Логика - Учебник - Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. (PDF). Учебник для студентов высших учебных заведений
 Скачать 3.83 Mb.
|
|
• Упражнение Укажите, какие эквивалентности использованы на каждом шаге преобразований в только что приведенном примере. В заключение данного раздела надо заметить, что понятие следования и связанное с ним понятие логического закона в описанной системе — классической логики — страдают определенными недостатками, которые называют парадоксами. При этом имеется ввиду некоторое несоответствие понятия следования и законов вида (Аз В определенным интуитивным представлениям об отношении логического следования. По идее, наличие следования А В между высказываниями Аи В должно означать, что логическое содержание В (информация, которую выражает логическая форме В составляет часть логического содержания А. Однако для классического следования, если, например, Весть логический закон нашей системы (то есть имеем во бы не было А имеем А В Аи оказываются логическими законами формулы вида (Аз В В з В частности имеем (р & риз (на эти случаи обращают особое внимание, подчеркивая, что в данной логической системе из противоречия следует все, что угодно. О таких парадоксальных случаях говорят, что между Аи В нет связи по содержанию, или иначе — Ане реле- вантно В», Парадоксами «нерелевантности» («иррелевантности») страдает также и импликация данной системы — материальная импликация По идее эта связка должна быть более или менее точным аналогом логического союза естественного языка если, то ...». Так ее обычно и понимают, читая формулу вида как Если р, то д. Однако в естественном языке предполагается, что связка если, то, будучи примененной к двум высказываниям, выражает некоторую связь между ними по содержанию. Для материальной же импликации формула истинна, как мы видели, когда ложно р или истинно д, независимо оттого, каково содержание высказываний р и д. Истинными поэтому оказываются, например, высказывания Если = то Земля вращается вокруг своей оси, а также и Если = 5, то Земляне вращается вокруг своей оси. Однако указанные парадоксы следования и материальной импликации не исключают полезных применений описанной логической системы. Тем более если трактовать формулы вида Аз В как A v В в соответствии с имеющейся в системе эквивалентностью данных выражений, иначе говоря не рассматривать « з » как аналог союза если, то. При такой трактовке « з » парадоксы импликации вообще исчезают. Хотя исключение из языка союза то значительно ограничивает возможности его применения. В настоящее время имеется уточнение классического понятия следования и соответственно понятия импликации z>», в результате которых устраняются указанные парадоксальные случаи. На основании такого уточнения систем классической логики выделена так называемая релевантная система, а именно, система Е (of Вместо классического следования в них мы имеем релевантное, а материальная импликация « заменяется интенсиональной (или Разница между классическими релевантным следованием может быть охарактеризована так классическое А = В (Г = В указывает на связь между высказываниями Аи В (множеством высказываний Г и В по их истинностным значениям. Точнее говоря, на невозможность ложности В при истинности А (при истинности высказываний в Г. Релевантное же следование между Аи В (Г и В означает, что логическое содержание заключения В составляет часть логического содержания А (или совокупного логического содержания высказываний Г). Для решения многих вопросов теории познания и методологии, связанных с применением логики, необходимо использование релевантного следования и формализованного языка с интенсиональной импликацией. Однако во всех случаях, когда нас интересует только правильность выводов, понимаемая как наличие гарантии истинности заключений выводов при истинности посылок, применима система классической логики, то есть понятие классического следования и материальной импликации. