Учебник для экономических и гуманитарных специальностей Рекомендовано умо по образованию в области экономики
 Скачать 4.07 Mb.
|
|
.. Независимые эксперименты Предположим, что мы рассматриваем одновременно, совместно, два случайных эксперимента. Для элементарных исходов первого из них примем общее обозначение u, для всей их совокупности, т. е. для пространства элементарных исходов первого опыта — обозначение U , для элементарных исходов второго опыта и для их совокупности — обозначения v и V, соответственно. Соединим эти два эксперимента в пару и рассмотрим их вместе как единый, составной опыт. Его элементарными исходами служат пары ω = (u, v); множество всех таких пар Ω = {(u, v): u ∈ U, v ∈ V} составляет пространство элементарных исходов составного опыта. Та- кое совмещение двух (и более) случайных экспериментов на практике обычно происходит в тех случаях, когда у случайно выбираемого объ- екта фиксируются две (или более) характеристики. Скажем, у случай- но выбранного человека измеряется его рост и вес, или в случайно выбранном регионе Российской Федерации выясняется одновремен- но доля пенсионеров и доля родившихся в прошедшем году. Чтобы закончить описание этого опыта, надо ввести распределе- ние вероятностей на множестве Ω. Заметим, что на множествах U и V, как на множествах элементарных исходов первого и второго опы- тов, уже существуют свои распределения вероятностей. Обозначим их P 1 и P 2 , соответственно. Скажем, в упомянутом эксперименте од- новременного измерения роста и веса у случайно выбранного чело- века каждый из этих показателей (при определенных ограничениях) неплохо описывается нормальным распределением. При этом пара- метры этих нормальных распределений (a, σ) у каждой из характе- ристик свои. В общем случае знания P 1 и P 2 недостаточно для того, чтобы пра- вильно определить распределение вероятностей на Ω. Для этого на- до знать, как влияют (и влияют ли) друг на друга результаты этих опытов. (Скажем, влияет ли рост человека на его вес?) Если между этими результатами есть взаимная связь, она должна отражаться на распределении вероятностей на Ω. Более того, именно распределение вероятностей и выражает эту взаимосвязь. Правильное назначение вероятностей в пространстве Ω должно учитывать конкретные осо- бенности сложного опыта. Если же такой взаимной связи и влияния нет, если опыты в есте- ственном смысле независимы, то можно ввести на Ω распределение вероятностей, зная лишь распределения P 1 и P 2 § . Независимые события. Условные вероятности Рассмотрим сначала опыты, в которых множества элементарных исходов U и V дискретны. Тогда дискретным окажется и множество Ω. Распределения вероятностей на дискретных пространствах задают, указывая вероятности элементарных исходов. Пусть это P 1 ( u) для u ∈ U и P 2 ( v) для v ∈ V. Чтобы задать распределение на Ω, надо задать вероятности P(u, v) элементарных исходов ω = (u, v). Для независимых экспериментов по определению полагают P(u, v) = P 1 ( u)P 2 ( v) (..) для всех u ∈ U, v ∈ V, т. е. для всякого ω = (u, v). При таком задании вероятностей на Ω случайные события, опреде- ляемые только результатами первого опыта, и события, определяемые результатами только второго, оказываются независимыми в смыс- ле (..), т. е. статистически независимыми. Чуть более точно: пусть событие A происходит или не происходит в зависимости от результата первого опыта, а событие B — второго; тогда P(A ∩ B) = P(A)P(B), что означает независимость событий A и B. Для этой формулы нужны некоторые разъяснения. Событие, ска- жем A, хоть и зависит только от первого опыта, все же в данном слу- чае относится к паре опытов. Поэтому, говоря об A в составном опыте, надо говорить о результатах обоих опытов, а не только первого. Но так как событие A зависит только от первого опыта, результат второго опыта для A значения не имеет и поэтому может быть любым. То же самое, но с переменой ролей первого и второго опытов, можно сказать и о событии B. Следовательно, в составном опыте A = {(u, v): u ∈ A, v ∈ V}, B = {(u, v): u ∈ U, v ∈ B}. При этом вероятность события A в составном опыте равна P(A) = u∈A v∈V p 1 ( u)p 2 ( v) = u∈A p 1 ( u) · v∈V p 2 ( v) = P 1 ( A). (..) Аналогично вероятность события B в составном опыте равна P 2 ( B). Схематически пространство элементарных исходов Ω для пары опытов, а также события A и B, относящиеся к отдельным опытам, но помещенные в пространство Ω, изображены на рис. .