|
|
Логика - Учебник - Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. (PDF). Учебник для студентов высших учебных заведений
• Примеры
Определим значение формулы —
а) &
у))
при условии, что область возможных значений переменных есть множество целых положительных чисел, константами приписаны соответственно числа 2 и свободной переменной у — значение 6; предикатный символ Р имеет в качестве значения отношения делится. Ясно, что при указанной интерпретации данная формула выражает определенное высказывание в переводе на русский язык, Для всякого целого положительного числах верно, что если оно делится на 2 и на то оно делится на 6». Ясно, что это высказывание и соответственно наша формула истинны. Рассмотрим формулу х Если D
— множество людей Р отец, то она представляет собой высказывание Для всякого человека х существует человеку такой, что он является отцом первого».
Как уже сказано, полностью интерпретированные формулы языка при учете правил III представляют собой высказывания этого языка, а интерпретированные формулы со свободными переменными — предикаты (знаковые формы сложных свойств и отношений соответствующей области предметов D). Неинтерпретированные формулы, не содержащие свободных переменных, — суть логические формы высказываний, а со свободными переменными — логические формы предикатов. Однако предикаты могут трактоваться и трактуются в процессах выводов и доказательства также в определении отношения логическою следования и законов логики как специфические высказывания с какими-то подразумеваемыми значениями переменных, как это делается, например, в записи математических уравнений. Возможность различных истолкований формул со свободными переменными указывает на существование различных истолкований или, как говорят, различных интерпретаций самих свободных переменных в формулах. Вообще различают три возможных интерпретации свободных переменных в составе формул ЯКЛП. 1) Предикатная интерпретация. Она означает, что свободные переменные в формуле рассматриваются как знаки пустых мест в предикате, на которые могут подставляться имена предметов из заданной области D для образования высказываний из предикатов) Условная интерпретация. 3) Интерпретация всеобщности. При второй и третьей интерпретации свободных переменных формула, содержащая эти переменные, трактуется как высказывание или логические формы таковых (в зависимости оттого, являются они интерпретированными или нет. При условной интерпретации некоторой переменной в нем эта переменная рассматривается как знак какого-то — одного итого же во всех своих вхождениях предмета из области D. А при интерпретации всеобщности какой-либо переменной она рассматривается как знак любого предметы из области но одного итого же во всех своих вхождениях в формулу. Иначе говоря, высказывание со свободными переменными равносильно высказыванию, которое получается изданного посредством связывания всех его свободных переменных, взятых в условной интерпретации, квантором существования, а переменных, рассматриваемых в интерпретации всеобщности, квантором общности. В предыдущем описании семантики мы подразумеваем предикатную интерпретацию свободных переменных. А высказывание, получаемое из предиката, — как результат применения этого предиката к предметам, имена которых подставляются вместо свободных переменных. Однако в дальнейшем, например при анализе понятия следования, формулы со свободными переменными трактуются как высказывания с условной интерпретацией этих переменных. Подчеркнем еще раз значение интерпретации (совокупность правил I). При наличии правил III, то есть при заданном понимании логических констант, определяющих тип языка, различные интерпретации порождают из заданной синтаксической системы фактически различные языки данного типа (в которых используется каждый раз лишь какая-то часть исходных дескриптивных сим- волов). В заключение данного раздела, касающегося семантики языка, важно заметить, что хотя правила приписывания значений выражениям языка, составляющих в совокупности эту семантику, ориентированы на приписывание значений в ка- ких-то конкретных случаях, их основное значение состоит в том, что они указывают общие принципы, общие способы превращения формул языка в осмысленные выражения. При таком истолковании указанных правил семантика представляет собой теорию означив ан и я выражений данного языка (которую называют также теорией референ- ции). • У пр аж не ни яДля каждой из следующих формул укажите какую-ни- будь интерпретацию (область D) значение дескриптивных постоянных, а также значения свободных переменных, при которых соответствующие формулы, соответственно, истинны и такие, при которых они ложны: а) б) у (ух Р (у,в) Зх Ах, у Зх А(х,г) Зх Ах, у Зх Ах, у).