Главная страница
Навигация по странице:

  • 1.9. ВЫРАЖЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ СОМНОЖИТЕЛЕЙ

  • 1.11. ВЫРАЖЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ СОМНОЖИТЕЛЕЙ

  • 1.12. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

  • 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

  • 2.1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

  • 2.5. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ И ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Для нахождения производных пользуются таблицей производных элементарных функций.Таблица производных элементарных функций

  • Функция Производная Функция Производная С постоянная МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕФункция Производная Функция Производная

  • Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си


    Скачать 4.22 Mb.
    НазваниеТесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
    Дата15.03.2022
    Размер4.22 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаФизика. Механика.pdf
    ТипТесты
    #397679
    страница3 из 40
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   40
    Задача Человек тянет сани, прикладывая силу F = 10 Н под углом α = 30° к горизонту. Под действием этой силы сани перемещаются горизонтально со скоростью v = 5 мс. Найти мощность P, развиваемую силой.
    Дано: F = 10 Нм с.
    Найти: Р.
    Мощность P =
    G
    F

    G
    v
    = F ⋅ v ⋅ cosα =
    = 10 ⋅ 5 ⋅ cos30° = 10 ⋅ 5 ⋅
    3 2
    = 42 Вт.
    Ответ: развиваемая силой мощность P = 42 Вт.
    Задача Рамка площадью S = 1 м расположена в однородном магнитном поле с индукцией В = 10
    –3
    Тл так, что между векторами нормали
    G
    n
    и индукции
    G
    B
    угол α = 60°. Определить поток Ф вектора
    G
    B
    через рамку.
    Дано: S = 1 мВ Тл.
    Найти: Ф.
    По определению магнитного потока Ф = В ⋅ S ⋅ cosα = 10
    –3
    ⋅ 1 ⋅ cos60° = 0,5 ⋅ 10
    –3
    Вб.
    Ответ: магнитный поток Ф = 0,5 ⋅ 10
    –3
    Вб.

    1. Векторная алгебра
    27
    1.9. ВЫРАЖЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ СОМНОЖИТЕЛЕЙ
    Если известны координаты двух векторов
    G
    a
    1
    = {a
    x1
    , a
    y1
    , a
    z1
    } и
    G
    a
    2
    = {a
    x2
    , a
    y2
    , a
    z2
    }, то скалярное произведение этих векторов ⋅
    G
    a
    2
    = a
    x1
    a
    x2
    + a
    y1
    a
    y2
    + a
    z1
    a
    z2
    . (Примеры решения задач

    Задача Найти длины векторов
    G
    a
    1
    = {3, 2, 1} и
    G
    a
    2
    = {2, –3, 0} и их скалярное произведение.
    Дано:
    G
    a
    1
    = {3, 2, 1};
    G
    a
    2
    = {2, –3, 0}. Найти |
    G
    a
    1
    |, |
    G
    a
    2
    |,
    G
    a
    1
    ⋅ Искомые длины
    | =
    G
    a
    1 2
    =
    3 2
    1 2
    2 2
    + +
    =
    14
    ,
    |
    G
    a
    2
    | =
    G
    a
    2 2
    =
    2 3
    0 2
    2 2
    + −
    ( )
    +
    =
    13
    ,
    G
    a
    1

    G
    a
    2
    = 3 ⋅ 2 +2 ⋅ (–3) + 1 ⋅ 0 = Значит, векторы
    G
    a
    1 и
    G
    a
    2
    перпендикулярны.
    Ответ: |
    G
    a
    1
    | =
    14
    , |
    G
    a
    2
    | =
    13
    , скалярное произведение
    G
    a
    1

    G
    a
    2
    = Задача Найти угол α между векторами
    G
    a
    1
    = {–2, 1, 2} и
    G
    a
    2
    = {–2, –2, Дано
    G
    a
    1
    = {–2, 1, 2};
    G
    a
    2
    = {–2, –2, 1}. Найти (
    G
    a
    1
    ,^
    G
    a
    2
    ) = Длины векторов
    | =

    ( )
    + +
    2 1
    2 2
    2 2
    = 3,
    |
    G
    a
    2
    | =

    ( )
    + −
    ( )
    +
    2 2
    1 2
    2 2
    = Скалярное произведение = (–2) ⋅ (–2) +1 ⋅ (–2) + 2 ⋅ 1 = Так как
    G
    a
    1

    G
    a
    2
    = |
    G
    a
    1
    | ⋅ |
    G
    a
    2
    | ⋅ cos(
    G
    a
    1
    ,^
    G
    a
    2
    ), тот. е. α = arccos
    4 9
    ⎛ ⎞
    ⎜ ⎟
    ⎝ ⎠
    ≈ Ответ угол между векторами α ≈ 63°37′.

