Логика - Учебник - Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. (PDF). Учебник для студентов высших учебных заведений

• Название: Учебник для студентов высших учебных заведений
• Анкор: Логика - Учебник - Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. (PDF).pdf
• Дата: 24.04.2017
• Размер: 3.83 Mb.
• Имя файла: Логика - Учебник - Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. (PDF).pdf
• Тип: Учебник; #4168
• Категория: Философия. Логика. Этика. Религия
• страница: 8 из 37

• Упражнение
Определите, к какому типу (тождественно-истинная, тож- дественно-ложная, выполнимая) относятся формулы:
р;
(р &
Понятие логического следования является центральным понятием логики. Как увидим далее, оно существенно для выяснения многих понятий логики и для решения многообразных задач логического характера, главная же его роль состоит в том, что оно составляет основу правильных рассуждений и доказательств.
Рассмотрим, например, следующее рассуждение. Если на данное движущееся тело не действуют никакие силы или

равнодействующая всех действующих сил равна нулю, то оно движется равномерно данное тело движется неравномерно, следовательно, равнодействующая всех сил, действующих на тело, неравна нулю. Задача теперь состоит в том,
чтобы определить, правильно ли это рассуждение. Обозначим через р высказывание на данное тело действуют какие- то силы (тогда «
означает на тело не действуют никакие силы q — равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю, г — данное тело движется равномерно. Тогда все указанное рассуждение в языке логики высказываний запишется так р v q) г г Правильно ли это рассуждение и как можно обосновать И что значит вообще правильное или неправильное рассуждение Читатель согласится, что на эти и подобные вопросы нам нередко приходится отвечать в самых различных ситуациях в практической и теоретической деятельности. Причем, отвечать,
полагаясь лишь на интуицию и не имея каких-либо четких критериев. Логика же, используя понятие логического следования, дает четкие и точные ответы на эти и подобные во- просы.
Прежде всего следует сказать, что термин «рассуждение»
употребляется в весьма широком смысле. Но обычно имеют ввиду процесс выведения некоторого высказывания из ка- кого-либо множества высказываний, как это имеет место в предложенном для анализа примере. В таком случае правильность рассуждения сводится к вопросу о логическом следовании Если рассуждение, в котором человек выводит некоторое высказывание Виз множества высказываний Г правильно, то Г В А это значит, что если последнее неверно
(из Г логически не следует В то рассуждение неправильно.
Рассуждения (выводы) осуществляются по определенным правилам. Сложное рассуждение — сложный вывод может представлять собой последовательность применения нескольких правил. Само правило вывода — это простой,
или как говорят, непосредственный, вывод. Простой вывод некоторого высказывания Виз А правилен, е. те В Таким образом, мы имеем критерий правомерности тех или иных правил рассуждения правило, позволяющее выводить из А правомерное. те. В практике научного познания ив повседневной жизни понятие логического следования мы связываем не только с анализом рассуждений. Часто возникает самостоятельная задача определить, следует ли что-то из чего-то или нет Следует ли, например, предложенное решение задачи из сформулированных для нее условий?
Имея теперь определение логического следования и зная поэтому, что значит правильное рассуждение, мы можем решить задачу непросто ссылкой на интуицию, а решить доказательно. Это можно сделать, применяя аппарат логического исчисления (в данном случае исчисления высказываний) см. соответствующий раздел данного параграфа. Но значительное упрощение дела дает применение табличного способа логического анализа рассуждений — выводов. В основе его лежит табличное определение тех логических связок, интерпретация которых была дана выше. При этом способе явно выражается характеристика этих связок как некоторых функций, соотносящих истинностным значениям составных частей сложного высказывания значение всего высказывания. Точно говоря, мы рассматриваем логические формы возможных высказываний — неинтерпретированные формулы описанного языка логики высказываний — (А & В В Перебирая всевозможные распределения истинностных значений подформул, составляющих эти формулы В трех первых случаях и А — в последнем, указываем для каждого распределения значение всей формулы.
Конъюнкция, например, есть следующая функция
А
И
И
А
А
В
И
л
и
л
И
Л
Л
Л
В столбцах Аи В указаны возможные распределения истинностных значений Аи В (Аи Весть составляющие сложного высказывания Каждое распределение истинностных значений употребляемых переменных составляет отдельную строчку входной части таблицы. В соответствующих строчках столбца для А & В указано значение нашего сложного высказывания в зависимости от значений составляющих Аи В соответствии сданной выше интерпретацией конъюнкции мы получаем здесь, что образованное посредством этой связки сложное высказывание истинно лишь

