Учебник для экономических и гуманитарных специальностей Рекомендовано умо по образованию в области экономики
 Скачать 4.07 Mb.
|
|
Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, Г. И. Симонова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебник для экономических и гуманитарных специальностей Рекомендовано УМО по образованию в области экономики, менеджмента, логистики и бизнес-информатики в качестве учебного пособия для студентов высший учебных заведений, обучающихся по направлениям «Экономика» и «Менеджмент» Москва Издательство МЦНМО УДК . ББК . T Рецензенты: Д. ф.-м. н., профессор С. А. Айвазян (МШЭ МГУ им. М. В. Ломоносова) К. ф.-м. н., профессор Г.Г.Канторович (ГУ-ВШЭ) Д. ф.-м. н., профессор П. В. Семенов (МГПУ) Д. ф.-м. н., профессор В. Н. Тутубалин (МГУ им. М. В. Ломоносова) Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., Симонова Г. И. T Теория вероятностей: учебник для экономических и гума- нитарных специальностей. — М.: МЦНМО, .— с. ISBN ---- Настоящий учебник предназначен для студентов социально-экономиче- ских, управленческих и гуманитарных специальностей. В нем подробно без лишнего математического формализма, изложены основы теории вероятно- стей, приведены примеры их использования на практике: в статистике, эко- номике, социологии, менеджменте, психологии и т. д. Для лучшего усвоения материала книга снабжена простыми упражнениями и компьютерным прак- тиком в EXCEL. УДК . Тюрин Юрий Николаевич Макаров Алексей Алексеевич Симонова Галина Ивановна ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: УЧЕБНИК ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ И ГУМАНИТАРНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ Подписано в печать .. г. Формат 60 × 90 /. Бумага офсетная № . Печать офсетная. Печ. л. . Тираж экз. Заказ № Издательство Московского центра непрерывного математического образования , Москва, Большой Власьевский пер., . Тел. () ––. Отпечатано по CtP-технологии в ОАО «Печатный двор» им. А. М. Горького. , Санкт-Петербург, Чкаловский проспект, . Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга», Большой Власьевский пер., д. . Тел. () ––. E-mail: biblio@mccme.ru ISBN ---- © Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, Г. И. Симонова, . © МЦНМО, . Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава . Основы теории вероятностей § . Случайные события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Пространства элементарных событий . . . . . . . . . . . . . .. События и действия с ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Вероятности случайных событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Вероятности в непрерывных пространствах . . . . . . . . .. Вероятности в дискретных пространствах . . . . . . . . . .. Свойства вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Объективная (частотная) и субъективная (персональ- ная) вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Зачем знать вероятности событий? . . . . . . . . . . . . . . .. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Независимые события. Условные вероятности . . . . . . . . . .. Независимые события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Испытания Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Независимые эксперименты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Формула полной вероятности. Формула Байеса . . . . . . .. Выбор из конечной совокупности (продолжение) . . . . .. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава . Случайные величины § . Случайные величины и их распределения . . . . . . . . . . . . .. Случайные эксперименты и случайные величины . . . . . .. Дискретные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . .. Непрерывные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . .. Функции распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Числовые характеристики случайных величин . . . . . . . . . .. Математическое ожидание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Дисперсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Несколько случайных величин. Независимые случайные ве- личины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Оглавление .. Совместные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Числовые характеристики совместных распределений . .. Независимые случайные величины . . . . . . . . . . . . . . .. Коэффициент корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Примеры совместных распределений . . . . . . . . . . . . . Глава . Некоторые важные распределения вероятностей § . Биномиальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Определение и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . .. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Распределение Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Определение и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . .. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Показательное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Определение и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . .. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Определения и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . .. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Многомерное нормальное распределение . . . . . . . . . . . . .. Случайные векторы и матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Гауссовские (нормально распределенные) векторы . . . .. Моменты и плотности многомерных нормальных рас- пределений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Двумерное нормальное распределение . . . . . . . . . . . Глава . Предельные законы теориивероятностей § . Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Измерение вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Теорема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Вероятностный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Замечание о связи частоты и вероятности . . . . . . . . . .. Неравенство Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Доказательство теоремы Бернулли . . . . . . . . . . . . . . .. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Правило усреднения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Закон больших чисел. Продолжение . . . . . . . . . . . . . . § . Закон больших чисел и статистика . . . . . . . . . . . . . . . . . Оглавление .. Выборочная функция распределения . . . . . . . . . . . . . .. Выборочная функция распределения и оценивание . . . § . Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Теорема Муавра—Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Приближенные вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . .. Планирование выборочного обследования . . . . . . . . . .. Историческая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Редкие события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Теорема Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Рекомендуемая литература для дальнейшего чтения . . . . . . . . Таблица стандартного нормального распределения . . . . . . . . . Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предисловие Настоящий учебник по теории вероятностей предназначен для студентов гуманитарных и экономических специальностей. Он от- ражает наш опыт преподавания теории вероятностей и математи- ческой статистики студентам различных факультетов МГУ (Москов- ский государственный университет им. М. В. Ломоносова), ГУ-ВШЭ (Государственный университет — Высшая школа экономики), МШЭ (Московская школа экономики) и других вузов. Книга представляет читателю основные понятия и факты теории вероятностей в объеме, необходимом для понимания последующих учебных дисциплин и курсов, в которых присутствует концепция слу- чайности. В первую очередь это статистические дисциплины, но не только. Идея случайности, случайной изменчивости существенна для многих наук, прежде всего в тех их разделах, где речь идет о сборе, интерпретации и обобщении данных наблюдений и опытов. Теория вероятностей представлена в учебнике как естествен- ная наука. Это значит, что основную ценность в ней составляют выработанные понятия и связи между ними, а не математический формализм их описания и представления. И хотя теорию вероятно- стей нельзя изложить иначе, как на языке математики, мы старались обходить математические сложности. В книге использованы лишь простые средства математического анализа (интегралы и ряды). Мы приводим лишь несложные математические доказательства. При обсуждении технически сложных вопросов (таких как центральная предельная теорема) мы прибегаем к объяснениям, обсуждениям, подтверждающим примерам и вычислениям, но не к математическим доказательствам. Особенностью книги является и то, что многие темы сопровожда- ются компьютерными практикумами в пакете EXCEL. Такие практи- кумы стали уже традиционными в учебной литературе по математи- ческой и прикладной статистике, но в учебниках по теории вероятно- стей пока отсутствуют. Современные компьютерные средства, на наш взгляд, довольно заметно меняют расстановку акцентов в преподава- нии ряда традиционных разделов теории вероятностей. Там, где ра- нее требовались специальные математические усилия для расчетов, теперь их выполняют компьютерные программы. Мы не раз обраща- ем на это внимание в книге. Точно так же общедоступные компью- Предисловие терные программы практически полностью заменяют традиционные таблицы распределений теории вероятностей и математической ста- тистики. Пакет EXCEL выбран нами как самый доступный для всех поль- зователей. Это не самое удобное средство для вероятностных рас- четов и моделирования. В специализированных пакетах AutoCAD, MATHCAD, Mathematica, SPSS, STATISTICA и др. представлены зна- чительно более мощные и удобные возможности и функции для решения подобных задач. Как еще одну особенность книги отметим, что мы не уделяем большого внимания комбинаторике и комбинаторным задачам. Это отчасти связано с тем, что теория вероятностей вместе с необходи- мыми понятиями комбинаторики стала составной частью школьной программы; см. []. Но более серьезна та причина, что эти вопросы в современной теории вероятностей не занимают большого места. Изучение азартных игр, с которых века назад началась теория веро- ятностей, сейчас во всей области интересов и приложений этой науки составляют ничтожную часть. Окончательную форму предлагаемый курс теории вероятностей принял благодаря нашему продолжительному сотрудничеству с ГУ- ВШЭ и МШЭ МГУ. Мы приносим глубокую благодарность заведую- щему кафедрой математической экономики и эконометрики, прорек- тору ГУ-ВШЭ профессору Г. Г. Канторовичу и заведующему кафедрой эконометрики и математических методов экономики МШЭ МГУ про- фессору, заслуженному деятелю науки С. А. Айвазяну. Они же дали благожелательные отзывы об этой книге. Мы глубоко признательны нашим уважаемым рецензентам, которые не только одобрили книжку в целом, но и указали нам на ряд наших промахов и упущений. Мы, как смогли, учли все их замечания. Мы также глубоко признатель- ны нашим коллегам по этим кафедрам и всем тем, кто на разных стадиях принимал участие в обсуждении и подготовке материала книги. Мы благодарим наших рецензентов: заведующего кафед- рой математического анализа и методики его преподавания МГПУ, доктора физико-математических наук, профессору П. В. Семёнова и доктора физико-математических наук, заслуженного профессора МГУ им. М. В. Ломоносова В. Н. Тутубалина. Структура книги Материал учебника разбит на четыре главы. Первая глава посвящена началам теории вероятностей: описанию случайного эксперимента, операциям с событиями, различным спосо- Предисловие бам задания вероятностей, правилам вычисления вероятностей собы- тий. Здесь же вводятся понятия независимости событий и условной вероятности, рассматриваются формулы полной вероятности и Бай- еса. Особое внимание в главе уделено вопросам выбора из конечной совокупности, схеме испытаний Бернулли и их взаимосвязи. Во второй главе вводится понятие случайной величины и ее раз- личных характеристик: функции распределения, математического