Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
Задача Тело брошено вертикально вверх со скоростью. Определить максимальную высоту подъема тела h и скорость υ при его па- дении. Дано: Найти h, Тело движется прямолинейно с ускорением свободного падения g. Для равнопеременного прямолинейного движения ивы- бранного направления оси У и начала координат зависимость координаты и проекции скорости от времени запишем в виде t t gt t gt y ( ) ( ) = − = − ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ υ υ υ 0 2 0 2 (В точке максимального подъема тела y = h, а υ y h t ( ) = 0 , где t h — время подъема тела. Тогда, υ y (t h ) = υ 0 – gt h = 0 и t h = υ 0 g h y = h Y 0 υ y 0 υ G y = 0 υ G g G Из уравнения (1) при t = t h максимальная высота подъема тела ⋅ = υ υ υ υ υ 0 2 0 0 0 2 2 0 2 2 2 Время полета пол определяется из равенства y (пол 2 0 2 0 пол пол пол = Проекции скорости на ось ОУ = пол υ gt 0 , υ υ υ υ C g g = − = − 0 0 0 где знак минус указывает направление скорости G υ , противоположное оси ОУ. Ответ: h g = υ 0 2 2 , υ Вопросы и задания для самопроверки. От каких кинематических характеристик зависит форма траектории движениям. т. Запишите зависимость координат от времени м. т, движущейся по прямой линии, параболе. Для тела, брошенного со скоростью υ 0 под углом α к горизонту, определите зависимость его модуля перемещения от времени полета. Выведите соотношения между линейными и угловыми характеристиками вращательного движения материальной точки. От каких кинематических характеристик зависит радиус кривизны траектории. Определите линейный и угловой путь точки, совершившей n оборотов по окружности радиуса R, с постоянной угловой скоростью. Кинематика равномерного вращательного движения 93 94 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Система отсчета состоит из тела отсчета, жестко связанной с ним системы координат и часов Материальная точка — макроскопическое тело, размерами которого пренебрегают в соответствии с условиями задачи Траектория движения материальной точки — совокупность всех ее последовательных положений в пространстве Вектор перемещения Δ G G G r r r = − 2 1 — изменение радиус-вектора в заданной системе отсчета Путь s — длина участка траектории материальной точки за некоторый интервал времени t. • Мгновенная скорость = = → Δ Δ Δ t r t dr dt 0 lim — векторная величина, характеризующая быстроту изменения радиус-вектора G r • Ускорение векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости G υ • Касательное (тангенциальное) ускорение a d dt τ υ = —составляющая полного ускорения, определяющая изменение скорости по модулю и направлена по касательной к траектории Нормальное ускорение υ — составляющая полного ускорения, направленная к центру кривизны траектории Равномерное прямолинейное движение — движение с постоянной скоростью Равнопеременное прямолинейное движение движение с постоянным ускорением G a • Криволинейное движение движение по криволинейной траектории с изменяющимися векторами касательного G a τ и нормального ускорений G a n • Вращательное движение движением. т. по окружности, характеризующееся векторами угловой скорости G ω и углового ускорения, модуль которых связан с линейной скоростью м. т. соотношениями Вектор угловой скорости G G ω ϕ = d dt определяет скорость изменения угла поворота точки Вектор углового ускорения G G ε ω = d dt определяет изменение угловой скорости G ω • Угловой путь м. т ϕ ω ε − = ± 0 0 2 2 t t , где ϕ 0 и ω 0 – угол и угловая скорость при t = 0. Знак плюс соответствует равноускоренному вращению, а минус равнозамедлен- ному. ОБОЗНАЧЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ГЛАВЕ 1 x, y, z – координаты G G i j k , , – орты координат – радиус-вектор C – кривизна