Учебник для экономических и гуманитарных специальностей Рекомендовано умо по образованию в области экономики
 Скачать 4.07 Mb.
|
|
. Двумерная нормальная плотность распределения. Для приложений наиболее важна двумерная нормальная плот- ность. Ее можно рассматривать как обобщение уже упомянутой выше одномерной нормальной плотности. Двумерные нормальные плотности образуют целое семейство плотностей, зависящих от 5 параметров. Подробнее об этом см. в п. . гл. . В простейшем случае двумерная нормальная плотность (часто на- зываемая стандартной) имеет вид f (x, y) = 1 2 π e − x2 + y2 2 (..) Очевидно, что f (x, y) > 0 для любой пары чисел (x, y) координатной плоскости. Можно показать (переходя к полярным координатам), что ∞ −∞ f (x, y) dx dy = 1. Тем самым, f (x, y) из формулы (..) является функцией плотности. § . Вероятности случайных событий Рис. .. Стандартная двумерная нормальная плотность График стандартной двумерной нормальной плотности представ- лен на рис. .. Формально функция f (x, y) определена на всей числовой плоско- сти. Однако как видно из ее графика, ее значения существенно отли- чаются от нуля лишь в круге радиуса 3 с центром в нуле. Вероятность попасть в этот круг (т. е. объем под поверхностью плотности над этим кругом) превышает 0,99, т. е. это событие почти достоверное. Отсюда следует, что вероятность попадания в любую другую область, не пе- ресекающуюся с указанным кругом, мала. О понятии плотности вероятности. Понятие плотности не отно- сится исключительно к вероятности. Плотность — это общенаучное понятие; оно относится к многим величинам, распределенным в про- странстве (или времени) непрерывно — в отличие от тех, что сосре- доточены в отдельных точках пространства (или моментах времени). Вспомним плотность вещества (массы), энергии, электричества и т. д. География оперирует таким понятием, как плотность населения, а в физике атмосферы важную роль играет плотность атмосферы. Мы уже отмечали содержательный смысл плотности вероятности на числовой прямой, говоря, что вероятность попадания в малую окрестность точки a на числовой прямой примерно прямо пропорци- ональна величине плотности вероятности f (a) в этой точке: P(A) ≈ f (a)∆, где ∆ — размер (длина) малого интервала, содержащего точку a. С очевидными изменениями это правило вычисления вероят- ностей действует и в многомерном варианте. Пусть теперь A — область малого (стремящегося к нулю) диаметра, для которой a является внутренней точкой. Обозначим объем области A через |A|. Глава . Основы теории вероятностей (В двумерном случае |A| — это площадь области A; в трехмерном — собственно объем, в случае большего числа измерений |A| — это объем области A соответствующего числа измерений.) Тогда P(A) ≈ f (a)|A|, или, более формально, P(A) = f (a)|A| + o(|A|), где o(|A|) (читается «о-малое» от объема области A) мало по сравне- нию с |A|. Следовательно, f (a) и есть тот множитель, которым надо снабдить объем малой области, чтобы получить (приближенное) значение ее вероятности. Упражнения Могут ли приведенные ниже функции f (x) выступать в качестве плотности распределения вероятностей в 1 ? . Функция f (x), определенная как f (x) = 0, если x < 0; 1, если 0 x 1; 0, если x > 1. . Функция f (x), определенная как f (x) = 0, если x < 0; 1, если 0 x 2; 0, если x > 2. . Функция f (x), определенная как f (x) = 0, если x < 0; 2 x, если 0 x 1; 0, если x > 1. . Функция f (x), определенная как f (x) = 0, если x < 0; 6 x(1 − x), если 0 x 1; 0, если x > 1. § . Вероятности случайных событий . Функция f (x), определенная как f (x) = 0, если x < 0; sin x 2 , если 0 x π ; 0, если x > π. . Функция f (x), определенная как f (x) = 0, если x < 0; cos x 2 , если 0 x π ; 0, если x > π. . Функция f (x), определенная как f (x) = 0, если x < 0; | cos x | 2 , если 0 x π ; 0, если x > π. .. Вероятности в дискретных пространствах Основные положения. В дискретных пространствах число элемен- тарных исходов конечно или счетно и каждый элементарный исход ω , ω ∈ Ω, получает неотрицательную вероятность p(ω), p(ω) 0. Это число p(ω) количественно измеряет шансы на то, что случайный экс- перимент закончится именно этим способом (исходом) ω. Мы не ис- ключаем возможности того, что для некоторых ω вероятность p(ω) может оказаться равной нулю. Дело в том, что вычисление вероят- ностей может быть трудной задачей, и не всегда возможно решить заранее, окажется ли p(ω) для данного ω положительным числом или нулем. Вероятности элементарных исходов p(ω), ω ∈ Ω, должны удовле- творять двум условиям: p(ω) 0 для всех ω ∈ Ω, (..) p(ω) = 1. (..) Символ p(ω) означает сумму всех вероятностей p(ω) по всем эле- ментарным исходам. В дискретном пространстве каждое событие как подмножество ко- нечного или счетного множества Ω тоже