ожидания, дисперсии, медианы, квантилей и т. п. Рассматриваются многомерные и, в частности, двумерные случайные величины и их характеристики. Третья глава книги посвящена наиболее важным одномерным ве- роятностным распределениям: распределениям Бернулли, Пуассона, показательному и нормальному. Также в ней приводятся необходи- мые сведения о многомерном распределении и его частном случае — двумерном нормальном распределении. Кроме технических подроб- ностей, много внимания уделено использованию этих распределений на практике. В четвертой главе рассматриваются предельные закономерности теории вероятностей: теорема Бернулли, закон больших чисел, тео- рема Муавра—Лапласа, центральная предельная теорема и теорема Пуассона. В ней также рассмотрены вопросы использования этих ре- зультатов в статистической практике. Каждая глава учебника разбита на параграфы, а параграфы — на пункты. После большинства пунктов следуют простые упражнения, помогающие закрепить изложенный материал. Ряд пунктов также снабжен компьютерным практикумом. В конце каждого параграфа представлен небольшой список задач. Однако книга не стремится заменить существующие задачники по теории вероятностей. В конце книги приведена краткая таблица стандартного нормаль- ного распределения, вполне достаточная для учебных целей, а также список рекомендуемой литературы для дальнейшего чтения. Обозначения Теория вероятностей оперирует различными объектами: элемен- тарными исходами экспериментов, случайными событиями, их веро- ятностями, случайными величинами и их значениями, функциями распределения, математическими ожиданиями и т. д. Для обозначе- ния всех этих разнотипных объектов приходится прибегать к согла- шениям в обозначениях, которые в разных книгах, к сожалению, не совпадают. Мы старались использовать наиболее доступную и обще- принятую в мире форму записи. Предисловие Элементарные исходы эксперимента (элементарные события) обо- значаются греческой буквой ω. Случайные события обозначаются начальными заглавными буква- ми латинского алфавита: A, B, C и т. д. Вероятности событий обозначаются P(ω), если речь идет о веро- ятности элементарного события, или P(A), если это вероятность со- бытия. Случайные величины обозначаются заглавными буквами латин- ского алфавита X, Y , Z, а их возможные значения — малыми буквами x, y, z. (Мы отступаем от этого правила, когда речь идет о случайных векторах и случайных матрицах.) Неслучайные константы обозначаются малыми начальными бук- вами латинского алфавита: a, b, c и т. д. Математическое ожидание случайной величины (случайного век- тора) X обозначается EX или E(X), а дисперсия (ковариационная мат- рица для случайного вектора) — DX. Глава Основы теории вероятностей § . Случайные события В этом параграфе мы введем понятие случайного эксперимента и его возможных исходов — элементарных событий. Для произволь- ных событий, объединяющих элементарные, будет рассказано о наи- более распространенных операциях с ними: объединении, пересече- нии, отрицании и др. В компьютерном практикуме рассмотрены про- цедуры генерации наступления случайных событий и отбора из мас- сива тех наблюдений, которые удовлетворяют заданным условиям. .. Пространства элементарных событий Неопределенные положения (действия с неопределенным результа- том). В нашей частной жизни, в жизни общества, в природе много неопределенного. Можно сказать, что неопределенности нас окружа- ют. Сохранит ли он/она работу в течение года? (Оптимистический ва- риант: получит ли он/она повышение в течение этого времени?) Ко- гда сломается стиральная машина? Если я куплю 10 лотерейных би- летов, то выиграет ли хотя бы один? На сколько процентов повысятся цены в наступающем году? Будет ли следующее лето сухим и жарким? Сколько землетрясений (наводнений, ураганов и т. п.) следует ожи- дать на территории страны (Европы, Средней Азии, Сибири и т. д.) в будущем году? И так далее, и тому подобное. Вы можете пополнить этот список тем, что Вас интересует. На такие вопросы нельзя дать безошибочный ответ. Нужно ждать, когда неопределенная ситуация разрешится. Но очень хочется, а по- рой и очень нужно ответ предсказать, пусть и не с полной точностью и определенностью. Полезной будет и просто количественная оценка шансов тех или иных исходов. Например, подобные оценки и расчеты необходимы в любом инвестиционном проекте, когда речь идет о строительстве, разведке и освоении нового месторождения или вы- пуске новой продукции. Во всех подобных случаях люди вынуждены делать расчеты и выводы в ситуации неопределенности. В неопреде- ленности будущего спроса и цен, в неопределенности экономических § . Случайные события и политических рисков и т. д. Понимая это, люди пытаются, по воз- можности, учесть эту неопределенность, предусмотреть ее в своих планах. Издавна в неопределенных ситуациях люди обращались к шама- нам, жрецам, оракулам, ясновидящим и т. п., прибегали к различным видам гаданий, бросали специальные кости, рассматривали внутрен- ности жертвенных животных, кофейную гущу и т. п. При этом счи- талось, что высшие силы, провидение управляют процессом гадания и могут подсказать требуемые ответы и разрешить неопределенность. Отчасти эти процедуры существуют и поныне, однако из массовой практики они давно ушли. Некоторая неопределенность присуща и поведению самих людей в повседневной жизни. В схожих ситуациях один и тот же человек может поступать по-разному, может получать различные результаты. Мы можем задать вопросы: «Сколько попыток нужно предусмотреть в соревнованиях по прыжкам в длину, чтобы более объективно выявить сильнейшего?», «Сколько заданий надо включить в тест проверки знаний, чтобы его результаты давали объ- ективное представление?». Поэтому, изучая свойства, способности, квалификацию людей, необходимо учитывать неопределенность. Для обсуждения описанных положений и действий с неопределен- ными исходами наука выработала некоторые полезные идеи, понятия и термины. Определение ... Действия (ситуации) с неопределенным исхо- дом