Учебник для экономических и гуманитарных специальностей Рекомендовано умо по образованию в области экономики
 Скачать 4.07 Mb.
|
|
§ . Несколько случайных величин. Независимые случайные величины .. Совместные распределения Рассмотрим случайный эксперимент. Когда мы в результате этого эксперимента получаем число (случайное число, так как исход экспе- римента случаен), мы говорим, что в этом эксперименте мы наблюда- ем случайную величину. Если в случайном эксперименте мы каждый раз получаем несколько чисел, мы говорим, что наблюдаем несколько случайных величин. (Иногда в такой ситуации говорят о случайной величине со значением в многомерном пространстве, но мы этого выражения постараемся не употреблять.) Пример: у наудачу взятого человека есть рост, вес, возраст, денежный доход и т. д. Все это случай- ные величины, появляющиеся совместно при упомянутом случайном выборе. То же самое можно сказать более формально. Случайный экспе- римент имеет пространство элементарных исходов Ω. Мы рассмат- риваем на Ω несколько функций, зависящих от ω ∈ Ω: X 1 = f 1 (ω), X 2 = f 2 (ω), … Это случайные величины, одновременно появляющиеся в данном опыте. Далее ради простоты будем говорить о совместном поведении двух случайных величин. Обозначим их X и Y . Каждая из этих случайных величин X и Y определяет вероятности P(a 1 X a 2 ), P(b 1 Y b 2 ) событий вида A = (a 1 X a 2 ) и B = (b 1 Y b 2 ) для произвольных чисел a 1 < a 2 , b 1 < b 2 . Тем самым каждая случайная величина задает некоторое распределение вероятностей на числовой прямой. Взятые вместе, случайные величины X и Y определяют вероятности случай- ных событий A ∩ B = (a 1 X a 2 ) ∩ (b 1 Y b 2 ), (..) т. е. вероятности вида P(A ∩ B) = P(a 1 X a 2 , b 1 Y b 2 ). (..) Такие события и вероятности определяют совместное поведение случайных величин X и Y и их совместное распределение вероятно- стей. Здесь уместно использовать геометрические представления и рас- сматривать пару чисел (x, y) как точку на числовой плоскости (точку с координатами (x, y)). Тогда пара случайных величин (X, Y ) опре- деляет случайную точку числовой плоскости. При таком взгляде на § . Несколько случайных величин Рис. .. Событие, относяще- еся к случайному экспери- менту, в котором наблюдают- ся две случайные величины, при котором каждая из этих случайных величин попадает в некоторый интервал вещи упомянутое выше событие состоит в том, что случайная точка (X, Y ) попадает в выделенный прямоугольник (рис. .). Вертикальная заштрихованная полоса на рис. . — это область ( a 1 x a 2 ) = {( x, y): a 1 x a 2 } , горизонтальная заштрихованная полоса — это область ( b 1 y b 2 ) = {( x, y): b 1 y b 2 } Дважды заштрихованный прямоугольник на рис. . — это область {(x, y): a 1 x a 2 , b 1 y b 2 } В общем виде события, относящиеся к паре случайных величин ( X , Y ), можно описать так: пара ( X , Y ) принимает значение, попада- ющее в некоторую область D числовой плоскости (рис. .). Рис. .. Произвольное событие, относящееся к случайному эксперименту, в котором наблюдаются две случайных величины Можно представить себе дело так: преобразование X = f 1 (ω), Y = f 2 (ω) переносит на числовую плоскость то распределение вероят- ностей, которое существует на множестве Ω и порождено случайным экспериментом. Но если само пространство Ω нас не интересует, мы можем о нем не вспоминать, а говорить сразу о том, что пара слу- чайных величин (X, Y ) задает на плоскости некоторое распределение вероятностей. Его называют совместным распределением случайных величин X и Y . Взятые по отдельности распределения случайных величин X и Y называются частными (реже — маргинальными) рас- пределениями вероятностей. Глава . Случайные величины Выделяют два типа совместных распределений: дискретные и не- прерывные (как и для одной случайной величины). ... Дискретные распределения. В дискретном случае возможные значения пары (X, Y ) — это отдельные точки (x, y) координатной плоскости. Для полного описания