является конечным или счет- ным множеством элементарных исходов. Глава . Основы теории вероятностей Определение ... Вероятность P(A) любого события A в дис- кретном пространстве элементарных исходов есть сумма вероятно- стей всех элементарных исходов, которые составляют событие A. Заметим, что следствием этого определения, в силу соотноше- ния (..), является выполнение равенства P(Ω) = 1. (..) Покажем, как — пользуясь определением .. — вычислить веро- ятность события. Пусть, для начала, A — конечное множество. В этом случае его элементы (элементарные исходы, составляющие A) можно перенумеровать. Запишем эти элементарные исходы как ω 1 , ω 2 , … …, ω N , где N — число элементов (точек), составляющих A. Теперь A = {ω 1 , …, ω N } , P(A) = p(ω 1 ) + p(ω 2 ) + … + p(ω N ). (..) Мы прибегли к нумерации элементарных исходов только ради того, чтобы представить сумму их вероятностей в привычном виде. Заме- тим, что введенная для этой цели нумерация исходов была выбра- на произвольно. Замечательно, что способ нумерации (порядок пе- речисления элементарных исходов) не отражается на результате, т. е. на P(A): изменение нумерации приводит лишь к изменению порядка слагаемых в (..). Поэтому без необходимости эту нумерацию вво- дить не следует, а участвующую в определении (..) сумму следует обозначать как-либо символически. Например, так: P(A) = ω∈A p(ω). (..) Символ ω∈A означает суммирование по совокупности элементов мно- жества A. С дискретными пространствами элементарных исходов часто при- ходится иметь дело на практике, когда надо осуществлять случайный выбор одного или нескольких объектов из некоторой генеральной совокупности (популяции). Введем возникающие при этом понятия и поясним, как задаются вероятности тех или иных исходов в подоб- ном случайном эксперименте. Выбор из конечной совокупности элементов. (Продолжение, нача- ло см. в п. . гл. .) Выбор из генеральной совокупности Ω называют случайным, если каждый элемент из Ω может оказаться выбранным с некоторой вероятностью p(ω). Определение ... Простым случайным выбором одного эле- мента ω из генеральной совокупности Ω называют такой выбор, при котором вероятности оказаться выбранными одинаковы у всех ω ∈ Ω. § . Вероятности случайных событий Ясно, что если генеральная совокупность состоит из N элементов, то p(ω) = 1 N для любого ω ∈ Ω. Определение ... Случайный выбор n элементов (где n — неко- торое заданное число) называют простым, если каждое множество из n элементов генеральной совокупности имеет равную с другими такими множествами из n элементов вероятность быть выбранным. Простой случайный выбор множества из n элементов можно осу- ществить последовательно, проводя по очереди простой случайный выбор одного элемента из оставшегося числа элементов в генераль- ной совокупности до получения n элементов. Предположим, что часть элементов генеральной совокупности об- ладает некоторым определенным свойством (далее — свойством A), а другая часть — нет. Для промышленной продукции A может озна- чать, что изделие удовлетворяет техническим требованиям; для мар- кетинговых исследований A может быть готовностью потребителя ку- пить данный товар; в электоральных исследованиях A может быть готовностью избирателя поддержать данного кандидата и т. д. Пусть M — число таких элементов множества A. Их долю в генеральной со- вокупности обозначим θ : θ = M N . Во многих случаях исследователей интересует именно величина θ . Выборочный метод позволяет выяс- нить если не точное, то хотя бы приближенное значение θ . Приближенное значение неизвестной величины, когда оно вычис- лено по наблюдениям, т. е. по результатам случайного опыта, в ста- тистике называют оценкой или статистической оценкой. Обычно в качестве оценки θ берут долю элементов выборки, обладающих свой- ством A. Если число элементов выборки, обладающих свойством A, обозначить через X, то θ — оценка (приближенное значение) величи- ны θ по выборке — есть θ = X n , где n — число выбранных элементов, или объем выборки. Несложно найти вероятности событий {X = m}, где m — целое число, 0 m n, для простого случайного выбора n элементов из генеральной совокупности численностью N, среди которых имеется M = θ · N элементов со свойством A. Выбор подмножества числен- ности n из N может быть осуществлен C n N способами. (Заметим, что порядок выбора элементов в этой задаче нам не существен.) Напомним, что величина C n N (читается «це из N по n») называется числом сочетаний n элементов из N элементов или биномиальным коэффициентом. Для ее расчета удобно ввести понятие факториала произвольного натурального числа k, которое обозначают k! (чита- Глава . Основы теории вероятностей ется «k факториал»). По определению k! равно произведению целых чисел от 1 до k: k! = 1 · 2 · 3 · … · k. Для удобства и единообразия математических записей также принято соглашение, что 0! = 1. С помощью факториала величина C n N записы- вается так: C n N = N! n! · ( N − n)! Итак, число различных выборок n элементов из множества N эле- ментов равно C n N . Событию {X = m} благоприятствует выбор m эле- ментов со свойством A и n − m элементов без этого свойства. Всего таких выборок C m M · C n−m N−M . Так как при простом случайном выборе ве- роятности оказаться выбранными одинаковы для всех подмножеств равной численности, получаем соотношение P( X = m) = C m M · C n−m N−M C n N (..) Рассмотрим простой практический пример, поясняющий сказан- ное. Социологи, политологи, маркетологи, психологи часто прибега- ют к работе с фокус-группами, т. е. небольшими группами респонден- тов, представляющих разные социальные, возрастные и прочие слои населения. Рассмотрим упрощенную задачу по формированию фокус- группы. В качестве генеральной совокупности рассмотрим всех сту- дентов курса численностью N = 100 человек. Среди них выделим под- множество A — учащихся только на отлично. Пусть их число M = 20, т. е. отличником является каждый пятый студент. Мы хотим сформи- ровать фокус-группу из n = 24 человек для обсуждения качества пре- подавания на курсе. Для получения объективного мнения прибегнем к процедуре случайного выбора, чтобы избежать односторонних мне- ний. Какова вероятность того, что в сформированной фокус-группе окажется половина (m = 12) отличников (т. е. их доля будет заметно выше, чем в целом по курсу)? Согласно соотношению (..) имеем P( X = 12) = C 12 20 · C 24−12 100−20 C 24 100 = 20! 12!·8! · 80! 12!·68! 100! 24!·76! ≈ 0,0001. Таким образом, вероятность случайным образом отобрать в фокус- группу половину отличников невелика. Это событие почти невозмож- ное. Заметим, что для расчета вероятности в этом примере приходит- ся прибегать уже к тем или иным техническим средствам: научно- му калькулятору, включающему автоматическое вычисление C n N , или, скажем, программе EXCEL на компьютере. § . Вероятности случайных событий Основные положения. Продолжение. Определение вероятности (..) для события A, состоящего из конечного числа элементарных исходов, можно естественным образом расширить на случай, когда таких исходов в событии A бесконечное, но счетное число. Элементы счетного множества тоже можно перенумеровать. Для события A, включающего счетное число исходов, конечная сумма (..) будет заменена рядом (сходящимся из-за условий (..) и (..)). Порядок перечисления, т. е. способ нумерации, здесь тоже не влияет на сумму ряда (свойство абсолютно сходящихся рядов). Приведем пример одного из важнейших на практике дискретных распределений на бесконечном, счетном пространстве элементарных исходов. Распределение Пуассона . Пространством элементарных исходов Ω этого распределения является совокупность всех неотрицательных целых чисел, т. е. Ω = (0, 1, 2, …). Вероятность p(ω) элементарного исхода ω, т. е. вероятность, приходящаяся на долю числа m (из ука- занной выше совокупности), равна p(m) = λ m m! e −λ , m = 0, 1, 2, … (..) Здесь λ > 0 — произвольное число, параметр распределения. Так что описанные распределения Пуассона образуют однопараметрическое семейство. Легко проверить, что условие (..) выполнено, для этого доста- точно убедиться, что ∞ m=0 λ m m! e −λ = e −λ ∞ m=0 λ m m! = 1, так как e λ представляется в виде ряда e λ = ∞ m=0 λ m m! Подробнее о распределении Пуассона рассказано в § гл. . Упражнения . В тесте с выбором одного правильного ответа из четырех воз- можных задайте вероятности выбора каждого из ответов, считая, что правильный ответ неизвестен и нет никаких дополнительных основа- ний считать какой-либо ответ предпочтительнее других. Названо по имени французского математика, механика и физика С. Д. Пуассона (—), внесшего значительный вклад в развитие теории вероятностей. Глава . Основы теории вероятностей . Случайный эксперимент может закончиться одним из пяти возможных элементарных исходов ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 , ω 5 . Известно, что p(ω 1 ) = 1/16, p(ω 2 ) = 1/8, p(ω 3 ) = 1/4, p(ω 4 ) = 1/2. Найдите p(ω 5 ). . В случайном эксперименте с подбрасыванием правильной мо- неты четыре раза возможны 16 различных элементарных исходов. Ка- кие вероятности, на ваш взгляд, разумно приписать этим исходам? . В случайном эксперименте с подбрасыванием правильной мо- неты три раза орел может выпасть при каждом броске, два раза, один или не выпасть совсем. Какие вероятности разумно приписать этим событиям? . Игральную кость бросают один раз. Вычислите вероятности событий: выпало четное число очков; выпало число очков, кратное трем; число выпавших очков простое; число выпавших очков превы- сило 3. . Игральную