называют случайным экспериментом. Это название не надо понимать буквально. Иногда действие (опыт) и в самом деле производит какое-то активное лицо (или механизм). Например, подбрасывание монеты или извлечение шаров с цифрами для назначения выигрышных номеров — в лотерее. Часто такого лица нет, если речь идет о сроке службы изделия или годовом показателе инфляции. Тогда говорят, что эксперимент проводит «природа». Пространства элементарных событий (исходов). Описание слу- чайного эксперимента начнем с пространства элементарных собы- тий. Представим себе мысленно, перебором в уме, все способы (ис- ходы), которыми этот эксперимент может завершиться. Мы говорим сейчас только о таких окончаниях опыта, которые не состоят из более простых исходов, т. е. об исходах неделимых, элементарных. Вместо слова исход часто используют и другой термин: событие. Дело в том, что в теории вероятностей нас часто будет интересовать не отдельный элементарный исход, а некоторая их совокупность. Та- кие совокупности принято называть просто событиями. Отдельный элементарный исход тоже событие, событие элементарное. Глава . Основы теории вероятностей Определение ... Совокупность всех элементарных исходов дан- ного случайного эксперимента называют пространством его элемен- тарных исходов. Различные случайные эксперименты приводят к разным типам пространств элементарных исходов. В одних экспериментах число всех элементарных исходов может быть конечно, в других — беско- нечно, но счетно, в третьих в качестве пространства элементарных исходов может выступать вся числовая ось, полуось или интервал. В более сложных ситуациях пространство элементарных исходов может быть областью, или всей двумерной плоскостью, или даже n-мерным пространством. Возможны и другие типы пространств элементарных исходов, но мы их касаться не будем. Рассмотрим несколько примеров. Начнем с самых простых случайных экспериментов. Рассмотрим опыт с подбрасыванием монеты. Предположим, что монета будет бро- шена четыре раза. При каждом бросании монета может выпасть либо гербом — тогда пишем г, либо решкой — и тогда пишем р. Результат четырех последовательных бросаний может быть, например, таким: гррр, либо гргр, либо ггрр и т. д. Ясно, что всего различных элемен- тарных исходов в этом опыте 2 4 = 16. Каждый элементарный исход — это четырехбуквенное «слово» в «алфавите» из двух букв г и р. Эти 16 «слов» (последовательностей длины 4 из символов г и р) и состав- ляют в этом опыте пространство элементарных исходов. Если мы ре- шим подбросить монетку n раз (n — натуральное число), простран- ство элементарных исходов составит 2 n слов длины n, для написания которых использованы только буквы г и р. В ряде случаев, подобно разобранному примеру, пространства элементарных исходов описываются довольно просто. Часто для их описания полезны формулы комбинаторики. Другие примеры про- странств элементарных исходов см. в упражнениях к п. . и задачах к § . В опыте с подбрасыванием монеты нас могут интересовать не только отдельные элементарные исходы или события. Например, событие «герб и решка выпали по два раза» состоит из шести элемен- тарных исходов: ггрр, гргр, гррг, рргг, ргрг, рггр; исход «герб выпал не менее трех раз» составляют пять элементарных исходов: гггг, гггр, ггрг, гргг, рггг; и т. д. На формальном языке можно сказать, что события — это подмножества в пространстве элементарных исходов. Заметим, что выше мы обсуждали не столько реальный, физиче- ский опыт с подбрасыванием монеты, сколько его математическую идеализацию. Материальный опыт может оканчиваться не только § . Случайные события так, как было сказано. Например, какая-то из монет может потерять- ся, закатиться под диван или упасть в какую-нибудь ямку; опыт может быть прерван на середине и т. д. Поэтому случайный эксперимент и его пространство элементарных исходов (пространство элементар- ных событий) — это математический образ реального мира (мате- матическая модель, как сейчас выражаются), сохраняющий лишь те черты действительности, которые представляются существенными. Соответствие между математической моделью и реальностью здесь примерно такое же, как между треугольниками и прямыми в гео- метрии и треугольными участками земли в огороде или в поле и их прямолинейными границами. Пространства элементарных исходов, подобные рассмотренному выше, возникают во многих областях деятельности. Так, результат от- ветов на часть вопросов единого государственного экзамена по ма- тематике можно записать в виде «слова», использующего две буквы п и н. При этом п означает правильный ответ, а н — неправильный. Точно так же можно записать результат выборочного контроля n из- делий «словом» из n букв г и н. При этом г соответствует годному изделию, а н — негодному. Результат стрельбы спортсмена-биатлони- ста на огневом рубеже тоже может быть записан пятибуквенным (по числу мишеней) «словом» из двух букв. Одна из этих букв будет озна- чать разбитую мишень, а другая — неразбитую. В социологических опросах часто пытаются узнать, поддерживает ли респондент то или иное решение или нет. Здесь также пространство элементарных исхо- дов можно записать в виде «слова», в котором будут использоваться только две буквы. Длина этого слова будет равна числу опрошенных. Другими словами, изучение пространства элементарных исходов, воз- никающего при бросании монетки, оказывается полезным в самых разных областях деятельности. В частности, к подобным простран- ствам, как мы узнаем ниже, приводит схема испытаний Бернулли. Рассмотрим теперь другой случайный эксперимент: срок служ- бы определенного изделия. Упоминалась стиральная машина, срок службы которой надо, вероятно, исчислять в часах работы. Можно говорить о сроке службы автомобильной покрышки. Видимо, ее срок службы надо измерять уже не в часах, а в километрах пробега. Политолога может заинтересовать вопрос, сколько лет понадобится странам Европейского Союза, чтобы унифицировать свои налоговые системы, и т. д. Ясно, что упомянутое в каждом случае «время ожидания» (какого- либо