в случае, когда истинны оба составляющие его высказывания. По такому же принципу ив соответствии с интерпретацией определяются и другие связки:
А
И 1
И
л
л
в
и
л
и
л
AvB
И
И
И
Л
А
И
И
Л
Л
в
и
А
И
л
И
Л
и
и
А
И
Л
А
И
В
И
А
А
И
Для решения сформулированной выше задачи необходимо записать данные нам высказывания на языке логики высказываний. При этом для обозначения простых (не содержащих логических связок) высказываний употребляют пропозициональные переменные. Например, обозначим через р высказывание на данное тело действуют какие-то тогда означает на данное тело не действуют никакие силы «q» •— равнодействующая всех сил, действующих на тело, равно нулю — данное тело движется равномерно. Тогда первая посылка будет выглядеть так v q)
г»,
вторая —
а заключение —
Все рассуждение представится в виде р v q. Отвлечемся теперь от конкретных содержаний этих высказываний и соответствующих им инстинностных значений q, p,
превратим последние в пропозициональные переменные и все высказывания в логические формы, которые нам собственно только и надо учитывать при решении вопроса о правильности рассуждения. Согласно понятию следования мы должны установить, во всех ли строчках таблицы, где истинны обе посылки, истинным является также и заключение.
Построение таблицы начинается с перебора всех распределений истинностных значений И, А пропозициональных переменных, имеющихся в посылка и заключении вывода. В
данном случае р, q,
Это — входная часть таблицы. Далее для каждого распределения, то есть для каждой строчки входной части таблицы, вычисляются значения всех сложных (содержащих логические связки) подформул данных формул (в нашем примере — это подформулы первой посылки Далее, в зависимости от значений последних, а в конечном счете от значений пропозициональных переменных в каждой строчке, определяются значения самих посылок и заключения вывода

Ради сокращения процедуры вместо того, чтобы выписывать отдельно сложные подформулы посылок и заключения,
можно, и мы сделаем это, подписывать ее значения под знаком последней операции в ее построении (главный знак под- формулы. Приводим соответствующую таблицу. Указанные принципы ее построения легче уяснить, имея ее налицо:
р
и
и
и
и
л
л
л
л
и
и
л
л
и
и
л
л
г
и
А
и
А
И
Л
И
л
Л ЛИЛ ЛИ И И И
И ИЛИ И И
и ил видим, интересующее нас следование имеет место.
Обе посылки истинны только в четвертой строчке, нов ней истинно и заключение.
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ИСТИННОСТНЫХ ТАБЛИЦ
Прежде всего при построении истинностных таблиц надо определить число возможных распределений значений для данного перечня переменных, то есть число строк в таблице.
Естественно, оно зависит от числа переменных. При п переменных имеем строк. Для нашего случая п равно 3, значит количество строк в таблице — 8 (2 3
) = 2 x 2 x 2 = 8. Полезно также принять и определенный принцип перебора возможных распределений истинностных значений переменных.
Например, как это сделано в приведенной таблице, для последней переменной во взятом перечне (в нашем случае — г)
чередование значений И и Л в соответствующем ей столбце идет через одну строку, для предпоследней — через 2 строки, далее — через 4, 8 и т. д. строк.
Это словарно-лексический способ построения входной части таблицы. Суть его в том, что при понимании последовательностей истинностных значений в строках как слов
(в нашем случае И И И, И ИЛ и т. д) в двухбуквенном алфавите И и Л, они (эти слова) оказываются расположенными по алфавиту (так как они должны бы быть расположенными в словаре).
Для решения интересующего нас вопроса, следует ли заключение из посылок, надо в соответствии с определением логического следования установить, имеются ли такие строки
(распределения значений, в которых все посылки истинны, а заключение ложно. При отсутствии таковых ответ положителен. При наличии указанных строк отношения логического следования нет (а значит, и рассуждение неправильно).
Учитывая упомянутую ранее связь между отношением логического следования Г В, когда Г есть конечное множество формул и законом логики ...) можно решить очевидно тот же вопрос о наличии следования, составив указанную импликацию. В нашем примере —
v q)
и установить, является ли она тождественно истинной формулой,
то есть истинной во всех строках таблицы. Вместо указанной импликации всегда можно взять равносильную ей з В) (в последнем случае мы опускаем скобки в записи которые могут быть расставлены любым образом с учетом того, что & является бинарной связкой. В нашем случае это
Таким образом, другой тип задач, который решается посредством таблиц, — это выяснение того, является ли некоторая формула законом логики, то есть тожественная истинной выяснение того, какие она принимает значения в зависимости от своих составляющих, что означает выяснение условий истинности и ложности некоторого данного высказывания в зависимости от распределения истинностных значений пропозициональных переменных в его логической форме. Возможно также решение задач о совместимости или несовместимости каких-то высказываний, их равносильности или неравносильности, которые будут рассмотрены в связи с классификацией видов отношений между высказываниями
(см. гл. VIII, § 34). Здесь приведем решение вопроса о том,
является лита или иная формула законом логики высказы-
Возьмем, например, (р q) з p v q). Является ли формула истинной при всех распределениях значений имеющихся в ней переменных Следующая таблица (которую мы

