Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
1.26 Точка движется по окружности радиусом R = 4 мс начальной скоростью мс и тангенциальным ускорением а = 1 мс. Для момента времени t = 2 с определить длину пути s и модуль вектора перемещения По окружности радиусом R = 5 м равномерно движется материальная точка со скоростью υ = мс. Определить зависимость от времени пути s (t ) и модуля вектора перемещения dr t ( от времени За время t = 6 сточка прошла путь, равный половине длины окружности радиусом R = 0,8 м. Определить в конце пути вектор и модуль мгновенной скорости G υ и среднюю скорость Движение точки по окружности радиусом R = 4 м задано уравнением А + Bt + Ct 2 , где А = 10 мВ мс, См с. Определить модули тангенциального анормального а п и полного a ускорений точки в момент времени t = 2с. 1.30 Определить скорость υ и тангенциальное ускорение а точки, движущейся по дуге окружности радиусом R = 10 м, в момент времени τ, когда нормальное ускорение точки а = 4,9 мс, а векторы полного и нормального ускорений образуют угол ϕ = Точка движется по траектории с радиусом кривизны R = 2 м согласно уравнения s (t ) = At 2 , где А = 2 мс. Определить полное ускорение аи время t, когда нормальное ускорение а точки равно тангенциальному а τ 1.32 Диск радиусом R = 10 см, начинает вращаться с постоянным угловым ускорением ε = 0,5 рад / с. Определить тангенциальное анормальное а п и полное а ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения. Задачи для контрольных работ 103 104 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 1.33 Угол вращения точек на ободе диска радиусом R = 20 см изменяется согласно уравнению ϕ(t ) = А + Bt + Ct 3 , где А = 3 рад, В = –1 рад / с, С = 0,1 рад / с. Определить тангенциальное a τ , нормальное аи полное а ускорения точек для момента времени t = 10 с. 1.34 Маховик начинает вращаться равноускоренно и за промежуток времени Δt = 10 с достиг частоты вращения ν = 300 мин. Определить угловое ускорение маховика и число N оборотов, которое он сделал за это время. 1.35 Велосипедное колесо, вращающееся с частотой ν = 5 с, остановилось через интервал времени Δt = 1 мин. Определить угловое ускорение и число N оборотов, которое сделает колесо за это время. 1.36 Колесо автомашины, вращающееся равноускоренно, сделало N = 50 полных оборотов, изменив частоту вращения от v 1 = 4 с до v 2 = 6 с –1 Определить угловое ускорение ε колеса. 1.37 Продольная подача резца токарного станка h = 0,5 мм за один оборот. Определить скорость резания υ, если за интервал времени Δt = 1 мин протачивается вал диаметром d = 60 мм на участке длиной мм. 1.38 Определить путь s, пройденный точкой за время t 1 = 5 с после начала движения, тангенциальное аи полное а ускорения для момента времени t 2 = 1 с, если нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R = 4 м, задается уравнением a n (t ) = A + Bt + + Ct 2 , где А = 1 мс, В = 6 мс, См с 4 1.39 Путь, пройденный телом по окружности радиусом R = 3 м, задается уравнением s (t ) = At 2 + Bt, где А = 0,4 мс, В = 0,1 мс. Определить нормальное а, тангенциальное a τ и полное a ускорения, для момента времени t = 1 c после начала движения. 1.40 Определить радиус вращающегося диска, если линейная скорость точки, находящейся на его ободе, в три раза больше, чем линейная скорость υ 2 точки, находящейся на ΔR= 6 см ближе к его оси. 1.41 Определить радиус R колеса, вращающегося с постоянным угловым ускорением ε = 3 рад / с 2 ,если через t = 1 c после начала движения его точки на ободе колеса движутся с ускорением а = 7,5 мс Определить угловое ускорение ε колеса и число полных оборотов N, сделанных им за t = 2 мин, если частота вращения ν 1 = 5 с уменьшилась за это время в n = 4 раза. 1.43 Определить тангенциальное анормальное аи полное а ускорения точек обода диска в момент времени t = 2 с после начала движения, если зависимость угла поворота диска, радиусом R = 10 см, задается уравнением ϕ(t ) = A + Bt + Ct 2 + Dt 3 где В = 1 рад / с, С = 1 рад / с, D = 1 рад / с 3 1.44 Определить полное ускорение а точек на ободе диска в момент времени t = 2 с после начала движения, если в этот момент их линейная скорость υ = 0,4 мс, а зависимость угла поворота радиуса диска задается уравнением ϕ( ) t At = 2 , где А = 1 рад / с 2 1.45 Точка движется со скоростью υ = 2 мс и постоянным тангенциальным ускорением а = 0,5 мс. Определить полное ускорение а точки на участке криволинейной траектории с радиусом кривизны R = 3 м. 1.46 Тело, брошенное с вышки в горизонтальном направлении, через t = 2 спадает на землю на расстоянии s = 40 мот нее. Определить его начальную υ 0 и конечную υ скорости. 1.47 Определить высоту h башни, с которой со скоростью υ 0 = 20 мс, брошен камень в горизонтальном направлении, ион упал на землю на расстоянии s = 2h от башни. 