Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
Задача Определить момент инерции шара радиусом и массой m относительно оси, проходящей через его центр Дано: m — масса шара R — радиус шара. Найти: I — момент инерции шара. Так как ось проходит через центр симметрии шара, то I = I C . Направим оси x итак, как показано на рисунке. Выделим бесконечно тонкий диск, вырезаемый двумя параллельными плоскостями, отстоящими от центра шара C на расстоянии y и y + dy. Пренебрегая краевыми эффектами, будем считать, что бесконечно малый объем и бесконечно малая масса такого диска dy = π 2 , (1) dm dV x dy = = ρ ρπ 2 , (2) R x y X Y C dy где ρ — плотность шара, πx 2 — площадь круга, радиусом x. В задаче 5.5 рассчитан момент инерции диска относительно этой же оси 2 , где m и R — масса и радиус диска. Сделаем в этом выражении следующие замены, R x → . (Тогда получаем выражения для момента инерции бесконечно тонкого диска, находящегося на расстоянии y от центра шара 2 . (Момент инерции шара равен сумме моментов инерции бесконечно тонких дисков, на которые можно разбить шар, расстояния y от диска до центра шара изменяются от –R до R. Так как таких дисков — бесконечное множество, то вместо суммирования моментов инерции надо производить их интегрирование. Проинтегируем выражение (4) с учетом равенства (2) и равенства (5) (см. рис 2 2 = − , (5) I I dI x dm x x dy R y dy R R C R R R R = = = = = = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ − − 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 ρπ πρ πρ ( ) ( 22 2 4 y y dy R R + = − ∫ ) = − + = = − − − ∫ ∫ ∫ − − πρ πρ 2 2 2 2 4 2 2 4 4 2 3 ( ) [ ( ( )) ( - R dy R y dy y dy R R R R R R R R R R R 33 3 5 5 3 5 5 − − + − − = ( ) ) ( ( ) )] R R R = − + = − = = πρ πρ πρ πρ 2 2 4 3 2 5 2 2 14 15 2 16 15 8 15 5 5 5 5 5 5 3 2 ( ) ( ) ( ) R R R R R R R R == = = ρ π ( ) , 4 3 2 5 2 5 3 2 2 где m R = ρ π 4 3 3 — масса шара. Ответ: I mR C = 2 для шара. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. 299 300 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Задача Определить момент инерции тонкого однородного стержня длиной L = 1 ми массой m = 0,3 кг относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на b = Дано m = 0,3 кг L = 1 м b = L/10 = 0,01 м. Найти: В задаче 5.4 вычислен момент инерции однородного стержня исходя из определения момента инерции. Рассмотрим эту же задачу с использованием теоремы Штейнера. По теореме (5.41) момент инерции стержня относительно произвольной оси = I C + ma 2 . (Центр масс стержня находится в центре его симметрии, те. в середине. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно стержню (задача 5.4, выражение 7) I mL C = 2 12 . (Расстояние между осью вращения и параллельной ей осью вращения, проходящей через центр масс стержня − = − = 2 2 10 0 4 , . (Подставляя (2) ив, получаем 2 2 2 12 2 5 73 300 ( ) . (Найдем численное значение момента инерции = 73 300 0 3 1 0 073 2 , , кг · м 2 Ответ: I mL = = 73 300 0 073 кг · м 2 Составим таблицу из полученных нами значений моментов инерции некоторых тел. Все рассмотренные тела являются фигурами вра- L/2 a b C Ось вращения, проходящая через центр масс Ось вращения щения. Более полные таблицы моментов инерции таких тел можно найти в справочниках по математике и физике. Таблица моментов инерции некоторых тел Название Ось Момент инерции Тонкий стержень длиной Проходит перпендикулярно стержню через его середину (1/12)mL 2 Сплошной цилиндр (диск) радиуса Совпадает с осью цилиндра (1/2)mR 2 Цилиндрическая поверхность радиуса Совпадает с осью цилиндра mR 2 Шар радиуса Проходит через центр шара (2/5)mR 2 Задача На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 1 м намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 10 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением a = 1 мс. Определить 1) момент инерции вала относительно оси, совпадающей с осью цилиндра, 2) массу вала m в Дано: m = 10 кг R = 1 м а = 1 мс g = 10 м/с 2 Найти: I, m в Запишем второй закон Ньютона для груза в векторной форме T G G G = + . (Спроектируем векторное уравнение на ось у mg T = − . (Запишем второй закон Ньютона для вращательного движения вала в скалярной форме ε . (Рассмотрим моменты всех сил, приложенных к валу относительно точки О. Единственной силой, вращающей вал вокруг оси, является сила T ', приложенная к валу со стороны веревки. Линии дейст- T нить. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. 