Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение силы и перечислите ее разновидности в механике. Определите порядок силы гравитационного взаимодействия между космическими телами (Земля и Луна) и силы между двумя вагонами с массами 50 т, находящимися на расстояние 10 см друг от друга. Верно ли утверждение, что сила тяжести тела всегда равна его силе гравитационного притяжения к Земле. Какие силы действует на тело, лежащее на горизонтальной опоре. Будут ли одинаковыми показания весов, если тело взвешивают в вагоне, движущемся с постоянной скоростью и с постоянным ускорением. Назовите силы, которые возникают при внешнем и внутреннем трении. Запишите закон Гука для упругой деформации сжатия, растя- жения. Примеры решения задач Задача Тело массой m = 2 кг движется так, что зависимость координаты хот времени задаётся уравнением x = Acosωt, где A = 5 мрад с.Определить максимальную силу F max и силу F (t ), действующую в момент времени t = 3 c. 2.7. Силы в механике 125 126 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Дано: x = Acosωt; m = 2 кг A = 5 мрад с t = 3 Найти F (t ), Тело движется в направлении оси Х под действием силы = где ускорение x dt A t x = = − 2 Тогда сила t mA t x ( ) cos = где максимальная сила F mA max = ω 2 Ответ: F mA F t mA t max , , ( ) cos , = = = = − = − ω ω ω 2 2 98 6 3 98 Задача Поезд движется прямолинейно и равномерно при действии на него сил сопротивления воздуха F сопр и трения о рельсы F тр . Определить равнодействующую сил р, препятствующих движению, если сила тяги локомотива F тяг = 650 кН. Дано: F тяг = 650 кН. Найти: F р При равномерном прямолинейном движении равнодействующая всех сил+ +т тр сопр = 0 Сумма проекции сил на направление движения поезда Х F т – F тр – F сопр = 0, т = F тр + F сопр Равнодействующая сил сопротивления движению поезда. F р = F тр + F сопр = т = 650 кН. Ответ: рт кН. N F тяги x mg F тр. F сопр. Задача Три груза с m 1 = 500 г, m 2 = 700 г и m 3 = 300 г связаны невесомой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К первому грузу приложена горизонтально направленная сила F = Н. Пренебрегая трением, определить ускорение аи силу натяжения нити F 23 между вторыми третьим грузом 3 N G 3 m Х g G 1 m Дано m 1 = 500 г = 0,5 кг m 2 = 700 г = 0,7 кг m 3 = 300 г = 0,3 кг F = 6Н. Найти: a, Уравнение движения грузов F F F F N N N m g m g m g + + + + + + + + + + = 12 21 23 32 1 2 3 1 2 3 m m m = + + 1 Уравнение движения грузов в направлении Х F F F F m m m a − + − + = + + ( ) ⋅ 12 21 23 32 1 2 3 . (Так как нити невесомы и грузы относительно друг друга покоятся, то 12 = , F F 32 Грузы движутся с ускорением Определим силу F 23 из систем уравнений a F F m a 23 21 2 12 1 + = + = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ , X : − + = − + = ⎧ ⎨ ⎩ F F m a F F m a 23 21 2 12 1 , 2.7. Силы в механике 127 128 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Учитывая, что F 12 = F 21 , F F m a 23 21 2 = − F F m a 12 1 = Тогда m a m a F a m m 23 1 2 1 2 = − − = − + ( ) = F m m m m m F m m m m 1 2 1 2 3 3 1 2 3 Ответ 2 3 мс, Задача Тело массой m = 1 т движется с постоянной скоростью по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения μ = 0,2 водном случае под действием силы F 1 , а в другом — силы F 2 . Определить модули сил F 1 и F 2 , если эти силы приложены к одной точке тела под углом к горизонту. Дано: α = 45°; μ = 0,2; m = 1 т = 10 3 кг. Найти: F 1 , Запишем системы уравнений движения груза для первого и второго случаев. тр1 1 1 тр2 2 2 0, 0, F mg N F F mg N F ⎧ + + + = ⎪ ⎨ + + + = ⎪⎩ G G G G G G G G X : тр1 1 тр2 2 cos 0, cos 0, F F F F − + α = ⎧⎪ ⎨− + α = ⎪⎩ Y : − + + = − + − = ⎧ ⎨ ⎩ mg N F mg N F 1 1 2 2 0 0 sin , sin α α (Решим систему уравнений (1) относительно сил N 1 , N 2 и F 1 , F 2 N mg F 1 1 = − sin , α N mg F 2 2 = + sin α F mg tg 1 1 = + μ μ α α ( ) cos , F mg tg 2 1 = − μ μ α α ( ) cos F 1 N 1 m mg F тр.1 Y X α Y X mg F 2 N 2 F тр.2 α m Ответ F mg tg 1 1 = + μ μ α α ( ) cos = 2,3 кН, F mg tg 2 1 = − μ μ α α ( ) cos = 3,5 кН. Задача Локомотив трогает с места состав вагонов с общей массой т, при силе тяги тяги = 400 кН. Определить расстояние s, пройденное составом за время t = 5 мин, если коэффициент трения μ = Дано υ 0 = 0; m =1600 т = 1,6 · 10 6 кг μ = 0,005; тяги = 400 кН = = 4 · 10 5 Н t = 5 мин = 300 с. Найти: Уравнение движения состава поезда тр тяги N F ma + + + = G G G G G , (где тр , F G mg G , G N , — силы трения, тяжести и реакции рельс. Уравнения в проекциях сил на оси X и Y X: тр тяги Y: − + = mg N 0, (Из решения уравнений (2) тяг тр F F a m − = , N = где F тр = μN = Тогда тяг тяг F mg F a g m m − μ = = − Пройденный составом путь 2 тяг 2 2 F at t s g m ⎛ ⎞ = = − Ответ s = 2 тяг 2 F t g m ⎛ ⎞ − μ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 9000 м. Y a G N G g m G тр F G S X тяг F G 2.7. Силы в механике 129 130 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Задача Локомотив тянет состав из n = 4 одинаковых вагонов, массой m = 10 т с ускорением а = мс. Определить силу натяжения сцепки между третьими четвертым вагоном, если коэффициент трения колес вагона о рельсы равен μ = 0,005. a G g m G N G g m G N G g m G N G g m G N G 43 F G 34 F G 32 F G 23 F G 21 F G 12 F G X тяг F G тр F G тр F G тр F G тр F G Дано: m =10 т =10 4 кг а = 10 мс Найти Силы, действующие между вагонами F 21 , F 23 = F 32 , F 34 = F 43 , (Уравнения движения для трех вагонов, начиная с первого в направлении оси Х: (2) В результате решения уравнений (1) и (2) получим = F 32 – F тр – ma = F тяг – 3 (F тр + ma), (где F тр = μmg — сила трения при движении одного вагона. Силу тяги найдем из уравнения движения четырех вагонов с массой движущихся с ускорением а под действием силы F тяг при силе трения F тр = 4μmg F тяг — 4μmg = 4ma, F тяг = 4m(μg + а). Подставим соотношение для силы тяги в формулу (3). F 34 = m (μg + Ответ тяга Н, F 34 = m (μg + a) =10 5 Н. Задача Поезд движется со скоростью υ 1 = 72 км / ч, совпадающей сна- правлением скорости ветрам с. Во сколько раз увеличится сила сопротивления движению поезда F сопр = βυ 2 , если он будет двигаться навстречу ветру стой же скоростью. Дано: υ 1 = 72 км / ч =20 мс м / с. Найти: Сила сопротивления поезда пропорциональна квадрату его относительной скорости υ, которая в первом случае υ = υ 1 – υ 2 , во втором+ Тогда отношение сил сопротивления где β — коэффициент сопротивления воздуха движению поезда. Ответ: Задача Грузовой автомобиль (1) буксирует легковой автомобиль массой m = 2 т с помощью троса с коэффициентом жесткости кН/м. Найти удлинение Δl троса, если автомобили движутся с коэффициентом трения колеса) с постоянной скоростью υ, б) с ускорением a = 0,5 м/с 2 Дано: m = 2 т = 2 · 10 3 кг k =100 кН/м; a = 0,5 мс μ = Найти