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Построение и анализ логических исчислений (высказываний и предикатов) составляют содержание одного из наиболее важных разделов современной логики как науки. Это существенная часть теории дедукции. Теория дедукции включает 1) описание формализованного языка 2) логику языка 3) исчисление. из Исчисление — это формализация соответствующей логики. Исчисления составляют основное содержание современной логики. Теория дедукции, включающая логические исчисления это формальная логика в строгом смысле этого слова. Однако в данном случае речь идет о современном этапе логики. Как в традиционной, таки в современной логике предметом изучения формальной логики (теории дедукции) являются формы правильных рассуждений (выводов, доказательств, или, каких было принято называть прежде, формы дедуктивных умозаключений Умозаключением вообще называют один из приемов познания — выведение из имеющихся высказываний нового высказывания, то есть некоторый логический прием получения нового знания на основе имеющегося. Наряду с дедуктивными выводами (умозаключениями) существуют также индуктивные (а некоторые авторы выделяют еще и традуктивные выводы). Специфика дедуктивных выводов состоит в том, что они обеспечивают истинность выводимого высказывания — заключения при истинности исходных суждений — посылок вывода (умозаключения. Это свойство дедуктивных выводов обусловлено, в свою очередь, наличием определенной связи между их посылками и заключением. Их связь воспроизводит отношения логического следования между соответствующими высказываниями. Имеется принципиальное различие между теорией дедукции в традиционной логике и современной. В традиционной логике теория сводилась, в основном, лишь к эмпирическому выделению и описанию некоторых форм правильных суждений — правил дедуктивного вывода — без какого-либо полного их обоснования. Дело в том, что в прежней логике не было необходимых для этой цели понятий логического закона и отношения логического следования. Основой метода построения теории дедукции с применением метода логических исчислений является, как мы увидим позднее, наличие взаимосвязей между самими законами и правилами вывода, в силу которых одни законы и правила можно обосновывать с помощью других Исчисление (логическое — это теория, которая строится, как уже ясно из предыдущего, на базе некоторого формализованного языка, например, исчисление высказываний на базе описанного языка логики высказываний При построении исчисления, во- первых, в качестве исходных выделяется минимальное множество формул — законов логики — и правил вывода (в аксиоматических системах) или только правил (в натуральных системах. Во-вторых, определяются понятия вывода и доказательства. Понятие вывода — какой-либо формулы из множества формул — и понятие доказательства формулы являются основными в логическом исчислении. Эти понятия определяются таким образом, чтобы а) всякая доказуемая формула представляла собой закон логики, формулируемый в данном языке, и чтобы б) была осуществить доказательство любой формулы, представляющей собой закон логики. При этом в случае доказательства формул вида В) осуществим также вывод формулы Виз множества формул ..., соответствующий имеющемуся в таком случае отношению логического следования ..., Показательно, что выводы и доказательства осуществляются при этом пом аль н ы м правилам, то есть по таким правилам, для применения которых не требуется учитывать смысл употребляемых высказываний, надо учитывать лишь характер знаковых форм этих высказываний (состав и порядок расположения знаков языка, из которого они построены. Более того, правильность или неправильность осуществляемых выводов и доказательств оценивается без учета смысла имеющихся высказываний. Последний может приниматься во внимание лишь в эвристических целях — при поиске и составлении плана доказательства или вывода, при определений необходимых средств его построения и т. д. Все сказанное означает, что в исчислении осуществляется формализация основных понятий логики, а именно закона логики и отношения логического следования. Для каждого из этих семантических понятий формулируется его синтаксический (формальный) аналог для закона логики — доказуемая формула, для отношения логического следования формальный вывод, в результате осуществления которого устанавливается формальная выводимость. Употребляя для доказанности формулы А обозначение - А, а для выво- димости формулы Виз некоторого множества формул Г обозначение Г - В, получаем — при правильном построении исчисления — следующие соотношения между указанными семантическими понятиями и их синтаксическими аналогами Лете Аи Г В е. те. Г В. Если выполняются эти соотношения, то говорят, что вис- числении осуществлена адекватная формализация основных понятий закона логики и отношения логического следования. Важно заметить, что, в силу сказанного, построение логического исчисления означает также формализацию рассуждений. Естественные рассуждения заменяются здесь формальными преобразованиями знаковых форм высказываний. Это обеспечивает точность и проверяемость выводов и доказательств и открывает возможность передачи осуществления соответствующих видов интеллектуальной деятельности человека машине. Однако в тех или иных случаях оказывается, что формализация неполна, а