1.48 Самолет летит над целью на высоте h = 2940 м со скоростью υ = 360 км / ч. За какое время t до прохождения над целью и на каком Задачи для контрольных работ 105 106 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ расстоянии по горизонтали от нее должен самолет сбросить бомбу, чтобы попасть в цель? 1.49 Под каким углом α к горизонту брошен камень, если его дальность s полетав раза больше максимальной высоты h траектории? 1.50 Снаряд, выпущенный из орудия под углом α = 30° к горизонту, дважды был на одной и той же высоте h спустя время t 1 = 10 си с после выстрела. Определить его начальную скорость υ 0 и высоту Тело брошено со скоростью υ = 20 мс под углом α = 30°. Определить нормальное a n , тангенциальное a τ и полное a ускорение тела в момент времени t = 1,5 c после начала движения. 1.52 Определить радиус R кривизны траектории тела, брошенного горизонтально со скоростью υ 0 = 15 мс, через t = 2 c после начала дви- жения. 1.53 Тело брошено с башни высотой h = 30 м в горизонтальном направлении с начальной скоростью υ 0 = 10 мс. Определить уравнение траектории ух, скорость υ тела в момент падения на землю и угол ϕ, который вектор скорости образует с горизонтом. 1.54 Путь s, пройденный телом, задается уравнением s t At Bt ( ) = + 2 , где А = 1 мс В = 0,5 мс. Определить полное ускорение a в момент времени, когда равны модули тангенциального a τ и нормального ускорений а при радиусе кривизны R = 1 м. 1.55 Уравнение движения точки задается уравнением s t At Bt ( ) = + 3 , где А = 1 мс В = мс. Определить радиус кривизны R траектории точки в момент, когда ускорения а = 10 мс, а = 8 мс Уравнение движения точки х (t ) = Ау В, где А = 3 мс В = 1 мс, а радиус кривизны траектории R = 21 м. Определить угол α между полными нормальным ускорениями точки в момент времени с Уравнения движения точки х (t ) = Аи у (t ) = В 2 , где А = 6 мс В = 4 мс, а радиус кривизны траектории R = 10 м. Определить модули нормального тангенциального a τ , полного a ускорений точки в момент времени, когда она отстоит от начала координат на расстоянии м. 1.58 Колесо радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени движения дается уравнением υ = At + Bt 2 , где А = 3 см / си В = 1 см / с. Найти угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в моменты времени t = 0, 1, 2, 3, 4 и 5 с после начала движения. Задачи для контрольных работ 107 Глава ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Динамика изучает механическое движение тел с учетом действующих на них сил. ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА При изучении движения тел в пространстве важно выбрать такую систему отсчета, в которой бы перемещение тела в отсутствии действия на него сил происходило равномерно и прямолинейно. Ньютон, обобщая результаты опытов и наблюдений, установил, что существует система отсчета в которой тело сколько угодно долго может находиться в состоянии покоя или двигаться равномерно и прямолинейно, если другое тело не выведет его из этого состояния. Свойства тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью, а существование систем отсчета, в которых тело при отсутствии действия на него сил находится в покое или движется прямолинейно и равномерно — первым законом Ньютона или законом инерции Система отсчета, в которой выполняется закон инерции, называется инерциальной. Инерциальная система отсчета в своем составе имеет свободное тело, невзаимодействующее с другими телами (см. главу 1, п. 1.1). В природе свободных тел не существует. Однако, если в качестве свободного тела выбрать Солнце, то такая система отсчета будет инерциальной. Система отсчета, в которой свободное тело — Солнце, называется гелиоцентрической. Система отсчета, связанная с Землей из-за взаимодействия ее с Солнцем и вращения вокруг своей осине является строго инерциальной. Для решения большинства задач динамики неинерциаль- ность системы отсчета, связанной с Землей, не приводит к существенным ошибкам 2.2. Сила, масса, импульс тела 109 2.2. СИЛА, МАССА, ИМПУЛЬС ТЕЛА Опыт показывает, что изменение кинематических характеристик тел происходит только в процессе их взаимодействия с другими телами. Мерой взаимодействия тел является сила. Сила G F – это векторная величина, характеризующая взаимодействие тел, в результате которого они приобретают ускорение или де- формируются. Если на тело действуют несколько сил, то каждая из них сообщает ему такое же ускорение, что и при отсутствии других сил (принцип независимости действия сил или принцип суперпозиции). Действие на тело n сил эквивалентно действию одной равнодействующей силы G F p . Направление равнодействующей силы определяется векторным (геометрическим) сложением всех сил, действующих на тело рис 2.1). G G F F p i i n = ∑ =1 . (Модуль равнодействующей силы 2 2 , (где F F px ix i n = ∑ =1 , F F py iy i n = ∑ =1 , F F pz iz i n = ∑ =1 — проекции равнодействующей силы на координатные оси, равные алгебраической сумме соответствующих проекций ее составляющих сил. Масса m — положительная скалярная величина, являющаяся мерой инертности тел в их поступательном прямолинейном движении. В классической механике (механике Ньютона) масса аддитивна масса m любой системы м. т. равна сумме масс всех точек этой системы, не зависит от скорости, температуры, агрегатного состояния, электрических и магнитных свойств тела. В системе СИ масса измеряется в килограммах (кг). 