301 302 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА вия силы тяжести вала и силы реакции оси вала (на рис. не показаны) проходят через точку О. Следовательно, моменты этих сил равны нулю. По определению модуль момента силы T ' равен R = ′ . (Найдем связь между силами, приложенными к валуи телу T, со стороны нити. Запишем второй закон Ньютона для нити массой m' (см. рис = + ′ m a K K +m' g, G G G G , (где и G ′ K — силы, действующие на нить со стороны тела и вала. По третьему закону Ньютона T = , (6) ′ = Предполагаем, что нить невесома. Тогда (5) 0 = + ′ G G K и, следовательно ′ (Из (6) и (7) получаем = T T . (Подставляя (8) в (4), имеем ε . (Выражая T из (9) и подставляя в (2), определяем момент инерции вала I I TR m g a R = = − ε ε ( ) . (Предполагаем, что нить нерастяжима. Тогда модуль тангенциального ускорения нити на криволинейном участке должен равняться модулю ускорения нити на прямолинейном участке, те. (Так как, (где aτ — модуль тангенциального ускорения нити при ее движении по валу, то подставляя (11) ив, получаем I m g a R m g a R a mR g a = − = − = − ( ) ( ) ( ) ε 2 2 1 . (Момент инерции сплошного цилиндрического вала (цилиндра) относительно его оси (задача 5.6, выражение 6) равен 2 в 2 m R I = . (Подставим (14) в (13) и выразим массу вала m в m в = = − = − 2 2 1 2 1 2 2 2 I R mR R g a m g a ( ) ( ) . (Найдем численные значения = ⋅ − = 2 2 1 10 1 10 1 1 кг · м 2 , m в = − = ⋅ − = 2 1 2 10 10 1 1 180 m g a ( ) ( ) кг. Ответ: I mR g a = − = 2 кг · м, в = − = 2 кг. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ИХ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ Рассмотрим систему, состоящую из двух твердых тел. Тогда согласно и L L L z z z = + 1 где и G L — моменты импульса, аи проекции моментов импульса первого, второго тела и системы тел на неподвижную ось z. Для любой системы частиц (в том числе и для системы твердых тел) справедливо равенство (4.23) внеш z z dL M dt = Здесь внеш — сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телам системы. Если (внеш. Закон сохранения момента импульса системы твердых тел. 303 304 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА то имеет место закон сохранения проекции момента импульса системы твердых тел L t L t L t L t z z z z 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) + = ′ + ′ , (где t и ′t — два произвольных момента времени. Если в эти моменты времени тела системы совершают только вращательное движение относительно неподвижной оси, то моменты импульса тел можно представить в виде (5.25) L t I t t z z 1 1 1 ( ) ( ) ( ) = ω , L t I t t z z 2 2 2 ( ) ( ) ( ) = ω , L t I t t z z 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ′ = ′ ′ ω , L t I t t z z 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ′ Тогда из (5.42) следует t t z 1 1 ( ) ( ) ω + I t t z 2 2 ( ) ( ) ω = I t t z 1 1 ( ) ( ) ′ ′ + ω I t t z 2 2 ( ) ( где I I 1 2 , , ω ω 1 2 z z , — моменты инерции и проекции вектора угловой скорости на ось z первого и второго тела в моменты времени t и Обобщим полученное выражение на систему, состоящую из произвольного числа совершающих вращательное движение тел и частиц: Если внеш, то I z ω = const или t t I t t z z ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω = ′ ′ . (Здесь I — момент инерции системы твердых тел. Отметим, что в промежутке времени между t и ′t тела системы могут совершать более сложные движения, чем просто вращение вокруг неподвижной оси. Вопросы и задания для самопроверки. Сформулируйте закон сохранения момента импульса для системы частиц. Сформулируйте закон сохранения момента импульса для системы твердых тел и частиц, совершающих вращательное движение вокруг неподвижной оси. Можно ли применять закон сохранения момента импульса, если тела системы участвуют в сложных движениях, не сводящихся только к вращению вокруг неподвижной оси Примеры решения задач Задача Горизонтальная платформа массой Мкг и радиусом R = 1 м вращается с частотой ν 1 =12 мин. В центре стоит человек и держит на вытянутых руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I 1 = 6,2 кг · м до I 2 = 1 кг · м 2 Дано: M = 50 кг R = 1 м ν 1 =12 мин = 0,2 см кг · м 2 Найти: Дана система, состоящяя из нескольких твердых тел платформа, человек, гири. На эти твердые тела действуют внешние силы силы тяжести и силы со стороны осина которой держится платформа. Все внешние силы или параллельны или антипараллельны оси z. Из (5.10) следует, что проекция момента любой силы на ось z M xF yF z y x = − , (те. зависит только от компонент силы, действующих в плоскости XOY, перпендикулярных оси z. Следовательно, проекции моментов всех внешних сил на ось z M z = 0 . (Тогда имеет место закон сохранения момента импульса системы тел и t L t ( ) ( ) = ′ , (где L t ( и L t ( ) ′ — сумма моментов