дискретного распределения надо указать все эти точки и присущие им вероятности. Особой разницы между одной и двумя случайными величинами тут нет: это все также отдельные точки и их вероятности. Для более детального обсуждения дискретных распределений ра- зумно ввести какую-либо нумерацию возможных значений случай- ных величин X и Y . Пусть для X возможные значения суть числа x 1 , … …, x m ; для Y — числа y 1 , …, y n . Если какое-либо множество возмож- ных значений бесконечно (счетно), то полагаем формально m (или n) = ∞. При такой нумерации возможные значения ( X , Y ) — это пары чисел (x i , y j ), где индекс i пробегает множество 1, …, m, а индекс j — множество 1, …, n. Для вероятностей этих возможных значений при- мем обозначения p ij = P(( X , Y ) = (x i , y j )), или p ij = P( X = x i , Y = y j ), i = 1, …, m; j = 1, …, n. Частные распределения случайных величин X и Y можно полу- чить, зная их совместное распределение: P( X = x i ) = p i1 + … + p in , или, более коротко, P( X = x i ) = n j=1 p ij (..) Аналогично P(Y = y j ) = m i=1 p ij (..) Совместное распределение пары случайных величин часто оформ- ляют в виде таблицы. По вертикали слева указаны возможные значения X, по горизон- тали сверху — возможные значения Y . В клетках таблицы записаны вероятности p ij возможных значений пары X и Y . Для того чтобы по- лучить из таблицы . частное распределение случайной величины X (т. е. для каждого возможного значения x i указать его вероятность P( X = x i )), надо для каждой i-й строки этой таблицы просуммировать § . Несколько случайных величин Таблица . X \ Y y 1 y 2 … y j … y n x 1 p 11 p 12 … p 1 j … p 1 n x 2 p 21 p 22 … p 2 j … p 2 n x i p i1 p i2 … p ij … x in x m x n1 x n2 … p mj … x mn по j (т. е. по столбцам) вероятности p ij . Частное распределение слу- чайной величины Y из таблицы . получается соответственно сум- мированием вероятностей p ij по строкам. ... Непрерывные распределения. В непрерывном случае распре- деление вероятностей на числовой плоскости 2 описывает функция плотности. Это неотрицательная функция двух переменных x и y, ко- торую мы также обозначим, p(x, y). Функцию p(x, y) называют плот- ностью совместного распределения случайных величин X и Y или, коротко, совместной плотностью X и Y . Смысл у функции плотности — как одномерной, так и двумер- ной — один: это тот числовой множитель, на который надо умножить размер (длину, площадь, объем и т. д.) маленькой области, чтобы получить приблизительную вероятность присущей этой области ве- роятности. Если U — некоторая область на плоскости, которая содержит точку ( x, y) и диаметр которой мал, то P(( X , Y ) ∈ U) ≈ p(x, y)|U|, где |U| обозначает площадь области U. Математически точное выражение этой мысли включает переход к пределу: если d — диаметр области U, то совместная плотность p(x, y) в точке (x, y) пары случайных величин ( X , Y ) равна p(x, y) = lim d→0 P((X , Y ) ∈ U) | U | , (..) если этот предел существует. С помощью двумерной плотности можно выразить вероятность то- го, что случайная точка (X, Y ) при осуществлении эксперимента ока- жется внутри данной двумерной области, скажем области D. Эта ве- Глава . Случайные величины роятность равна P(( X , Y ) ∈ D) = ( x, y)∈D p(x, y) dx dy. (..) Собственно, именно это интегральное равенство обычно принимают за определение плотности. Формула (..) при этом оказывается ее следствием. В частности, если D — это некоторый прямоугольник (со сторонами, параллельными координатным осям), то P(a 1 X a 2 , b 1 Y b 2 ) = a 2 a 1 b 2 b 1 p(x, y) dx dy. (..) Как и в одномерном случае, ту же вероятность имеют события (a 1 < < X a 2 , b 1 < Y b 2 ), ( a 1 X < a 2 , b 1 Y < b 2 ) и т. д. для всех комбина- ций знаков и <. Из формул (..) и (..) следует, в частности, что интеграл от плотности, взятой по всему пространству, равен 1. Заметим, что участвующая в формуле (..) функция плотно- сти может быть изменена в отдельных точках, на отдельных ли- ниях и