Логика - Учебник - Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. (PDF). Учебник для студентов высших учебных заведений
 Скачать 3.83 Mb.
|
|
форма приобретает при этом определенный смысл В естественном же языке мы имеем такие выражения (знаковые которые в различных случаях их употребления имеют различные смысловые содержания. Так, например, выражение все книги данной библиотеки имеет явно различный смысл в употреблениях: все книги данной библиотеки написаны на русском языке и все книги данной библиотеки весят 2 тонны». Важной особенностью ЯЛП является также прямое соответствие между структурами его знаковых форм (формул) и структурами выражаемых ими смыслов. Соответствие состоит в том, что каждой существенной части структуры смысла соответствует определенная часть знаковой формы. Так, в структуре смысла простого повествовательного предложения, то есть в структуре простого высказывания, необходимо выделить, например, отдельные предметы или классы предметов, о которых что-то утверждается в высказывании в знаковых формах им соответствуют единичные или общие имена, а также свойства или отношения, наличие которых у соответствующих предметов тоже утверждается (в качестве знаков для них в ЯЛП употребляются предикаторы). Рассуждения, осуществляемые в естественном языке с учетом смыслов языковых выражений и представляющие собой, по существу, операции именно с этими смыслами (с мысленными предметными ситуациями, могут быть представлены в формализованном языке как операции со знаковыми формами высказываний. Операции эти осуществляются по правилам формального характера, формального в том смысле, что для их применения необходимо учитывать лишь то, из каких знаков составлены знаковые формы ив каком порядке расположены эти знаки. Ясно, что подобная возможность отвлечения от смыслов высказываний при описании форм правильных рассуждений необходима для автоматизации многих интеллектуальных процессов и является условием обеспечения максимальной точности в построении научных выводов и доказательств, которые при этом становятся всегда проверяемыми. У людей, незнакомых с современной формальной логикой, нередко складывается мнение, что она, имея дело со специальными формализованными языками, изучает особые формы рассуждения именно в этих языках. Однако никаких особых форм такого рода не существует. Формализованные языки являются лишь средством выделения различных типов отношений вещей, которые представляют собой логические содержания высказываний и определяют формы правильных рассуждений в любых процессах познания. Язык логики предикатов, как увидим далее, является результатом определенной реконструкции естественного языка, цель которой состоит в том, чтобы привести в соответствие логические формы высказываний сих знаковыми формами языковые формы этого языка адекватно выражают смысловые структуры высказываний, что отнюдь не всегда, как уже подчеркивалось, имеет место в естественном языке. Язык логики высказываний является результатом некоторого упрощения ЯЛП за счет того, что в нем не учитывается структура некоторых высказываний. Это обстоятельство приводит к появлению новой семантической категории, отсутствующей в естественном языке, а именно, пропозициональных знаков (символов, переменных .., предназначенных для обозначения некоторых высказываний без учета их внутренней структуры. Существенно, что здесь (в ЯЛВ) не выявляется состав простых высказываний, их субъектно-предикатная структура, а выявляются лишь логические формы сложных высказываний. Поскольку этот язык имеет более простое строение, методически целесообразнее именно с него начинать рассматривать искусственные языки логики 10. Язык, логика и исчисление высказываний ЯЗЫК ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ (СИНТАКСИС И СЕМАНТИКА ЯЗЫКА) Прежде всего, очевидно, мы должны перечислить основные синтаксические категории этого языка, из которых должны строиться высказывания и высказывательные формы, называемые формулами ЯЛВ. Перечень знаков этих категорий называют исходными символами или, иногда, алфавитом языка. Исходные символы ЯЛВ: а) пропозициональные переменные р q, r, s, а также эти же символы с числовыми индексами: б) логические константы (связки & (конъюнкция (дизъюнкция, (импликация (отрицание); в) технические знаки ( — левая скобка ) — правая скобка. Технические знаки здесь суть синкатегориматические категории (см. § 6). Остальные выражения являются значащими символами. Среди последних пропозициональные переменные суть дескриптивные термины (знаки, а остальные — логические. Напомним, что пропозициональные переменные не имеют аналогов в естественном языке. Они появляются в Слово знак здесь употребляется не в том смысле, как в предыдущей главе. Это употребление является также распространенным сравните знаки препинания. Ясно, что точки, тире, запятые и т.