Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
6.38 Материальная точка с массой m = 25 г совершает гармонические колебания с амплитудой A = 10 см и частотой ν = 1 Гц. Определить кинетическую энергию и действующую на нее силу в тот момент, когда ее смещение от положения равновесия составляет x = 5 см? 6.39 Математический маятник, состоящий из нити длиной A = 0,5 ми свинцового шарика с массой m = 50 г, совершает гармонические колебания с амплитудой x 0 = 5 см. Определить скорость шарика при прохождении им положения равновесия и максимальное значение возвращающей силы. 6.40 Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень с массой m длиной A . Определить частоту колебаний маятника, если точка подвеса находится на расстоянии x от центра масс. Момент инерции стержня относительно середины I = m l Найти амплитуду, период и фазу гармонических колебаний материальной точки в тот момент, когда ее смещение равно x = 10 см, скорость v = 10 см/с и ускорение а = 10 см/c 2 6.42 Тонкий однородный стержень длины A = 40 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Стержень отклонили на угол α 0 = 0,01 ради в момент времени t = 0 отпустили. Считая колебания малыми, запишите уравнение движения α(t). Момент инерции стержня относительно центра тяжести стержня = m l Коэффициент жесткости пружины k = 10 Н/см, а масса груза m = 1 кг. Каковы были начальные значения смещения и скорости груза, если амплитуда колебаний A = 5 см, а начальная фаза ϕ 0 = Два математических маятника имеют одинаковые массы и колеблются с одинаковыми угловыми амплитудами. Длина первого маят- Задачи для контрольных работ 415 416 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ника A 1 в 2 раза больше длины второго маятника A 2. Определить, какой из маятников обладает большей энергией и во сколько раз. 6.45 Два незакрепленных шарика с массами m 1 и m 2 , лежащих на гладкой поверхности, соединены друг с другом невесомой пружиной с коэффициентом упругости k. Определить период колебаний шаров относительно центра тяжести системы, если вывести ее из состояния равновесия. 6.46 Материальная точка с массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид х = А sin ωt, где А = 0,2 м, ω = 8 рад/с. Найти возвращающую силу F в момент времени с, а также полную энергию Е точки. 6.47 Маятник подвешен на резине, растянутой настолько сильно, что ее первоначальной длиной можно пренебречь. Масса маятника — m, коэффициент упругости резины — k. Определить период горизонтальных гармонических колебаний маятника. 6.48 Пустая стеклянная, запаянная с обоих концов, трубка опущена в жидкость в вертикальном положении так, что часть трубки находится над ее поверхностью. Вычислить период малых колебаний трубки, если ей сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса трубки m = 50 г, радиус трубки R = 3,2 мм, плотность жидкости г/см 3 . Сопротивлением жидкости пренебречь. 6.49 Частица с массой m может совершать незатухающие гармонические колебания под действием упругой силы с коэффициентом упругости. Когда частица находилась в состоянии равновесия, к ней приложили постоянную силу F, которая действовала в течение τ секунд. Найти амплитуду колебаний частицы после окончания действия этой силы. Изобразить примерный график колебаний х (t). Исследовать возможные случаи. 6.50 Стержень длиной A = 40 см колеблется около оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его верхний конец. Определить период колебаний такого маятника Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному их соединению? 6.52 Уравнение колебания материальной точки x = 5 sin 4t. Определить максимальную величину возвращающей силы, а также кинетическую энергию точки, если ее масса m = 0,4 г. 6.53 Диск радиуса R = 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса перпендикулярно плоскости диска. Определить частоту ν колебаний такого физического маят- ника. 6.54 Точка совершает гармонические колебаниях А sin ωt, где А = 5 см, ω = 2 рад/с. В момент, когда на точку действовала возвращающая сила F = 5 мН, точка обладала потенциальной энергией U = 0,1 мДж. Найти этот момент времени Материальная точка с массой m = 0,1 г колеблется согласно уравнению А sin ωt, где А = 5 см, ω = 20 рад/с. Определить максимальные значения возвращающей силы F и кинетической энергии Т точки. Затухающие колебания 6.56 Точка совершает затухающие колебания с частотой ω и коэффициентом затухания β. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени t, если в момент t 0 = 0 смещение точки хи проекция ее скорости v x (0) = Имеются два затухающих колебания с известными периодами Т и коэффициентами затухания β: Т = 0,1 мс, β 1 = 100 си Т = 10 мс, β 2 = 10 с. Во сколько раз отличаются их логарифмические декременты затухания? 6.58 К невесомой пружине подвесили грузик, в результате чего она растянулась на Δx = 9,8 см. С каким периодом будет колебаться грузик, Задачи для контрольных работ 417 418 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ если ему дать небольшой толчок в вертикальном направлении Логарифмический декремент затухания λ = Уравнение затухающих колебаний дано в виде хе, м. Найти скорость колеблющейся точки в моменты времени 0, Т, Т, Т и 4Т. 6.60 Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания, равным λ = 0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении заодно колебание? 