—.. Доказательство независимости событий A и B сводится к вычислению вероятностей P(A ∩ B), P(A) и P(B) и проверке соотношения (..). На рис. . горизонтальный отрезок изображает множество U эле- ментарных исходов первого опыта, вертикальный отрезок — множе- ство V элементарных исходов второго опыта. Заштрихованный квад- рат изображает множество пар (u, v), т. е. пространство Ω элементар- ных исходов пары опытов. Глава . Основы теории вероятностей Рис. .. Пространство элементарных исходов Ω пары опытов Рис. .. событие A в пространстве элементарных исходов Ω пары опытов На рис. . на горизонтальном отрезке выделены те элементар- ные исходы первого опыта, при осуществлении которых происходит событие A. Заштрихованный прямоугольник изображает событие A, помещенное в пространство Ω. На рис. . на вертикальном отрезке выделены те элементарные исходы второго опыта, при появлении которых осуществляется собы- тие B. Заштрихованный прямоугольник изображает событие B, поме- щенное в пространство Ω. Заштрихованный прямоугольник на рис. . изображает те эле- ментарные исходы ω составного опыта, т. е. те пары (u, v), при появ- лении которых происходит и событие A, и событие B, т. е. происходит событие A ∩ B. Рис. .. Событие B в пространстве элементарных исходов Ω пары опытов Рис. .. Событие A ∩ B в пространстве элементарных исходов Ω пары опытов Как показано в соотношении (..), вероятности событий A и B в составном опыте такие же, как их вероятности в отдельных опытах, т. е. в P(A) = P 1 ( A) и P(B) = P 1 ( B). Остается вычислить P(A ∩ B) = u∈A v∈B p 1 ( u)p 2 ( v) = = u∈A p 1 ( u) v∈B p 2 ( v) = P 1 ( A)P 2 ( B). (..) § . Независимые события. Условные вероятности Это равенство доказывает независимость событий A и B (как событий составного опыта). Важный пример независимых испытаний (испытаний Бернулли) будет рассмотрен в следующем разделе. Для непрерывных пространств U и V, распределения вероятностей на которых заданы с помощью функций плотности, в идейном плане все происходит аналогично. Пусть p 1 ( u) теперь обозначает плотность вероятностей на множестве U, u ∈ U, p 2 ( v) обозначает плотность ве- роятностей на множестве V, v ∈ V. Распределение вероятностей на Ω можно задать с помощью функции плотности p(ω), где ω = (u, v) ∈ Ω. Для независимых экспериментов полагают по определению, что плотность вероятности p(u, v) на Ω есть p(u, v) = p 1 ( u)p 2 ( v) для всех u ∈ U, v ∈ V. (..) Рассмотрим два примера. Пример . Равномерное распределение на прямоугольнике. Пусть пространства элементарных событий двух опытов — отрезки U и V (как на рис. .). Пространство элементарных событий составного опыта — это прямоугольник со сторонами U и V (рис. .). Пусть вероятности на U и V распределены равномерно. Это значит, что плотность p 1 ( u) постоянна при u ∈ U, плотность p 2 ( v) постоянна при v ∈ V. Предположим, что упомянутые случайные опыты независимы. Тогда согласно (..) функция плотности на этом прямоугольнике то- же постоянна — как произведение двух постоянных. Вне прямоуголь- ника плотность равна 0. Следовательно, распределение вероятностей в составном опыте тоже оказывается равномерным. Пример . Стандартное двумерное нормальное распределение. Его плотность f (x, y) = 1 2 π exp − x 2 + y 2 2 (..) была упомянута в п. .. Это распределение возникает при совмест- ном проведении двух независимых опытов, в каждом из которых плотность распределения стандартная нормальная: p 1 ( x) = 1 2 π exp − x 2 2 , p 2 ( y) = 1 2 π exp − y 2 2 Перемножение этих плотностей согласно правилу (..) дает дву- мерную плотность (..). Заметим, что в непрерывном случае вероятности событий A, B и A ∩ B должны вычисляться по определению как двойные интегралы от функции плотности p(u, v) по соответствующей области в про- странстве Ω. Однако с учетом вида тех областей в пространстве Ω, Глава . Основы теории вероятностей которые соответствуют этим событиям (схематически эти области приведены на рис. .