    28 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

    Векторным произведением вектора
    G
    a
    (множимое) на непараллель- ный с ним вектор
    G
    b
    (множитель) называется третий вектор
    G
    c
    (произведение, который определяется следующим образом) модуль |
    G
    c
    | численно равен площади параллелограмма (АОВL на рис. 1.18), построенного на векторах
    G
    a
    и
    G
    b
    ,
    |
    G
    c
    | = |
    G
    a
    | ⋅|
    G
    b
    | ⋅ sin(
    G
    a
    1
    ,^
    G
    a
    2
    ); (1.20)
    2) линия, вдоль которой направлен вектор
    G
    c
    , перпендикулярна плоскости упомянутого параллелограмма) направление вектора
    G
    c
    выбирается так, чтобы векторы
    G
    a
    ,
    G
    b
    и
    G
    c
    составляли правую систему, те. вектор
    G
    c
    направлен в такую сторону, из которой переход вращением от первого вектора — сомножителя
    G
    a
    ко второму вектору-сомножителю
    G
    b
    через наименьший угол виден против хода часовой стрелки.
    Обозначения:
    G
    c
    =
    G
    a
    ×
    G
    b
    или
    G
    c
    = [
    G
    a
    ,
    G
    b
    ].
    1.11. ВЫРАЖЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ СОМНОЖИТЕЛЕЙ
    Если известны координаты двух векторов
    G
    a
    = {a
    x
    , a
    y
    , a
    z
    } и
    G
    b
    = {b
    x
    ,
    b
    y
    , b
    z
    }, то векторное произведение этих векторов,
    G
    b
    ] = (a
    y
    b
    z
    a
    z
    b
    y
    )
    G
    i
    + (a
    z
    b
    x
    a
    x
    b
    z
    )
    G
    j
    + (a
    x
    b
    y
    a
    y
    b
    x
    )
    G
    k
    . (1.21)
    1.12. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
    В физике многие величины определяются как векторное произведение других величин. Так, моментом силы
    G
    F
    относительно неподвижной точки Она- зывается вектор
    G
    M
    , равный векторному произведению радиус-век- тора
    G
    r
    , проведенного из точки О в точку приложения силы, и вектора силы Рис. 1.18

    1. Векторная алгебра
    29
    G
    G G
    M
    r F
    = [ , ]
    (На рисунке 1.19 векторы и
    G
    F
    лежат в горизонтальной плоскости, а вектор момента силы
    G
    M
    перпендикулярен плоскости перемножаемых векторов и направлен вверх. Моментом импульса
    G
    p
    относительно неподвижной точки Она- зывается вектор
    G
    L
    , равный векторному произведению радиус-векто- ра
    G
    r
    , проведенного из точки О к материальной точке, обладающей импульсом
    G
    p
    G
    G G
    L
    r p
    = [ , ]
    (На рисунке показано, что тело движется по окружности против часовой стрелки. Так как импульс
    G
    p
    =
    mv
    G
    , где m — масса тела,
    G
    v
    — его скорость, он, как и вектор
    G
    v
    , направлен пока- сательной к траектории. По правилу векторного произведения двух векторов и
    G
    p
    результирующий вектор
    G
    L
    лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости перемножаемых векторов, и направленна нас, так как векторы
    G
    r
    ,
    G
    p
    ,
    G
    L
    составляют правую систему. Изучая электромагнетизм, вы познакомитесь с силой Лоренца
    [ , Л v B

    =
    G
    G
    G
    , действующей на заряд q, движущийся со скоростью
    G
    v
    в магнитном поле На рис. 1.21 положительно заряженная частица с зарядом q движется вправо. Магнитное поле направлено на нас. Сила Лоренца Л лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости перемножаемых векторов
    G
    v
    и
    G
    B
    , и направлена вниз. Мо-
    Рис. Рис. Рис. 1.21

    30 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
    дуль силы Лоренца Л = qvB ⋅ sinα, где α — угол между векторами и
    G
    B
    4. Сила Ампера
    G
    F
    A
    = I [
    G
    l
    ,
    G
    B
    ] действует на проводник длиной l стоком, помещенный в поле с магнитной индукцией
    G
    B
    . Модуль силы Ампера F
    A
    =
    I
    l
    B
    sinα, где α − угол между направлением тока и вектором На рис. 1.22 ток I течет слева направо, магнитное полена- правлено вверх. Вектор А перпендикулярен плоскости рисунка (в ней лежат перемножаемые векторы и
    G
    B
    ) и направленна нас из плоскости рисунка.
    Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение векторного произведения двух векторов. В каком случае модуль векторного произведения двух векторов положителен Равен нулю. Изменится ли направление и модуль векторного произведения двух векторов, если поменять местами перемножаемые векторы. Возможна ли ситуация, когда модули векторного и скалярного произведений одних и тех же векторов равны Если ваш ответ утвердительный, приведите пример.
    Рис. 1.22