траектории – радиус кривизны вектор перемещения Обозначения, используемые в главе 1 95 96 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ вектор мгновенной скорости вектор средней скорости – путь вектор ускорения вектор среднего ускорения вектор касательного ускорения вектор нормального ускорения G τ,n – единичные вектора ускорение свободного падения угловой вектор вектор угловой скорости вектор углового ускорения ТЕСТЫ ДЛЯ ЭЛЕКТРОННОГО ЭКЗАМЕНА Т1.1. Если уравнение движения точки G G G r At i B t j = + ( ) 2 sin π , где А = 1 мВ м, то ее модуль скорости через 1 с после начала движения равен) 3,5 мс мс) мс мс) мс Т Если уравнение движения точки G G G r At i B t j = + ( ) 2 sin π , где А = 1 мВ м, то модуль её ускорения в момент времени 1 сот начала движения равен) 2,0 мс мс мс мс мс Т Если уравнение движения точки хм, то модуль её ускорения равен) –3 мс мс мс мс мс Т Если уравнение движения точки хм, то её перемещение за время 2 сот начала движения равном мм м Т1.5. Если уравнение движения точки хм, то путь, пройденный точкой за 2 с, равен) 7 мм мм м Т Если автомобиль первую половину пути двигался со скоростью км / ч, а вторую 120 км / что средняя скорость равна) 90 км / ч 2) 80 км / ч 3) 70 км / ч 4) 85 км / ч 5) 60 км / ч Т1.7. Если автомобиль первую половину времени двигался со скоростью км / ч, а вторую 120 км / что средняя скорость на всём участке пути равна) 90 км / ч 2) 80 км / ч 3) 70 км / ч 4) 85 км / ч 5) 60 км / ч Т1.8. Если тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью мс, то средняя скорость движения за все время движения до падения тела в точку броска равна) мс мс) мс мс) мс Т Если тело, двигаясь равноускоренно, достигает скорости 40 мс, то средняя скорость на всём пути равна) 20 мс мс мс мс мс Т Если тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью мс, то среднее ускорение движения за время до падения тела в точку броска равном см см см см с 2 Т1.11. Если тело движется в пространстве с ускорением G G G G a i j k = + + 2 3 4 , то его модуль равен) 9,0 мс мс мс мс мс Т Если зависимость пути, пройденного телом по окружности радиусом 3 м задаётся уравнением s = At 2 + Bt, где A = 0,4 мс мс, то касательное ускорение равном см см см см с 2 Т1.13. Если зависимость пути, пройденного телом по окружности радиусом 3 м задаётся уравнением s = At 2 + Bt, где A = 0,4 мс мс, то его нормальное ускорение через 1 с после начала движения равном см см см см с 2 Т1.14. Если зависимость пути, пройденного телом по окружности радиусом 3 м задаётся уравнением s = At 2 + Bt, где A = 0,4 мс мс, то модуль ускорения через 1 с после начала движения равен) 0,41 мс мс мс мс мс Тесты для электронного экзамена 97 98 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Т1.15. Если тело, двигаясь равномерно и прямолинейно, за 2 с переместилось из точки с координатой 12 м в точку с координатой 24 м, то скорость тела равна) 12 мс мс мс мс мс Т Если координаты тел, движущихся по прямой линии навстречу друг другу, изменяются со временем х = A — В, х = С + Dt, где А = 68 мм с, См мс, то они встретятся в момент времени, равный) 8 с 2) 10 с 3) 12 с 4) 6 с 5) 4 с Т1.17. Если координаты тел, движущихся по прямой линии навстречу друг другу, изменяются со временем х = A — В, х = С + Dt, где А = 68 мм с, См м / c, то координата их встречи равна) 8 мм мм м Т1.18. Из пункта А движутся два автомобиля. Если один в начальный момент времени уже имеет скорость 60 км / ч и сохраняет равномерное движение, а второй начинает движение с ускорением 2 мс, то второй автомобиль догонит первый за время) 8 с 2) 17 с 3) 30 с 4) 60 с 5) 10 с Т1.19. Из пункта А движутся два автомобиля. Один в начальный момент времени уже имеет скорость 60 км / ч и движется равномерно, а