строим без указанных в предыдущем примере упрощений)
показывает, что указанная формула действительно является законом логики, поскольку истинна при любом распределении истинных значений ее пропозициональных перменных.
р
и
и
А
А
Я
И
Л
И
Л
(p&q)
И
Л
Л
Л
Л
Л
И
И
А
И
Л
И
р q
А
И
И
И
Р q)
И
Л
Л
л
q)
И
И
И
И
• У пр аж не ни я. Определите, следует ли высказывание вида q) из из из (г v из q, из p.
2. Является ли высказывание вида р v следствием посылок (р & q)
и р и р. Установите, какие из перечисленных ниже формул являются законами логики высказываний или их отрицаниями
Изложенные методы логического анализа являются мощным средством для решения многообразных задач логико- гносеологического характера и применимы в весьма нетривиальных случаях практико-исследовательской деятельности.
Возьмем, например, хотя бы такие познавательные ситуации,
когда имеется значительное количество высказываний, из которых нужно извлекать следствия или решать вопросы о том,
являются ли некоторые утверждения следствиями из них.
Большое количество информации может быть получено при социологических опросах, при расследовании преступлений,
при описании всякого рода автоматических устройств. В последнем случае, например, если в автоматическом устройстве

имеется несколько взаимодействующих механизмов р r, s,
и т. д, возникают описания вида 1) если сработал механизм р и не сработал д, то сработал механизм г, 2) если не сработал механизм то сработал р. В таких случаях наиболее существенными являются вопросы что будет (то есть какие механизмы сработают или нет, если не сработал один и сработал другой и т. д. Это означает, что нужно вывести следствия относительно взаимодействия других механизмов. Для решения этой задачи мы не имеем пока средств. Их дает нам аппарат логических исчислений и некоторые другие логические разработки, в частности, раздел современной логики, называемый алгеброй логики. Здесь же предложим читателю решить, является ли следствием из двух указанных высказываний, а также из того, что не сработал механизм высказывание о том, что сработал механизм д?
При решении этих и подобных задач можно воспользоваться некоторыми упрощениями табличного способа анализа. Во-первых, возможно упрощение вычисления значений сложных высказываний. Вместо того, чтобы выделять составляющие части сложного высказывания, вычисляя их значение отдельно, мы можем это сделать прямо в составе данного высказывания. Рассмотрим, например, значение высказывания (р v g)
д&г), не выписывая отдельно его подформул р, g, (p v g), g, г Их значение вычисляем в составе всей формулы, подписывая результаты под знаками соответствующих связок. Для первой подформулы под знаком v, для второй — под знаком для третьей под знаком &, как это сделано в следующем примере:
р
и
и
и
и
л
л
л
л
q
и
и
л
л
и
и
л
л
г
и
л
и
л
и
л
и
л
И
И
И
И
И
И
Л
л
Л
Л
и
л
л
л
и
и
л
л
и
и
л
л
и
и
&
л
л
и
л
л
л
и
л
Формальная логика. — Л Изд. ЛГУ, 1977.
106

Значение всей формулы указывается в столбце под знаком который является знаком последней операции в построении всей формулы.
И, наконец, решать вопрос о том, следует ли какое-то высказывание из других или является ли какая-либо формула законом логики высказываний, можно вообще не прибегая к построению таблицы, — так называемым методом рассуждения от противного. Например, нам надо проверить, имеется ли отношение р q,
Предполагаем, что последняя формула (q) не является следствием из указанных посылок и р. Тогда можно найти такое распределение значений переменных, при котором все посылки истинны, аза- ключение ложно. Пытаемся найти такое распределение.
Если это удается, следования нет. Если не удается, отношение следования имеет место.
И Л ЛИЛ iрii p
В нашем случае, предполагая q ложным, мы должны, конечно, всем вхождениям q в посылках приписать это же значение. Далее у насесть посылка р. Предполагаем, что она истинна, тогда видим, что первая посылка оказывается ложной (см. таблицу истинности для импликации. Следовательно, осуществить задуманное распределение значений
(«все посылки истинны, заключение ложно) не удается,
значит q следует изданных посылок.
• У пр аж не ни я. Решите методом от противного, являются ли законами логики При помощи метода от противного установите, имеет ли место логическое следование:
а) риз из множества следующих посылок s),
из &
& (рз г. Работа некоторого автоматического устройства (имеющего механизмы р, д, г) удовлетворяет условиям если не срабатывают механизмы р или или оба вместе, то срабатывает д, если срабатывают р или д или оба вместе, тоне срабатывает г. Можно ли отсюда заключить, что если срабатывает механизм г, то срабатывает и р?
Наряду с отношением логического следования в логических построениях большую роль играет отношение ческой эквивалентности логической равнозначности. Утверждение о наличие этого отношения между высказываниями Аи В обозначается в виде А В Оно означает просто двустороннее следование А В и В Указанное отношение эквивалентности (знак « ») — это отношение метаязыка. Можно, и часто это делают, ввести аналог этого отношения в сам язык, те. ввести в язык новую связку, называемую которую можно обозначить Тогда расширяется понятие формулы — появляются формулы вида В
высказываниях этого вида мы выражаем, конечно, уже не отношение между высказываниями Аи В, как в метаязыке, а отношение или связь между самими ситуациями, которые представляют Аи В.
Такого рода высказывания всегда можно выразить через & из как
(А В (В А, то есть эквиваленция — это двусторонняя импликация. Ясно, что формула А

