Учебник для экономических и гуманитарных специальностей Рекомендовано умо по образованию в области экономики
 Скачать 4.07 Mb.
|
|
§ . Вероятности случайных событий Этот параграф посвящен основным способам задания вероятно- стей в непрерывных и дискретных пространствах элементарных со- бытий и свойствам вероятностей событий. В отличие от многих тра- диционных курсов изложение материала начинается с непрерывных пространств элементарных событий как более значимых с точки зре- ния различных приложений и статистического анализа. Обсуждая неопределенные ситуации как случайные эксперимен- ты, мы отмечали, что предсказать их исход невозможно до их завер- шения. Но ясно, что разные их исходы правдоподобны в разной сте- пени. Не одинаково правдоподобны и составленные из элементарных исходов события. Введем в употребление понятие вероятности собы- тия с помощью следующего определения. Определение ... Предположим, что каждому событию в дан- ном случайном эксперименте может быть приписано некоторое чис- ло, которое является мерой его шансов на осуществление. Это число называют вероятностью события. Если A — некоторое событие, его вероятность обозначают P(A) Запись P(A) читается как «вероятность события A». Принято соглашение, что вероятность любого события — неотри- цательное число, не превосходящее единицы: для произвольного со- бытия A из произвольного пространства элементарных исходов Ω вы- полняется неравенство 0 P(A) 1. (..) Вероятность всего пространства элементарных исходов Ω как собы- тия считают равной единице: P(Ω) = 1. (..) Буква P — начальная в унаследованном из латыни английском слове probability, означающем вероятность. Глава . Основы теории вероятностей Событие, вероятность которого равна 1, называют достоверным. Такое событие непременно осуществляется при проведении данного случайного эксперимента. Событие, вероятность которого равна 0, называют невозможным. В рамках данного опыта оно не происходит. Практическое значение вероятности события A в том, что она (вероятность) дает нам коли- чественное представление о том, каковы шансы события A на его осу- ществление в данном опыте: если вероятность события A близка к 1, мы считаем это событие близким к достоверному и с большой уверен- ностью ожидаем, что оно произойдет. Если же вероятность события A близка к 0, мы относимся к нему как к почти невозможному. Мы почти уверены, что в данном опыте событие A не наступит. Почти невозможные и почти достоверные события играют основополагаю- щую роль в теории статистического вывода. Именно на эти понятия опирается практика проверки статистических гипотез и доверитель- ное оценивание. Поэтому в дальнейшем, обсуждая те или иные рас- пределения вероятностей, мы будем уделять этим событиям особое внимание. О других свойствах вероятности мы будем говорить позже, в п. .. А сейчас опишем, как конструктивно можно задать вероятность для множеств из Ω, т. е. для событий. Технически задание вероятностей различается для непрерывных и дискретных пространств элементар- ных исходов. .. Вероятности в непрерывных пространствах Обсуждая в предыдущем параграфе случайные эксперименты, свя- занные со временем (временем службы изделия, ожидания или вы- полнения работ и т. п.), мы столкнулись с ситуацией, когда множе- ство элементарных исходов представляет всю числовую прямую или какую-то ее часть. В более общем случае, когда в результате случай- ного эксперимента (скажем, при выборе человека из некоторой со- вокупности или изделия из партии изделий) фиксируются одновре- менно несколько метрических характеристик объекта, пространство элементарных исходов представляет часть плоскости или многомер- ного пространства. Во всех этих случаях число возможных элементар- ных исходов, как уже говорилось, не только бесконечно, но и несчет- но. Перечисленные выше пространства (числовую