3 F G px F G py F G 1 F G 2 F G p F G X Y 2 F G 3 F G Рис. 2.1 110 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Масса тела определяется по формуле, (где ρ = = → lim Δ Δ Δ V m V dm dV 0 – плотность вещества, V — объем тела. Для однородного тела = Импульс (количество движения) тела — это векторная величина, являющаяся мерой механического движения, равная произведению массы тела на его скорость Направление вектора импульса G p совпадает с вектором скорости G υ движущегося тела m = υ . (2.4) 2.3. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА Второй закон динамики впервые сформулировал Ньютон геометрическое приращение количества движения тела, отнесенное к единице времени действия на него силы, равно этой силе m dt dp dt F ( ) G G G υ = = . (Если последнее равенство записать в виде dp G = G Fdt , в котором произведение называется импульсом силы, то второй закон Ньютона читается как изменение импульса тела равно импульсу, действующей на него силы. Для тела с постоянной массой импульс силы G G Fdt md = υ , что позволяет определить зависимость ускорения от силы G F md dt ma F G G G υ = = , G G a F m = . (Из последнего равенства следует ускорение тела прямо пропорционально действующей на тело силе, обратно пропорционально массе и совпадает по направлению с силой Второй закон Ньютона справедлив для инерциальных систем отсчета. Масса m в равенствах (2.5 и 2.6) называется инерциальной, является мерой инертности тела, которое под действием конечной силы G F , приобретает конечное ускорение G a , а в отсутствии ее находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно. Для тела, у которого масса изменяется стечением времени (например, при полете ракеты) G G G G F d dt m m d dt dm dt = = + ( ) υ υ υ Соотношение (2.6) используется для определения единицы измерения силы. В системе единиц СИ масса m измеряется в кг, ускорение а в мс. Единица измерения силы — кг · мс, называется ньютон (Н. Один ньютон — это такая сила, под действием которой тело массой 1 кг приобретает ускорением с. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Второй закон Ньютона, записанный в дифференциальной форме или m d r dt F 2 2 G G = , (называется основным уравнением динамики материальной точки. С помощью уравнений (2.7) решаются задачи по известной зависимости от времени радиус-вектора G r t ( ) и заданной массе определяется результирующая сила по известным начальным значениям скорости G υ 0 , радиус-век- тора G r 0 , массы m и действующей на точку результирующей силы определяется зависимость от времени ее радиус-вектора G r t ( Впервой задаче проводится дифференцирование G r t ( ) повремени, во второй — интегрирование. Задачи решаются в скалярной форме с помощью проекций векторов G G G r F , на координатные оси X, Y, Z или на касательную τ и нормаль n в заданной точке траектории. В проекциях на координатные оси уравнения (2.7) имеют вид r dt F x x 2 2 = , m d r dt F y y 2 2 = , m d r dt F z z 2 2 = или 2.3. Второй закон Ньютона 111 112 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ, m d dt F y y υ = , где r r r F F F x y z x y z x y z , , , , , , , , υ υ υ — проекции векторов G G G r F , , υ на координатные оси. В проекциях на касательную и нормаль в заданной точке траектории уравнения (2.7) записываются в виде, m R F n υ 2 = , (где d dt a υ τ τ = , υ 2 R a n = — касательное и нормальное ускорение, G G τ,n — подвижные взаимно-перпендикулярные орты, F τ , F n — проекции вектора результирующей силы G F на орты G G τ,n 2.5. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия. Опыт показывает, что одно тело действует на другое с силами, совпадающими по модулю и противоположными по направлению (рис. Это опытное наблюдение сформулировано Ньютоном в виде третьего закона динамики силы, с которыми взаимодействуют тела равны по величине G F F 1 2 2 1 , , = и противоположны по направлению 2 2 1 , , = − . (2.9) G F 1 где G F 1 2 , — сила, действующая на первое тело со стороны второго, G F 2 1 , — сила, действующая на второе тело со стороны первого. Поскольку силы взаимодействия приложены к разным телам, то они не могут вызывать их перемещение водном направлении. Силы взаимо- действия проявляются в паре, приложены к взаимодействующим телами являяются силами одной природы. Направление ускорений взаимодействующих тел противоположно (рис. В третьем законе Ньютона предполагается, что обе силы равны по модулю в любой момент времени независимо от движения точек. Это 1 , 2 F G 2 , 1 F G 2 1 а а G G 1 m 2 m Рис. 2.2 утверждение соответствует ньютоновскому представлению о мгновенном распространении взаимодействий, которое носит название принципа дальнодействия. Согласно этому принципу взаимодействие между телами распространяется в пространстве с бесконечно большой скоростью. |