Учебник для экономических и гуманитарных специальностей Рекомендовано умо по образованию в области экономики
 Скачать 4.07 Mb.
|
|
§ . Числовые характеристики случайных величин Выше мы выяснили, что любая случайная величина порожда- ет функцию распределения. Эта функция удобна для вычисления вероятностей различных событий, но одновременно может быть довольно громоздка, так как для практических целей часто возникает необходимость знать ее значения во многих точках. Поэтому, наря- ду с подробными описаниями функций распределения, стремятся охарактеризовать случайную величину всего несколькими числами. Эти числовые характеристики функций распределения одновременно дают представление и о поведении случайной величины, и их также называют числовыми характеристиками случайных величин. Наиболее часто употребляемыми характеристиками случайной величины (и соответствующего распределения вероятностей) служат моменты и квантили. Ниже мы их определим, но надо сделать оговорку: универсальные (пригодные для любых случайных величин) определения этих характеристик требуют более сложного матема- тического аппарата, чем тот, который мы используем в этой книге. Поэтому этих общих определений мы приводить не будем. Вместо этого мы дадим более простые определения для дискретных и для непрерывных случайных величин отдельно. .. Математическое ожидание Начнем с так называемого первого центрального момента случай- ной величины X, называемого также математическим ожиданием или средним значением X. Его обозначают через MX или EX. В этой книге мы будем использовать обозначение EX. Символ E в обозначе- нии математического ожидания EX происходит от английского слова expectation, означающего ожидание. Первоначально термин матема- тическое ожидание был введен для определения ожидаемого (средне- го) выигрыша в многократно повторяемой игре. В дальнейшем оказа- § . Числовые характеристики случайных величин лось, что это понятие удобно для характеристики положения «центра» распределения многих случайных величин. ... Определение и примеры. Определение ... Математическим ожиданием дискретной слу- чайной величины X называют сумму всех возможных произведений вида x · P(X = x), где x обозначает возможное значение случайной величины X. В виде формулы это определение можно записать как EX = x x · P(X = x), причем суммирование идет по всем возможным значениям случай- ной величины. Если множество возможных значений величины X конечно, то EX всегда существует и не зависит от порядка суммирования. Если это множество бесконечное (счетное), то речь идет о сумме бесконечного ряда значений. Эта сумма может и не существовать, и тогда говорят, что у случайной величины нет математического ожидания. Условие независимости результата от порядка суммирования вы- ступает как дополнительное требование к распределению случайной величины X для того, чтобы существовало математическое ожидание. Если возможные значения дискретной случайной величины X за- нумерованы и распределение X представлено таблице ., то формула для ее математического ожидания упрощается. В этом случае опреде- ление .. превращается в следующее определение. Определение ... Для дискретной случайной величины X со значениями x 1 , x 2 , …, имеющими вероятности p 1 , p 2 , …, математи- ческое ожидание определяется формулой EX = k x k p k Для бесконечного, счетного числа возможных значений X необ- ходимым и достаточным условием существования математического ожидания служит требование абсолютной сходимости ряда, т. е. дол- жен сходиться ряд k |x k |p k Определение ... Для непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности p(x) математическое ожидание определя- ется формулой EX = ∞ −∞ xp(x) dx, причем интеграл должен сходиться абсолютно. Глава . Случайные величины Рассмотрим некоторые примеры на вычисление математических ожиданий. Пример . Случайная величина X — число выпавших очков при бросании одной игральной кости. Возможные значения X — это числа 1, 2, 3, 4, 5, 6; вероятность появления любого из них — одна шестая, если кость правильная. Производя подсчет по формуле из определе- ния .., получаем EX = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3,5. Заметим, что это число находится в некотором смысле посредине между возможными значениями случайной величины. Пример . Математическое ожидание числа очков, выпавших при бросании двух игральных костей, можно вычислить по той же формуле. Распределение этой случайной величины было дано в п. . (см. таблицу .). Подсчет дает значение 7. Но проще и правильней здесь действовать иначе: воспользоваться одним из свойств математического ожидания, которые будут указаны ниже. Пусть X 1 — число очков, выпавшее на первой кости, X 2 — число очков на второй. Интересующее нас общее число очков — это X 1 + X 2 , а нужное нам свойство математического ожидания: E( X 1 + X 2 ) = EX 1 + EX 2 ; отсюда вновь получаем значение 7. Пример . Математическое ожидание случайной величины, рав- номерно