события, например, поломки, отказа, принятия решения и т. д.) может быть только положительным числом. По-видимому, для каждо- Глава . Основы теории вероятностей го реального срока службы можно заранее указать его ограничение сверху. Скажем, никакая стиральная машина или холодильник не прослужат сто лет. Очень правдоподобно, что они не прослужат и пятидесяти лет. Но двадцать пять лет холодильник прослужить может, так же как стиральная машина — десять. Где же провести границу? Чтобы не создавать себе подобных трудностей уже на этом этапе, предпочитают говорить, что срок службы (время ожидания) в подобных экспериментах может быть любым неотрицательным числом. А неосуществимость слишком больших длительностей обес- печивают, назначая им ничтожно малые (практически нулевые) вероятности. Но об этом речь пойдет ниже, когда мы будем говорить о вероятностях и их распределениях. Таким образом, для перечис- ленных выше примеров сроков службы в качестве пространства элементарных исходов можно рассматривать все неотрицательные числа. Это пространство содержит уже бесконечное и несчетное число элементарных исходов. Часто в одном опыте бывает необходимо следить за нескольки- ми показателями одновременно. Например, при индивидуальном по- шиве одежды закройщик измеряет (снимает мерку) нескольких ха- рактеристик человеческой фигуры. Готовую одежду, чтобы она хоро- шо сидела, тоже надо подбирать по нескольким (двум, трем или да- же больше) указанным на вещи размерам. (Обычно это рост, пери- метр поперечного сечения груди или талии и т. д.) В таком случайном опыте, как измерения описанным образом наудачу взятого человека, пространством элементарных исходов будет числовая плоскость, если этих размеров 2; трехмерное числовое пространство, если их 3, и т. д. Вновь, как и выше, можно было бы ограничить себя какой-то обла- стью указанных пространств, задав некоторые минимальные и мак- симальные значения по каждому измеряемому параметру. Но так как указать правильные границы такой области невозможно, этого обыч- но и не делают. Вместо этого практически невозможным комбина- циям измерений (далеким частям упомянутых пространств) прида- ют исчезающе малые (практически нулевые) вероятности. Событием в таком опыте может быть, например, пятидесятый размер пиджака у наудачу выбранного человека. Это означает, что его индивидуаль- ные размеры, упомянутые выше, попадают в определенные диапазо- ны «от — до». Рассмотрим еще один важный пример случайного эксперимента. Выбор из конечной совокупности. Этот случайный эксперимент со- ставляет основу выборочного метода. К выборочному методу обра- § . Случайные события щаются, когда надо обследовать какую-либо совокупность объектов или изделий, но сплошной их контроль невозможен или нецелесооб- разен по каким-то причинам, например из-за многочисленности об- следуемой совокупности или потому, что в процессе контроля изделие портится или уничтожается. (Чтобы проверить качество артиллерий- ского снаряда, им надо выстрелить.) Ввиду практической важности выборочного метода мы будем обсуждать его многократно, рассмат- ривая его свойства по мере изложения вероятностной теории. Обозначим через N общее число объектов в интересующей нас совокупности. Ее также называют генеральной совокупностью, по- пуляцией и т. п. (В разных областях приложений бывают употре- бительны разные названия.) Предположим, что для последующего индивидуального исследования мы решили отобрать n объектов (индивидов). Эту отобранную группу называют выборкой, число n — ее объемом. Принципы и правила, по которым производится вы- бор и образуется выборка, мы будем обсуждать позже. А сейчас поговорим о пространстве элементарных исходов. Сделаем это на каком-нибудь простом примере. Предположим, что генеральная совокупность составляет N = 5 раз- личных объектов. Обозначим их А, Б, В, Г, Д. (Порядок их перечис- ления здесь не имеет значения.) Допустим, что мы решили выбрать 2 элемента, так что n = 2. Перечислим (в алфавитном порядке) все возможные элементарные исходы: А и Б, А и В, А и Г, А и Д, Б и В, Б и Г, Б и Д, В и Г, В и Д, Г и Д. Всего C 2 5 = 10 различных исходов. При выборе n элементов из N число таких элементарных исходов равно C n N . При сколь-нибудь значительных N и n это число очень велико. Можно говорить не только об элементарных, но и о других событи- ях, связанных с этим опытом. Например, о таком событии: элемент А оказался выбранным. Это событие составляют элементарные исходы А и Б, А и В, А и Г, А и Д — всего 4. Допустим теперь, что объекты об- ладают каким-либо качеством. Скажем, объекты А и Г — «красные», а остальные — «зеленые». Вот из каких элементарных событий состо- ит событие «среди избранных элементов есть красные»: А и Б, А и В, А и Г, А и Д, Б и Г, В и Г, Г и Д. Не вошедшие в этот перечень эле- ментарные события составляют событие «Все выбранные элементы — зеленые». Пространства элементарных исходов могут быть и более сложны- ми. Рассмотрим, например, такой случайный эксперимент: монету бросаем до появления герба. Вот элементарные исходы (по порядку указываем исходы бросания): г, рг, ррг, … , р … рг, … Здесь число элементарных исходов бесконечно (но счетно). Глава . Основы теории вероятностей Упражнения Опишите пространство элементарных исходов и укажите их общее число в следующих случайных экспериментах. . Стандартную игральную кость подбрасывают два раза подряд. . В партии из деталей детали бракованные. Из партии наугад, по очереди выбирают по одной детали, пока не обнаружат все брако- ванные. . Билет на экзамене включает 3 из 20 контрольных вопросов по курсу. Сколько несовпадающих (хотя бы частично) билетов может составить экзаменатор? Сколько полностью несовпадающих билетов может составить экзаменатор? . Спортивное состязание проводится до 3 побед в 5 партиях (без ничьих). Предложите математическую модель для описания пространства элементарных исходов в следующих случайных экспериментах, регу- лярно происходящих в жизни. . Поставщик услуг ежедневно фиксирует число поступивших