесия твердого тела Условия равновесия твердого тела — это 0 2) G F i i = ∑ 0 , G M i i ∑ = 0 3) G F i i = ∑ 0 , G L i i ∑ = 0 4) F i i = ∑ 0 , G M i i ∑ = 0 5) G M i i = ∑ 0 , G L i i ∑ = 0 T5.2 Груз массой 10 кг прижат к вертикальной стене силой 100 Н. Какую минимальную вертикальную силу нужно приложить к грузу, чтобы удержать его в покое Коэффициент трения скольжения равен, ускорение свободного падения — 10 мс 1) 70 Н 2) 130 Н 3) –60 Н 4) 60 Н 5) 120 Н На свободно вращающийсявокруг неподвижной оси диск радиусам по касательной действует сила равная 2 H. Найти работу этой силы, если диск повернулся на угол ϕ = π. 1)2π Дж 2)–2π Дж 3)±π Дж 4)10π Дж 5)–10π Дж sin(α – равен) (cosβcosα – sinβsinα) 2) (sinβsinα – cosβcosα) 3) (sinβcosα – cosβsinα) 4) (cosβsinα –sinβcosα) 5) (cosβ 2 – Тесты для электронного экзамена 321 322 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Проекция на ось Z момента силы, лежащей в плоскости XOY, равна) M z = yF x – xF y 2) M z = xF y – yF x 3) M z = zF y – yF z 4) M z = xF z – zF x 5) M z = zF y – Момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера T5.6 Момент инерции частицы массой m, находящейся на расстоянии от оси вращения, равен) I = m r 2 1) I = m 2 r 2 1) I = m 2 r 1) I = m 2 r 3 1) I = m r T5.7 Момент инерции непрерывной системы частиц равен) ρ( ) G r rdV V ∫ 2) ρ( ) G r r dV V 2 ∫ 3) ρ( ) G r r dV V 2 2 ∫ 4) ρ( ) G r V dV V 2 ∫ 5) ρ( ) G r VdV V ∫ T5.8 Момент инерции тела не зависит от) массы тела 2) размеров 3) расстояния до оси вращения) объема тела 5) скорости тела Теорема Штейнера это) I I ma C = + 2) I I m a C = + 2 2 3) I I ma C = + 2 4) I I ma C = + 1 2 / 5) I I ma C = − 2 T5.10 Определить момент инерции тонкого однородного стержня длиной 1,2 ми массой 0,5 кг относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, находящуюся на стержне и отстоящую от конца стержня на расстоянием кг · мкг мкг мкг мкг м Определить момент инерции окружности (обруча) массой 1 кг, радиусом 0,1 м относительно оси, проходящей через центр окружности, перпендикулярно плоскости круга) 1 кг · мкг мкг мкг мкг м Проекция момента импульса тела при его вращении вокруг неподвижной оси, направленной вдоль оси z, равна) L I z = ω z 2) L I z z = 2 ω 3) L I z = ω z 2 4) L I z z = 2 2 ω 5) L I z z = 1 2 / ω T5.13 Основное уравнение вращательного движения (I – момент инерции тела, ε z и M iz – проекции вектора углового ускорения и момента ой силы, действующей на тело, на ось z) — это) I M z z a = 2) I M z z ω = 3) m M z z ε = 4) I F z z ε = 5) I M z z ε = T5.14 Найти момент инерции тела, если оно вращается с угловым ускорением 10 рад/с 2 , под действием момента сил 50 Нм кг · мкг мкг мкг мкг м 2 Закон сохранения момента импульса системы твердых тел Закон сохранения момента импульса для системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси, — это) I t t I t t z z ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω = ′ ′ 2) I t t z ( ) ( ) ω = 0 3) I t t I t t z z ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω 2 2 = ′ ′ 4) I t t z ( ) ( ) ω = ∞ 5) ω ω z z t t ( ) ( Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Работа внешних сил при повороте твердого тела Кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг неподвижной оси, равна) I ω 2 2) I 2 2 2 ω 3) I ω 2 2 4) I 2 2 3 ω 5) I ω 3 T5.17 Чему равна кинетическая энергия вращательного движения тела, если момент инерции равен 5 кг · м, а угловая скорость 4 рад/с. 1) 20 Дж 2) 10 Дж 3) 80 Дж 4) 40 Дж 5) 200 Дж Полная кинетическая энергия диска, катящегося по горизонтальной поверхности равна 48 Дж. Определить кинетическую энергию поступательного и вращательного движения, если диск катится без проскальзывания) 32 и 16 Дж 2) 24 и 24 Дж 3) 8 и 40 Дж) 16 и 32 Дж 5) 40 и 8 Дж Работа сил при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси (проекция на ось z момента i силы, действующей на тело, ϕ — угол поворота тела) равна Тесты для электронного экзамена 323 324 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА d iz i = ∑ ∫ − 0 ϕ ϕ 2) A M d iz i = ∑ ∫ 0 2 ϕ ϕ 3) A M d iz i = ∑ ∫ 0 ϕ ϕ 4) A M d iz i = ∑ ∫ 2 0 ϕ ϕ 5) A M d iz i = ∑ ∫ 0 ϕ ϕ T5.20 Закон изменения кинетической энергии тела, имеющего постоянный момент инерции, при вращательном движении имеет вид 2 1 2 2 2 2) A I I = + ω ω 2 2 1 2 2 2 3) A I I = − ω ω 2 1 2 2 4) A I I = + ω ω 2 1 2 2 5) A I I = − 2 2 2 2 1 2 2 2 ω ω T5.21 Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением 0,5 рад. Определить кинетическую энергию маховика через 30 с после начала движения, если через 10 с после начала движения момент импульса маховика составлял 100 кг · мс) 2000 Дж 2) 2250 Дж 3) 4000 Дж 4) 1350 Дж 5) 1000 Дж Диск под действием постоянной силы достигает установленной частоты вращения 33 об/мин через 1,5 оборотов после начала движения. Чему равно его угловое ускорение) 50π/243 рад/с 2 2) 25π/243 рад/с 2 3) 121π/600 рад/с 2 4) –25π/243 рад/с 2 5) –50π/243 рад/с 2 T5.23 Диск массой 4 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 10 мс. Найти кинетическую энергию диска) 300 Дж 2) 200 Дж 3) 400 Дж 4) 100 Дж 5) 500 Дж ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 5.1 Вывести формулу для момента инерции I диска массой m и радиусом относительно оси, касающейся боковой поверхности диска и перпендикулярной его плоскости. 