—.), и выражения (..) для совместной плотности p(u, v) указанные двойные интегралы сведутся к произве- дению однократных. Упражнения . Случайный эксперимент заключается в подбрасывании одной монеты. Его повторяют дважды. Можем ли мы считать эти экспери- менты независимыми? . Случайный эксперимент заключается в выяснении роста слу- чайно выбранного человека. Влияет ли результат этого эксперимента на результат выяснения роста у другого случайно выбранного челове- ка? Можно ли считать эти эксперименты независимыми? . В первом случайном эксперименте выясняется рост случайно выбранного человека, а во втором — вес того же человека. Можно ли считать эти эксперименты независимыми? . Рассмотрим психологический тест, состоящий из двух вопросов, по-разному спрашивающих об одном и том же. Результатом первого случайного эксперимента будем считать ответ случайно выбранно- го человека на первый вопрос, результатом второго эксперимента — ответ того же человека на второй вопрос. Можно ли считать эти экс- перименты независимыми? . В электоральном опросе выясняют, за кого будут голосовать два случайно выбранных избирателя. Можно ли считать опрос каждого из них независимым экспериментом? . Рассмотрим биржевые торги двумя ценными бумагами. Резуль- татом первого случайного эксперимента будем считать цену в дан- ный момент на первую бумагу, а результатом второго — цену на вто- рую бумагу. При каких условиях эти два эксперимента можно считать независимыми? (Ответ на этот вопрос для различных пар ценных бу- маг весьма важен на практике. Эта информация обычно закладывает- ся в основу формирования портфеля ценных бумаг.) Как вы думаете, являются ли независимыми цены на акции двух нефтяных компаний из одной и той же страны? .. Условная вероятность Так называют вероятность в одном особом виде случайного экс- перимента, который получается при наложении на случайный экспе- римент специальных условий. Рассмотрим произвольный случайный эксперимент. Сохраним для его элементов принятые обозначения: § . Независимые события. Условные вероятности ω — произвольный случайный исход, Ω — совокупность (простран- ство) всех элементарных исходов, A — произвольное событие, P(A) — его вероятность. Пусть B — некоторое событие. Будем считать, что случайный эксперимент состоялся, если он за- кончился элементарным исходом, входящим в событие B. Проще го- воря, результат опыта засчитываем только в том случае, когда про- исходит событие B. Это соглашение означает, что мы рассматриваем новый случайный эксперимент. В нем событие B выступает в каче- стве всего нового пространства элементарных исходов. Спрашивает- ся, какое значение при этом условии (т. е. в новом эксперименте) сле- дует приписать в качестве вероятности событию A? Обозначать по- добную условную вероятность будем P(A | B). Словесных формул для этого символа много, и они довольно свободны. Говорят об условной вероятности события A при условии, что произошло событие B; об условной вероятности A при условии B; об условной вероятности A при B; о вероятности A при условии B и т. д. Подчеркнем, что верти- кальная черта в формуле P(A | B) не означает деления. Иногда (для ясности) вероятности на исходном пространстве Ω снабжают эпитетом «безусловные», но, строго говоря, это прибавле- ние излишне. Дискретный случай. Рассмотрим для начала дискретные про- странства элементарных исходов. В этом случае вероятности событий можно определить