за- казов. . Страховая компания ежедневно фиксирует число страховых случаев по полисам ОСАГО (обязательного страхования автограж- данской ответственности). . Инвестиционный портфель состоит (для простоты) из двух цен- ных бумаг. Ежедневно фиксируется биржевая стоимость каждой из этих бумаг на момент закрытия биржи. . Человек садится на пустую скамейку в сквере. Как описать его положение на скамейке? . Опытный стрелок стреляет в тире по круглой мишени. Выпишите элементарные исходы, составляющие указанные ниже события A в различных случайных экспериментах. . Стандартную игральную кость подбрасывают два раза подряд. событие A заключается в том, что сумма очков, выпавшая в первом и втором броске, не превышает 4. . В условиях задачи событие A заключается в том, что число выбранных деталей превышает 3. . В условиях задачи событие A заключается в том, что в матче будет сыграно ровно 4 партии. Укажите множества элементарных исходов, составляющие указан- ные ниже события A в различных случайных экспериментах. . В условиях задачи событие A заключается в том, что завтра цены на обе ценные бумаги повысятся. § . Случайные события . В условиях задачи событие A заключается в том, что завтра цены хотя бы на одну из ценных бумаг повысятся. . В условиях задачи событие A заключается в том, что человек сядет ближе к центру, чем к краю. . В условиях задачи событие A заключается в том, что стрелок попал в девятку. .. События и действия с ними Мы уже приводили некоторые примеры событий и говорили, что со- бытия состоят из элементарных событий. Поэтому события — это подмножества в пространстве элементарных исходов (элементар- ных событий). События часто имеют форму высказываний, кото- рые описывают свойства элементарных исходов. (Событие образуют элементарные исходы, обладающие этими свойствами.) Действия с событиями — это то же самое, что логические действия с высказы- ваниями. В этом пункте мы рассмотрим наиболее употребительные действия с событиями (высказываниями), но прежде введем некото- рые обозначения. Пусть Ω (читается — омега большое) обозначает все простран- ство элементарных исходов определенного случайного эксперимента. Пусть ω (читается — омега малое) обозначает произвольное элемен- тарное событие из Ω. (Мы будем образно говорить иногда, что ω — произвольная точка пространства Ω.) Пусть A, B, C, … обозначают произвольные события, т. е. подмножества из Ω. Принадлежность точки ω множеству A будем обозначать так: ω ∈ A. Если множество A является частью (подмножеством) множества B, будем обозначать это так: A ⊂ B. События (и действия с ними) удобно изображать символически, в виде фигур на листе бумаги, как это показано ниже, на рис. .—.. На этих рисунках выделенный прямоугольник изображает все про- странство элементарных событий (исходов) Ω, а круги и их комби- нации (объединения, пересечения и дополнения) — события. Такие рисунки иногда называют диаграммами Эйлера или Эйлера—Венна. Три наиболее употребительные операции над событиями (высказыва- ниями) носят названия пересечения, объединения, дополнения (или отрицания). Буквы греческого алфавита Ω и ω традиционно используются в учебной литера- туре для обозначения всего пространства элементарных исходов и отдельного исхода, для того чтобы подчеркнуть, что они совсем не обязаны быть числами. Глава . Основы теории вероятностей Определение ... Пересечением событий A и B называют собы- тие, элементарные исходы которого одновременно принадлежат как A, так и B. Для обозначения пересечения событий A и B используется выра- жение A ∩ B (читается: «A и B» или «пересечение A и B»). Символиче- ски определение .. можно записать так: A ∩ B = {ω: ω ∈ A и ω ∈ B}. Поясним эту формальную запись. В правой части выражения указа- но, что пересечение событий A и B включает в себя те элементар- ные исходы ω, которые одновременно соответствуют и событию A, и событию B. Знак равенства в данном случае означает, что события в правой и левой частях равенства состоят из одних и тех же элемен- тарных исходов, т. е. совпадают. Пересечение A и B на рис. . выделено штриховкой. Рис. .. Пересечение событий A и B Определение ... События A и B называются непересекающи- мися, если они не имеют общих элементов. Рис. .. Непересекающиеся события A и B Непересекающиеся события не могут в эксперименте произойти одновременно. Поэтому их еще называют несовместными. Символически пересечение несовместных событий записывают так: A ∩ B = ∅. § . Случайные события Здесь ∅ — знак «пустого события», или события, в котором нет ни одного элементарного исхода. Такое «событие» полезно ввести, по- скольку не всегда можно сказать заранее, будет ли результат цепочки операций над событиями содержать какие-то элементарные исходы или нет. Пустое событие примерно так же полезно, как и число нуль, изображающее отсутствующее количество. Определение ... Объединением событий A и B называют такое событие, элементарные исходы которого принадлежат либо событию A, либо событию B, либо тому и другому одновременно. Для обозначения объединения событий A и B используют запись A ∪ B (читается: «A или B», «объединение A и B»). Символически опре- деление можно записать так: A ∪ B = ω: ω ∈ A или ω ∈ B Объединение событий A и B на рис. . выделено штриховкой. Рис. .. Объединение событий A и B Определение ... Дополнением (отрицанием) события A назы- вают множество всех элементарных исходов из Ω, которые не принад- лежат A. Для обозначения дополнения (отрицания) A употребляют обозна- чения ¯¯ A (читается: «отрицание A», «дополнение A» или «A с чертой»). Рис. .. Дополнение (отрицание) события A Глава . Основы теории вероятностей Символически определение можно записать так: ¯¯ A = {ω: ω / ∈ A}. Дополнение события A на рис. . выделено штриховкой. Упражнения . Стандартную игральную кость подбрасывают один раз. собы- тие A — выпавшее число очков кратно 2, событие B — выпавшее число очков кратно 3. Найдите A ∪ B, A ∩ B и ¯¯ A. . Монету подбросили 3 раза. событие A — решка выпала только один раз. Событие B — выпало не менее одного