5.2 Вывести формулу для момента инерции I сплошного шара радиусом и массой m относительно оси, касающейся поверхности шара Вывести формулу для момента инерции I полого шара относительно оси, проходящей через его центр. Масса шара равна m, внутренний радиус — внешний — Вывести формулу для момента инерции I цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с ее осью симметрии. Масса муфты равна m, внутренний радиус — r, внешний — Определить момент инерции I сплошного однородного диска радиусом см и массой m =1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. 5.6 Определить момент инерции I тонкого однородного стержня длиной см и массой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через 1) конец стержня 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины. 5.7 Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного итого же материала, одинаковой массы (m 1 = m 2 ) катятся без скольжения равномерно по горизонтальной поверхности с одинаковой скоростью (v 1 = v 2 ). Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определить кинетическую энергию Т 1 поступательного и Т вращательного движения диска. 5.9 Полый тонкостенный цилиндр массой m = 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену v 1 =1,4 мс, после удара — v 2 =1 мс. Определить выделившееся при ударе количество теплоты К ободу однородного сплошного диска массой m = 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила F = 30 Н. Определить кинетическую энергию диска через время t = 4 с после начала действия силы. Задачи для контрольных работ 325 326 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 5.11 Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению ϕ = A + Bt 2 + Ct 3 (B = 2 рад/с 2 , С = –0,5 рад/с 3 ). Определить момент сил М для t = 3 с. 5.12 Вентилятор вращается с частотой n = 600 об/мин. После выключения питания он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна –31,4 Дж. Определить 1) момент М сил торможения 2) момент инерции I вен- тилятора. 5.13 Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого кг · м, вращается с частотой n = 240 об/мин. Через время t = 1 мин, после того как на маховик стал действовать момент сил торможения, он остановился. Определить 1) момент М сил торможения) число N оборотов маховика от начала торможения до полной остановки. 5.14 Сплошной однородный диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол α горизонтом. Определить линейное ускорение а центра диска. 5.15 К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения М тр = 2 Нм. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение ε постоянно и равно 16 рад/с 2 5.16 Частота вращения n 0 маховика, момент инерции I которого 120 кг · м, составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время t = π мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определить момент М сил трения. 5.17 Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого I = 1,5 кг·м 2 , вращаясь при торможении равнозамедленно, за время мин уменьшил частоту своего вращения с n 0 = 240 об/мин до n 1 = 120 об/мин. Определить 1) угловое ускорение маховика ε; 2) момент Ми) работу силы торможения А. 5.18 Колесо радиусом R = 30 см и массой m = 3 кг скатывается по наклонной плоскости длиной L = 5 ми углом наклона α = 25°. Определить момент инерции колеса I, если его скорость v в конце движения составляла 4,6 м/с. 5.19 С наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° c горизонтом, скатывается без скольжения шарик. Определить время движения шарика по наклонной плоскости t, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на h = 30 см. Полый тонкостенный цилиндр катится вдоль горизонтального участка дороги со скоростью v =1,5 мс. Определить путь s, который он пройдет в гору до остановки, если уклон горы равен 5 м на каждые м пути. 5.21 На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а = 2 м/с 2 Определить: 1) момент инерции I вала 2) массу М вала. 5.22 На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 5 см и массой Мкг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 1 кг. Определить 1) зависимость s (t), согласно которой движется груз 2) силу натяжения нити T; 3) зависимость ϕ(t), согласно которой вращается вал 4) угловую скорость ω вала через с после начала движения 5) тангенциальное (аи нормальное (а n )ускорения точек, находящихся на поверхноcти вала. 5.23 На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 20 см, момент инерции которого I = 0,15 кг · м, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определить 1) время опускания груза до пола 2) силу натяжения нити F; 3) кинетическую энергию груза T в момент удара о пол. Задачи для контрольных работ 327 328 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 5.24 Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к разным концам которой прикреплены тела массами m 1 = 0,35 кг и m 2 = 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить 1) ускорение грузов a; 2) отношение Т 2 /Т 1 сил натяжения нити. 5.25 Тело массой m 1 = 0,25 кг, соединенное невесомой нитью посредством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом массой m 2 = 0,2 кг, скользит по поверхности горизонтального стола. Масса блока m = 0,15 кг. Коэффициент трения μ тела о поверхность равен 0,2. Пренебрегая трением в подшипниках, определить 1) ускорение ас которым будут двигаться эти тела 2) силы натяжения Т и T 2 нити по обе стороны блока. |