кость бросают два раза. Вычислите вероятности со- бытий: выпало две шестерки; выпал дубль; на каждой кости выпало четное число очков; на первой кости выпало больше очков, чем на второй. . Случайный эксперимент состоит в простом случайном выборе одного числа из отрезка натурального ряда от 1 до 100. Вычислите ве- роятности событий: выбранное число четное; выбранное число крат- но пяти. . В студенческой группе 20 студентов, из которых пятеро — юноши. Какова вероятность того, что при простом случайном выборе двух студентов из группы среди них окажутся: один юноша; хотя бы один юноша; хотя бы одна девушка. . В описанном выше примере случайного выбора в фокус-группу 24 студентов из 100 вычислите вероятность события отобрать в нее 5 отличников из 20. Является ли это событие почти достоверным? . Опытный стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента. Можно ли считать все исходы этого случайного эксперимента равно- вероятными? .. Свойства вероятности Определения вероятностей в непрерывном и дискретном случаях обеспечивают выполнение общих важных свойств, которыми облада- ют вероятности событий. Помимо уже отмеченных свойств 0 P(A) 1 для любого события A, (..) P(Ω) = 1, (..) § . Вероятности случайных событий дополнительно примем соглашение, что P(∅) = 0 (..) (вероятность пустого множества равна нулю). Перечислим некоторые другие свойства вероятности при операци- ях с событиями: P( ¯¯ A) = 1 − P(A), (..) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). (..) Если события A и B не пересекаются (несовместны), формула (..) упрощается: P(A ∪ B) = P(A) + P(B), если A ∩ B = ∅. (..) (Заметим, что благодаря предположению (..) формула (..) яв- ляется частным случаем формулы (..).) Формулу (..) часто на- зывают формулой сложения вероятностей. Из формулы (..) следует, что для попарно несовместных (непе- ресекающихся) событий A 1 , A 2 , …, A N выполняется равенство P(A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A N ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + … + P(A N ), если A i ∩ A j = ∅ для всех i = j, i, j = 1, …, N. (..) Можно доказать, что формула (..) остается верной и для счетного множества слагаемых. Современная теория вероятностей строится аксиоматически. Пе- речисленные выше свойства вероятности как числовой функции, за- данной на подмножествах пространства элементарных исходов, она берет за основу. Одновременно она уточняет, каким подмножествам из Ω удается приписать вероятность. Вообще говоря, это возможно не для всех подмножеств, т. е. не все подмножества пространства Ω ока- зываются событиями. (В дискретных пространствах таких затрудне- ний не возникает.) Аксиоматическое построение, предложенное ве- ликим русским математиком А. Н. Колмогоровым в тридцатые годы XX в., защищает теорию вероятностей от появления внутренних про- тиворечий. Таких противоречий не всегда удавалось избежать, когда основы ее были не вполне ясны и частично интуитивны. Упражнения . Вероятность события A в некотором случайном эксперименте равна 0,7, а вероятность события B в том же эксперименте равна 0,5. Являются ли события A и B несовместными? Глава . Основы теории вероятностей . Вероятность события A в некотором случайном эксперименте равна 0,4, а вероятность события B в том же эксперименте равна 0,5. Можно ли однозначно утверждать, что события A и B несовместны? . Игральную кость бросают два раза. Вычислите вероятности со- бытий: выпал не дубль; хотя бы на одной кости выпало нечетное чис- ло очков. . Монету бросают 4 раза. Вычислите вероятность того, что при этом выпадет: не менее одного орла; не менее двух орлов. . Вероятность того, что один студент получит на экзамене отлич- ную оценку, равна 0,3, вероятность того, что другой получит отлич- ную оценку, — 0,6, а вероятность того, что они оба получат отличную оценку — 0,4. Какова вероятность того, что хотя бы один из них полу- чит «отлично»? .. Объективная (частотная) и субъективная (персональная) вероятности С логической и математической точек зрения теория вероятностей не вызывает споров или разногласий. Разногласия, однако, существу- ют относительно области ее применений. Объективистская точка зре- ния состоит в том, что вероятность — это внутренне присущая собы- тию характеристика, существующая объективно, вне связи с наблю- дателем. В реальных случайных экспериментах вероятности событий проявляются в виде частот. О частоте осуществления данного собы- тия можно говорить, только если эксперимент можно многократно и независимо повторять в неизменных условиях. Поэтому частотная интерпретация вероятности успешно применяется при анализе мас- совых явлений: при исследовании массового производства однород- ных изделий и контроле их качества, в социологических обследова- ниях, при