герба. Найдите A ∪ B, A ∩ B и ¯¯ A. . Игральную кость подбросили 2 раза. событие A — при каждом броске выпало четное число очков, событие B — в сумме на двух ко- стях выпало не менее 7 очков. Найдите A ∪ B, A ∩ B и ¯¯ A. Докажите (привлекая для иллюстрации диаграммы Эйлера), что . A ∪ A = A, A ∩ A = A, A ∪ ¯¯ A = Ω, A ∩ ¯¯ A = ∅. . A ∩ B = B ∩ A. . A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). . A ∪ B = ¯¯ A ∩ ¯¯ B. . Запишите символически (используя операции с событиями), что из двух событий A и B произошло только A. . Запишите символически (используя операции с событиями) со- бытие, состоящее в том, что из трех событий A, B, C произошли ровно два. . Социологи, психологи, политологи, медики часто интересуются сочетанием у обследуемых тех или иных характеристик. Пусть нас интересуют только две характеристики. Обозначим их через A и B. Скажем, характеристика A обозначает мужской пол, а характеристи- ка B — наличие высшего образования. Сформулируйте словами, кто составляет следующие подмноже- ства обследуемых: а) A ∩ ¯¯ B; б) ¯¯ A ∩ B; в) A ∪ B. Запишите, используя операции пересечения, объединения и до- полнения следующие подмножества обследуемых: а) женщины без высшего образования; б) женщины с высшим образованием и мужчины без высшего об- разования; в) мужчины и женщины без высшего образования. § . Случайные события .. Компьютерный практикум Здесь мы рассмотрим, как некоторые из разобранных в этом пара- графе вопросов могут быть проиллюстрированы с помощью общеупо- требительных программ на компьютере. Разбираемые ниже процеду- ры носят не только иллюстративный характер, но и играют важную роль в статистической практике. Датчик случайных событий. Получить представление о случай- ных событиях можно не только подбрасывая монетку, игральный ку- бик или проводя эмпирические наблюдения. Эксперименты с неопре- деленным исходом могут быть смоделированы на компьютере. Ино- гда подобное моделирование оказывается единственным способом вычисления интересующей нас величины. В основе этих процедур лежат программы, называемые датчиками случайных чисел. И хотя в алгоритме датчика заложена определенная не случайная вычисли- тельная процедура, ее результаты могут очень хорошо имитировать чистую случайность. (Учитывая это замечание, эти датчики иногда называют датчиками псевдослучайных чисел.) Покажем, как подоб- ные программы могут быть использованы для имитации случайно- го эксперимента, в котором может наступить (или не наступить) некоторое событие A, и, в частности, как они могут заменить мно- гократное подбрасывание идеальной монетки. Используем 1 для обозначения наступления события A в однократном эксперименте, а 0 — для обозначения противоположного события. Тогда результаты последовательных случайных экспериментов могут быть записаны в виде некоторой случайной последовательности нулей и единиц. Именно подобные последовательности мы и будем генерировать. Используем для этого пакет EXCEL. Рис. .. Выбора пакета Анализ данных в EXCEL Глава . Основы теории вероятностей Пример ... Пять раз сгенерировать возможные результаты слу- чайного эксперимента, в котором идеальная монетка подбрасывается 10 раз. Выбор процедуры. В меню панели управления EXCEL выберите пункт Сервис. В открывшемся меню (рис. .) выберите пункт Анализ данных. (Если этот пункт отсутствует в меню, значит, пакет анализа данных не загружен в EXCEL. Для загрузки пакета анализа данных в меню Сервис (рис. .) выберите пункт Надстройки. С помощью открывшего меню подключите пакет анализа данных в EXCEL.) В ме- ню Анализ данных (рис. .) выберите пункт Генерация случайных чисел. Рис. .. Выбор процедуры Генерация случайных чисел в пакете Анализ данных в EXCEL Заполнение полей ввода данных и параметров процедуры. В от- крывшемся окне ввода процедуры (рис. .) в соответствующих полях укажите число переменных (пять, согласно условию задачи) и число случайных чисел (десять, согласно условию задачи), как это показано на рис. .. Каждая переменная (столбец в таблице) будет соответ- ствовать результатам случайного эксперимента, в котором монетка подбрасывается 10 раз. В поле распределение укажите Бернулли, а в качестве значения параметра этого распределения p укажите 0,5. (Обсуждение распределения Бернулли и смысла его параметров будет дано на с. .) Далее укажите, куда следует поместить генерируемые числа (скажем, на новый лист рабочей книги). Результаты. Заполнив все необходимые поля окна процедуры, нажмите OK . Результаты работы процедуры появятся в указанном месте листа рабочей книги EXCEL, как это показано на рис. .. § . Случайные события Рис. .. Окно задания параметров процедуры Генерация случайных чисел Обратите внимание на то, что в разных экспериментах (сериях из десяти испытаний) наблюдалось, вообще говоря, разное число на- ступлений события A. Так в первой серии испытаний (столбец A на рис. .) их было 7, во второй (столбец B на рис. .) — 9 (что может показаться неправдоподобным), а в третьей — только 4. Комментарии . Разобранная процедура позволяет генерировать наступление собы- тий, вероятность получения которых в однократном испытании может и не равняться 0,5 . Параметр распределения Бернулли p как раз и означает вероятность наступления события A в однократном испытании. Так, для моделирования выпадения шестерки на игральной кости следовало бы указать p = 1/6. Отбор наблюдений, удовлетворяющих заданным условиям. Об- суждая действия с событиями, мы ввели операции объединения, пересечения и дополнения событий. При этом само событие мы часто описываем на словах с помощью одного или нескольких условий. Иначе говоря, из всего пространства элементарных исходов Ω, фор- Глава . Основы теории вероятностей Рис. .. Результаты генерации процедуры Генерация случайных чисел мируя событие A, мы отбираем те элементарные события ω, которые удовлетворяют сформулированному набору условий. В статистиче- ских исследованиях роль пространства элементарных исходов Ω игра- ет некоторая генеральная совокупность. Имеющиеся у исследователя данные при