для некоторых языков она и принципе не может быть полной. При неполной формализации имеем если А, то А, но обратное имеет место не для любых формул. Аналогично, при наличии вы- водимости Г В имеется отношение Г В ноне для всякого отношения логического следования может быть построен формальный вывод, то есть получена соответствующая формальная выводимость. В последнем случае говорят, что логическое исчисление непротиворечиво относительно заданной семантики языка, ноне является полным. При адекватной же формализации основных семантических понятий оно семан- тически непротиворечиво и полно относительно заданной семантики. Утверждения о наличии у исчисления этих и других подобных свойств называются мета теоремами исчисления. Их доказательство осуществляется иными средствами, чем доказательство теорем самого исчисления 1 Существуют различные способы формализации логики и соответственно различные формы (или типы) логических ис- числений. В качестве основных выделяются аксиоматические системы, натуральные системы и системы сек вен ц и аль ног от и па. Внутри каждого типа возможны также различные, но эквивалентные между собой (представляющие формализацию одной и той Важную роль здесь играет метод математической индукции же содержательной логической теории) системы, различающиеся составом постулатов (аксиом и исходных правил вывода в аксиоматических системах исходных правил вывода в натуральных системах исходных секвенций и правил вывода для секвенций — в исчислениях Построение систем логических исчислений имеет двоякое значение. Во-первых, теоретическое для самой логики, поскольку в процессе ив результате этого построения выявляются связи между логическими законами, правилами вывода. Из бесконечного множества тех и других выделяется множество исходных, достаточных для доказательства всех формул, представляющих логические законы, для воспроизведения всех возможных отношений следования, для обоснования любого из допустимых правил рассуждения и т. п. Во-вторых, построенное логическое исчисление может быть использовано как логический аппарат для осуществления выводов и доказательств в тех или иных нелогических теориях, построенных на базе соответствующего прикладного формализованного языка. Построение теории при этом осуществляется просто добавлением специальных ее аксиом к постулатам логического исчисления. Построение всякого логического исчисления, как и любой формальной системы, начинается с формулировки постулатов. В аксиоматических логических системах таковыми являются некоторое непустое множество аксиом — формул, являющихся законами логики, итак же непустое множество правил вывода (правил преобразования формул. При этом обычно прибегают к сокращению количества связок языка с учетом того, что одни из них могут быть выражены (определены) через другие. Например и v посредством и Так, согласно имеющимся в заданном языке отношениям, формула А & В истинна е. те. истинна формула (A Av В истинна е. те. истинна A В В силу этого при построении исчисления можно принимать в качестве основных его связок только и а формулы вида А & В и A v В рассматривать как сокращения, соответственно, для формул (A В) При построении аксиоматических исчислений качественно различаются системы с конечными бесконечным множеством аксиом, или — системы сак си омами и системы со схемами аксиом. Бесконечное множество аксиом задается перечислением некоторого конечного множества схем аксиом. Аксиома — это формула языка Например, в языке логики высказывании в аксиом можно взять формулы или Схема аксиом — это выражение метаязыка, представляющее бесконечное множество формул определенной структуры Например Различные формулы получаются заменой А В какими-либо формулами языка (подстановкой вместо Аи каких-либо формул языка. Ясно, например, что формулы и и т. д. будут принадлежать к одной и той же схеме: Принимая во внимание все вышесказанное, аксиоматическую систему исчисления высказываний можно задать следующим образом. В качестве схем аксиом выступают — схема б — схема самодистрибу- тивности импликации; в) — схема обратной (сильной) кон- трапозиции. II. Правило вывода (в данной формулировке одно из И А непосредственно выводимо В Виной записи — правило modus ponens — m. р. (правило модус поненс».) III. Доказательством некоторой формулы В в данной системе называется непустая конечная последовательность формул в которой каждая формула есть или аксиома (частный случай какой-либо из схем аксиом) или получается из предыдущих формул последовательности по правилу вывода и последняя формула которой есть В Формула, для который имеется доказательство, называется теоремой системы. Нетрудно