повторных измерениях в геодезии и астрономии и т. п. Сто- ронники частотной точки зрения не захотят говорить о вероятности вне этих условий. Они считают непродуктивным применение поня- тия вероятности к единичным событиям. Они откажутся обсуждать, например, вероятность того, что вакцина против СПИДа будет разра- ботана в течение ближайших пяти лет или что Великобритания в ско- ром будущем присоединится к общей Европейской валюте. Для обсуждения подобных вопросов частотная вероятность дей- ствительно не подходит. О связи частоты наступления события и его вероятности мы по- дробно поговорим далее, в гл. . Тем не менее, человеческая речь допускает выражения, оценива- ющие вероятность перечисленных выше событий. При этом говорят § . Вероятности случайных событий обычно о субъективной вероятности (точнее, о субъективной оцен- ке возможности наступления того или иного уникального, неповто- римого события). Подобные оценки у разных людей или групп лю- дей могут довольно сильно отличаться. Тем не менее, субъективные оценки вероятностей не бесполезны, хотя и являются чаще всего весь- ма приблизительными и зависящими от личности оценивающего. Са- ми по себе подобные оценки могут быть использованы для проведе- ния различных расчетов и принятия различных решений. В экономи- ке к подобным оценкам прибегают при составлении инвестиционных планов, в страховании — при оценке политических рисков и т. п. Упражнения . Можно ли с точки зрения частотного подхода говорить о вероят- ности: успешного выполнения первой подачи игрока в большой тен- нис; осуществления подачи «навылет»? . Можно ли с точки зрения частотного подхода к интерпретации вероятности говорить о вероятности: успешного запуска космическо- го спутника; обнаружения новой планеты в нашей солнечной систе- ме; обнаружения в текущем году неизвестных вирусов, порождающих массовые эпидемии со смертельными исходами? . В разработку принципиально нового продукта массового по- требления были вложены значительные инвестиции. Попробуйте задать субъективные вероятности следующих событий: инвестиции полностью окупятся в течение 3 лет; инвестиции полностью окупятся в течение 5 лет; инвестиции полностью окупятся в течение 10 лет; инвестиции полностью не окупятся вообще. Как должны быть согла- сованы между собой вероятности этих событий? Какая информация может помочь вам при задании субъективной вероятности в подоб- ных задачах? .. Зачем знать вероятности событий? В своей практической деятельности люди стремятся делать обос- нованные выводы, опираясь на имеющиеся данные, результаты на- блюдений. В тех случаях, когда эти данные носят изменчивый, слу- чайный характер, неизбежен вопрос: а что вообще могло бы быть на их месте? Отсюда мы приходим к идее генеральной совокупности, которую понимаем как совокупность всех мыслимых возможных ре- зультатов наших наблюдений или измерений. (В теории вероятностей для формализации идеи генеральной совокупности используется по- нятие пространства элементарных исходов Ω.) При этом на имеющи- Глава . Основы теории вероятностей еся у нас данные мы смотрим как на результат случайного выбора из этой, нередко воображаемой, генеральной совокупности. Обычно мы полагаем, что этот случайный выбор произведен природой. Впро- чем, во многих задачах эта генеральная совокупность вполне реальна и выбор из нее произведен активным наблюдателем. Для краткости будем говорить, что все данные, которые мы со- бираемся изучить как единое целое, представляют собой одно на- блюдение. Природа этого собирательного наблюдения может быть самой разнообразной. Это может быть одно число, последователь- ность чисел, последовательность символов, числовая таблица и т. д. Обозначим на время это собирательное наблюдение через x. Раз мы считаем x результатом случайного выбора, мы должны указать и ту генеральную совокупность, из которой x было выбрано. Это значит, что мы должны указать те значения, которые могли бы появиться вместо реального x. Обозначим эту совокупность через X. (В мате- матической статистике множество X называют также выборочным пространством или пространством выборок.) Мы предполагаем далее, что указанный выбор произошел в соот- ветствии с неким распределением вероятностей на множестве X, со- гласно которому каждый элемент из X имеет определенные (не обя- зательно равные) шансы быть выбранным. Если X — конечное мно- жество, то у каждого его элемента x есть положительная вероятность p(x) быть выбранным. Случайный выбор по такому вероятностному закону легко понимать буквально. Для более сложно устроенных бес- конечных множеств X приходится определять вероятность не для от- дельных его точек, а для подмножеств. Случайный выбор одной из бесконечного множества возможностей вообразить