т. п. множествах меры нуль без изменения значений ин- тегралов (..). Это замечание относится к любым плотностям. Оно означает, что плотности не вполне однозначно определяются вероятностями. Возможны несущественно различающиеся варианты. Ввиду этого данную выше формулу (..) надо уточнить: указанный предел должен существовать для «почти всех» (x, y). Для приложений эти математические тонкости не очень важны. На практике, разуме- ется, выбирают для (X, Y ) наиболее просто и регулярно устроенную функцию плотности p(x, y). Если пара (X, Y ) имеет плотность, то плотности, уже одномерные, имеют и случайные величины X и Y по отдельности. При этом част- ная (маргинальная) плотность, скажем, случайной величины X в точ- ке x ∈ 1 (почти для всех x — обычная математическая оговорка) равна f (x) = + ∞ −∞ p(x, y) dy. Аналогично частная плотность величины Y в точке y ∈ 1 равна g( y) = + ∞ −∞ p(x, y) dx. Заметно сходство между совместными распределениями вероят- ностей одной или нескольких случайных величин и распределения- § . Несколько случайных величин ми вероятностей на непрерывных пространствах элементарных исхо- дов. Это последнее распределение мы обсуждали ранее. Это сходство не случайно: если в случайном эксперименте мы ограничиваем свой интерес лишь наблюдением за одним или несколькими числовыми показателями (случайными величинами), у нас нет необходимости рассматривать какое-либо промежуточное пространство Ω, на кото- ром интересующие нас случайные величины будут определены как функции. В этом случае мы можем в качестве пространства элемен- тарных исходов рассмотреть то множество (числовую прямую, число- вая плоскость и т. д.), в котором принимают значения интересующие нас случайные величины — одна или несколько. Поэтому и матема- тические средства, описывающие распределения вероятностей, оди- наковы. Упражнения . Плотность распределения пары случайных величин (X, Y ) яв- ляется ненулевой константой на квадрате [0, 1] × [0, 1] и равна ну- лю для всех остальных точек числовой плоскости. Найдите значение функции плотности на квадрате [0, 1] × [0, 1]. Найдите частные функ- ции плотности случайных величин X и Y . (Это распределение назы- вают равномерным распределением на единичном квадрате.) . Плотность распределения пары случайных величин (X, Y ) яв- ляется ненулевой константой на прямоугольнике [0, a] × [0, b] (a > 0 и b > 0) и равна нулю для всех остальных точек числовой плоскости. Найдите значение функции плотности на квадрате [0, a] × [0, b]. Най- дите частные функции плотности случайных величин X и Y . . Плотность распределения пары случайных величин (X, Y ) зада- на на всей числовой плоскости следующим образом: p(x, y) = 1 2 π exp − x 2 + y 2 2 Найдите частные функции плотности случайных величин X и Y . Для решения задачи надо вспомнить стандартное нормальное распреде- ление на числовой прямой. (Приведенное распределение пары слу- чайных величин называют стандартным двумерным распределением. Ниже мы поговорим о нем более подробно.) .. Числовые характеристики совместных распределений Из числовых характеристик двух или нескольких случайных ве- личин наиболее важны их моменты — первые и вторые. Для одной случайной величины X первый момент — это ее математическое ожидание EX, второй (центральный) момент X — это дисперсия Глава . Случайные величины DX = E( X − EX) 2 . Подобно этому, первый момент пары случайных ве- личин (X, Y ) — это пара чисел (EX, EY ). При геометрическом взгляде на (X, Y ) как на случайную точку на координатной плоскости (x, y) первый момент — это точка этой плоскости с координатами (EX, EY ), в определенном смысле центр распределения вероятности на этой плоскости. Вторых центральных моментов у пары (X, Y ) три: помимо уже из- вестных вторых моментов (дисперсий) каждой из случайных величин X и Y : DX = E( X − EX) 2 и DY = E(Y − EY ) 2 , есть еще смешанный вто- рой центральный момент E[(X − EX)(Y − EY )]. Его называют ковари- ацией. Ковариация Cov(X, Y ) случайных величин X и Y входит в выраже- ние для D(X + Y ). Следуя определению дисперсии, найдем, что D( X + Y ) = E[( X − EX) + (Y − EY )] 2 = E( X − EX) 2 + + 2 E[( X − EX)(Y − EY )] + E(Y − EY ) 2 = DX + 2 Cov( X , Y ) + DY , если эти моменты существуют. Определение ... Ковариацией Cov( X , Y ) пары совместно рас- пределенных случайных величин (X) и (Y ) называют Cov( X , Y ) = E[( X − EX)(Y − EY )], если указанное математическое ожидание существует. Легко видеть, что верна и другая формула: Cov( X , Y ) = EXY − EX · EY . Очевидно, что Cov(X, Y ) = Cov(Y , X). Из свойств ковариации отме- тим, что для произвольных чисел A, a, B, b выполняется равенство Cov( aX + A, bY + B) = ab Cov( X , Y ). Это свойство вытекает из свойств математического ожидания случай- ных величин. Из вторых центральных моментов пары случайных величин (X, Y ) образуют симметричную матрицу, называемую матрицей ковариа- ции: DX Cov( X , Y ) Cov( X , Y ) DY В формулах, приведенных выше, участвуют не только математиче- ские ожидания случайных величин X и Y порознь, но и математиче- ские ожидания функций от пары (X, Y ), в частности математическое ожидание их произведения EXY . Ясно, что XY тоже случайная вели- чина и что ее математическое ожидание можно определить обычным § . Несколько случайных величин порядком, с помощью функции распределения XY или ее плотности. По счастью, прибегать к этому сложному способу нет необходимости: математическое ожидание EXY можно вычислить и более просто. Для дискретных случайных величин (X, Y ) имеем EXY = ( i, j) x i y j p ij Если пара (X, Y ) имеет совместную плотность p(x, y), то EXY = + ∞ −∞ xy · p(x, y) dx dy. Вообще, для случайной величины g(X, Y ), где g(x, y) — некоторая функция двух переменных, в дискретном случае Eg( X , Y ) = ( i, j) g(x i , y j ) p ij , а если есть совместная плотность, то Eg( X , Y ) = + ∞ −∞ g(x, y)p(x, y) dx dy. Для существования математических ожиданий необходимо, чтобы указанные ряды и интегралы сходились абсолютно. Другие известные в одномерном случае числовые характеристики распределения вероятностей, такие как квантили (медиана, кванти- ли, квартили, децили и т. д.), общепринятых многомерных аналогов не имеют. .. Независимые случайные величины Понятие независимости случайных величин столь же важно для теории вероятностей, как независимость событий или независимость случайных экспериментов; оно тесно с ними связано. Говоря описа- тельно, случайные величины X и Y , наблюдаемые в одном экспери- менте (по-другому говоря, имеющие совместное распределение), на- зываются независимыми (стохастически независимыми), если неза- висимы любые события, которые по отдельности выражаются через X и через Y . Мы говорим, что случайное событие A выражается с помощью слу- чайной величины X (через X), если описание события A связано толь- ко со значением, которое принимает X в случайном опыте. Событие A произойдет в опыте, только если значение X окажется удовлетворя- ющим определенным условиям. Таковы, например, события (X = a), Глава . Случайные величины ( X a), (a < X < b), (a X b) либо ( X > c) и т. д. (Здесь a, b, c — чис- ла.) События, которые можно выразить с помощью X, разнообразны и могут формулироваться сложно (так же как события, выражающи- еся через Y ). И все такие события должны быть попарно независи- мы. Впрочем, для независимости величины X и Y достаточно, чтобы независимыми были события вида (a 1 X a 2 ) и ( b 1 Y b 2 ). Тогда, как можно показать, попарно независимыми окажутся и все прочие события. Поэтому в качестве определения независимости можно принять такое определение. Определение ... Случайные величины X и Y независимы, если при любых числах a 1 , a 2 , b 1 , b 2 независимы события A = (a 1 < X < a 2 ) и B = (b 1 < Y < b 2 ), т. е. если P(A ∩ B) = P(A)P(B). Проверять независимость случайных величин с помощью этого определения приходится редко. Скорее наоборот, из независимости случайных величин, которая устанавливается