Данные выше разъяснения относительно тех смыслов, которые формулы получают при интерпретации, указывают на принципы перевода высказываний языка логики предикатов на естественный язык. Однако в них можно усмотреть решение и обратной задачи — перевод с естественного на язык логики предикатов, хотя здесь требуются и определенные дополнительные разъяснения. Прежде всего они связаны с отсутствием в формулах ЯЛП общих имен. Общие имена здесь используются только для характеристики задаваемой каждый раз при выражении некоторого высказывания области D значений предметных переменных. В составе самих формул общие имена — в предложениях обычного языка заменяются предикаторами. Так, предложение Все студенты пединститута готовятся стать преподавателями» может быть переведено на язык логики предикатов двояко в зависимости от выбора значений переменных. Мы можем взять в качестве таковой множество студентов пединститута. Обозначив тогда через свойство готовятся стать преподавателями, получим С учетом заданной области это должно быть прочитано как всякий студент пединститутах готовится стать преподавателем. Для более полного выражения смысла высказывания можем взять в качестве области студенты вообще, а общее имя студент пединститута истолковать как предикатор, взяв для него, например, знак (предикатор) S1 получим V х Предложение звучит теперь так Для всякого студентах верно, что если он учится в пединституте, то он готовится стать преподавателем. Высказывание Некоторые студенты пединститута готовятся стать преподавателями притом же выборе области D и предикаторов запишется в виде Обратите внимание, когда высказывание предваряет квантор общности (то есть исходное высказывание является общим, то далее используется логическая связка в случае, когда таковым является квантор существования (высказывание является частным, то для его записи на употребляется связка Для полной записи предложения Во всяком государстве имеется город, который является его столицей напрашивается необходимость ввести предикаторы: государство с аргументом х (возьмем для обозначения из исходных символов предикатор город с аргументом — у (обозначим его принадлежит — городу государству х (обозначим и столица — городу государствах (обозначение В таком В дальнейшем, как это обычно делается, будем опускать верхние индексы указатели местности предикаторов, учитывая, что перечисление следующих за предикаторами аргументов указывает на эту местность предикатора, конечно, при правильно построении формул (что будет предполагаться случае возникает трудность с характеристикой области значений переменных х, у Можно считать, что таковой является множество населенных людьми территорий. Взяв в качестве области D множество таких территорий и используя указанные предикаторы, получим запись нашего суждения в ЯЛП: & R{y, x) & x))). Буквальное произнесение его таково Для всякой населенной территории х верно, что если х есть государство, то существует населенная территория у такая, что у — городи у принадлежит государству хау есть столица х. Как мы видели, высказывания естественного языка, подлежащие переводу на ЯЛП, определенным образом стандартизируются, четко выделяются части классы или отдельные предметы, о которых нечто утверждается (или отрицается. Если это классы, то выясняется, ко всем предметам класса или лишь к части их относится утверждение или отрицание (соответственно употребляются кванторы общности V или существования 3). И наконец, определяется то, что именно в высказывании утверждается (или отрицается. Примеры таких высказываний естественного языка, осуществленные еще до записи их на ЯЛП, читатель может найти в самом начале данного параграфа. • У пр аж не ни е. Выразите логические формы видов высказываний, приведенных нас. Укажите способ прочтения формул, полученных Вами в упр. 1, на языке логики предикатов.
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
Логика предикатов формируется аналогично тому, как это происходит относительно логики высказываний. При наличии определений логических констант — как логики высказываний, таки логики предикатов, — последняя определяется введением понятий логического следования для формул ЯЛП и закона логики предикатов ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ Как ив логике высказываний, мы говорим, что для высказываний и (выраженных теперь в описанном языке логики предикатов, имеет место отношение логического следования если и только если оно имеет место для формул Аи В представляющих собой логические формы указанных высказываний. Последнее получается из и просто отвлечением от имеющихся значений их дескриптивных терминов. При этом возможно, что или а также и то и другое, содержат свободные переменные и трактуются при этом как высказывания с неопределенными истинностными значениями, в которых подразумевается, что каждая свободная переменная имеет какое-то определенное значение (во всех местах, где она встречается в томили ином выводе или доказательстве, или вообще в некотором рассуждении). Очевидно, что в упомянутых высказываниях со свободными переменными эти переменные имеют условную интерпретацию, которой мы будем придерживаться ив дальнейшем, хотя не исключаем возможность употребления таких высказываний, например в выводах и доказательствах с интерпретацией всеобщности их свободных переменных. Строго говоря, именно условная интерпретация соответствует понятию логического следования. А в случае интерпретации всеобщности при построении выводов и доказательств, требуются особые ограничения. Отношение следования между формулами А В имеет место е. те. при любой интерпретации дескриптивных терминов в Аи В и при любых приписываниях значений свободным переменным при истинности первого истинно и второе, иначе говоря, ложно первое или истинно второе. Имеется ввиду при этом, что, во-первых, если некоторый дескриптивный термин каким-то образом интерпретирован в А то таким же образом он интерпретирован и В (конечно, при наличии его в этой формуле, а, во-вторых, всем свободным вхождениям одной и той же переменной в Аи В приписывается одно и тоже значение. А и В — метапеременные для формул ЯЛП.