труднее, он по- хож на выбор точки x из отрезка или пространственной области X. Соотношение между наблюдением x и выборочным простран- ством X, между элементами которого распределена вероятность, в точности такое же, как между элементарными исходами ω и про- странством элементарных исходов Ω, с которыми мы имели дело выше. Благодаря этому теория вероятностей становится основой математической статистики — науки, позволяющей формулировать методы и алгоритмы выводов при анализе и обработке практических данных изменчивого характера. При вероятностной точке зрения на происхождение наших дан- ных (когда считается, что они получены путем случайного выбора) все дальнейшие суждения, основанные на этих данных, будут иметь вероятностный характер. Всякое утверждение будет верным лишь с некоторой вероятностью, а с некоторой (тоже положительной) веро- § . Вероятности случайных событий ятностью оно может оказаться неверным. Будут ли полезными такие выводы и можно ли вообще на таком пути получить достоверные результаты? На оба эти вопроса следует ответить положительно. Во-первых, знание вероятностей событий полезно, так как у исследователя быст- ро вырабатывается вероятностная интуиция, позволяющая ему опе- рировать вероятностями, распределениями и их характеристиками, извлекая из этого пользу. Во-вторых, и чисто вероятностные ре- зультаты могут быть вполне убедительными: вывод можно считать практически достоверным, если его вероятность близка к единице. Можно высказать следующее прагматическое правило, которым руководствуются люди и которое соединяет теорию вероятностей с нашей деятельностью. • Мы считаем практически достоверным событие, вероятность ко- торого близка к 1. • Мы считаем практически невозможным событие, вероятность которого близка к 0. И мы не только так думаем, но и поступаем в соответствии с этим! Изложенное прагматическое правило, в строгом смысле, конечно, неверно, поскольку оно не защищает полностью от ошибок. Но ошиб- ки при его использовании будут редки. Правило полезно тем, что дает возможность практически применять вероятностные выводы. Иногда то же правило высказывают немного по-другому: в од- нократном испытании маловероятное событие не происходит (и наоборот — обязательно происходит событие, вероятность кото- рого близка к 1). Слово «однократный» вставлено ради уточнения, ибо в достаточно длинной последовательности независимых повто- рений опыта упомянутое маловероятное (в одном опыте!) событие встретится почти обязательно. Но это уже совсем другая ситуация. Остается еще не разъясненным, какую вероятность следует счи- тать малой. На этот вопрос нельзя дать количественного ответа, пригодного во всех случаях. Ответ зависит от того, какой опасно- стью грозит нам ошибка. Довольно часто при проверке различных предположений (статистических гипотез) полагают малыми вероят- ности начиная с 0,01 ÷ 0,05. Другое дело — надежность технических устройств, например тормозов автомобиля. Здесь недопустимо боль- шой будет вероятность отказа, скажем, 0,001, так как выход из строя тормозов один раз на тысячу торможений повлечет большое число аварий. Поэтому при расчетах надежности нередко требуют, чтобы Глава . Основы теории вероятностей вероятность отказа была порядка 10 −6 . Мы не будем обсуждать, насколько реалистичны подобные требования: может ли обеспечить такую точность в расчете вероятности неизбежно приближенная ма- тематическая модель, и как затем сопоставить расчетные и реальные результаты. Особенно внимательно надо относиться к маловероятным собы- тиям, которые могут повлечь за собой существенный ущерб: гибель людей, разрушения, экономические потери и т. п. К сожалению, часто люди из-за своего легкомыслия недооценивают вероятность несча- стья и ничего не предпринимают, чтобы уменьшить эту вероятность или хотя бы не дать ей вырасти. Например, вероятность столкновения «Титаника» с айсбергом бы- ла маленькой. Капитан Эдвард Смит мог ее еще уменьшить, снизив скорость судна, но не сделал этого. Сотни человек стали жертвами маловероятного события. По этим же причинам следует проводить регулярное техническое обслуживание автомобилей, электрических подстанций, нефтепрово- дов, сносить ветхое жилье и т. п. .. Компьютерный практикум Рассмотрим задачи на вычисление в пакете EXCEL упомянутых в этом параграфе распределений. В EXCEL все функции, с помо- щью которых вычисляются вероятности и плотности вероятностей наиболее употребительных законов распределения, объединены в ка- тегорию Статистические. Их мы и будем использовать. ... Вычисление плотности нормального распределения в задан- ной точке. Решим следующую задачу: вычислить плотность нормаль- ного распределения f (x, a, σ) = 1 2 πσ exp − ( x − a) 2 2 σ 2 в заданной точке x. Эта плотность