распределенной на отрезке [a, b], получаем по формуле из определения ..: b a x b − a dx = b 2 − a 2 2( b − a) = a + b 2 Заметим, что значение a + b 2 является серединой отрезка [a, b]. Пример . Математическое ожидание для показательного рас- пределения. Плотность этого распределения указана в п. ., и там же было сказано, что это распределение служит математической моделью случайного срока службы изделия. Вычисления по формуле из определения .., получаем ∞ 0 x θ e − x θ dx = θ . Теперь мы можем указать вероятностный смысл параметра θ : это ожидаемое время службы изделия; чем больше θ , тем долговечнее (надежнее) изделие. § . Числовые характеристики случайных величин Как говорилось выше, приведенные определения EX не являют- ся исчерпывающими, поскольку пригодны не для всех видов случай- ных величин. Общее определение математического ожидания выгля- дит следующим образом: EX = x dF X ( x), где F X ( x) — функция распределения вероятностей, порожденного случайной величиной X. Приведенные выше формулы для дискрет- ного и непрерывного распределений являются частными случаями этого выражения. Мы не будем пользоваться общим определением, и потому не будем разъяснять, как понимать и вычислять такие интегралы. Заметим, что существуют распределения вероятностей без мате- матического ожидания. С такими случайными величинами иногда приходится сталкиваться на практике. Простой пример — «игра в ор- лянку», где двое поочередно бросают правильную монету. Если выпа- дает герб, выигрывает игрок A, если решка — игрок B. Неожиданная (на первый взгляд) черта этой игры состоит в том, что в выигрыше практически постоянно находится один игрок. Впрочем, с вероятно- стью 1 когда-нибудь наступит и момент ничьей. Так вот, случайное время (число партий) до наступления первого ничейного момента не имеет математического ожидания. Математическое ожидание этой случайной величины бесконечно. Можно дать и более формальный пример: пусть случайная вели- чина X принимает значения 1 1 , 2 2 , …, n n , … с вероятностями 2 −1 , 2 −2 и т. д. Эта случайная величина не имеет математического ожидания. ... Свойства математического ожидания. Перечислим с пояс- нениями, но без детального доказательства основные свойства мате- матического ожидания. . Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной. Постоянную величину можно рассматривать как вырожденный слу- чай дискретной случайной величины, т. е. как случайную величину, которая принимает лишь одно значение с вероятностью единица. Ясно, что никакой случайности при этом не наблюдается. Указанное свойство вытекает прямо из определения математического ожида- ния. Его упоминают потому, что случайные величины на практике часто приходится преобразовывать, и надо уметь вычислять матема- тические ожидания преобразованных случайных величин. Глава . Случайные величины . Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т. е. E( X + Y ) = EX + EY . Это совсем не очевидное свойство. На примере суммы числа оч- ков при двукратном бросании игральной кости мы видели, что рас- пределение суммы случайных величин (в данном случае числа очков, выпавших при первом и втором броске) отличается от исходных рас- пределений каждой из случайных величин. Вычислить математиче- ское ожидание числа очков на одной игральной кости совсем просто. А вот вычисление математического ожидания суммы числа очков при двукратном бросании кости требует несколько больших усилий, если действовать по определению. Сначала надо вычислить распределение суммы, а потом считать само математическое ожидание. . Математическое ожидание произведения случайной величины на константу равно произведению этой константы на математическое ожидание случайной величины, т. е. E(aX ) = aEX . (Другими словами, постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.) Это свойство следует прямо из опреде- ления. Все возможные значения случайной величины aX получаются путем умножения значений исходной случайной величины на кон- станту a. При этом вероятности этих значений (или плотность рас- пределения) не меняются. Сформулированное свойство — следствие того, что постоянный множитель можно вынести как за знак суммы (для дискретной случайной величины), так и за знак интеграла (для непрерывной случайной величины). Полезно иметь в виду следующее геометрическое толкование ма- тематического ожидания. Пусть F(x) — функция распределения слу- Рис. .. Геометрическая интерпретация математического ожидания § . Числовые характеристики случайных величин чайной величины X. Тогда EX равно разности площадей, заключен- ных между осью ординат, прямой y = 1 и кривой y = F(x) в интервале (0, +∞), и между осью абсцисс, кривой y = F(x) и осью ординат в промежутке (−∞, 0) (см. рис. .). Это правило позволяет во многих случаях находить математическое ожидание почти без вычислений, используя различные свойства функции распределения. Упражнения . Во многих детских играх для передвижения по игровому полю используется игральная