149
Из множества высказываний следует высказывание если и только если это отношение имеет место соответствен- между множеством формул Г и В, представляющих собой формы упомянутых высказываний. Последнее же отношение Г В имеет место, е. те. в составе Г имеется конечное подмножество формул ..., п > 1) такое, что В. Последнее соотношение, как ив логике высказываний, равносильно тому, что из высказываний следует В, что в свою очередь указывает на отмеченное ранее — в логике высказываний — свойство отношения следования, состоящее в том, что если некоторое высказывание следует из какого-то множества высказываний, то оно является следствием также любого расширения этого множества.
ЗАКОН ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
Формула А описанного языка логики предикатов является законом данной логической системы, то есть А) е. те. при любой ее интерпретации и при любых приписываниях значений ее свободным предметным переменным в заданной области D. Получаемое высказывание является истинным. Законы логики предикатов называются также универсально- общезначимыми формулами логики предикатов. • Формула А называется общезначимой в некоторой области е. те. она истинна при любых приписываниях значений ее дескриптивным терминами свободным переменным в этой области. Формула А называется выполнимой, если она истинна при какой-нибудь интерпретации и при каком-нибудь приписывании значений ее свободным предметным переменным. В противном случае она называется невыполнимой. Поскольку в язык логики предикатов, как это иногда делается, мы не включаем пропозициональные переменные, никакая формула логики высказываний не является формулой логики предикатов. Однако из любого закона логики высказываний получается закон логики предикатов при подстановке вместо пропозициональных переменных любых формул логики предикатов (при замене каждого вхождения ка- кой-нибудь пропозициональной переменной одной и той же формулой логики предикатов хотя не исключается при этом замена разных пропозициональных переменных одной и той же формулой логики предикатов).
Так же, как ив логике высказываний, здесь введением указанных понятий — законов логики предикатов и логического следования — в сочетании с определениями логических констант задается бесконечное множество случаев отношения логического следования и бесконечное множество законов логики. Однако в отличие от логики высказываний мы не имеем теперь общих процедур для решения вопросов о том, имеет ли место отношение логического следования между множеством формул Г и формулой Вили между двумя формулами Аи В и является ли некоторая формула Аза- коном логики. Эта специфика логики предикатов характеризуется как неразрешимость этой теории относительно универсальной общезначимости формул. Эта ограниченность наших возможностей здесь является платой за отказ от принимаемых в логике высказываний абстракций относительно структур некоторых высказываний.
Как ив логике высказываний, мы имеем здесь связь между отношением следования из а конами логики. Она позволяет сводить вопрос о наличии или отсутствии отношения следования для конечных множеств формул к вопросу о том, является ли некоторая формула универсально общезначимой. Имеется ввиду связь е.т. е.
последняя же, как мы видели раньше, равносильна &
— при любой расстановке скобок в конъюнкции согласно правилам построения формул.
В связи с отмеченной неразрешимостью логики предикатов особое значение приобретает здесь формализация понятий следования и закона логики посредством построения логических исчислений. Именно исчисление дает возможность во многих случаях синтаксическим образом решать вопрос,
является ли некоторая формула законом, или соответственно есть ли некоторое отношение следования, когда мы немо- жем решить этот вопрос посредством семантического анализа. Для логики высказываний исчисление высказываний, вообще говоря, не является необходимым. Оно скорее нужно как часть логического исчисления для формул ЯЛП.
151
ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ В основе исчисления предикатов лежит язык логики предикатов. В остальном оно является расширением исчисления высказываний. Аксиоматическую систему исчисления предикатов мы получим, добавив к перечисленным выше схемам аксиоматического исчисления высказываний (имея ввиду, конечно, переход к языку логики предикатов) следующие четыре схемы и одно правило. Vx Ах з — схема A(t) з 3 хА{х) — схема С{х)) С(Х)) — схема введения V в кон- секвент. 4. з В з С{х) з — схема введения 3 ванте- цедент. A{t) — результат правильной подстановки терма t вместо х в Вне содержит х свободно. Правило (правило введения квантора общности, иное A[t)название: правило обобщения г (из А непосредственно выводимо Формально мы сохраняем прежнее определение вывода и доказательства (ясно, что, по существу, изменение состоит в том, что теперь могут использоваться новые аксиомы и новое правило, однако, если мы хотим, чтобы отношение формальной выводимости было аналогом семантического понятия следования, необходимо ограничить применение оно может применяться к некоторой формуле Ах для обобщения лишь по таким переменным которые не содержатся свободно в допущениях, от которых зависит эта формула. Чтобы смысл этого ограничения был ясным, мы должны определить понятие зависимости некоторой формулы вывода от допущений (гипотез. Везде в дальнейшем будем иметь ввиду выводы с анализом (то есть обоснованием каждого его шага ссылками либо на принадлежность формулы этого шага к множеству взятых гипотез или аксиом системы, либо на формулы, из которых она получатся, и используемые при этом правила). Формула В данного вывода зависит от некоторого допущения А если и только если а) она есть само допущение б) получается из некоторых формул по правилам системы
(из
В и С пот р. или из С по какая-нибудь из которых зависит от А Более простым образом понятие зависимости разъясняется в описываемой далее системе натурального вывода, значительно проще осуществляются там сами выводы и доказательства.