прямую, числовую плоскость и т. д.) мы будем именовать непрерывными пространства- ми. Более строгое математическое определение непрерывности нам не потребуется. Как правило, мы сталкиваемся с непрерывными про- странствами на практике, когда говорим об измерениях длины, веса, § . Вероятности случайных событий объема, температуры, времени и т. п. К использованию модели непре- рывных пространств часто прибегают и в социально-экономической практике, обсуждая объемы добычи полезных ископаемых и произ- водства массовых изделий, годовые доходы, цены на продукты, раз- личные демографические показатели, и т. п. Переход от формально дискретных пространств к непрерывным в теории вероятностей часто связан и с тем, что задание вероятностей в последних оказывается гораздо проще и компактней с практической точки зрения, а возни- кающие при переходе погрешности не велики. В непрерывных пространствах основой для определения вероят- ностей событий служит плотность вероятности. Пусть для определенности Ω — это числовая прямая 1 . События A в этом случае — это области (подмножества) числовой прямой (отрез- ки, интервалы и их комбинации и т. п.). Произвольный элементарный исход — точку на числовой прямой — обозначим на этот раз через x, x ∈ 1 (вместо общего обозначения ω, ω ∈ Ω). Определение ... Плотностью вероятности называют функцию f (x), заданную для всех x ∈ 1 и такую, что f (x) 0 для всех x ∈ 1 , (..) + ∞ −∞ f (x) dx = 1. (..) Если известно, что Ω — это некоторая область в 1 , то полагают f (x) = 0 для x не принадлежащих Ω. (..) Значение f (x) для конкретного x называют плотностью вероятности в точке x. С помощью плотности вероятности определяют вероятность про- извольного события A. Определение ... Вероятность P(A) события A есть P(A) = A f (x) dx. (..) Поясним, как надо понимать интегрирование по заданному мно- жеству A в формуле (..). Если A ⊂ 1 — это отрезок, A = [a, b], то A f (x) dx = b a f (x) dx. (..) Глава . Основы теории вероятностей Рис. .. Задание вероятности с помощью плотности Если A — это объединение непересекающихся отрезков [a, b] и [c, d], то A f (x) dx = b a f (x) dx + d c f (x) dx и т. д. С геометрической точки зрения интеграл в правой части равен- ства (..) — это площадь под кривой y = f (x), расположенная над множеством A. На рис. . эта площадь выделена штриховкой. Для множества A, если оно представляет собой объединение конечного числа отрезков, интервалов, полуинтервалов (в том числе и неограниченных), определение A f (x) dx очевидно. С геометриче- ской точки зрения такой интеграл — все та же площадь между кривой y = f (x) и множеством A на оси абсцисс. Формула (..), задающая вероятность события с помощью плот- ности вероятности f (x), позволяет прояснить смысл функции f (x). Рассмотрим произвольную точку a на числовой прямой. На практике значение a обычно является результатом измерения. Однако следует помнить, что наши измерения, как правило, неточны, приблизитель- ны. Так, говоря, что рост человека равен 175 см., мы подразумеваем, что величина его роста примерно равна этому числу и более высокая точность нам не требуется. Другими словами, говоря, что результат измерения равен a, мы на самом деле подразумеваем, что он попал в интервал (a − ∆/2, a + ∆/2), где ∆ — цена деления используемой шкалы измерения. (При измерении роста в сантиметрах ∆ = 1 см.) Рассмотрим событие A, представляющее интервал (a − ∆/2, a + + ∆ / 2). Согласно определению вероятность события A есть P(A) = a+∆/2 a−∆/2 f (x) dx. § . Вероятности случайных событий Рис. .. Связь плотности вероятности в точке a с веро- ятностью попасть в окрестность этой точки Предположим, что функция плотности f (x) непрерывна в точке a и величина ∆ невелика. Тогда по свойствам интеграла P(A) = a+∆/2 a−∆/2 f (x) dx ≈ f (a)∆. (..) Геометрически это примерное равенство означает, что площадь под кривой