зависит от двух параметров a и σ, которые называются средним и стандартным отклонением соответ- ственно. Пример ... Пусть рост девушек-студенток первого курса рас- пределен по нормальному закону с параметрами a = 168 см, σ = 6 см. Вычислим значение плотности в точке x = 175 см. Введем значение 175 в ячейку электронной таблицы, например в A1. Затем отметим курсором ячейку, в которую мы хотим поместить результат вычисле- ния, например B1. Установим курсор мыши на поле f x , соответству- ющее вставке функции. Эти действия отображены на рис. .. (То же § . Вероятности случайных событий Рис. .. Вставка функции самое можно получить по-другому, если в главном меню Вставка вы- брать меню f x Функция.) Кликнув левой клавишей мыши на поле f x , откроем диалоговое окно Мастер функций — шаг 1 из 2. В поле Категория: выберем зна- чение Статистические. После этого в поле Выберите функцию: отобра- зятся функции, объединенные в эту категорию функций. В этом поле выберем функцию НОРМРАСП (см. рис. .). Рис. .. Выбор функции для вычисления плотности нормального распределения Нажав на клавишу OK , вызовем диалоговое окно Аргументы функции (см. рис. .). Здесь в поле X введем адрес ячейки аргумента функции плотности (в нашем примере это A1) или само значение аргумента (в нашем примере 175). В поле Среднее введем 168 (это значение параметра a), в поле Стандартное_откл введем 6 (это значение второго параметра Глава . Основы теории вероятностей Рис. .. Задание параметров для вычисления плотности нормального распределения σ ). В поле Интегральная введем 0 (ЛОЖЬ), что соответствует заданию вычисления плотности распределения (в EXCEL ее еще называют ве- совой функцией распределения). Подтвердив этот выбор, мы получим в ячейке B1 искомое значение функции плотности. Оно приближенно равно 0,0337. Результат вычисления показан на рис. .. Рис. .. Вычисленное значение плотности нормального распределения в заданной точке ... Вычисление плотности нормального распределения для за- данного массива значений аргумента. В EXCEL функции можно вы- числять сразу для нескольких значений аргумента, т. е. для массива. Будем располагать значения аргументов функции по столбцам. Пример . Вычислим значения плотности нормального распре- деления для массива значений на [150, 186] с шагом 1 см и постро- § . Вероятности случайных событий им график этой плотности. Подготовим столбец аргументов (A), введя значения от 150 до 186 с шагом 1, и применим функцию НОРМРАСП для всех значений из столбца A. Для этого повторим все предыдущие действия по вызову функции НОРМРАСП для отдельного значения аргумента, находящегося в ячейке A1. В результате этих действий вычисленное значение функции плотности для аргумен- та, находящегося в ячейке A1, будет записано в ячейку B1. Затем распространим (скопируем) функцию НОРМРАСП на все те ячейки столбца B, для которых в соответствующих строках столбца A были введены значения аргумента. Для этого установим курсор мыши на маркер заполнения (маленький темный квадрат в правом нижнем углу отмеченной рамкой ячейки B1). При этом курсор изобразится в виде символа +. Удерживая нажатой левую клавишу мыши, про- тащим маркер заполнения вниз до ячейки B37. В результате ячейки столбца B будут заполнены значениями плотностей вероятностей нормального распределения для всего массива аргументов, распо- ложенного в ячейках столбца A. Результат вычисления и график функции плотности, построенный стандартными средствами EXCEL, показаны на рис. .. Рис. .. Вычисленные значения плотности нормального распределения для всего столбца A и график плотности ... Вычисление вероятностей распределения Пуассона. Вычис- лить вероятности распределения Пуассона, заданные выражением (..), в EXCEL можно с помощью функции ПУАССОН. Глава . Основы теории вероятностей Рис. .. Ввод аргументов функции ПУАССОН Пример ... Пусть λ = 4,5. Вычислим p(m) = λ m m! e −λ для несколь- ких первых значений m, например m = 0, 1, …, 15. Сначала подгото- вим столбец A с этими значениями m. Затем, установив курсор в ячей- ку B1, вызовем статистическую функцию ПУАССОН. Эта функция имеет три аргумента, которые нужно ввести в соответствующие поля. В поле X для значения аргумента введем адрес ячейки с первым аргумен- том A1. В поле Среднее нужно ввести значение параметра λ (в нашем примере λ = 4,5). В поле Интегральная введем значение 0 (ЛОЖЬ). За- полнение этих полей изображено на рис. .. Распространим значение функции на весь столбец B, протащив маркер заполнения вниз при нажатой левой клавиши мыши. Ре- зультат вычисления вероятностей распределения Пуассона и график соответствующих вероятностей изображен на рис. .. Заметим, что при m = 4 эта функция принимает максимальное значение. ... Вычисление вероятностей в схеме простого