как-то иначе, мы по- лучаем способ для вычисления вероятностей событий вида A ∩ B. Независимость же случайных величин чаще всего обеспечивает- ся постановкой либо свойствами случайного эксперимента, когда, например, эти случайные величины определяются результатами неза- висимых опытов. Для дискретных случайных величин условия независимости упро- щаются и определение .. может быть преобразовано. Дискретные случайные величины X и Y независимы тогда и толь- ко тогда, когда для всех их возможных значений (x, y) выполняются равенства P( X = x, Y = y) = P( X = x)P(Y = y) для всех возможных значений (x, y). Здесь P(X = x) и P(Y = y) зада- ются формулами (..) и (..) и являются частными распределени- ями случайных величин X и Y в совместном эксперименте. Для непрерывных случайных величин X и Y , имеющих совмест- ную плотность распределения p(x, y), необходимое и достаточное условие их независимости — представление p(x, y) в виде произве- дения их частных (маргинальных) плотностей f (x) и g(x) p(x, y) = f (x)g( y) (с обычными для плотностей оговорками относительно возможных нарушений этого равенства в отдельных точках, на отдельных линиях и т. п.). § . Несколько случайных величин Для независимых случайных величин можно пополнить список свойств математического ожидания и дисперсии: если случайные величины X и Y независимы, то: EXY = (EX ) · (EY ). (..) Сразу из этого следует, что Cov(X, Y ) = 0, а потому D(X + Y ) = DX + DY при условии, что указанные моменты существуют. Мы можем доказать свойство (..) для дискретных случайных величин и для случайных величин, имеющих совместную плотность. Для таких случайных величин формулы для EXY были даны выше. При обращении к этим формулам надо вспомнить, что для независимых случайных величин X и Y выполняются равенства P(X = x i , Y = y j ) = = P( X = x i ) P(Y = y j ) для вероятностей и p(x, y) = f (x)g( y) для плот- ностей. Приведем доказательство только для дискретных величин X и Y , поскольку для непрерывных оно практически повторяется слово в слово — с заменой сумм интегралами. Итак, EXY = i j x i y j p ij = i j x i y j P( X = x i ) P(Y = y j ) = = i x i P( X = x i ) j y j P(Y = y j ) = ( EX )(EY ). Упражнения . Плотность распределения пары случайных величин (X, Y ) явля- ется ненулевой константой на квадрате [0, 1] × [0, 1] и равна нулю для всех остальных точек числовой плоскости. Можно ли считать слу- чайные величины X и Y независимыми? . Плотность распределения пары случайных величин (X, Y ) явля- ется ненулевой константой на квадрате [0, 1] × [0, 1] и равна нулю для всех остальных точек числовой плоскости. Найдите дисперсию случайной величины X + Y . . Плотность распределения пары случайных величин (X, Y ) зада- на на всей числовой плоскости следующим образом: p(x, y) = 1 2 π exp − x 2 + y 2 2 Можно ли считать случайные величины X и Y независимыми? Най- дите дисперсию случайных величин X + Y и (X + Y )/2. . Найдите дисперсию суммарного числа очков, выпавших при двукратном бросании игральной кости. Глава . Случайные величины .. Коэффициент корреляции Из формулы (..) можно увидеть, что обращение в нуль ковари- ации является необходимым условием независимости случайных ве- личин (если вторые моменты существуют). Вообще говоря, равенство нулю ковариации не обеспечивает независимости случайных вели- чин. Но есть важное исключение: совместно нормально распределен- ные случайные величины. Об этом подробно будет сказано в следую- щем пункте настоящего параграфа. Для случайных величин, которые не являются независимыми, же- лательно иметь численную меру, выражающую их взаимную зависи- мость и взаимосвязь. Сразу заметим, что различие между совместным распределением и произведением маргинальных распределений (это совместное распределение в случае независимости) — объект слиш- ком сложный, чтобы его можно было адекватно выразить одним чис- лом или даже несколькими числами. Все же некоторые показатели такого рода могут быть полезны. Остановимся