через вероятности элементарных исходов. По- этому сейчас для определения условной вероятности достаточно определить условные вероятности элементарных исходов. Действительно, если P(ω | B) — условная вероятность элементар- ного исхода ω при условии B, то, следуя соотношению (..), надо положить P(A | B) = ω∈A P(ω | B). (..) Определим P(ω | B) — условную вероятность элементарного исхо- да ω при условии B. Прежде всего ясно, что в нашем условном экспе- рименте элементарный исход ω из Ω появиться не может, если ω не входит в B. Поэтому для таких исходов условная вероятность равна 0: P(ω | B) = 0, если ω не входит в B. (..) Остается определить P(ω | B) для тех исходов ω, которые входят в B. Для этого заметим, что ограничение основного эксперимента усло- вием B хоть и изменяет эксперимент и вероятности элементарных исходов, не изменяет соотношения этих вероятностей: если ω 1 и ω 2 Глава . Основы теории вероятностей оба входят в B, то P(ω 1 | B) : P(ω 2 | B) = P(ω 1 ) : P(ω 2 ) для ω 1 , ω 2 ∈ B. Поэтому условные вероятности тех элементарных исходов, которые могут появиться в условном эксперименте, пропорциональны их без- условным вероятностям: P(ω | B) = CP(ω) для ω ∈ B. Здесь C — некоторый положительный множитель. Сейчас мы найдем его, вспомнив, что сумма вероятностей всех элементарных исходов должна составлять единицу и что это требование относится к вероят- ностям любого эксперимента, в том числе и к обсуждаемым условным экспериментам и условным вероятностям. Итак, 1 = ω∈B P(ω | B) = ω∈B CP(ω) = C ω∈B P(ω) = CP(B). Отсюда получаем C = 1 P(B) , а поэтому P(ω | B) = P( ω ) P(B) для ω ∈ B. (..) Теперь надо вернуться к соотношению (..) и вычислить P(A | B) для произвольного A. Ввиду соотношения (..) ясно, что при вычис- лении P(A | B) следует принимать во внимание лишь те элементарные исходы из A, которые одновременно входят и в B. Поэтому P(A | B) = ω∈A∩B P(ω | B) = ω∈A∩B P(ω)/P(B) = P(A ∩ B) P(B) Итак, для дискретного случая мы показали, что P(A | B) = P(A ∩ B) P(B) (..) Общий случай. В общем случае формулу (..) мы примем за определение условной вероятности. Определение ... Условной вероятностью P(A | B) события A при условии, что произошло событие B, называют величину P(A | B) = P(A ∩ B) P(B) Это определение применимо, когда P(B) > 0. Когда же P(B) = 0, условная вероятность определяется с гораздо большими математиче- скими трудностями, и в общем виде мы этого вопроса касаться не будем. § . Независимые события. Условные вероятности Пример . В наудачу выбранной семье двое детей, один из ко- торых — мальчик. Какова при этом вероятность того, что и другой ребенок — мальчик? Прежде всего эту задачу надо сформулировать в математическом виде. По традиции многие задачи в теории вероятностей высказы- ваются на обиходном, естественном языке и требуют перевода на язык математики. При этом часто приходится вносить и уточнения, и дополнительные предположения, следуя традициям такого перево- да. Отсюда порой могут возникать недоразумения; как правило, они связаны с различными дополнительными предположениями. В данном случае надо предположить, что рождение мальчика или рождение девочки — это случайные события и что пол первого ребен- ка не влияет на пол второго. Предполагают также, что вероятность рождений мальчика и девочки одинакова и, следовательно, равна 0,5. (Последнее предположение не вполне соответствует наблюдениям: по статистике частота рождения мальчиков примерно 0,51. Условие ра- венства вероятностей не является необходимым: задача может быть решена для любых вероятностей.) При этих предположениях получа- ем следующую математическую формулировку задачи, считая рожде- ние мальчика «успехом». В двух испытаниях Бернулли, где вероятности «успеха» и «неуда- чи» одинаковы, произошел по крайней мере один «успех». Какова при этом условии вероятность того, что «успехов» было два? Решение. Пусть A — событие «успех в обоих испытаниях», B — событие «в двух испытаниях хотя бы один успех». Через элементар- ные события «уу», «ун», «ну», «нн» события A и B выражаются так: A =«уу», B =«уу» ∪ «ун» ∪ «ну». Видно, что A ⊂ B и что P(A) = 1 4 , P(B) = 3 4 . Условную вероятность P(A | B), т. е. вероятность того, что оба ребенка — мальчики, при условии, что один ребенок — точно мальчик, вычисляем согласно (..): P(A | B) = P(A ∩ B) P(B) = P(A) P(B) = 1 3 Рассмотрим похожую задачу. В семье двое детей, младший из ко- торых — мальчик. Какова при этом вероятность того, что и старший ребенок — мальчик? Из разъяснений, данных для предыдущей задачи, ответ вытекает сразу: эта условная вероятность равна 1/2. Умножение вероятностей. Соотношение (..) можно записать в виде P(A ∩ B) = P(A | B)P(B). (..) Глава . Основы теории вероятностей В таком виде его называют теоремой об умножении вероятностей. Поскольку в формулу P(A ∩ B) события A и B входят равноправно, таким же путем получаем, что P(A ∩ B) = P(B | A)P(A). Эту формулу можно обобщить на случай нескольких (больше двух) событий. Например, P(A ∩ B ∩ C) = P(A | B ∩ C)P(B ∩ C) = P(A | B ∩ C)P(B | C)P(C). Свойства условных вероятностей. Так как условные вероятно- сти — это обычные вероятности, но в измененном (условном) экспе- рименте, для них справедливы все свойства и формулы вероятностей. Например, для событий A 1 и A 2 имеем P(A 1 ∪ A 2 | B) = P(A 1 | B) + P(A 2 | B) − P(A 1 ∩ A 2 | B); если же события A 1 и A 2 не пересекаются (т. е. являются несовмест- ными), то P(A 1 ∪ A 2 | B) = P(A 1 | B) + P(A 2 | B) и т. д. Условная вероятность и независимость. С помощью условных ве- роятностей можно по-новому взглянуть на независимость событий, которую мы обсуждали в п. .. Естественно признать, что событие A не зависит от события B, если его условная вероятность при B (при условии, что произошло событие B) не отличается от безусловной: событие A не зависит от события B, если P(A | B) = P(A). (..) Раскрывая с помощью определения (..) левую часть, получим, что P(A ∩ B) P(B) = P(A), или P(A ∩ B) = P(A)P(B). (..) Это равенство ранее (п. .) было положено в определение незави- симости (стохастической независимости) событий. Мы видим, что взгляд на независимость событий, выраженный формулой (..), приводит к тому же условию независимости, что и принятый ранее. Заметим, что из теоремы умножения вероятностей и формулы независимости (..) следует, что в этом случае верно не только соотношение (..), но и равенство P(B | A) = P(B). (..) § . Независимые события. Условные вероятности Следовательно, независимость A от B влечет и независимость B от A, т. е. независимость событий взаимна. Упражнения . Стандартную игральную кость подбрасывают один раза. Какова вероятность того, что на ней выпало четное число очков, если извест- но, что на ней выпало больше 3 очков? . Монету подбросили 3 раза. событие A — решка выпала толь- ко один раз. Событие B — выпало не менее одного герба. Найдите P(A | B). . Игральную кость подбросили 2 раза. событие A — при каждом броске выпало четное число очков, событие B — в сумме на двух ко- стях выпало не менее 7 очков. Найти а) P(A | B); б) P(B | A). . Страховой компании известно, что в некоторой стране для муж- чин вероятность дожить до 40 лет равна 0,8, а до 60 — 0,5. Какова вероятность для мужчины дожить до 60 лет, если известно, что он уже дожил до 40? .. Формула полной вероятности. Формула Байеса Несколько важных формул возникают тогда, когда пространство элементарных исходов оказывается разбитым на несколько попарно несовместных событий; назовем их H 1 , H 2 , …, H n . По условию Ω = H 1 ∪ H 2 ∪ … ∪ H n и для любых таких i, j = 1, …, n, что i = j, H i ∩ H j = ∅ Совокупность H 1 , H 2 , …, H n называют полной группой несовместных событий. Иногда в подобном контексте термин «события» заменяют термином «гипотезы», т. е. предположения. Отсюда идет традиция обозначения этих событий буквами H 1 , H 2 , …, H n . (С буквы H начи- нается английское