случайного вы- бора из конечной совокупности. Покажем, как можно вычислить в па- кете EXCEL вероятности (..), соответствующие простому случай- ному выбору из конечной совокупности без возвращения. Распреде- ление, заданное вероятностями (..), называется гипергеометриче- ским. Пример ... Рассмотрим разобранный выше пример формиро- вания фокус-группы из n = 24 студентов. Напомним, что мы прово- дим простой случайный выбор из N = 100 студентов, среди которых M = 20 отличников. Ясно, что в выборке из 24 студентов может оказаться от 0 до 20 отличников. Вычислим все эти вероятности. Под- § . Вероятности случайных событий Рис. .. Вычисленные значения вероятностей распределения Пуассона для столбца A и график этих вероятностей готовим столбец A со значениями m = 0, 1, 2, …, 20. Затем, поместив курсор в ячейку B1 (пусть B — столбец соответствующих вероятно- стей), вызовем из поля f x (вставка функции) диалоговое окно Мастер функций — шаг 1 из 2. Выбрав в поле Категория: Статистические, Рис. .. Вызов статистической функции ГИПЕРГЕОМЕТ для вычисления гипергеометрических вероятностей Глава . Основы теории вероятностей Рис. .. Ввод аргументов функции ГИПЕРГЕОМЕТ в открывшемся поле Выберите функцию: найдем и вызовем функцию ГИПЕРГЕОМЕТ (как показано на рис. .). Нажатием на клавишу OK вызовем диалоговое окно с аргумента- ми этой функции. В поле Число_успехов_в_выборке введем A1, в по- ле Размер_выборки введем 24, в поле Число_успехов_в_совокупности введем 20, в поле Размер_совокупности введем 100. Заполнение этого окна показано на рис. .. Рис. .. Вычисленные гипергеометрические вероятности § . Вероятности случайных событий После нажатия на клавишу OK получим в ячейке B1 вероятность для m = 0 и распространим формулу на весь столбец. Результат вычис- ления показан на рис. .. Здесь же построен график вычисленных вероятностей. Заметим, что максимальная вероятность достигается при m = 5 (т. е. вероятность того, что в нашей выборке из 24 студентов окажется 5 отличников, больше, чем вероятность любого другого их числа). За- метим также, что вероятности при m > 5 начинают убывать и уже при m 11 не превосходят 0,001, а вероятность выбора всех отличников (m = 20) ничтожно мала. Это событие почти невозможное. Замечание. К сожалению, в EXCEL нет стандартной процедуры, с помощью которой можно осуществить простой случайный выбор за- данного объема из конечной совокупности без повторения. Процеду- ра Выборка, вызываемая из Анализ данных, осуществляет случайный выбор с возвращением, при котором любое значение может встре- титься не один раз. .. Задачи . Средний срок безотказной работы ноутбука составляет пять лет. Считая, что время безотказной работы ноутбука описывается экспо- ненциальным распределением, вычислите вероятности следующих событий: а) ноутбук безотказно прослужит менее среднего срока службы (сравните полученное число с 1/2); б) ноутбук безотказно прослужит от пяти до десяти лет; в) ноутбук безотказно прослужит более десяти лет; г) найдите такое значение момента времени t, что вероятность того, что ноутбук безотказно проработает больше этого срока, равна 1/2. Сравнить полученное число со средним сроком безотказной ра- боты. . Известно, что изменчивость роста девушек — лет хорошо описывается плотностью нормального распределения f (x, a, σ). При этом f (x, a, σ) ≈ 0,079 при x = 167, что соответствует среднему росту девушек, и f (x, a, σ) ≈ 0,01 при x = 177, что соответствует высокому росту. Во сколько раз больше вероятность встретить девушку среднего роста (167 см) по сравнению с девушкой, рост которой 177 см? . Скорость реакции на звук у разных людей отличается. Ее из- менчивость хорошо описывается плотностью нормального распреде- ления f (x, a, σ), которая достигает своего максимума при x ≈ 160 мс (миллисекунд). В спорте принято считать, что встретить у человека Глава . Основы теории вероятностей скорость реакции менее 100 мс — событие практически невозможное (на основании этого правила фиксируются фальстарты). Используя рис. ., определите примерно верхнюю границу параметра σ ука- занного нормального закона распределения. . Для распределения Пуассона с параметром λ = 1 вычислите ве- роятность P(A) события: а) A = {ω: ω < 1}; б) A = {ω: ω 2}; в) A = {ω: ω 3}. . Среди N = 100 студентов на курсе юноши составляют 10%. Социологи отбирают случайным образом для анкетирования группу n = 20 человек. Вычислите вероятности следующих событий: а) группа будет состоять из одних девушек (является ли это собы- тие практически невозможным?); б) в группу попадет только один юноша; в) в группу попадут ровно три юноши; г) какое количество юношей в группе следует отнести к практиче- ски невозможным событиям, понимая под последними события с ве- роятностью менее 0,001? |