кость. Фишка передвигается на число полей, равное числу очков, выпавшему на игральной кости. На сколько по- лей в среднем продвинется один игрок за десять ходов? Другими сло- вами, чему равно математическое ожидание суммы числа очков при десятикратном бросании игральной кости? . Случайные величины X и Y имеют равномерное распределение вероятностей на отрезке [0, 1]. Вычислите математическое ожидание случайной величины X + Y . Найдите плотность распределения веро- ятности X + Y . (Эта задача является непрерывным аналогом задачи о математическом ожидании числа очков, выпавших при одном и двух бросках игральной кости. Заметим, что если найти плотность распределения суммы двух равномерно распределенных случайных величин относительно просто, то переход к сумме трех, четырех и т. д. подобных случайных величин поиск плотности усложняет. Однако благодаря свойствам математического ожидания вычисление математического ожидания суммы нескольких равномерно распреде- ленных случайных величин остается простой задачей.) .. Дисперсия Кроме среднего значения случайной величины, которое в опре- деленном смысле характеризует центр распределения вероятностей, представляет интерес и разброс случайной величины относитель- но этого центра. Для характеристики (количественного описания) данного разброса в теории вероятностей используют второй цен- тральный момент случайной величины. В русскоязычной литературе его называют дисперсией и обычно обозначают DX. В англоязычной литературе используется термин вариация, и дисперсию обозначают Var( X ). Определение ... Дисперсией DX случайной величины X назы- вается величина DX = E( X − EX) 2 (..) Глава . Случайные величины Дисперсия, так же как и математическое ожидание, существует не для всех случайных величин (не для всех распределений вероятно- стей). Выражение, стоящее под знаком математического ожидания в опре- делении дисперсии, можно преобразовать, воспользовавшись свойст- вами математического ожидания: DX = E( X − EX) 2 = E( X 2 − 2XEX + (EX) 2 ) = EX 2 − (EX) 2 (..) Формулу (..) удобнее использовать для вычисления дисперсии слу- чайных величин в практических задачах. Пример . Пусть X — число выпавших очков при бросании одной игральной кости. Дисперсия этой случайной величины может быть легко рассчитана по формуле (..). Для этого надо вычислить ма- тематическое ожидание случайной величины X 2 . Эта случайная ве- личина может принимать значения 1, 4, 9, 16, 25, 36 с одинаковой ве- роятностью 1/6 для каждого из них. Следовательно, EX 2 = 1 6 (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 91 6 ≈ 15,17, DX = EX 2 − (EX) 2 = 91 6 − (3,5) 2 = 2 11 12 ≈ 2,92. Пример . Дисперсия случайной величины, равномерно распре- деленной на отрезке [a, b], равняется DX = EX 2 − (EX) 2 = b a x 2 b − a dx − a + b 2 2 = ( b − a) 2 12 Если необходимо, чтобы показатель разброса случайной величины выражался в тех же единицах, что и значение этой случайной вели- чины, то вместо DX используют величину DX , которая называется средним квадратическим отклонением, или стандартным отклоне- нием случайной величины X . ... Свойства дисперсии. Из свойств дисперсии отметим следую- щие: . Дисперсия постоянной величины равна нулю. . Для любой неслучайной постоянной a выполняется равенство D( X + a) = D( X ), D(aX ) = a 2 D( X ). Упражнения Для следующих случайных величин вычислите их математическое ожидание и дисперсию. § . Числовые характеристики случайных величин . Случайная величина X может принимать только два значения: 1 и 0 с вероятностями p и q = 1 − p соответственно (0 < p < 1). . Случайная величина X — число орлов при двух подбрасываниях правильной монеты. . Правильную игральную кость бросают дважды. Случайная ве- личина X — наибольшее число очков, выпавшее за два броска. . Случайная величина X имеет симметричную плотность распре- деления вероятностей p(t), т. е. для любого t справедливо равенство p(t) = p(−t). Докажите, что EX = 0. . Случайная величина X имеет стандартное нормальное распре- деление вероятностей, т. е. плотность распределения вероятностей этой случайной величины есть p(t) = 1 2 π e − t2 2 Вычислите EX. ... Моменты. Кроме первого и второго моментов при описа- нии случайных величин иногда используются и другие моменты: тре- тий, четвертый и т. д. Мы дадим их определения отдельно для дис- кретных и для непрерывных случайных величин. Определение ... Для дискретной случайной величины X со значениями x 1 , x 2 , … , имеющими вероятности p 1 , p 2 , … , k-м мо- ментом EX k называется величина EX k = i x k i p i , а k-м центральным моментом называется величина i ( x i − EX) k p i . Для непрерывной случайной величины с плотностью p(x), k-м моментом называется величина ∞ −∞ x k p(x) dx, а k-м центральным моментом называется величина E(X − EX) k = ∞ −∞ ( x − EX) k p(x) dx. Чтобы приведенные формулы имели смысл, требуется, чтобы суммы и интегралы сходились абсолютно. Так же как математическое ожидание и дисперсия, моменты