В является тождественно-истинной,
то есть представляет логический закон нового вида, если тожде- ственно-истинны Аз В и В з А.
Наряду с логической эквивалентностью в науке нередко приходится иметь дело с фактическими эквивалентно ст ям и. Для выражения фактической эквивалентности двух высказываний Аи В в метаязыке можно использовать тоже выражение но трактовать его как истинность двух импликаций
В и
В з А. Это значит, что Аи В при каком-то данном их содержании имеют одинаковое истинностное значение либо оба истинны,
либо оба ложны. В этом случае для этого отношения более подходящим термином является равнозначность. Например, равнозначными фактически эквивалентными являются высказывания арифметики Число N делится на 6» и Число N делится на 2 108

и на 3» или геометрии Данный треугольник является прямоугольными В данном треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон. Отношения между соответствующими ситуациями и В можно выразить в языке, используя тот же язык эквиваленции, в виде А В В естественном языке это высказывание произносится как Л, если и только если или тогда и только тогда, когда
Выделение отношения логической эквивалентности в качестве специального отношения между высказываниями оправдывается хотя бы уже тем, что имеется специальная форма рассуждений — рассуждений посредством лент н ы х В таких рассуждениях мы, исходя из некоторых установленных эквивалентностей,
получаем новые эквивалентности, пользуясь формулируемым ниже правилом замены эквивалентных эквивалентной замены).
В числе исходных эквивалентностей логики высказываний полезно запомнить следующие Взаимовыразимость логических связок 4.
2. (Л (А 5.
3.
6.
Законы образования контрадикторной противоположности. (А (В (В з (A з С) — Закон перестановки условий (антецедентов).
9.
(В з з ((A & В) з — Закон объединения условий (закон импортации).
10.
С) — Закон разъединения условий (закон экспортации).
11.
12.
IV. Свойства и v
2.
•
1 Коммутативность и v .
5. ((A
(B v
((A
v (A
— Дистрибутивность относительно v относительно &.
7.
1 8.
j Законы поглощения — Закон исключения истинного члена. ((A v (В В) А) — Закон исключения ложного члена (A v А) — Закон исключенного третьего. (А & А) — Закон противоречия.
Строго говоря, выделенные здесь выражения — это схемы эквивалентностей, поскольку левые и правые части этих эквивалентностей не формулы языка, а их записанные в метаязыке. Каждая схема представляет бесконечное множество эквивалентностей для формул. Например, частным случаем первой эквивалентности (1.1) являются) и т. д, и т. п.
Правило замены эквивалентных формулируется обычно
(см.: принцип взаимозаменяемости знаков — глава § 7) в виде С означает некоторую формулу, в которой возможно имеются вхождения А — результат замены каких-либо из вхождений А формулой В Конечно может совпадать с самим А — тогда есть В.
Практически более удобной для осуществления эквивалентных преобразований некоторой формулы является сле-
В
дующая формулировка того же правила . На основе эквивалентности (р q)
р v q) (A В по только что указанной формулировке правила замены эквивалентных, из
((р ID q)
можем получить p v q) ID Г Далее, используя эквивалентность p v q) ID г) (
p v q)
переходим от предыдущего высказывания к последнему.
В первом применении правила замены роль А, очевидно,
играла р ID q,
В —
р v q). Во втором применении А (оно же есть р v q)
Га В (оно же есть р v q) v Очевидно, что обе эквивалентности, которые мы здесь использовали, представляет одна и та же схема (Л В Л v В).
В процессе осуществления эквивалентных преобразований часто используют именно схемы без специального выделения их частных случаев. Тогда некоторая данная схема преобразований представляет бесконечное множество преобразований тех или иных формул указанных видов.
Следующая последовательность преобразований в четыре шага представляет собой схему эквивалентных преобразова- ний:

1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   37