д. не являются представителями каких-то объектов. Слово знак употребляется здесь как синоним слов символ, выражение и т. п формализованном языке логики как знаки каких-то более или мене сложных высказываний и, прежде всего, высказываний субъектно-предикатного характера, от структура тем самыми от смысла которых) мы отвлекаемся при изучении некоторых логических связей и форм выводов в рамках логики высказываний. Для определения понятия формулы используется особый прием — индуктивное определение. Определение поэтому способу распадается натри основные части впервой дается перечень элементарных объектов, относящихся к данному понятию, во второй части указываются те или иные способы построения объектов определенного типа из других объектов этого типа. В третьей части индуктивного определения констатируется полнота (исчерпанность) перечисления определяемых объектов в первых двух частях. Формулы) Пропозициональные переменные р q, г, s суть формулы) если Аи В — формулы, то (Л & В, (и, конечно, В) — формулы) ничто, кроме указанного в пункте 1 и пункте 2, не есть формула. В целях удобства договоримся, что будем опускать внешние скобки в отдельно взятых формулах. Условимся также, что & и v связывают теснее, чем это означает, что записи A & СВ С С понимаем соответственно как (А & В В & ((A В В Перечисление исходных знаков (символов) и правил образования формул составляет синтаксис языка. Пока мы не придаем нашим знакам (исходным, а также формулам) никаких значений, мы имеем лишь некоторую схему языка. Операция приписывания определенных значений выражениям языка называется его интерпретацией. При этом логические константы получают единую и постоянную для данного языка интерпретацию, а дескриптивные знаки пропозициональные переменные в составе формула также сами формулы, могут получать различные интерпретации от случая к случаю. Существование этой интерпретации определяет семантику языка. Естественно, что интерпретации подлежат лишь значимые выражения языка. Напомним, что наряду с пропозициональными переменными к ним принадлежат теперь и формулы. Интерпретацию можно разбить на два этапа. На первом этапе указываются лишь типы возможных значений для значащих выражений языка и — для сложных выражений — правила приписывания таких значений в зависимости от значений составляющих. На втором этапе указываются определенные значения дескриптивных терминов (в языке логики высказываний — пропозициональных символов. Для логики существен лишь первый этап. При осуществлении интерпретации на этом этапе каждая формула, указанная в пункте 2, приобретает определенный логический смысл (логическое содержание. А на втором этапе каждая формула превращается в определенное, но лишь по своему истинному значению — высказывание (истинное или ложное, причем формулы пункта 1 представляют собой элементарные высказывания, а формулы пункта сложные при этом Аи В входящие в состав сложных высказываний, называются также под формулами указанных формул. Выделяя первый этап интерпретации, имеем. Пропозициональным знакам в качестве предметных значений приписываются объекты из множества — истинностных значений — ИЛ, где И — истина, Л — ложь. При этом каждому пропозициональному знаку в каждом случае интерпретации приписывается лишь одно из указанных значений. Естественно, подразумевается, что эти объекты (ИЛ) являются истинностными значениями каких-то высказываний, от смысловых структур которых мы отвлекаемся в языке логики высказываний. Формулам, указанным в пункте приписываются значения того же типа (ИЛ) последующим правилам (тоже индуктивного характера): а) Формула вида А & В имеет значение И, если и только если значение А есть, И и значение Весть ИВ противном случае — если значение А или значения Вили значения обоих вместе есть Л — формула этого вида имеет значение Л. В дальнейшем будем иметь ввиду, что формула имеет значение Л, если она не имеет значения И (и наобо- рот). б) Формула вида A v В имеет значение — какая- нибудь из ее составляющих — А или В — имеет это значение. «е. те означает если. и только если в) Значение есть И е. те. имеет место какой-нибудь из случаев (или оба значение А = Лили значение = И. г) Значение формулы вида есть И е. те. значение А = Л. В результате указанной интерпретации логических связок каждая формула приобретает некоторый смысл. Они собой логические формы возможных высказываний. Назовем такие формулы полуинтерпретиро- ванными. В дальнейшем, говоря о формулах языка (без специальных оговорок) будем иметь ввиду полуинтерпретиро- ванные