на наиболее употре- бительном из них, основанном на свойстве ковариации обращаться в нуль для независимых случайных величин. Использование самой ковариации в качестве меры связи случай- ных переменных неудобно, так как величина ковариации зависит от единиц измерения, в которых измерены случайные величины. При переходе к другим единицам измерения (например, от метров к сан- тиметрам) ковариация тоже изменяется, хотя степень связи случай- ных переменных, естественно, остается прежней. Поэтому в качестве меры связи признаков обычно используют другую числовую величи- ну, называемую коэффициентом корреляции. Определение ... Коэффициентом корреляции случайных вели- чин X и Y (обозначение Corr(X, Y ), либо ρ(X, Y ), либо просто ρ) на- зывают ρ = Cov( X , Y ) DX DY Заметим, что для существования коэффициента корреляции необ- ходимо (и достаточно) существование дисперсий DX > 0, DY > 0. Свойства коэффициента корреляции. Отметим следующие свой- ства коэффициента корреляции. . Модуль коэффициента корреляции не меняется при линейных преобразованиях случайных переменных: |ρ(X, Y )| = |ρ(X ′ , Y ′ )|, где X ′ = a 1 + b 1 X , Y ′ = a 2 + b 2 Y , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 — произвольные числа. . Справедливо неравенство |ρ(X, Y )| 1. § . Несколько случайных величин . Равенство |ρ(X, Y )| = 1 достигается тогда и только тогда, когда слу- чайные величины X и Y линейно связаны, т. е. существуют такие числа a, b, что P(Y = aX + b) = 1. . Если X и Y статистически независимы, то ρ(X, Y ) = 0. Уже отмеча- лось, что обратное заключение, вообще говоря, неверно. Об этом мы еще будем говорить. Свойства и проверяются непосредственно. Докажем свойства и (при же- лании читатель может эти доказательства пропустить). Пусть t — переменная вели- чина в смысле математического анализа. Рассмотрим дисперсию случайной величи- ны D(Y − tX) как функцию переменной t. По свойствам дисперсии D(Y − tX) = t 2 DX − − 2t Cov(X , Y ) + DY , т. е. дисперсия представляется квадратным трехчленом от t. Этот квадратный трехчлен неотрицателен, поскольку дисперсия всегда неотрицательна. По- этому для его дискриминанта справедливо равенство [Cov(X , Y )] 2 − DXDY 0, а это и означает, что |ρ(X, Y)| 1 (свойство ). Для доказательства свойства заметим, что при |ρ(X, Y )| = 1 дискриминант при- веденного выше квадратного трехчлена обращается в 0, а поэтому при некотором t 0 значение D(Y − t 0 X ) равно нулю. Равенство нулю дисперсии означает, что эта случай- ная величина постоянна, т. е. для некоторого c вероятность события (Y − t 0 X = c) равна единице, что и требовалось доказать. Итак, корреляция случайных величин принимает значения от −1 до 1; она может быть равна ±1, только если эти величины линей- но зависят друг от друга. Значения корреляции, близкие к −1 или 1, указывают, что зависимость случайных величин друг от друга почти линейная. Значения ковариации, близкие к нулю, означают, что связь между случайными величинами либо слаба, либо не носит линейного характера. Существует много других показателей для связи случайных пе- ременных и других коэффициентов корреляции, не столь известных, как описанный выше. (Для различения этот коэффициент корреляции называют также коэффициентом корреляции Пирсона, классическим коэффициентом корреляции и т. д.) Понятие корреляции как меры линейной связи играет в настоя- щее время фундаментальную роль в прикладных исследованиях. Для практики важно знать, есть ли какая-то взаимосвязь между одновре- менно измеряемыми показателями, если они подвержены случайной изменчивости. Можно ли считать эти показатели независимыми? Ес- ли зависимость есть, то насколько она сильна? .. Примеры совместных распределений В теорией вероятностей для отдельного изучения выведено не так уж много многомерных распределений (в отличие от одномерных, ко- торым посвящена отдельная глава этой книги). Наиболее известные Глава . Случайные величины из них — равномерное и нормальное распределения. Эти