6.61 Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 3 мин? 6.62 Математический маятник длиной A = 0,5 м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на х = см, а при втором — на х 4 см. Найти время релаксации. 6.63 К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на 9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Чему должен быть равен коэффициент затухания, чтобы груз возвращался в положение равновесия апериодически? 6.64 Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за t = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в два раза Длина маятника A = 1 м. 6.65 Математический маятник длиной A = 24,7 см совершает затухающие колебания. Через сколько времени энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза Задачу решить при значениях логарифмического декремента затухания λ 1 = 0,01 и λ 2 = К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на ΔA = 9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Чему должен быть равен коэффициент затухания, чтобы логарифмический декремент затухания λ = 6? Через сколько времени энергия колебаний камертона с частотой ν = 600 Гц уменьшится враз, если логарифмический декремент затухания равен Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания λ 1 = 1,5. Каким будет значение λ 2 , если коэффициент сопротивления среды увеличить в n = 2 раза Во сколько раз следует увеличить коэффициент сопротивления среды, чтобы колебания стали невозможными? 6.69 Логарифмический декремент затухания математического маятника. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний заодно полное колебание маятника? 6.70 Найти логарифмический декремент затухания λ математического маятника, если за время t = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в два раза. Длина маятника A = 1 м. 6.71 За время t = 16,1 с амплитуда колебаний уменьшилась в пять раз. Найти коэффициент затухания. 6.72 За время t = 16,1 с амплитуда колебаний уменьшилась в пять раз. За какое время t амплитуда уменьшится в е раз? 6.73 За время t = 100 с система совершает n = 100 колебаний. За это же время амплитуда колебаний А уменьшается враз. Чему равен коэффициент затухания? 6.74 Построить график затухающих колебаний хе Зависимость координаты свободных затухающих колебаний от времени x A e t t = + − 0 0 β ω ϕ cos( ) . Найти амплитуду и начальную фазу колебаний для начальных условий x v v ( ) , ( ) 0 0 0 Период затухающих колебаний T = 4 с, логарифмический декремент затухания λ = 1,6, начальная фаза равна нулю. Смещение точки при t = T/4 равно x = 4,5 см. Записать уравнение движения. По- Задачи для контрольных работ 419 420 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ строить график этого колебательного движения в пределах двух пе- риодов. 6.77 Чему равен логарифмический декремент затухания λ математического маятника, если за одну минуту амплитуда колебаний уменьшилась в два раза Длина маятника A = 2 м. 6.78 Логарифмический декремент затухания математического маятника. Найти, во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний заодно полное колебание маятника. 6.79 Маятник теряет за период колебаний 9 % энергии. Насколько процентов его частота отличается от собственной частоты колебаний Логарифмический декремент затухания колебаний математического маятника λ = 0,01. Сколько полных колебаний должен сделать маятник, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? 6.81 Определить логарифмический декремент затухания математического маятника длиной A = 50 см, если за время t = 8 мин он теряет своей энергии. 6.82 Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за две минуты уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится затри минуты? 6.83 Затухающие колебания точки описываются уравнением x = A 0 e – βt sin Найти скорость точки в момент t = Затухающие колебания точки описываются уравнением x = A 0 e – βt sin Найти моменты времени, когда точка достигает крайних поло- жений. 6.85 Крутильные колебания тел описывается уравнением ϕ = ϕ 0 e – βt cos Найти угловую скорость тела в момент t = 0. Крутильные колебания тел описываются уравнением ϕ = ϕ 0 e – βt cos Найти угловое ускорение тела в момент t = Крутильные колебания тел описываются уравнением ϕ = ϕ 0 e – βt cos Найти моменты времени, когда угловая скорость становится мак- симальной. 6.88 Некоторая точка совершает затухающие колебания с частотой ω = 25 рад/с. Найти коэффициент затухания β, если в начальный момент скорость точки равна нулю, а ее смещение из положения равновесия в η = 1,02 раза меньше амплитуды. 6.89 Точка совершает затухающие колебания с частотой ω и коэффициентом затухания β. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени t, если в момент t 0 = 0 амплитуда ее смещения равна Вынужденные колебания. Резонанс 6.90 Шарик массой m может совершать незатухающие гармонические колебания около точки х = 0 с собственной частотой ω 0 . В момент t = 0, когда шарик находился в положении равновесия, к нему приложили вынуждающую силу F = F 0 cos Ω t, совпадающую по направлению с осью х. Найти уравнение вынужденных колебаний шариках Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой Гц. Определить частоту ω 0 собственных колебаний, если резонансная частота Ω p = 998 Гц. 6.92 Определить, насколько резонансная частота отличается от частоты кГц собственных колебаний системы, характеризуемой коэффициентом затухания β = 400 с –1 6.93 К пружине с коэффициентом упругости k = 10 Нм подвесили груз с массой m = 10 г и погрузили всю систему в вязкую среду. Ко- Задачи для контрольных работ 421 422 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ эффициент сопротивления равен r = 0,1 кг/с. Определить частоту собственных колебаний. 6.94 Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при частотах Гц и ν 2 = 600 Гц равны между собой. Определить резонансную частоту Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффициентом сопротивления r = 1 гс. Считая затухание малым, определить амплитуду вынуждающей силы, если резонансная амплитуда А = 0,5 см и частота собственных колебаний ω 0 = 10 Гц. 6.96 Пружинный маятник (коэффициент упругости пружины k = 10 Нм, с массой груза m = 100 г) совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,02 кг/с. Определить коэффициент затухания β и резонансную амплитуду А, если амплитудное значение вынуждающей силы F 0 = 10 мН. 6.97 При какой скорости поезда рессоры его вагонов будут максимально колебаться под действием толчков колёс о стыки рельсов, если длина рельсов A = 12,5 м, нагрузка на рессоры m = 5,5 т и рессора прогибается на Δx = 16 мм при нагрузке в одну тонну. 6.98 Найти максимальное значение амплитуды смещения осциллятора, совершающего установившиеся колебания под действием вынуждающей периодической силы с амплитудой F 0 = 2,5 Несли циклическая частота затухающих колебаний данного осциллятора ω = 100 рад/с и коэффициент сопротивления r = 0,5 кг/с. 6.99 Найти разность фаз между смещением и вынуждающей силой при резонансе смещения, если собственная частота колебаний ω 0 = 50 рад/с и коэффициент затухания β = 5,2 с –1 6.100 Гиря с массой m = 20 г, подвешенная на пружине с коэффициентом упругости k = 50 Нм, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,2 Нс. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = 0,2 cos Ωt, в ньютонах. Определить: а) частоту Ω вынужденных колебаний; б) резонансную частоту; в) резонансную амплитуду. 6.101 Гиря с массой m = 0,5 кг, подвешенная на пружине с коэффициентом упругости k = 50 м, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = 0,1 cos Ωt. Определить для данной колебательной системы коэффициент затухания и резонансную амплитуду. 6.102 Определить резонансную частоту колебательной системы, если собственная частота колебаний ν 0 = 300 Гц, а логарифмический декремент затухания λ = Собственная частота колебаний системы ω 0 = 500 рад/с. Определить частоту ω затухающих колебаний этой системы, если резонансная частота Ω p = 499 рад/с. 6.104 Гиря массой m = 400 г, подвешенная на пружине с коэффициентом упругости k = 40 Нм, опущена в масло. Коэффициент сопротивления среды r = 0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F t = Определить) резонансную амплитуду) частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна. 6.106 Тело совершает вынужденные колебания. При частоте ν 1 = 200 Гц амплитуда колебаний А = 10 см, при частоте ν 2 = 210 Гц амплитуда А = 4 см. Найти коэффициент затухания β системы и собственную частоту ω 0 колебаний, если удельная амплитуда вынуждающей силы равнялась F m = 210 Н/г. 6.107 На тело массой m = 10 г действует сила упругости с коэффициентом Нм, сила сопротивления среды и периодическая вынуждающая сила F = 10k cos 120t, в ньютонах. Задачи для контрольных работ 423 424 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Какой коэффициент сопротивления соответствует амплитуде смещения см Чему равна средняя кинетическая энергия за половину периода в этом случае? 6.108 Шарик массой m может совершать незатухающие гармонические колебания около точки х = 0 с собственной частотой ω 0 . В момент t = 0, когда шарик находился в состоянии равновесия, к нему приложили вынуждающую силу F = cos Ω t, совпадающую по направлению с осью х. Найти уравнение вынужденных колебаний шариках Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний меньше резонансной амплитуды, если частота изменения вынуждающей силы больше резонансной частоты на 10 %? Коэффициент затухания β принять равным 0,1 ω 0 ( ω 0 — круговая частота собственных коле- баний). 6.110 Шарик массой m, подвешенный к пружинке, удлиняет последнюю на величину Δ A . Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по гармоническому закону с амплитудой F 0 , шарик совершает вынужденные колебания. Логарифмический декремент затухания равен λ. Пренебрегая массой пружинки, найти круговую частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда смещения шарика максимальна. Каково значение этой амплитуды? 6.111 Амплитуды смещений вынужденных гармонических колебаний при частотах ω 1 = 400 рад/с и ω 2 = 600 рад/с равны. Найти частоту, при которой амплитуда максимальна. |