Δl 1 , Модуль силы натяжения G F , деформирующей трос, равен силе упругости тр F G g m G N G a G упр F G X υ G 1 F 2.7. Силы в механике 131 132 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ F упр. = Уравнения движения буксируемого автомобиля с ускорением Х : –μmg + kΔl 1 = ma, (где F тр = μN = Из уравнения (1) Δl 1 = m a g k ( ) + Уравнения движения автомобиля с постоянной скоростью + Х : F тр + F = 0, − + = μmg k l Δ 2 Ответ F тр = m a g k ( ) + μ = 4,9 см, Δl mg k 2 = μ = 3,9 см. Задача Автомобиль массой m = 1 т движется со скоростью υ = 54 км/ч, водном случае по горизонтальной дороге, а в другом по профилированной с углом наклона к горизонту α =15°. Определить минимальные коэффициенты трения колес автомобиля с дорогой, если он будет делать поворот по траектории с радиусом кривизны R = 50 м без заноса. Дано: m = 1 т = 10 3 кг R = 50 м υ = 54 км/ч = 15 мс α Найти μ 1 , μ 2 Y a G N G g m G 1 тр F G X а) б) α Y X a N mg F тр.2 Уравнение движения автомобиля. (Для горизонтальной дороги вдоль выбранных осей (2) для профилированной дороги (3) Решая системы уравнений (2) и (3) относительно μ 1 и μ 2 , принимая что а = а = υ 2 R , получим для горизонтальной дороги μ υ 1 2 = Rg , профилированной μ υ α α υ α α 2 2 2 = − + cos sin sin Ответ μ υ 1 2 = Rg = 0,46, μ υ α α υ α α 2 2 2 = − + cos sin sin cos gR gR = Задача Тело соскальзывает с вершины гладкой сферы радиусам. Определить скорость υ тела в момент отрыва от поверхности сферы, если его начальная скорость υ 0 равна нулю. Дано: R = 5 м υ 0 = Найти Запишем уравнение движения тела в проекциях на оси сортами. Силы в механике 133 134 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Учитывая, что ds dt Rd = = υ α , первое уравнение системы (1) запишем в виде υ α α d gR d = ⋅ sin . (Проинтегрируем левую и правую часть уравнения (2) в пределах изменения скорости от 0 дои угла от 0 до α: υ υ α α υ α υ α d gR d gR 0 0 2 2 1 ∫ ∫ = ⋅ = − sin , ( cos ). (Из второго уравнения системы (1) и уравнения (3), учитывая, что в момент отрыва тела от поверхности сферы N = 0, найдем его скорость (Ответ υ = = 2 3 5 72 gR , м / с. Задача Тело массой m = 2 кг движется в направлении оси Х под действием силы F F t x = 0 sin ω . В момент времени t = 0 координата тела и его скорость равны нулю. Определить зависимость от времени координаты и скорости G υ( ) t и их модули в момент времени t = 2 с, если ω = 3,14 рад / с. Дано: F F t x = 0 sin ω ; x 0 = 0; υ x (0) = 0; t = 2 с ω = 3,14 рад / с F 0 = 5 Найти x(t = 2 с υ(t = 2 с). Запишем уравнение движения тела вдоль направления оси Х. (Тогда d F m tdt x υ ω = ⋅ 0 sin . (Проинтегрируем левую и правую часть последнего уравнения в пределах изменения скорости υ и времени t d F m tdt t F m t x t x υ ω υ ω ω υ 0 0 0 0 1 ∫ ∫ = = − sin , ( ) ( cos ). (Зависимость x t ( ) найдем интегрированием равенства dx t t dt x ( ) ( ) = υ dx t F m t dt x t F m t t x t ( ) ( cos ) , ( ) ( sin ). 0 0 0 0 2 1 ∫ = − ∫ = ⋅ − ω ω ω ω ω (Ответ x t c F m t t ( ) ( sin ) , = = ⋅ − = 2 1 59 мм с. Задача Путь, пройденный телом массой m = 2 кг, задается уравнением s A Bt Ct Dt = + + + 2 3 , где См см с. Определить зависимость силы от времени F t ( и силу действующую на тело в момент времени t = 0 и t = 10 с после начала движения. Дано: s A Bt Ct Dt = + + + 2 3 ; См см с m = 2 кг = 10 Найти F t ( ) , F F ( ), ( ). 