Векторная алгебра 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.ТРЗ. Типовое расчётное задание
 Скачать 1.31 Mb.
|
|
Типовое расчётное задание Векторная алгебра и её приложения к аналитической геометрии Составитель Сахарова Л.В. Задание 1 1.1. Найти координаты вектора  , коллинеарного вектору  и противоположно направленного, если а) = (-2; 5; 4);  =  ;б) = (6; -6; 3); = 45;в) = (12; -3; -4); = 52.1.2. На оси ординат найти точку К, равноудалённую от точек А(1; -4; 7) и В(5; 6; -5). 1.3. Даны две смежные вершины параллелограмма А(3; 3; -1) и В(-1; 5; 3) и точка О(2; -1; 4) пересечения диагоналей. Найти координаты двух других вершин. 1.4. Точки А(1; 0; 2), В(3; 1; 1) и С(-2; 3; -1) являются последовательными вершинами параллелограмма. Найти длины его диагоналей. 1.5. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(2; 1; -2), В(-3; 5; 0) и С(4; -1; 6). Найти координаты четвёртой вершины Д. 1.6. Даны три последовательные вершины правильного 6-угольника: А(2; 1; -1), В(-3; 2; 2), С(1; 3; 6). Найти остальные его вершины. 1.7. На оси Oz найти точку К, равноудалённую от точек А(7; -4; 1) и В(-5; 6; 5). 1.8. Зная одну из вершин треугольника А(3; 1; -1) и векторы, совпадающие с двумя его сторонами  (2; 2; 5),  (-1; 3; 4), найти остальные вершины и  .1.9. Векторы (4; -2; 2) и  (-2; 6; 0) совпадают со сторонами треугольника АВС. Определить координаты векторов, совпадающих с его медианами  ,  ,  .1.10. Даны точки А(-1; 5; -10), В(5; -7; 8), С(2; 2; -7), D(5; -4; 2). Проверить, что векторы и  коллинеарны, установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны; записать соотношение между этими векторами.1.11. Проверить, что четыре точки А(3; -1; 2), В(1; 2; -1), С(-1; 1; -3), D(3; -5; 3) служат вершинами трапеции. 1.12. Доказать, что четырёхугольник ABCD – ромб, если А(-1; 0; 3), В(2; 2; 4), С(3; 5; 2), D(0; 3; 1). 1.13. Доказать, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм, если А(1; 2; -3), В(2; -3; 4), С(1; 5; -4), D(5; 3; -2). 1.14. Даны вершины треугольника АВС: А(3; 5; -1), В(1; 1; 2), С(-2; 7; -1). Выяснить, является ли треугольник равносторонним, равнобедренным или разносторонним. 1.15. Треугольник АВС – равнобедренный с основанием АВ. Найти координаты вершины С, если известно: А(1; 2; -2), В(-1; 4; 0), СОх. 1.16. Даны векторы  и  , приложенные к общей точке. Найти орт биссектрисы угла между и .1.17. Два вектора (1; 2; 2) и (3; 0; 4) приложены к одной точке. Определить координаты вектора  , направленного по биссектрисе угла между векторами и , если  .1.18. Два вектора (2; -3; 6) и (-1; 2; -2) приложены к одной точке. Определить координаты вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и , при условии, что  .1.19. Даны точки А(1; 2; -3), В(2; -3; 4), С(1; 5; -4), D(5; 3; -2). Доказать, что середины звеньев замкнутой ломанной ABCD являются вершинами параллелограмма. 1.20. В треугольнике АВС известны координаты вершины А(2; -1; 1) и векторы = (-3; 1; 2) и =  . Найти координаты конца вектора, совпадающего с медианой .1.21. Вектор составляет с координатными осями Ox и Oy углы  ,  , а с осью Oz – тупой угол. Вычислить его координаты при условии, что  = 8.1.22. Вектор  составляет с координатными осями Ox и Oz углы  ,  , а с осью Oy – тупой угол. Найти его координаты при условии, что  = 12.1.23. Вектор  составляет с координатными осями Oy и Oz углы  ,  , а с осью Ox – тупой угол. Найти его координаты при условии, что  =  .1.24. Найти координаты вектора , образующего равные острые углы с осями координат, при условии, что =  .1.25. Найти координаты единичного вектора , образующего с осями координат равные тупые углы.1.26. Показать, что векторы , и некомпланарны и разложить вектор  по векторам , , :а) (3; -1; 2), (-1; 1; -2), (2; 1; -3), (11; -6; 5);б) (2; 3; 1), (-1; 2; -2), (1; 2; 1), (2; -2; 1);в) (1; -1; 1), (3; -1; 2), (-2; 2; 1), (-5; -1; -5).1.27. На плоскости даны четыре точки: A(1; -2), B(2;1), C(3; 2) и D(-2; 3). Найти разложение вектора  + + , приняв в качестве базиса векторы и  .1.28. Показать, что векторы , , компланарны, и разложить вектор по векторам , :а) (-1; 3; 2), (2; -3; -4), (-3; 12; 6);б) (3; -1; 0), (0; 2; -1), (-9; 7; -2).Задание 2 Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: а) углы треугольника; б)  , если
|