НАТУРАЛЬНАЯ СИСТЕМА ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ
Постулатами системы (исходными правилами) являются все правила натуральной системы исчисления высказываний и правила для кванторов. Как и раньше, мы используем понятие зависимости формул в выводах от имеющихся в выводах допущений точнее говоря, это понятие, определенное ранее для исчисления высказываний, расширяется в формулировках правил для кванторов.
Правила вывода для выражений с кванторами В других системах — без характеристик зависимости — это правило формулируется в виде явно непрямого , оно позволяет вместо вывода Виз допущений Г Зх Ах заключать о наличии нужной здесь выво- димости на основании вспомогательного вывода, представляющего выводи- мость Г В, что значительно проще. Ситуация здесь аналогична той,
что связана с правилом Понятие вывода и доказательства остаются формально теми же, которые были сформулированы в исчислении высказываний, разница лишь в том, что при ссылке направила вывода теперь имеются ввиду и вновь введенные правила для выражений с кванторами. К числу указанных в предыдущем параграфе эвристических принципов введения допущений может быть добавлен еще один. Если в выводе получена формула и нужно вывести Вне выводимую непосредственно из имеющихся формул, вводим допущение Ах применяя способ рассуждения согласно Рассмотрим несколько примеров выводов. Схема доказательства формул вида 3 хА{х)+ 1. [1]. + 2. Ах. 3 хА{х) [21 — из 2,
4.
— из — из [-] Схемы доказательств рассмотренных в системе аксиом введения V в консеквент» и введения 3 в антецедент»: Предполагается, что Ане содержит х свободно+ 1. 2. А — из В[х) [1, 2] — из З и 2 , 5. 2) — 4, 6. — 7. B{X)) [-] — из 6, + 1. [1]. + 2. [2].+ 3. [3]. 4. из. А [1, 3] — из 3, 4, 6. А [1, 2] 5, 7. [1] — изб (В{Х) Ах В{х) А) — из 7, 154 Сформулированное здесь исчисление, как и приведенная выше аксиоматическая система исчисления предикатов, представляет собой адекватную формализацию понятий логического следования и закона логики. Это значит, что для них справедливы теоремы: Г В е. те. Г В и А е. т. е.
В заключение параграфа в дополнение к ранее сформулированным эквивалентностям языка логики высказываний приведем схемы наиболее важных законов логики, относящихся к языку логики предикатов, которые читатель может использовать также в качестве упражнений для выводов и. Взаимовыразимость кванторов 2.
II. Законы образования контрадикторной противоположности ЗхА{х)
III. Законы пронесения кванторов. ((VxA(x) &
Vx (Ах v
Зх
3. (Зх (Ах & В(х))
(ЗхА(х) & Зх В(х))).
4.
v
5. (Vx
(A v
если хне свободна в (Зх (А &
В(х))), если несвободна в А. (V* (Ах. Перестановка кванторов. Исключение квантора общности и введение квантора существования. Vx A(x)
A(t). 2. A(t) Зх А(х).
В обоих случаях A(t) есть результат правильной подстановки терма t вместо х в
Законы устранения вырожденных кванторов. Vx А А. 2. Зх А А, где Ане содержит х свободно. Связь кванторов V и .
Vx Ах Зх А{х).
Ясно, что приведенные эквивалентности также могут быть использованы в рассуждениях посредством эквивалентных преобразований (см. § Пример эквивалентных преобразований формулы {Р{х)
Зх
с использованием некоторых из указанных в этом и предыдущем параграфе схем Зх(Р(х) Q{x))
(Р{х)
Зх
Зх (Р(х)
v
|
|
|
Скачать 3.83 Mb.