существуют не у всех случайных величин. ... Асимметрия и эксцесс. В отличие от обычных моментов, центральные моменты не меняются при прибавлении к случайной величине постоянного слагаемого, т. е. они не зависят от выбора начала отсчета в шкале измерения случайной величины. Но от вы- бранной единицы измерения зависимость остается: если, скажем, случайную величину начать измерять не в метрах, а в сантиметрах, то значения центральных моментов также изменятся. Иногда это бы- вает неудобно. В таких случаях, чтобы устранить подобное влияние, Глава . Случайные величины моменты тем или иным способом нормируют, например, деля их на соответствующую степень среднего квадратического отклонения. В результате получается безразмерная величина, не зависящая от выбора начала отсчета и единиц измерения исходной случайной величины. Чаще всего из нормированных моментов используются коэффици- енты асимметрии и эксцесса — соответственно третий и четвертый нормированные центральные моменты. Для случайной величины X: коэффициент асимметрии = E(X − EX ) 3 ( DX ) 3/2 , коэффициент эксцесса = E(X − EX ) 4 ( DX ) 2 − 3. При расчете коэффициента эксцесса тройку вычитают для того, чтобы коэффициент эксцесса нормального распределения оказался равным 0. (Об этом важном распределении см. далее в гл. .) Принято считать, что коэффициент асимметрии в какой-то степени характеризу- ет несимметричность распределения случайной величины, а коэффициент эксцесса — степень выраженности «хвостов» распределения, т. е. частоту появления удаленных от среднего значений. Иногда значения коэффициентов асимметрии и эксцесса исполь- зуют для проверки гипотезы о том, что наблюденные данные (выборка) принадлежат заданному семейству распределений, например нормальному. ... Квантили. Для случайных величин, принимающих значе- ния на числовой прямой, часто используются такие характеристики, как квантили. Определение ... Квантилью x p случайной величины, имею- щей функцию распределения F(x), называется решение x p уравнения F(x) = p. Напомним, что по определению F(x) = P(X x), т. е. для нахожде- ния квантили надо решить уравнение P( X x p ) = p относительно неизвестного x p . Таким образом, квантилью случайной величины называется такое значение x p , что вероятность не превы- сить его равна p. Величину x p часто называют p-квантилью или квантилью уровня p распределения F(x). Среди квантилей чаще всего используются ме- диана и квартили распределения. Медианой называется квантиль, соответствующая значению p = 0,5, т. е. медиана x 0,5 — это такая точка распределения случайной величи- ны, что последняя с одинаковой вероятностью принимает б´ольшие и меньшие значения, чем x 0,5 § . Числовые характеристики случайных величин Верхней квартилью называется квантиль, соответствующая значе- нию p = 0,75. Нижней квартилью называется квантиль, соответству- ющая значению p = 0,25. В описательной статистике и в социально-экономических прило- жениях нередко используют децили, т. е. квантили уровней 0,1, 0,2, … …, 0,9. Знание децилей позволяет неплохо представлять поведение графика функции y = F(x) в целом. В качестве примера использования понятия децилей в социально- экономической практике скажем, как вычисляется степень различия доходов бедных и богатых в обществе. Рассматривая распределение доходов, надо найти децили x 0,1 и x 0,9 , и соотнести их между собой. В этом случае дециль x 0,1 покажет наибольший доход среди 10% са- мых бедных, а дециль x 0,9 — наименьший доход среди 10% самых бо- гатых. Если эти две децили различаются в десятки раз, то в обществе есть предпосылки к социальной напряженности. Отметим, что уравнение F(x) = p, определяющее p-квантили, для некоторых значений p (0 < p < 1) может не иметь решений либо иметь неединственное решение. Для соответствующей случайной величины X это означает, что некоторые p-квантили не существуют, а некоторые определены неоднозначно. Упражнения . Случайная величина X — число очков, выпавшее при бросании одной кости. Укажите, для каких значений вероятности p решение уравнения F(x) = p: a) отсутствует; б) не единственно. . Случайная величина X имеет равномерное распределение ве- роятностей на отрезке [a, b]. Найдите значения нижней и верхней квартилей этой случайной величины и ее медиану. . Случайная величина X имеет экспоненциальное распределение с параметром θ = 1 (см. пример п. .). Для p = 0,95 найдите кван- тиль x p . Случайная величина X имеет экспоненциальное распределение с параметром θ = 2 (см. пример п. .). Найдите нижнюю и верхнюю квартили этой случайной величины и ее медиану. . Непрерывная случайная величина X имеет симметричную плот- ность распределения вероятностей p(t), т. е. для любого t выполняет- ся равенство p(t) = p(−t). Найдите медиану этой случайной величи- ны. Как связаны между собой нижняя и верхняя квартили этой слу- чайной величины? . Известно, что медиана случайной величины X равна a. Найдите медиану случайной величины X + c, где c — константа. |