этом рассматриваются как выборка из этой совокупно- сти. При этом часто возникает необходимость отобрать среди всех имеющихся наблюдений лишь те, которые отвечают некоторому условию или набору условий. Если данные занесены в компьютер, то подобные процедуры можно осуществлять автоматически. Рассмот- рим как это можно сделать в EXCEL. В качестве примера возьмем список курса, в котором кроме Ф. И. О. студента фигурируют его номер студенческой группы и оценки по математике, английскому языку и философии по 10-балльной системе . Часть подобного списка приведена на рис. .. Пример ... . Выбрать из списка всех студентов группы 182. . Выбрать из списка всех студентов групп 181 и 183. . Выбрать из списка всех студентов, у которых оценки по матема- тике больше или равны 8, а оценки по английскому языку меньше 8. В некоторых российских вузах, в частности в Высшей школе экономики, учет зна- ний производится не только по пятибалльной, но и по десятибалльной системе. § . Случайные события Рис. .. Часть списка курса с результатами успеваемости Выбор процедуры. В первом и втором задании предварительно выделите столбец, содержащий признак (номер группы), по которому будет осуществляться отбор. В третьем задании выделите два столбца, содержащий признаки, по которым сформулированы условия. В меню панели управления EXCEL выберите пункт Данные. В открывшем- ся меню (рис. . ) выберите пункт Фильтр, а затем его подпункт Автофильтр. При этом в выделенном столбце (столбцах) признака Рис. .. Выбор процедуры отбора наблюдений в EXCEL Глава . Основы теории вероятностей Рис. .. Задание простого условия в автофильтре Рис. .. Результаты отбора по условию § . Случайные события Рис. .. Меню задания условия отбора отбора появится специальный маркер — стрелка вниз. Щелкните мышью на этом маркере и откройте меню отбора, показанное на рис. .. Для выполнения первого задания достаточно выбрать в меню от- бора нужное значение группы, как показано на рис. .. Результаты этого отбора представлены на рис. .. Для выполнения второго задания выберите в меню отбора пункт условие. На экране появится дополнительное меню задания условия (рис. .). В нем следует указать, что признак группы равен 181 или равен 183, как это показано на рис. .. Для отбора студентов с заданными оценками по двум предметам (задание ) примените только что описанную процедуру последо- вательно сначала к столбцу с оценками по математике, а затем к столбцу с оценками по английскому языку. При этом при работе со столбцом оценок по математике в левом поле окна Пользовательский автофильтр (рис. .) укажите условие отбора «больше или равно», а в правом поле напротив — значение 8. Тем самым будут отобраны все студенты, у которых оценка по математике 8 и более. Затем анало- гичным образом поступите с отбором по столбцу оценок английского языка. В результате будет получено требуемое подмножество сту- дентов. Комментарии. После выполнения отбора наблюдений в EXCEL в таблице остаются лишь наблюдения, удовлетворяющие указанным условиям. Однако остальные данные при этом не уничтожаются. В любой момент можно восстановить все данные, выбрав в меню Автофильтра опцию «все» (см. рис. .). Глава . Основы теории вероятностей .. Задачи . В случайном эксперименте подбрасываются одновременно три неразличимых игральных кости. Постройте два возможных различ- ных пространства элементарных событий в этом эксперименте. Сколь- ко элементарных событий будет в каждом из этих пространств? Равновозможны ли элементарные события в каждом из этих про- странств ? . Психологический тест состоит из 20 вопросов, на каждый из которых предложено 3 варианта ответа. Каждый вариант ответа на вопрос оценивается в нуль, один или два балла. Для подведения ито- гов теста вычисляется сумма баллов по всем данным ответам. .. Сколько различных комбинаций ответов существует в этом те- сте? .. Какое наибольшее число баллов можно набрать в тесте? Сколько комбинаций ответов приводит к наибольшему числу баллов? .. Сколько комбинаций ответов приводит в сумме к 39 баллам? .. Сколько комбинаций ответов приводит в сумме к 38 баллам? .. Сколько комбинаций ответов приводит в сумме к 37 баллам? . В кастинге необходимо отобрать трех исполнителей для мюзик- ла. На просмотр пришли 10 человек, 5 из которых отвечают требова- ниям отбора. Претендентов просматривают по очереди в случайном порядке. Процедура просмотра прекращается, как только набирается 3 подходящих исполнителя. .. Какое наименьшее число претендентов нужно просмотреть для завершения отбора? .. Какое наибольшее число претендентов нужно просмотреть для завершения отбора? .. Сколькими различными способами можно отобрать трех под- ходящих претендентов, просмотрев четырех первых претендентов? . В совет директоров компании необходимо выбрать трех человек из 8 претендентов. Сколькими способами это можно сделать? . На инвестиционный конкурс поступило 5 заявок, которые вскрываются по очереди в случайном порядке. Сколько различных последовательностей вскрытия заявок существует при этом? Одно из первых известных решений этой задачи предложил в г. епископ Ви- болд из города Камбре на севере Франции. Затем к решению этой задачи не раз обра- щались разные авторы, включая Б. Паскаля. Окончательно обсуждение этого вопроса прекратила работа Г. Галилея (—), опубликованная в г. Более подроб- но история этой задачи, вызывавшей споры на протяжении семи столетий, изложена в книге []. § . Вероятности случайных событий . Нефтяная компания имеет возможность сделать 10 пробных бу- рений на 15 участках, предлагаемых геологоразведчиками, по одной скважине на участок. Сколькими различными способами компания может отобрать участки для бурения? . Почтовая рассылка рекламы компаниями «Direct mail» обыч- но предполагает поименное обращение в письме к главе компа- нии. Сколькими различными способами можно вложить 12 писем в конверты с адресами компаний, считая, что среди руководителей компаний нет однофамильцев? Как изменится решение, если среди руководителей есть два полных однофамильца? |