Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
2.37 Определить силы T натяжения шнура, соединяющего бруски с массами m 1 = 1 кг и m 2 = 4 кг и ускорение а движения по горизонтальной поверхности без трения, если к ним горизонтально и поочередно приложить силу F = 10 Н. 2.38 Наклонная плоскость, образующая угол α = 25° с горизонтом, имеет длину l = 2 м. Тело соскальзывает с этой плоскости за время t = 2 с. Определить коэффициент трения μ тела о плоскость. 2.39 Материальная точка массой m = 1 кг, двигаясь равномерно, описывает четверть окружности радиусам в течение времени t = 2 с. Найти модуль изменения импульса точки Диск радиусом R = 40 см вращается вокруг вертикальной оси. На краю диска стоит кубик. Принимая коэффициент трения μ = 0,4, определить при каком числе N оборотов в минуту кубик соскользнет с диска. Задачи для контрольных работ 147 Глава РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В предыдущих разделах изучение движения тел осуществлялось в рамках трех законов Ньютона. При таком подходе центральным является понятие силы — векторной меры взаимодействия материальных объектов. В настоящей главе рассматривается альтернативное описание движения тел с помощью понятий энергии и импульса. Важной особенностью этих величин является то, что они при определенных и достаточно общих условиях сохраняются, те. при любых изменениях в механической системе остаются постоянными. Эти свойства позволяют не только глубже заглянуть в устройство материи, но и представляют собой другой, не менее мощный инструмент решения практических задач. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Механическая система — совокупность выбранных для рассмотрения тел, взаимодействующих между собой при непосредственном контакте (трение, давление тел друг на друга) или посредством физических полей. В частных случаях система может состоять из одного тела или из невзаимодействующих тел. Замкнутая система — механическая система, невзаимодействующая с внешними телами. Внешние тела — тела, не входящие в состав рассматриваемой механической системы. Внешние силы — силы, действующие на механическую систему со стороны внешних тел. Внутренние силы — силы взаимодействия между частями рассматриваемой механической системы Консервативные (потенциальные) силы — силы, работа которых зависит только от начальных и конечных положений точек их приложения и не зависит ни от вида траекторий этих точек, ни от законов их движения по траекториям. Физическое поле — особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие материальных тел, не находящих- сяв контакте. Стационарное полене изменяющееся стечением времени физическое поле в любой точке поля сила F G , действующая на тело, не зависит явно от времени. Потенциальное поле — стационарное поле, в котором на материальную точку действуют потенциальные силы. Консервативная механическая система — система, в которой работа действующих сил зависит только от ее начального и конечного положений в этих системах все действующие на материальную точку непотенциальные силы работы не совершают, а все внешние потенциальные силы стационарны. Импульс (количество движения) материальной точки — векторная величина p i G , равная произведению массы m i частицы на ее скорость Импульс системы — геометрическая сумма импульсов всех материальных тел системы. (Импульс силы (элементарный) — векторная величина G F t Δ , равная произведению силы G F на время Δt ее действия на тело. Работа силы — мера действия силы на материальное тело, зависящая от величины силы, ее направления и пути, пройденного точкой приложения. Энергия — общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не возникает из ничего и не исчезает, она может только переходить из одной формы в другую. Согласно классическим представлениям энергия любой системы меняется непрерывно и может принимать любые значения. Основные понятия и определения 149 150 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ Изменение механического движения тела может быть вызвано только действующими на него силами. Для количественного описания такого силового воздействия на данное тело других тел в механике пользуются понятием работы силы, приложенной к рассматриваемому телу. Напомним, что результирующая сила, действующая на тело, — это мера взаимодействия данного тела с другими телами системы. Работа постоянной силы Пусть тело находится на горизонтальной плоскости (рис. 3.1). mg G mg G mg G тр F G F G F G F G N G N G N G v G v G v G A A A а б в тр F G тр F G Рис. и к нему приложены четыре постоянные силы mg G — сила тяжести G N – нормальная сила реакции опоры F тр — сила трения G F — внешняя сила. Работа постояннойсилы G F при перемещении тела на прямолинейном участке пути S определяется соотношением S F = ⋅ ⋅cosα , (где F F = G — модуль силы α — угол между направлением силы и направлением перемещения. Формулу (3.2) можно представить в виде скалярного произведения вектора G F силы на вектор G S перемещения тела S F S F S F S F x x y y z z = = + + ( , ) G G . (Работу каждой из остальных трех сил, приложенных к телу, запишем в следующем виде 3.2. Работа силы. Мощность 151 A F S F S F S Fтр тр тр тр = = = − ( , ) cos π ; A mg S mgS mg = = = ( , ) cos G G π 2 0 ; A N S NS N = = = ( , ) cos G G π 2 0 . (Согласно формуле (3.2) работа A F > 0 , если угол α < π / 2; A F = при α = π / 2. При значениях π / 2 < α ≤ π работа силы G F отрицательна. Работа силы трения отрицательна, поскольку α = π и cos π = –1. Силы тяжести и реакции работы не совершают, так как направлены под прямым углом к перемещению ( α = π / В системе СИ единицей измерения работы является джоуль (Дж. Один джоуль — работа силы в 1 Н при перемещении тела на расстоянием в направлении действия силы. Размерность этой величины 1 Дж = 1 Нм кг · мс Внесистемные единицы работы 1 кал = 1 калория = 4,1868 Дж 1 Вт · ч = 1 Ватт · час = 3600 Дж. С работой от нескольких до сотен джоулей человек имеет дело в повседневной практике. Поднимая рукой равномерно стакан массой г на высоту h = 1 м мускульная сила совершает работу А = mgh = 0,2 · 9,8 · 1 = 1,96 (Дж опуская равномерно ящик массой m = 25 кг на расстоянием работа мускульной силы — А = –mgh = = –25 · 9,8 · 1 = –245 (Дж). Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение работы, совершаемой постоянной силой. В чем состоит физический смысл работы силы. Назовите три условия, необходимые для совершения силой работы, отличной от нуля. При каких условиях работа силы положительна, отрицательна, равна нулю. Представьте работу силы в виде произведения модулей силы и перемещения, а также через проекции векторов силы и перемещения на оси координат. Зависит ли работа, совершаемая силой над телом, от выбора системы отсчета. Совершает ли работу центростремительная сила при перемещении тела по криволинейной траектории 152 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. Может ли сила реакции опоры совершать работу Рассмотрите движение тела по горизонтальной поверхности, по поверхности, расположенной под углом к горизонту, и вдоль вертикальной оси вверх и вниз. Почему работа силы трения при перемещении тела по неподвижной горизонтальной плоскости отрицательна. Равную ли работу совершает сила тяжести тела, свободнопадающего с некоторой высоты, за одинаковые промежутки времени. Дайте графическую интерпретацию работы, откладывая вдоль вертикальной оси значения проекции силы на направление перемещения, а вдоль другой оси — пройденное телом расстояние. Примеры решения задач Задача Лифт массой m = 300 кг равномерно поднимается на высоту h = 10 м. Найти работы A F и A mg , которые совершают при этом силана- тяжения каната, поднимающего лифт, и его сила тяжести. Дано: m = 300 кг h = 10 м. Найти: Пусть G F — сила натяжения каната, mg G — сила тяжести лифта, поднимающегося равномерно вертикально вверх. Принимая во внимание первый закон Ньютона и определение работы силы, запишем следующую систему уравнений mg + = 0 — условие равномерного движения лифта первый закон Ньютона A F = Fhcos0° — работа силы натяжения (2) A mg = mgh cos π – работа силы тяжести Поскольку угол между направлениями силы натяжения и перемещения лифта равен нулю, тов соотношении (2) присутствует множитель. Противоположные направления силы тяжести и перемещения обуславливают наличие в формуле (3) множителя Из равенства (1) имеем = mg. (4) 3.2. Работа силы. Мощность Подставляя модуль силы натяжения каната (4) в соотношение (2) и учитывая, что cos0° = 1, cosπ = –1, запишем выражения для работ и получим их численные значения = mgh = 29400 Дж = 29,4 кДж = –mgh = –29,4 кДж. Отметим, что полная работа, совершаемая силами, действующими на лифт, равна нулю + A mg = Этот результат является следствием того, что результирующая сила, приложенная к лифту, равна нулю. Ответ: A F = 29,4 кДж A mg = –29,4 кДж. Задача Найти работу силы тяжести при движении тела массой m с высоты h по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Дано: m, h, Найти Запишем выражение для работы согласно ее определению S mgS mg = = − ( , ) cos( ) G JG π α 2 , (1) A mgS mg = sin α . (Учитывая, что = S где S — длина плоскости, по которой движется тело, запишем окончательный результат в виде = Ответ A mg = mgh — работа силы тяжести зависит не от длины пути по наклонной плоскости, а от высоты h, на которую опускается тело 154 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Задача Математический маятник состоит из нити длиной L и материальной точки массой m, к которой приложена постоянная внешняя горизонтальная сила G G F iF = . Найти работу внешней силы A F , силы натяжения нити A T , силы тяжести при перемещении материальной точки от равновесного положения до остановки. Дано: L, m, Найти A F , A T , Для решения задачи запишем следующую систему уравнений mg F + + = 0 — условие равновесия в конечной точке траектории dS iF idx jdy F S S = = + ∫ ∫ ( , ) ( , ) G G G G G — работа внешней силы (2) A mg dS jmg idx jdy mg S S = = − + ∫ ∫ ( , ) ( , ) G G G G G — работа силы тяжести (3) A T dS TdS T S S = = = ∫ ∫ ( , ) cos G G π 2 0 — работа силы натяжения нити. (Представим векторное уравнение (1) в виде проекций на оси О и Oy T F T mg sin ; cos ; α α 0 и получим sin ( ) , cos ( ) α α 0 2 2 0 2 2 = + = + F F mg mg F mg . (Так как скалярное произведение единичных векторов ( , ) G G i j = 0 , ( , ) G G i i = 1 , то выражение (2) преобразуем к виду 0 0 , (где x 0 = Lsinα 0 (см. рис. Учитывая последнее равенство и первое из двух соотношений в (5), запишем работу (6) в окончательном