второй движется с ускорением 2 мс, то путь пройденный им, когда он поравняется с первым, равен) 64 мм мм м Т1.20. Если автомобиль при экстренном торможении за 2 с уменьшил скорость с 72 км / ч до 36 км / что за это время он прошел путь равный) 30 мм мм м Т1.21. Если автомобиль при торможении за 2 с уменьшил скорость от 72 км / ч до 36 км / что его путь до полной остановки равен) 30 мм мм м Т1.22. Если координата точки х (t) =10 + 6t – 6t 2 , то скорость будет равна нулю через время) 0,5 с 2) 0,2 с 3) 0,3 с 4) 0,6 с 5) 1,2 с Т1.23. Если угол поворота колеса задается уравнением ϕ = At, где А = 0,5 рад / сто его угловая скорость равна) 0,5 рад / с 2) 0,2 рад / с 3) 0,3 рад / с 4) 0,4 рад / с 5) 1,2 рад / с Т Если угол поворота колеса вагона при торможении изменяется согласно уравнению ϕ = − 8 1 5 2 t t , , то его угловая скорость через с после начала торможения равна) 6,5 рад / с 2) 5,0 рад / с 3) 1,5 рад / с 4) 6,0 рад / с 5) 7,5 рад / с Т1.25. Если угол поворота колеса диаметром 0,5 м задаётся уравнением ϕ = At, где А = 0,5 рад / сто линейная скорость точек на его ободе равна) 1 мс мс мс мс мс Т Если угол поворота колеса вагона при торможении изменяется согласно уравнению ϕ = − 8 1 5 2 t t , , то модуль его углового ускорения равен) 1,5 рад / с 2) 3 рад / см см с 5) 2,5 рад / с 2 Т1.27. Если угол поворота колеса вагона диаметром 0,5 м изменяется по закону ϕ = − 8 1 5 2 t t , , то модуль вектора касательного ускорения точки обода колеса равен) 1,5 мс мс мс мс мс Т Если угол поворота колеса вагона диаметром 0,5 м изменяется по закону ϕ = − 8 1 5 2 t t , , то нормальное ускорение точек обода колеса в момент времени с равном см см см см с 2 Т1.29. Если угол поворота колеса вагона диаметром 0,5 м изменяется по закону ϕ = 8t – 1,5t 2 , то ускорение точек обода колеса в момент времени с равном см см см см с 2 Т1.30. Если автомобиль движется по закругленному участку дороги и его путь определяется уравнением s = A + Bt + Ct 3 , где А = 10 мВ мс, См сто его путевая скорость в момент времени 1 с равна) 8,0 мс мс мс мс мс Т Если автомобиль движется по закругленному участку дороги, имеющему радиус кривизны 100 ми путь определяется уравнением, где А = 10 мВ мс, См сто его ускорение в момент времени 1 с равном см см см см с 2 Т1.32. Если поезд движется равнозамедленно по дуге окружности радиусом 1 км и проходит путь 1 км, имея начальную скорость 54 км / ч, а конечную 18 км / что его полное ускорение вначале дуги равном см см см см с 2 Тесты для электронного экзамена 99 100 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 1.1 Определить среднюю путевую скорость υ ср движения студента на всем пути, если он проехал половину всего путина велосипеде со скоростью υ 1 = 16 км / ч, вторую половину оставшегося времени со скоростью км / ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью υ 3 = 5 км / ч. 1.2 Определить модуль средней скорости м. т. за промежуток времени от начала её движения, если скорость υ(t) = A + Bt + Ct А = 1 мс, В = 2 м / c 2 , См с 3 1.3 Определить глубину h колодца, если при падении камня его удар о поверхность воды доносится через t = 5 c от начала падения. Скорость звукам с. 1.4 Определить в интервале времени, от t 1 = 1 c до t 2 = 4 c среднюю путевую скорость υ ср и среднее ускорение а ср тела, если зависимость пройденного им пути от времени задается уравнением s = Bt + Ct 2 + Dt В = 3 мс, См см с 3 1.5 Через какое время после начала движения тела его ускорение а = мс, если зависимость пройденного им пути задается уравнением где См с 2 1.6 Определить ускорение а тела, движущегося равноускоренно сна- чальной скоростью υ 0 , если за время t = 2 c оно прошло путь s = 16 м, а его скорость в конце пути υ = 3 За какое время t от начала движения и какое расстояние s пройдет тело, когда его ускорение а = 27 мс, а его скорость изменяется согласно уравнению Bt Ct ( ) = + + 2 , где А = 1 мс В = 3 мс См с 3 . 