распреде- ления уже возникали у нас в упражнениях к предыдущим пунктам. Здесь мы поговорим о них подробнее. Равномерное распределение на области D задается с помощью плотности. Эта функция плотности принимает всего два значения: 0 вне области D и |D| −1 внутри D, где |D| обозначает площадь области D. Можно было бы просто сказать, что плотность постоянна внутри области D. Тогда ее значение |D| −1 определилось бы тем, что интеграл плотности по всему пространству равен 1. Пусть (X, Y ) — пара случайных величин, равномерно распреде- ленная в области D. Рассмотрим два простых примера области D. Пусть D — прямоугольник с центром (a, b), стороны которого па- раллельны координатным осям. В этом случае случайные переменные X и Y независимы, EX = a, EY = b. Пусть теперь D — круг с центром (a, b). Покажите, что EX = a, EY = b, Cov( X , Y ) = 0, но случайные переменные X и Y взаимно зависимы. Нормальное распределение. Рассмотрим пару случайных вели- чин (X, Y ), и пусть ρ — коэффициент корреляции между X и Y . Вве- дем следующие обозначения для математических ожиданий и диспер- сий случайных величин X и Y : µ x = EX , σ 2 x = DX , µ y = EY , σ 2 y = DY . Определение ... Распределение пары случайных величин ( X , Y ) называют нормальным или двумерным нормальным, если их совмест- ная плотность p(x, y) задается формулой p(x, y) = 1 2 πσ x σ y 1 − ρ 2 × × exp − 1 2(1 − ρ 2 ) ( x − µ x ) 2 σ 2 x − 2ρ ( x − µ x )( y − µ y ) σ x σ y + ( y − µ y ) 2 σ 2 y (..) Частные (маргинальные) распределения переменных X и Y тоже нормальные (одномерные) с параметрами, указанными выше. Ранее мы отметили, что для независимых случайных величин ко- эффициент их корреляции равен 0. Для случайных величин, имею- щих совместное нормальное распределение, верно и обратное заклю- чение: случайные величины X и Y независимы, если ρ = 0. (Из фор- мулы (..) легко увидеть, что совместная плотность в этом случае превращается в произведение маргинальных плотностей.) Глава Некоторые важные распределения вероятностей Вступление. Подчиняются ли каким-то законам явления, носящие случайный характер? Да, но эти законы отличаются от привычных нам физических законов. Значения случайных величин невозможно предугадать даже при полностью известных условиях эксперимента, в котором они измеряются. Мы можем лишь указать вероятности того, что случайная величина принимает то или иное значение или попадает в то или иное множество. Зато, зная распределения веро- ятностей интересующих нас случайных величин, мы можем делать выводы о событиях, в которых участвуют эти случайные величины. Правда, эти выводы будут также носить вероятностный характер. Среди всех вероятностных распределений есть такие, которые ис- пользуются на практике особенно часто. Эти распределения детально изучены, и свойства их хорошо известны. Многие из этих распреде- лений лежат в основе целых областей знания, таких как теория мас- сового обслуживания, теория надежности, контроль качества, теория измерений, теория игр и т. п. В этой главе мы расскажем о некоторых из таких распределений, покажем типичные ситуации, в которых они необходимы, выведем их основные числовые характеристики, дадим описания наиболее распространенных таблиц распределений и пра- вил их использования. Кроме того, будет рассмотрено компьютерное моделирование различных распределений и расчет вероятностей раз- личных событий с помощью пакета EXCEL. Большинство применяемых на практике распределений являются дискретными или непрерывными. Среди дискретных распределений будут рассмотрены биномиальное и пуассоновское, среди непрерыв- ных — показательное и нормальное. Мы не включили в эту книгу ряд важных статистических распределений: Стьюдента, хи-квадрат и F- распределение Фишера, так как рассказ о них требует обсуждения ти- пичных статистических задач (см. []) и более сложных технических средств. На наш взгляд, эти распределения уместней рассматривать в курсах математической статистики. |