    2. Дифференциальное исчисление функции действительной переменной
    31
    2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
    Цель этого раздела — исследование поведения функции y = y (x) в окрестности точки x.
    2.1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
    Функция y = y (x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение функции Δy можно представить в виде = А ⋅ Δx + о (Δx), (где Ане зависит от Δx, но при этом зависит от x, а о (Δx) − бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δy, те о x

    x
    Δ →
    Δ

    ⎞ Главная, линейная по Δx, часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке x и обозначается = А ⋅ Δx. (Найдем А, учитывая, что Ане должно зависеть от Δx; при этом пусть приращение Δx стремится к нулю А
    =
    Δ
    Δ
    Δ
    Δ
    y
    x
    o x
    x

    ( )
    ; (2.3)
    lim
    Δx
    A A

    =
    0
    ; (2.4)
    А
    = lim
    ( )
    lim
    Δ
    Δ
    Δ
    Δ
    Δ
    Δ
    Δ
    Δ
    x
    x
    y
    x
    o x
    x
    y
    x




    ⎝⎜

    ⎠⎟
    =
    0 0
    . (Производной функции y = y (x) в точке x называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx при стремлении последнего к нулю lim
    Δ
    Δ
    Δ
    x
    y
    x
    →0
    (при условии, что он существует).
    Принято обозначать = ′
    ( )
    =
    =
    +
    (
    )

    ( )


    y
    y x
    y
    x
    y x
    x
    y x
    x
    x
    x
    lim lim
    Δ
    Δ
    Δ
    Δ
    Δ
    Δ
    0 0
    . (2.6)

    32 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
    Для дифференцируемости функции необходимо и достаточно существование производной

    ( )
    y x
    . При этом =

    y
    dx. (Поэтому процесс нахождения производной также называют дифференцированием. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

    Как видно из рис. 2.1, тангенс угла наклона секущей АВ
    tg
    ϕ =
    =
    =
    +

    BC
    AC
    y
    x
    y x
    x
    y x
    x
    Δ
    Δ
    Δ
    Δ
    (
    )
    ( )
    . (При Δx → 0 секущая АВ стремится к положению касательной А тогда tgϕ = y ′(x), где
    ϕ — угол наклона касательной к графику функции в точке Значение

    ( )
    y x
    0
    позволяет записать уравнение касательной к кривой y = y (x) в точке x
    0
    :
    yy
    0
    =

    ( )
    y x
    0
    ⋅ (xx
    0
    ), (а также уравнение нормали – y
    0
    = –
    1 0

    ( )
    y x
    ⋅ (xx
    0
    ), при

    ( )
    y x
    0
    ≠ 0 При

    ( )
    y x
    > 0 в точке x функция является возрастающей, а при

    ( )
    y x
    <0 — убывающей. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

    Как было получено, приращение функции = dy + о (Δx). (При Δx → 0, Δy ≅ Таким образом, линейное приращение функции можно оценивать по дифференциалу Рис. 2.1

    2. Дифференциальное исчисление функции действительной переменной Вернемся к рис. 2.1: Δy = ВС; о (Δx) = В dy = .
    Как видно, дифференциал функции графически изображается приращением ординаты касательной. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
    Понятие производной введено Г. Лейбницем (Германия) и И. Ньютоном (Великобритания) в конце XVII века практически одновременно. Лейбниц решал геометрическую задачу о проведении касательной к плоской кривой. Ньютон же рассматривал движение точки и ввел понятие скорости в данный момент времени. Так как значение производной от функции в данной точке характеризует скорость изменения функции в этой точке по сравнению со скоростью возрастания независимой переменной, можно использовать понятие производной при определении скорости различных процессов.
    Замечания
    1. Для независимой переменной x по определению dx = Δx.
    2. Наряду с обозначением y ′ используют запись y ′=
    dy
    dx
    3. В физике для производной повремени приняты следующие обозначения = x (t);
    x
    dx
    dt
    =
    2.5. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ И ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
    Для нахождения производных пользуются таблицей производных элементарных функций.
    Таблица производных элементарных функций
    Функция
    Производная
    Функция
    Производная
    С постоянная МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
    Функция
    Производная
    Функция
    Производная
    1
    x
    n

    +
    n
    x
    n 1
    (5)
    tg x
    1 2
    cos x
    (15)
    x
    1 2
    x
    (6)
    ctg x

    1 2
    sin x
    (16)
    x
    n
    1 1
    n
    x
    n
    n


    (7)
    arcsin x
    1 1
    2
    − е хе ха ха ха Существуют следующие основные правила дифференцирования (здесь С — постоянная, аи функции от x, имеющие производные (Приведем примеры нахождения производных.
    Пример 1. Найти производную от функции
    y
    x
    x
    x
    =