слово hypothesis — гипотеза.) Поясним, как возникают подобные разбиения, на примере типо- вой практической задачи. В социологическом опросе, когда у опраши- ваемых выясняется их пол, возраст, образование, социальное положе- ние и место проживания, каждая из этих характеристик может зада- вать разбиение пространства элементарных исходов (в данном случае всех возможных способов заполнения анкеты) на попарно несовмест- ные события, скажем на анкеты, заполненные мужчинами, и анкеты, заполненные женщинами. Это пример разбиения на два несовмест- Глава . Основы теории вероятностей ных события. А разбиение по признаку образования уже дает пример разбиения на большее число подмножеств. Формула полной вероятности. Пусть A — произвольное событие. событие A может произойти вместе с каким-либо одним и только од- ним из событий H 1 , H 2 , …, H n . Поэтому A = A ∩ Ω = (A ∩ H 1 ) ∪ (A ∩ H 2 ) ∪ … ∪ (A ∩ H n ). Поскольку события A ∩ H 1 , A ∩ H 2 , …, A ∩ H n попарно несовместны, так как попарно несовместны H 1 , H 2 , …, H n , согласно формуле сложе- ния вероятностей имеем P(A) = P(A ∩ H 1 ) + P(A ∩ H 2 ) + … + P(A ∩ H n ). Применяя к каждому событию A ∩ H i теорему умножения (..), по- лучим для P(A) формулу P(A) = P(A | H 1 ) P(H 1 ) + P(A | H 2 ) P(H 2 ) + … + P(A | H n ) P(H n ). (..) Эту формулу называют формулой полной вероятности. Она бывает полезна тогда, когда по каким-либо конкретным причинам оказы- ваются известны (либо легко вычисляются) условные вероятности P(A | H i ) и вероятности P(H i ) событий из полной группы. Формула Байеса. Вычислим теперь условные вероятности событий H i при условии, что произошло событие A, т. е. вероятности P(H i | A) = P(H i ∩ A) P(A) Применяя к числителю этого отношения теорему умножения (..), а к знаменателю — формулу полной вероятности (..), получаем P(H i | A) = P(A | H i ) P(H i ) n k=1 P(A | H k ) P(H k ) (..) Эту формулу сейчас называют формулой Бейеса (в более старом на- писании — Байеса). В XVIII— XIX веках она играла важную идейную роль. События H 1 , H 2 , …, H n тогда толковали как гипотезы, а их веро- ятности P(H 1 ), P(H 2 ), …, P(H n ) называли априорными, т. е. доопыт- ными вероятностями. Формула (..) в таком случае указывает для каждой гипотезы ее апостериорную вероятность, т. е. вероятность по- сле опыта, в котором зафиксировано событие A. Сейчас роль формулы Бейеса в теории вероятностей невелика. Однако в математической статистике так называемый байесовский подход существует как от- дельное направление. § . Независимые события. Условные вероятности Упражнения . Вероятность получить отличную оценку по математике у сту- дента, получившего отличную оценку по иностранному языку, равна 0,8, а у студентов, получивших более низкие оценки по иностранному языку, — 0,4. Известно, что отличные оценки по иностранному языку получает четверть студентов. Какова вероятность получить отличную оценку по математике? . Витрина магазина оформлена таким образом, что вероятность зайти в магазин для мужчины равна 0,6, а для женщины — 0,4. В то же время вероятность совершить покупку у зашедшего в магазин мужчи- ны равна 0,2, а у зашедшей женщины — 0,7. Какова вероятность того, что зашедший в магазин покупатель совершит покупку? Правильно ли, на ваш взгляд, оформлена витрина магазина? . Вероятность того, что женщина на выборах проголосует за опре- деленную партию, равна 0,7. Вероятность того, что за эту же партию проголосует мужчина, — 0,5. Доля женщин среди приходящих на вы- боры составляет 60%. На какой процент голосов избирателей претен- дует данная партия? . Риэлтер считает, что вероятность выгодно продать квартиру в течение месяца при условии экономического роста в стране равна 0,8, а в ситуации экономического спада — 0,2. Вероятность эконо- мического роста равна 0,7. Какова вероятность выгодно продать квартиру в течение месяца? .. Выбор из конечной совокупности (продолжение) Вернемся к обсуждению простого