виде 3.2. Работа силы. Мощность 155 A F L F mg F = + 2 Аналогично из соотношения (3) для работы силы тяжести получим − = − ∫ 0 где y 0 = L(1 – cosα 0 ). С учетом (5) последний результат принимает окончательный вид, представленный в ответе. Ответ: A F L F mg F = + 2 2 2 ( ) ; A T = 0 ; A mgL mg F mg mg = − − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 Работа переменной силы В процессе движения тела силы, приложенные к нему, могут изменяться по величине и направлению. Поэтому нельзя пользоваться определением работы (3.2), (3.3) и необходимо его обобщение. Для этого представим траекторию движения тела в виде непрерывного ряда N отдельных (элементарных) прямолинейных перемещений Δ G S i , (i = 1, 2, 3, … N), на каждом из которых силу G F i , действующую на тело, будем считать постоянной. Тогда работу силы G F i на ом участке траектории можно представить в форме (3.3) Δ Δ A F S i i i = ( , ) G G , (а работу по перемещению тела вдоль всей траектории — в виде суммы на отдельных ее участках 1 ( Просуммировав элементарные работы для каждого из перемещений, получим приближенное значение работы силы на всем пути. Если число N разбиений траектории S увеличивать, то точность приближенного равенства будет возрастать. Погрешность равенства при безграничном убывании всех Δ G S i стремится к нулю. Точное значение работы получается как предел бесконечной суммы lim ( , ) Δ Δ 1 1 G G . (3.6) 156 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ в предположении, что длины всех векторов Δ G S i одновременно стремятся к нулю. Используя для предельной суммы в последнем соотношении обозначение, принятое в интегральном исчислении, запишем) в виде dS F dS S S S S = = = ⋅ ∫ ∫ ∫ ( , ) G G , (где F S – проекция вектора силы на направление элементарного перемещения Согласно (3.7) работа силы G F представляет собой интеграл по траектории S. В общем случае сила является функцией координат и времени G G F F x y z t = ( , , , Если на всем пути проекция вектора силы на направление перемещения постоянна, то значение F S для всех элементов суммы одно и тоже и его можно вынести из-под знака интеграла A F dS S S = ∫ (Примером может служить движение тела по наклонной плоскости (см. задачу 3.2). Входящий в выражение (3.8) интеграл равен длине траектории S, те. (Для тела, движущегося по прямолинейной траектории, к которому под углом α приложена постоянная сила G F , последнее соотношение приводится к виду (Если сила G F постоянна по величине и направлению, но величина ее проекции на направление перемещения изменяется, так как траектория движения не прямолинейна, то из-под знака интеграла в (3.7) можно вынести модуль вектора силы F A F F dS dS S = ⋅ ∫ cos( , ) G G ^ , (где выражение под знаком косинуса , ) G G F dS ^ — угол между векторами и dS G (не путать со скалярным произведением векторов. Под знаком интеграла стоит проекция элементарного перемещения на постоянное направление силы. Но сумма проекций всех элементов путина постоянное направление равна проекции всего путина это направление. Следовательно, работа силы равна 3.2. Работа силы. Мощность 157 A = где S F — длина проекции всего путина постоянное направление силы G F . Примером может служить работа силы тяжести при движении тела по произвольному криволинейному пути (см. задачу Для характеристики работы, совершаемой за единицу времени, пользуются понятием мощности Мгновенной мощностью называется скалярная физическая величина Р, равная отношению элементарной работы dA к бесконечно малому промежутку времени dt, в течение которого работа совершается t dA dt ( ) = . (Принимая во внимание, что dA F dS = ( , ) G G , соотношение (3.11) перепишем в виде t F dS dt F dS dt F v ( ) ( , ) , ( , ) = = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = G G G G G те. мощность равна скалярному произведению силы на скорость тела G v . В общем случае мощность изменяется со временем. Средней мощностью в интервале времени от t до t + Δt называется величина 〈P (Δt)〉, равная отношению работы ΔA, совершаемой за этот промежуток времени, к его продолжительности t A t ( Единица мощности — Ватт (Вт Вт = 1 Дж / 1 с. Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение элементарной работы, совершаемой переменной силой. При каких условиях работа силы на элементарном участке пути положительна, отрицательна, равна нулю. Представьте работу силы на элементарном участке пути в виде произведения модулей силы и элементарного перемещения, атак- же через проекции векторов силы и элементарного перемещения на оси координат 158 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. Если вагонетка приходит в движение по горизонтальному пути от кратковременного толчка человека, то совершает ли он при этом работу. Дайте определение работы переменной силы как предельной суммы работ на элементарных участках траектории. Дайте определение работы переменной силы как интеграла по траектории движения тела. Получите на основании интегрального представления (3.7) работы переменной силы выражение (3.3) для работы постоянной силы при перемещении тела по горизонтальному пути. Дайте определение мгновенной и средней мощности. Покажите на примерах, что средняя мощность зависит от интервала времени, в течение которого совершается работа. |