    +

    5 2
    3 4
    3 Основываясь на формуле (2.13), имеем =
    ( )
    ′ −
    ( )
    ′ +
    ( )
    ′ −
    ( )

    y
    x
    x
    x
    5 2
    3 4
    3 Далее, применяя формулы (2.12) и (2.14), получаем =
    ( )
    ′ −
    ( )
    ′ +
    ( )

    y
    x
    x
    x
    5 2
    3 Продолжение табл

    2. Дифференциальное исчисление функции действительной переменной Наконец, пользуясь формулой (3) из таблицы, приходим кокон- чательному результату = ⋅
    − ⋅
    + ⋅
    y
    x
    x
    5 3 2 2 3 1 2
    , или
    ′ =

    +
    y
    x
    x
    15 4
    3 Пример 2. Дано
    y
    x
    x
    =
    3
    cos
    . Найти По правилу дифференцирования произведения функций (2.15) получаем =

    (
    )
    +
    y
    x
    x
    x
    x
    3 2
    3
    sin cos
    , или
    ′ = −
    +
    y
    x
    x
    x
    x
    3 2
    3
    sin Здесь применялись формулы (3) и (14) из таблицы. ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
    Приведенные в предыдущем параграфе правила и формулы дифференцирования позволяют находить производные от функций только в самых простых случаях. Знания этих правили формул недостаточно для дифференцирования функций более сложного вида, таких, например, как y (t) =
    16 9
    2
    t
    +
    или y (t) = 3 cos2πt. В подобных случаях пользуются более общими формулами дифференцирования, основанными на теореме о производной функции от функции.
    Пусть y есть функция от u: y = f (u), где u в свою очередь функция от аргумента x: u = ϕ(x); в таком случае говорят, что y есть функция от функции. Очевидно, можно записать y = f (ϕ(x)). Если существуют производные

    f
    u
    =

    ( )
    f u
    и

    u
    x
    = ′
    ( )
    ϕ x
    , то существует и производная от y по x, причем имеет место равенство = ′⋅ ′
    y
    f u
    u
    x
    . (Индексы указывают, по какой переменной производится дифференцирование. Покажем, как пользоваться формулой (Пример 1. Найти

    y
    , если
    y
    x
    x
    =
    +
    +
    (
    )
    2 8
    5 Полагая
    u
    x
    x
    =
    +
    +
    2 5
    7
    , имеем
    y u
    =
    8
    . По формуле (3)
    ′ =
    +
    (
    )
    y
    u
    x
    8 2
    5 7
    , или, окончательно
    ′ =
    +
    +
    (
    )
    +
    (
    )
    y
    x
    x
    x
    8 5
    7 2
    5 Пример 2. Найти

    y
    , если
    y
    x
    x
    =
    +
    +
    (
    )
    ln
    3 Принимая в данном случае за u =
    x
    x
    3 7
    2
    +
    +
    и пользуясь формулой, получаем
    ′ =
    +
    +
    +
    y
    x
    x
    x
    3 7
    7 2
    2 3

    36 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
    Многие физические величины определяются как производные повремени от других физических величин. Например, скорость
    G
    v
    — первая производная радиус-вектора

    G
    r
    повремени. Обозначается это следующим образом или
    G
    G
    G
    v
    r
    r
    t
    = ′ =
    . (Ускорение
    G
    a
    — первая производная скорости

    G
    v
    повремени или
    G
    G
    G
    a v
    v
    t
    = ′ =
    . (Сила тока I — первая производная заряда q повремени (или, что тоже самое, скорость изменения заряда или
    I
    q
    q
    t
    = ′ = 
    . (Электродвижущая сила индукции ε — взятая со знаком минус первая производная магнитного потока Ф повремени Фили −
    Ф
    t
    
    Ф . (Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение дифференциала функции в точке. Дайте определение производной функции. Поясните геометрический смысл производной и дифференциала. Поясните механический смысл производной. Пользуясь таблицей производных и основными правилами дифференцирования (формулами 2.12–2.19), найдите производные от следующих функций)
    y
    x
    x
    =

    +
    9 2
    3 2
    ,
    2)
    y
    x
    x
    =
    +

    6 3
    4 3
    ,
    3)
    y
    x
    x
    x
    =
    +
    +
    5 3
    ln sin
    ,
    4)
    y
    x
    x
    =

    7 2
    3
    ln cos
    ,
    5)
    y
    x
    x
    =
    3
    ln
    ,
    6)
    y
    x
    x
    =
    2
    sin
    ,
    7)
    y tgx
    x
    =
    3
    cos
    ,

    2. Дифференциальное исчисление функции действительной переменной
    37 8) y =
    16 9
    2
    x
    +
    ,
    9) y = 3 ⋅ cos 2π x.
    6. Приведите примеры физических величин, которые являются производными от других физических величин по времени.
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   40


    написать администратору сайта