случайного выбора из конечной совокупности, который мы начали обсуждать в п. ., ., .. Слу- чайный выбор n объектов из генеральной совокупности N объектов будем представлять себе как выбор без возвращения одного за другим n элементов. Какова при таком выборе вероятность того, что при k-м выборе (k = 1, 2, …) будет выбран элемент со свойством A? Сформулируем нашу задачу, используя традиционные для теории вероятностей шары и урны. Заодно покажем, что за подобными услов- ными формулировками стоят реальные проблемы. Задача. В урне N шаров, из них M белых и N − M черных. В осталь- ном шары одинаковы. Шары наудачу, один за другим, извлекают из урны (без возвращения). Найдем ответ на два вопроса. . Какова вероятность того, что второй извлеченный шар окажется белым? . Какова вероятность того, что k-й извлеченный шар окажется белым? Глава . Основы теории вероятностей Эквивалентность задач выбора из конечной совокупности и выбо- ра шаров из урны очевидна: N шаров в урне — это генеральная сово- купность численности N, белые шары — это объекты со свойством A и т. д. Решение. Введем события: W 1 = { первый извлеченный шар — белый}, B 1 = { первый извлеченный шар — черный}, W 2 = { второй извлеченный шар — белый}, B 2 = { второй извлеченный шар — черный}, W k = { k-й извлеченный шар — белый}, B k = { k-й извлеченный шар — черный} и т. д. Ясно, что P(W 1 ) = M N , P(B 1 ) = N − M N Для вычисления P(W 2 ) и P(B 2 ) применим формулу полной вероят- ности: P(W 2 ) = P(W 2 | W 1 ) P(W 1 ) + P(W 2 | B 1 ) P(B 1 ). (..) Заметим, что P(W 2 | W 1 ) и P(W 2 | B 1 ) легко вычисляются. После извле- чения белого шара в урне осталось M − 1 белых шаров и N черных, всего N − 1 шаров. Поэтому условная вероятность извлечь белый шар при условии, что первый извлеченный шар был белым, равна P(W 2 | W 1 ) = M − 1 N − 1 Аналогично P(W 2 | B 1 ) = M N − 1 Подставляя полученные условные и безусловные вероятности в пра- вую часть соотношения (..), получаем: P(W 2 ) = M − 1 N − 1 · M N + M N − 1 · N − M N = M N Таким образом, вероятность того, что второй извлеченный шар будет белым, совпадает с вероятностью того, что первый извлеченный шар будет белым. Теперь можно перейти к ответу на второй вопрос: какова вероят- ность извлечь белый шар при k-м извлечении? Здесь k может быть любым числом от 1 до N = m + n. Вычисление P(W k ) (в понятных обо- значениях: W k — это событие «k-й извлеченный шар — белый») мож- но проверить по той же схеме, что и P(W 2 ), т. е. с привлечением фор- мулы полной вероятности, но с увеличением k выкладки усложнятся. § . Независимые события. Условные вероятности Поэтому (и для разнообразия) используем иной путь. Мысленно про- должим опыт с извлечением шаров и после k-го извлечения, до пол- ного исчерпания запаса шаров в урне. По окончании каждый шар из имеющихся N получит номер: это номер опыта, когда он был вынут из урны. Таким образом, последовательное извлечение шаров из урны — это их упорядочивание, присвоение им порядковых номеров от 1 до N. Верно и обратное: упорядочивание (перенумерование) шаров эк- вивалентно в математическом смысле физическому действию: после- довательному извлечению шаров из урны. Теперь заметим, что при описанном и «продолженном» опыте все возможные упорядоченно- сти расположения шаров равновозможны. Поэтому для подсчета ве- роятности какого-либо события надо (всего лишь) подсчитать коли- чество благоприятных этому событию исходов, а затем разделить это количество на общее число исходов. В данном случае общее число исходов — это общее число различных упорядочений N объектов, т. е. N! = 1 · 2 · … · N. Те исходы, в которых k-м извлекается белый шар, устроены следующим образом. На k-е место может попасть любой из M белых шаров, а прочие места распределены среди оставшихся N − 1 шаров произвольно. Число таких упорядочений подсчитываем так: число способов выбрать один из белых шаров (тот, который зай- мет место k) равно M; число