импульса тел системы в любые два момента времени. Если считать t начальным, а t' конечным моментами времени, то моменты импульса платформы L 1 и человека с гирями (когда тела совершают только вращательные движения вокруг неподвижной оси, соответственно равны (5.25) L 1 (t) = I p ω 1 , L 1 (t' ) = I 1 ω 1 , (4) L 2 (t) = I p ω 2 , L 2 (t' ) = I 2 ω 2 , (5) ν 1 ν 2 1 W k G 2 W k G M M R z 5.5. Закон сохранения момента импульса системы твердых тел. 305 306 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА где ω 1 , I 1 и ω 2 ,I 2 — круговые частоты вращения и моменты инерции человека с гирями в начальный и конечный момент времени, I p — момент инерции платформы. Подставляя (4) ив) с учетом равенств, (получаем 2 1 1 1 πν πν + = I I p 2 2 2 2 2 πν πν + (или 1 ν ( ) I I p + 2 2 ν . (Выражая из уравнения (9) ν 2 , имеем 1 2 1 = + + I I I I p p . (Так как платформа — диск, то момент инерции платформы относительно оси, проходящей через ее центр перпендикулярно плоскости платформы (задача 5.6, выражение 6), равен 2 . (Подставляя (11) в (10), находим ν 2 ν ν ν 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 = + + = + + I I I I MR I MR I p p . (Используя данные условия задачи, определяем численное значение Ответ ν 2 2 1 2 2 1 2 2 0 24 = + + = MR I MR I n , c –1 5.6. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ. РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ ПРИ ПОВОРОТЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Рассмотрим рис. 5.7. Модуль скорости ой частицы вращающегося тела (5.17) v R i i = а ее кинетическая энергия v m R m R i i i i i i i = = = 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ω ω ( ) = I i ω 2 где I m R i i i = 2 — момент инерции ой частицы. Так как кинетическая энергия всего тела равна сумме кинетических энергий его частей, то R i i i i i = = ∑ ∑ ( ) 2 2 2 ω = I ω 2 2 , где I m R i i i = ∑ 2 — момент инерции тела. Полученное выражение справедливо и для непрерывного твердого тела. Ранее показано, что приращение кинетической энергии системы частиц равно работе всех сил, действующих на частицы системы. Для твердого тела (у которого нет внутренних сил) — работе внешних сил. Следовательно, бесконечно малая работа внешних сил, действующих на твердое тело, равна бесконечно малому приращению его кинетической энергии. Пусть момент инерции тела не меняется со временем. Тогда имеем dT d I I d I d I d I d z z = = = = = = ω ω ω ω ω ω ω ω 2 2 2 2 2 2 , (где ось z совпадает с осью вращения и ω ω z = ± . Согласно основному уравнению динамики вращательного движения (5.27) I M z z ε Так как по определению ε ω z z d dt = , то получаем i i i v m p G G i R G i m W G z k k G Рис. 5.7 5.6. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. 307 308 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА I d dt M z z ω = Умножая левую и правую части этого выражения на dt, преобразуем его к виду dt z z ω Подставляя данное выражение в (5.45) с учетом определения проекции вектора угловой скорости на ось имеем I d M dt M d dt dt M d z z z z z z z z = = = = ω ω ω ϕ ϕ . (Обычно направление оси z выбирают так, что G ϕ ↑ ↑ OZ . Тогда и работа внешних сил при повороте твердого тела наконечный угол равна d z = ∫ 0 ϕ ϕ . (С другой стороны, как уже было сказано ранее, работа внешних сил, действующих на твердое тело, равна изменению его кинетической энергии. Если тело участвует только в процессе вращения вокруг неподвижной оси, то (5.44) A T T I I = − = − 2 1 2 2 1 2 2 где Т 1 иω 1 — кинетическая энергия и угловая скорость вращения тела в начальный, а Т ив конечный момент времени. Последнюю формулу можно обобщить на систему твердых тел и частиц с переменными моментами инерции. Тогда работа всех сил действующих на систему твердых тел и частиц, участвующих в процессе вращения 1 2 2 2 1 1 2 2 2 ω ω , (где T i 1 , ω 1i и I i 1 — кинетическая энергия, угловая скорость вращения и момент инерции i тела (частицы) в начальный, аи в конечный моменты времени Вопросы и задания для самопроверки. Равна ли кинетическая энергия системы частиц сумме кинетических энергий частиц системы. Запишите выражение для вычисления кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Запишите выражение для вычисления работы сил, действующих на тело при его повороте наконечный угол. Как связана работа сил, действующих на тело, участвующего только во вращательном движении вокруг неподвижной оси, сиз- менением его кинетической энергии. Запишите выражение для вычисления изменения кинетической энергии системы тел и частиц при условии, что они участвуют только во вращательном движении вокруг неподвижной оси. |