формулы. Полная интерпретация той или иной формулы получается в результате приписывания истинностных значений пропозициональным переменным. Полностью интерпретированная формула — это некоторое высказывание нашего языка. Такая интерпретация формул интересует логику лишь при решении некоторых конкретных задач, например, при вычислении истинностных значений сложных высказываний. Предположим, нам надо вычислить истинностное значение высказывания вида при заданных значениях его составляющих значение р — Л (ложь), И (истина. По смыслу индуктивного определения для вычисления значения всего выражения надо вычислить значения его составляющих и Согласно пункту б) первое имеет значение И, второе — согласно пункту г) — также И. Следовательно, значение всего выражения согласно пункту весть И. • Упражнение Вычислите значение каждой из формул при заданных значениях переменных р — ИЛ, г — ЛИ б в г s, p q, (p q) s (Перечень правил приписывания значений формулам пункта II содержит неявные определения логических связок. Явное определение их будет дано посредством истинностных таблиц (см. с. 101). Но уже сейчас из этих правил видно, например, что конъюнкция (&) в применении к двум высказываниям Аи В указывает на наличие в действительности ситуаций, описываемых в высказываниях Аи Она соответствует союзу и естественного языка при некоторых типичных его употреблениях. Дизъюнкция (v) в применении к таким же высказываниям указывает на наличие какой-нибудь из этих ситуаций, а, возможно, и обеих. Она представляет собой аналог есте- ственноязыкового слова или, когда оно употребляется не в строго разделительном смысле. Отрицание высказывания А А) указывает на отсутствие ситуации А. Сложнее поддается разъяснению смысл утверждений, образованных с помощью импликации В некотором отношении эта связка соответствует союзу если, то естественного языка, используемого для выражения некоторой связи между явлениями действительности. Например Если по проводнику течет ток, то проводник нагревается или «Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5» и др. Логическая же связка является результатом определенного упрощения смысла этого союза. В результате этого упрощения истинными являются, например, такие высказывания, как Если Эйфелева башня находится в Англии, то Париж — столица Англии или Если Эйфелева башня находится в Париже, то Новосибирск находится в Сибири. Первое из этих высказываний истинно в силу ложности первого члена импликации, который называется антецедентом Второе истинно в силу истинности второго члена импликации, называемого кон сек вен том импликации. Несмотря на такое упрощение, и даже в силу его, эта связка оказывается весьма полезной в составе языка при использовании его как инструментария для анализа определенных логических процедур и отношений в рамках естественного языка. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ. ПОНЯТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО СЛЕДОВАНИЯ И ЗАКОНА ЛОГИКИ Логику высказываний мы получаем, определив для формул в ЯЛВ отношение логического следования и понятие закона логики Понятие логического следования В практике научного познания отношение логического следования употребляется обычно в применении к высказываниям. В нашем языке (ЯЛВ), как уже было сказано, это полностью интерпретированная формула. В ней определены все логические связки и все переменные в составе формулы имеют определенные истинностные значения. При этом, естественно, все выражение истинно или ложно. Из таких высказываний могут выделяться их логические формы в результате отвлечения от истинностных значений пропозициональных переменных. А из этих логических форм могут образоваться новые высказывания при различных распределениях истинностных значений для составляющих их переменных. • Пусть теперь и какие-то высказывания данного языка, А и В соответственно — их логические формы. Тогда из следует что выражается в виде — е. те. это отношение имеет место между логическими формами этих высказываний, то есть между Аи В (« » — знак логического следования, А в этом отношении — посылка, а В — заключение следования). Отношение следования для логических форм Аи В (А В) имеет место е. те. для любых высказываний и которые могут быть образованы изданных логических форм. Исключено, чтобы при истинности было ложно Иначе говоря, для любых значений пропозициональных переменных в Аи В при истинности возникающего высказывания истинно Таким образом, наличие или отсутствие отношения логического следования между высказываниями зависит от их логических форм. В практике научного познания понятие логического следования используют в более широком смысле, а именно говорят, что некоторое