проверить, что последовательность, состоящая из одной аксиомы, есть доказательство этой аксиомы. Значит, все аксиомы системы являются и ее теоремами. В практике познания в определенных случаях возникает необходимость проводит рассуждения с использованием некоторых допущений, то есть высказываний, которые не являются доказанными, например, в той или иной теории 1 Формальным аналогом таких рассуждений у нас будет понятие вывода из допущений. Выводом формулы Виз множества допущений Г называется непустая конечная последовательность формул в которой каждая формула есть или некоторое допущение из Г или аксиома системы, или получается из предыдущих формул по правилу вывода, и последняя формула этой последовательности есть В. Очевидно, что понятие вывода из допущений является обобщением понятия доказательства. Доказательство есть вывод из пустого множества допущений. Утверждение о наличии вывода (выводимости) формулы Виз множества допущений Г записывается (в метаязыке, конечно) в виде Г ь в случае пустого Г (то есть при наличии доказательства В имеем Вчитается В доказано или Весть теорема системы»). Рассмотрим в качестве примера доказательство формулы Для удобства нумеруем члены последовательности и указываем для каждой формулы, является ли она аксиомой или получена из других формул указания такого рода называются анализом доказательства вывода з р ) — аксиома (частный случай схемы кон- секвента). 2. ( ( р з p) з р) з ( р з р) ( р з р) — аксиома (частный случай схемы самодистрибутивности 3. (р з (р з р) з (р з риз пунктов 2 и 1 поправилу т. р. (р з (р з р) — аксиома (частный случай схемы консек- вента). 5. (р з риз пунктов 3 и 4 пот. р НИЧТО не мешает нам, конечно, рассматривать в качестве допущения и некоторую формулу, фактически являющуюся теоремой, отвлекаясь оттого, что существует ее доказательство Итак, имеем то есть формула есть теорема нашей системы». Если вместо формул (выражений языка) использовать схемы формул (выражения метаязыка, а вместо аксиом схемы аксиом и их варианты, то получим схему доказательства формул определенной структуры. Соответственно вместо выводов можем строить схемы выводов. Каждый вариант той или иной из схем аксиом мы обозначаем тем же названием. Схема доказательства формул вида. Аз схема консеквента (один из вариантов — схема само- дистрибутивности. (А (Аз Аз (Аз А) — из пунктов 2 и 1 пот. р. Аз з А) — схема консеквента. 5. Аз А из пунктов 3 и 4 пот. р. В символической логике имеется доказательство того, что приведенная формулировка исчисления высказываний представляет собой адекватную формализацию понятий закона логики и отношения логического следования. Мы не останавливаемся здесь подробно на рассмотрении этой системы, как и вообще аксиоматических построений, поскольку имеются значительные сложности в применении их как аппарата дедукции. Уже из рассмотренного примера доказательства казалось бы самого простейшего закона логики видно, насколько трудноосуществимы в этой системе доказательства и выводы. Трудно определить в каждом конкретном случае доказательства, какие именно из аксиом нужно выбрать в качестве посылок для его осуществления. К тому же выводы здесь значительно отличаются от тех, которые мы имеем в естественном языке. И отличаются именно тем, что в последних не употребляются в качестве частей — посылок выводов и доказательств — законы логики, а ведь аксиомы, как мы помним, и являются таковыми. В математических доказательствах, например, в геометрии, посылками доказательств являются аксиомы геометрии или уже доказанные на их основе утверждения. В ряде других случаев, и особенно вне аксиоматических теорий, это могут быть просто какие-то Ясно, конечно, что к формулам данного вида будут принадлежать такие, например, как (А & В (А & В, (В (В и др допущения (гипотезы. Указанные трудности в построении выводов и доказательств и несоответствие естественным рассуждениям преодолеваются в определенной мере в системах натурального типа, к рассмотрению которых мы и переходим; там мы увидим, в частности, что доказательство того же закона тождества мы получим всего в два шага Однако в натуральных системах возникают свои трудности. Они связаны с определением вывода. Обычно его определения получаются здесь весьма усложненными. Дело в том, что, устраняя из множеств возможных посылок выводов и доказательств законы логики, мы должны использовать так называемые непрямые правила рассуждения (см. дальше. В силу этого опять-таки происходит отдаление способов построения выводов в этих исчислениях от естественных рассуждений. Мы же даем здесь систему, которая максимально приближена к естественным рассуждениям. |