расположений по номерам оставшихся N − 1 шаров равно (N − 1)! Итого, перемножив, получаем M(N − 1)! благоприятных упорядочений. Отсюда P(W k ) = M(N − 1)! N! = M N для любого k = 1, 2, …, N. Другими словами, вероятность вытащить белый шар на каждом шаге остается неизменной, т. е. порядок выбора не имеет значения. Упражнения . События A и B таковы, что A происходит всегда, когда происхо- дит событие B. Чему в этом случае равна вероятность P(A | B)? . Монету бросают либо до появления герба, либо до двукратного появления решки. Известно, что монета была брошена дважды. Како- ва при этом условии вероятность того, что герб не выпал ни разу? . Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что хотя бы на одной из них выпала шестерка, если на костях выпали разные грани? . Известно, что при бросании двух игральных костей выпала по крайней мере одна шестерка. Какова при этом вероятность того, что на костях выпали разные грани? Глава . Основы теории вероятностей . Игральная кость бросается до тех пор, пока в сумме не будет набрано не менее трех очков. Какова при этом условии вероятность того, что кость была брошена 2 раза? . В одной урне три белых шара и один черный, в другой — один белый шар и три черных. Бросают монету, и если выпадает герб, то шар наудачу извлекают из первой урны; если выпадает решка, то — из второй. ) Какова вероятность того, что будет вынут белый шар? ) Известно, что в результате был вынут белый шар. Какова веро- ятность того, что он был вынут из первой урны? .. Задачи . Двое бросают правильную монету n раз каждый. Покажите, что вероятность того, что у них выпадет одинаковое количество гербов, равна C n 2 n . Монету бросают до получения 7 гербов. Какова вероятность то- го, что потребуется n бросаний? . Испытания Бернулли проводят до получения 7 успехов. Какова вероятность того, что число «неудач» при этом окажется равным n? . Сколько испытаний Бернулли, где вероятность успеха p = 1 4 , на- до провести, чтобы вероятность появления хотя бы одного успеха бы- ла не меньше 0,001? . Пусть вероятность попадания в цель равна 1 5 . Какова вероят- ность при десяти выстрелах попасть в цель не менее двух раз? . Какова вероятность при бросании трех игральных костей полу- чить в сумме 5 очков? . Как устроить испытания Бернулли, в которых вероятность успе- ха и неудачи одинаковы? Предположим, что мы можем проводить какие-то испытания Бер- нулли. (Вероятность успеха p и неудачи 1 − p в них вам могут быть даже неизвестны. Обозначим «успех» в этих испытаниях +, а неудачу −.) С их помощью мы можем достичь поставленной выше цели следу- ющим образом. Проведем два испытания. Скажем, что мы наблюда- ем в этом новом эксперименте из двух бросков «успех», если выпала комбинация (+−), а неудачу — если (−+). В других случаях результат не засчитываем и опыт повторяем. Покажите, что вероятности так определенных успехов и неудач равны 0,5. Найдите распределение случайного числа опытов, которые надо провести до получения ре- зультата (успеха или неудачи). . Двое играют в кости. Игрок A бросает кость первым. Он выигры- вает, если выбрасывает 6. Если нет, то право бросать кость переходит § . Независимые события. Условные вероятности к B. Он выигрывает, если выбрасывает 1 или 2. Если и B не выиграл, то очередь переходит к A, и т. д. Какова вероятность выигрышей у A и B? (Ответ можно получить без долгих вычислений.) Найдите закон распределения случайной продолжительности игры. . Некто хочет открыть дверь. У него три ключа, из которых только один подходит. Человек случайно выбирает ключ и пробует открыть дверь. Если ключ не подходит, он повторяет попытку. Возможны два способа действий: ) испробованные ключи в дальнейших попытках не участвуют; ) испробованный (и не подошедший) ключ в последующих выбо- рах участвует наравне с остальными. Для обоих способов действий найдите вероятности того, что дверь будет открыта с первой, второй и т. д. попытки. |