высказывание является следствием какого-то множества высказываний Наличие или отсутствие такого отношения между высказываниями опять-таки зависит от логических форм этих высказываний. А именно, оно имеет место е. те. для множества Г логических форм высказываний из и логической формы В высказывания Во имеет место Г В. Определение этого последнего отношения мы можем получить, используя предыдущее определение следования для пары формул Г е. те. в Г имеется конечное множество формул ... (п > таких, что & В (при какой-нибудь допустимой — согласно определению формулы — расстановке скобок в конъюнкции. При имеем вырожденную конъюнкцию Впрочем, вместо указанной конъюнкции мы можем рассматривать множество формул и иметь в виду, что интересующее нас отношение следования имеет место е. те. для всех высказываний, которые могут быть образованы из указанных логических форм (при приписывании одних и тех же истинностных значений каждой переменной во всех формулах, где она встречается и не может оказаться так, что все посылки окажутся истинными, а заключение ложным. Согласно этому определению ясно, что при наличии Г = В имеется также следование формулы Виз любого расширения множества Г. Теоретически это расширение возможно до бесконечного множества. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ • Законом логики высказываний называется формула, которая при любых распределениях истинностных значений, входящих в нее пропозициональных переменных (то есть для любых высказываний, которые могут быть получены изданной формулы, принимает И — истинно. Для метаутверждения есть логический закон принято обозначение А Про формулу, представляющую собой закон логики высказываний, говорят, что она всегда истинна или, как в логике принято говорить, она тождественно ис- тинна. Примеры: р v р — закон исключенного третьего (р & р) — закон противоречия; (р & q) з p — закон исключения &; з (р v — закон введения v ; — закон консеквента; (р з q) з р — закон контрапозиции; р q) p) — закон усиленной контрапозиции; (р (р (р q) (р — закон самодистрибутив- ности импликации 97 Для утверждения того, что некоторая формула А является законом логики, то есть тождественно-истинной, употребляют обозначение А (таким образом этот знак можно было бы поставить перед каждой из только что приведенных формул). Важно иметь ввиду, что каждый закон логики имеет бесконечное множество вариантов. Например, простые варианты закона исключенного третьего v v v и т. д. Другие формулы получаем подстановкой вместо ка- ких-либо его пропозициональных переменных любых формул данного языка (вместо всех вхождений одной и той же переменной должна, конечно, подставляться одна и та же формула. Так, получаем, например & v & и т. д. В полученные выражения снова можно совершать подобные подстановки вместо В обобщенном виде выражения законов логики получаем, используя метаязыковые переменные А, В, С D для любых высказываний данного языка. Тогда для рассмотренных выше законов получаем A В) з В з Аз В); (В & з В (Аз з z> И Т. Д. ЭТО схемы соответствующих законов логики. Определяя отношение логического следования, закон логики, используя схемы высказываний, мы задаем тем самым неявным образом бесконечное множество случаев отношения логического следования и законов логики. Ив каждом данном конкретном случае — для заданного множества высказываний Г и В и для заданного высказывания А — мы можем определить, имеется ли между Г и В отношение логического следования и представляет ли собой А закон логики. Имеется определенная связь между законами логики вида Аз В и отношением логического следования (Аз В) е. те В в более общей формулировке: Например, поскольку имеем а также ((Р, и, наконец Ясно, что не все формулы языка логики высказываний являются тождественно-истинными. Имеются также так называемые тождественно- ложные формулы формулы, принимающие значение Л (ложь) при любых распределениях значений имеющихся в них пропозициональных переменных (символов. Любая тождественно-ложная формула представляет собой отрицание закона логики. Ясно также, что имеет место и обратное — отрицание тождественно-лож- ной формулы есть закон логики. Наконец, имеются формулы не тождественно-истинные и не тождественно ложные — такие, которые при одних распределениях значений пропозициональных переменных истинны, а при других ложны Их называют обычно выполнимыми, имея ввиду узкий смысл этого термина. В широком смысле выполнимыми — принимающими значение «истина» при каких-нибудь значениях переменных — являются и тож- дественно-истинные формулы. Читателю самому должен быть ясен ответ на вопрос к какому классу формул относится если само Ане тож- дественно-истинная и не формула. |