плотности f (x) над интервалом (a − ∆/2, a + ∆/2) примерно равна площади прямоугольника с основанием (a − ∆/2, a + ∆/2) и вы- сотой f (a) (см. рис. .). Это же рассуждение используется в мате- матическом анализе, когда осуществляется переход от интегральных сумм по малым интервалам к интегралу. Итак, выражение (..) говорит, что вероятность оказаться в ок- рестности точки a (попасть в интервал (a − ∆/2, a + ∆/2)) примерно прямо пропорциональна величине плотности вероятности f (a) в точ- ке a. Чем больше значение f (a), тем больше вероятность. Обсуждение этого вопроса мы продолжим чуть позже. Упомянутые выше свойства плотности вероятности (..) и (..) обеспечивают для вероятностей событий свойства (..) и (..). Расширение операции интегрирования на более сложно устроен- ные множества A, A ⊂ 1 , составляет содержание теории интегри- рования по Лебегу. Такая теория нужна для создания математически завершенной теории вероятностей. По счастью, нам нет нужды углуб- ляться в эти математические вопросы: этого не требуют статистиче- ские (практические) задачи, являющиеся целью данной книги. Нам будет достаточно простых средств из классического математического анализа: интеграла Римана, формулы Ньютона—Лейбница, рядов и т. п. Глава . Основы теории вероятностей Примеры . Экспоненциальная плотность. В приложениях теории вероятностей, имеющих дело со случайны- ми явлениями типа времени ожидания отказа (поломки), времени обслуживания клиента в банке или покупателя в магазине, продол- жительности телефонного разговора или разгрузки корабля в порту и т. д. в качестве плотности вероятности часто используют функцию f (x, θ ) = 1 θ e − x θ для x 0; 0 для x < 0. Здесь θ > 0 (читается «тэта») — параметр . Забегая вперед, ска- жем, что по смыслу θ — среднее время службы изделия, среднее время обслуживания и т. п. График функции f (x, θ ) представлен на рис. .. Рис. .. Плотность вероятности показательного распеределения Легко видеть, что f (x, θ ) 0 для любого θ > 0 и что ∞ −∞ f (x, θ ) dx = ∞ 0 f (x, θ ) dx = ∞ 0 1 θ e − x θ dx = ∞ 0 e −t dt = −e −∞ + e 0 = 1, где t = x θ . Таким образом, требования из определения плотности ве- роятности (..) и (..) выполняются. Параметрами называют переменные величины, значения которых в каждой от- дельной задаче сохраняются постоянными. § . Вероятности случайных событий Плотность вероятности f (x, θ ) называют показательной или экс- поненциальной. Подробнее о ней будет рассказано ниже, в гл. . Но уже сейчас из графика функции плотности (рис. .) можно заметить, что вероятность события A, состоящего в том, что изделие прослужит в три раза дольше, чем среднее время службы, невелика. Действи- тельно, ведь эта величина есть площадь под графиком плотности на интервале (3θ , ∞). . Нормальная плотность. Статистические свойства (изменчивость) многих явлений харак- теризует плотность вероятности, называемая нормальной. Само на- звание подчеркивает распространенность и ожидаемость этого рас- пределения вероятностей. Нормальная плотность хорошо описывает различные изменчивые социально-экономические характеристики, метрические характеристики людей, животных и растений одного вида, статистические свойства ошибок измерения. Эта же плотность часто выступает как предельная при изучении законов изменчивости сумм случайных величин. Об этой роли нормального распределения мы подробно будем говорить в гл. . Плотность нормального распределения на прямой содержит в сво- ей формуле два параметра (a ∈ 1 и σ > 0): f (x, a, σ) = 1 σ 2 π exp − ( x − a) 2 2 σ 2 для x ∈ 1 График плотности нормального распределения представлен на рис. .. Рис. .. Плотность нормального распределения Очевидно, что f (x, a, σ) 0 для всех x ∈ 1 Глава . Основы теории вероятностей Можно показать, что при любых a и σ > 0 выполняется равенство ∞ −∞ f (x, a, σ) dx = 1. Тем самым функция f (x, a, σ) удовлетворяет требованиям (..) и (..), предъявляемым по определению к функции плотности. У нормального распределения вероятностей есть и другие названия. Например, его часто называют гауссовским (по имени немецкого математика К. Ф. Гаусса ). Подробнее о нормальном распределении и о вероятностном смысле параметров a и σ будет рассказано ниже, в гл. . А сейчас обратим внимание на ряд важных особенностей функции плотности нормального распределения, которые хорошо видны и на графике. . Функция f (x, a, σ) симметрична относительно точки a, т. е. f (a + x, a, σ) = f (a − x, a, σ) для любого x. . Функция f (x, a, σ) достигает своего максимального значения в точке a и этот максимум равен 1 2 πσ , т. е. значение плотности нор- мального распределения в точке a, тем больше, чем меньше значение параметра σ. . Как видно из графика плотности (рис. .), вероятность откло- ниться от a больше чем на 2σ, не велика. Чтобы вычислить эту веро- ятность, необходимо сложить площади фигур под графиком плотно- сти на интервалах (−∞, a − 2σ) и (a + 2σ, ∞). Напомним, что вся пло- щадь под графиком плотности на всей числовой прямой равна 1. Та- ким образом, подобные отклонения от значения a — событие малове- роятное. (Как видно на рис. ., площади указанных фигур составля- ют малую часть от площади под кривой плотности на всей числовой прямой.) И обратно, вероятность попасть в область (a − 2σ, a + 2σ) довольно велика. Более точные значения этих вероятностей приведе- ны в § гл. . . Произвольная двумерная плотность распределения. Пусть теперь Ω — это числовая плоскость 2 . Такое пространство элементарных исходов возникает всякий раз, когда в случайном экс- перименте мы измеряем одновременно два признака, две характери- стики явления, причем эти признаки могут изменяться непрерывно. Карл Фридрих Гаусс (—) — великий немецкий математик, оказавший большое влияние на развитие различных областей математики: алгебры, теории веро- ятностей и математической статистики, теории чисел, дифференциальной геометрии. Активно работал в различных областях приложения математики: физике, астрономии, геодезии. § . Вероятности случайных событий Рис. .. Пространство элементарных исходов измерения дозы алкоголя и скорости реакции человека Например, у человека мы можем измерять какие-либо две характери- стики его фигуры, скажем рост и длину руки. В качестве двух других непрерывных характеристик человека можно рассмотреть дозу выпи- того алкоголя и скорость реакции или дозу лекарства и артериальное давление. (Последние примеры представляют большой интерес для психологов и медиков.) Элементарными исходами во всех подобных случаях является пара чисел. Примем для них обозначение (x, y), где x, y — числовые переменные. Пара (x, y) играет роль элементарно- го события ω, числовая плоскость 2 или ее часть — это Ω, события A, B, C, … — это области на плоскости 2 . На рис. . изображено пространство элементарных исходов для одного из упомянутых при- меров. Плотность вероятности здесь — это функция f (x, y) двух числовых переменных, удовлетворяющая условиям f (x, y) 0 для всех x, y ∈ 2 (..) и ∞ −∞ f (x, y) dx dy = 1. (..) (Символ ∞ −∞ обозначает интегрирование по всей плоскости 2 .) Если известно, что Ω — это некоторая область в 2 , то полагают f (x, y) = 0 для (x, y) / ∈ Ω. (..) Глава . Основы теории вероятностей Рис. .. Задание вероятности события A с помощью объема Вероятность P(A) события A, A ⊂ Ω, есть P(A) = A f (x, y) dx dy. (..) С геометрической точки зрения величина (..) — это объем, заключенный между поверхностью, заданной уравнением z = f (x, y), и областью A на координатной плоскости (x, y), как это показано на рис. .. Условие (..) означает, что объем, заключенный между упомянутыми поверхностью и координатной плоскостью, равен 1. Свойства (..), (..) обеспечивают для P(A) выполнение усло- вий (..) и (..). |