1.8 Тело движется согласно уравнению x (t) = A + Bt + Ct 2 + Dt 3 , где В = 2 мс См см с. Определить путь s и промежуток времени Δt, пройденный телом в течение которого его ускорение возрастет сам с до а = 11 мс Скорости двух тел, движущихся вдоль оси Ox, изменяются согласно уравнениями, где А = 2 мс В = 5 мс А = 10 мс В = 1 мс С = См с. Определить ускорения аи а тел и момент времени t, когда первое тело догонит второе, если их начальные координаты х = 0, х = 10 м. 1.10 Тело движется в течение времени t = 3 с согласно уравнению x (t) = A + Bt + Ct 2 , где А = 1 мВ мс См с. Определить среднюю скорость за первую половину пути υ cp.1 и за третью секунду движения υ cp. Две точки движутся согласно уравнениям x 1 (t) = A 1 + B 1 t + C 1 t 2 + + D 1 t 3 , x 2 (t ) = A 2 + B 2 t + C 2 t 2 + D 2 t 3 , где В = 1 мс См см с, где В = 2 мс См см. Определить время, скорости точек υ , когда их ускорения окажутся одинаковыми. 1.12 Точки движутся согласно уравнениями где В = 1 мс См См с. Определить время t и ускорения точек в момент, когда скорость первой будет равна нулю. 1.13 Две точки движутся вдоль оси ОХ имея начальные координаты хм хм. Скорость первой из них изменяется согласно уравнению υ 1 2 ( ) t Bt Ct = − , где В = 8 мс См с, а скорость второй постоянна и равна υ 2 = 12 мс. Определить расстояние s между точками, когда их ускорения будут одинаковыми. 1.14 Две точки движутся согласно уравнениями В, где В = 1 мс См с В = 2 мс. Определить скорости точек в момент времени t, когда их ускорения одинаковы. 1.15 Движения двух материальных точек задаются уравнениями х (t ) = B 1 t + C 1 t 2 , х (t ) = B 2 t 2 + C 2 t 3 , где В = 8 мс, В = мс, Задачи для контрольных работ 101 102 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ С 1 = мс, См с Определить скорости υ 1 и ускорения аи а точек в момент времени t, когда их скорости будут одинако- выми. 1.16 С какой высоты h упало тело, если последний отрезок своего пути Δh = 1 м оно прошло за время t = 0,1 с? 1.17 Тело падает с высоты h = 1200 м. Какой путь s пройдет тело за последний интервал времени Δt = 1 с? 1.18 Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью υ 0 = 20 мс. Определить скорость тела на высоте h = 15 м. 1.19 Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h = 8,6 м два раза с интервалом Δt = 3 с. Определить начальную скорость тела Движение точки задано уравнениями x (t ) = A 1 t 3 и y (t ) = A 2 t, где А = 1 мс А = 2 мс. Определить скорость υ и полное ускорение a точки в момент времени t = 0,8 с. 1.21 Определить для момента времени t = 1 с модуль скорости υ и модуль ускорения а, если радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону G G G r t At i Bt j ( ) = + 3 2 где А = 1 мс, В = 3 мс Определить направления векторов скорости G υ , ускорение и их модули в момент времени t = 2 с, если радиус-вектор материальной точки G G G G r t At i Btj Ck ( ) = + + 2 , где А = 4 мс, В = 3 мс, С = 2 м. 1.23 Записать уравнение траектории материальной точки ух, радиус- вектора r (t ), скорости υ(t ) и ускорения a (t ), если движение материальной точки в плоскости ХOУ определяется уравнениями x (t ) = At; y (t ) = At (1 + Bt ), где Аи В — положительные постоянные. 1.24 С балкона бросили тело вертикально вверх с начальной скоростью υ 0 = 5 мс, котороечерез t = 2 с упало на землю. Определить высоту h балкона и скорость υ тела в конце своего полета Точка движется по прямой согласно уравнению х (t )=At + Bt 3 , где А = 6 мс, В = –0,125 мс. Определить среднюю скорость υ cp точки в интервале времени от t 1 = 2 с до t 2 = 6 с. |