0 Из основного уравнения динамики s dt F t 2 2 = ( ) , (где d s dt 2 2 = 2C Тогда t m C Dt ( ) ( ) = + 2 6 2.7. Силы в механике 135 136 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ t m C ( ) = = ⋅ 0 2 , F t m C Dt ( ) ( ) = = + 10 Ответ F t m C ( ) , = = ⋅ = 0 2 0 Н, F t m C Dt ( ) ( ) = = + = 10 2 3 4 Н. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Свободное тело — тело, на которое не действуют какие-либо другие тела Инерциальная система отсчета — система отсчета, в которой свободное тело покоится или движется прямолинейно и равномерно Неинерциальная система отсчета — система отсчета, в которой свободное тело движется с ускорением Инертность — свойство тела сохранять состояние покоя или равномерное прямолинейное движение Масса — положительная скалярная величина, являющаяся мерой инертности тела не зависит от его скорости движения равна сумме масс всех частиц, из которых оно состоит Сила — векторная величина, являющаяся мерой механического взаимодействия тел Гравитационная сила — сила взаимного притяжения между двумя материальными точками (м. т m r g = 1 2 2 , где G = − 6 6710 11 , (Нм кг гравитационная постоянная, m 1 , m 2 — массы взаимодействующих тел, r — расстояние между м. т или центрами масс тел Сила реакции G N — сила, действующая на тело со стороны опоры, или подвеса, препятствующая его движению Сила тяжести тяж составляющая силы, гравитационного взаимодействия тела с Землeй. • Вес тела — сила, приложенная к горизонтальной опоре или подвесу, которые удерживают тело от свободного падения. При неподвижной опоре (подвесе) или при их равномерном движении вес тела равен силе тяжести Третий закон Ньютона — силы взаимодействия двух материальных точек в инерциальной системе отсчета равны по модулю и противоположны по направлению 2 2 1 , , = − , где G F 1 2 , – сила, действующая на первую точку со стороны второй, G F 2 1 , – сила, действующая на вторую точку со стороны первой Сила упругости F упр = − − = − k l l k l ( ) 0 Δ , где k — коэффициент упругости тела l l 0 , − начальная и конечная его длина Сила трения возникает при взаимодействии соприкасающихся поверхностей твердых тел или слоями жидкости или газа Сила трения покоя действует между неподвижными поверхностями взаимодействующих тел и изменяется от нуля до максимального значения F тр.max = μ 0 N , где коэффициент трения покоя, N — сила реакции опоры Сила трения скольжения F тр = μN — возникает при относительном движении соприкасающихся тел, где μ — коэффициент трения скольжения Сила сопротивления F сопр ≈ βυ n , где β — коэффициент сопротивления, n — показатель степени зависящий от величины скорости Импульс тела m = υ — векторная величина, характеризующая движение тела Первый закон Ньютона — материальная точка в инерциальной системе отсчета сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на нее не действуют силы или их действие скомпенсировано. Основные положения 137 138 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Второй закон Ньютона — ускорение G a , материальной точкой в инерциальной системе отсчета прямопропорционально действующей на точку силе, обратно пропорционально массе и совпадает по направлению с силой Уравнение движения второй закон Ньютона, записанный в форме дифференциального уравнения второго порядка r dt F 2 2 G G = , где G r – радиус вектор материальной точки в инерциальной системе отсчета. |