Логика - Учебник - Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. (PDF). Учебник для студентов высших учебных заведений
 Скачать 3.83 Mb.
|
|
СИНТАКСИС ЯЗЫКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ (ИСХОДНЫЕ СИМВОЛЫ, ТЕРМЫ, ФОРМУЛЫ. Исходные символы языка. Предметные переменные х, у, z, а также х с числовыми индексами ..., (бесконечное счетное множество 2. Предметные константы (аналоги собственных имен естественного языка): а,, ... (также бесконечное счетное множество. Знаки свойств и отношений различных местностей предикатные символы, или предикаторы: О, ЯР, и возможно эти символы с нижними индексами Р ... д. (верхние индексы указывают на местность предикатора, нижние индексы используются для расширения множества предикаторов той или иной местности количество предикатных символов той или иной местности вводится в зависимости от предназначения языка. Однако, поскольку речь идет о языке логики предикатов, должен быть введен по крайней мере один предикатный символ. Знаки предметных функций различных местностей (предметные функторы): J ••• f 2 f 2 fk число функциональных символов той или иной местности зависит также от предназначения языка, возможно отсутствие символов этого рода вообще. Логические константы &, v, 3 — соответственно импликация, конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, квантор общности и квантор существования. (Зачастую вводят лишь некоторые из этих символов. Из кванторов достаточны только V или 3, из остальных, называемых логическими связками, достаточно и или v и или & и Другие константы, как, впрочем, и другие знаки, могут вводиться по определению. Технические знаки ( — левая скобка, ) — правая скобка запятая Предметные константы, предикаторы, предметные функ- торы и предметные переменные называют дескриптивными терминами языка, при этом три первых категории (в отличие от предметных переменных) суть — дескриптивные постоянные данного языка. Термы Выражения этого типа являются аналогами имен естественного языка. О пределен и е : а) любая предметная переменная и предметная константа есть терм б) если ..., есть термы и есть л-местный предметный функтор, то есть терм в) ничто, кроме указанного в пунктах аи б, не есть терм. Формулы В числе этих выражений имеются аналоги повествовательных предложений естественного языка, атак- же формы — предакаты, представляющие собой особую семантическую категорию, которая не выделяется по крайней мере явным образом — в естественном языке. О пределен и е : а) если термы и местный предикатор, то ..., есть формула (атомарная); б) если Аи В — формулы, то формулы в) если х есть предметная переменная и А — формула формулы г) ничто, кроме указанного в пунктах а) — вне есть формула. Договоримся в дальнейшем опускать, когда это удобно, внешние скобки в отдельно взятых формулах например, вместо (А & Вписать просто А & В. Использованные в определениях терма и формулы символы и , А В, хи в дальнейшем возможно и — знаки метаязыка называемые также такси чески ми переменными, возможными значениями которых являются выражения соответствующей категории описываемого (объектного) языка. Формулы Аи В, встречающиеся в пунктах б) ив, называются под формулами указанных здесь формул. Введенные понятия исходного символа, терма и формулы языка являются эффективными (иначе рекурсивными. Последнее означает, что имеется точный способ, с помощью которого всегда можно определить, относится ли некоторый символ к числу исходных символов языка, а для каждой последовательности исходных символов можем определить, представляет ли она терм или формулу. Для термов и формул такой способ заключен в их индуктивных определениях. Так, в каждой формуле, содержащей логические константы (знаки логических операций, имеется главная, или, что тоже, последняя, в построении формулы операции. Выделив ее, мы выделяем тем самым собственные подформулы этой формулы. В последних снова выделяем главную операцию итак далее, пока не дойдем до какой-либо атомарной формулы. Если в процессе такого анализа исходного выражения в какой-либо части его, не являющейся атомарной формулой, нельзя выделить знак главной операции, то эта часть не является формулой, а следовательно, таковой не является все выражение. Возможность распознавания атомарных формул среди последовательностей символов является очевидной. (При констатации эффективности введенных понятий подразумевается так называемая абстракция отождествления, согласно которой все различные случаи употребления некоторого символа, например а рассматриваются как различные экземпляры одного итого же символа, и предполагается, что мы умеем узнавать символ, несмотря на некоторые, всегда имеющиеся различия в его написаниях.) • Упражнения 1. Показать, что выражения являются термами. Определить, являются ли следующие выражения фор- мулами: а) у v б) в) 136 СВОБОДНЫЕ И СВЯЗАННЫЕ ВХОЖДЕНИЯ ПЕРЕМЕНЫХ В ФОРМУЛЫ Каждый случай, когда в последовательности знаков, представляющей собой формулу А встречается предметная переменная х называется вхождением этой переменной; каждое вхождение в формулу А предметной переменной х в часть вида или 3 хВ, называется связанным. Под- формула В формул указанного вида называется областью действия соответственно квантора общности и квантора существования с переменной х Связанным является вхождение переменной, стоящей непосредственно за квантором, и каждое вхождение ее в область действия квантора. Всякое вхождение х в отличие от указанного, называется свободным. Переменная х имеющая связанные вхождения в формулу А называется связанной в этой формуле переменная, имеющая свободные вхождения в формулу А, называется свободной в этой формуле. Обратим внимание на то, что согласно определению свободной и связанной переменной одна и та же переменная водной и той же формуле может быть свободной и связанной. Такова, например, переменная в формуле переменная является здесь свободной, ноне связанной. Мы рассматриваем здесь только такие термы, в которых все переменные могут иметь лишь свободные вхождения и, значит, являются свободными переменными. Формула и терм, не содержащие свободных переменных, называются соответственно замкнутой формулой из а м кнуты м термом (очевидно, что для рассматриваемых здесь термов, если терм замкнут, то он вообще не содержит переменных). • Упражнения 1. Указать, связанные и свободные вхождения переменных в следующие формулы: 137 в) 2. Укажите, какие переменные в формулах упр. 1 являются свободными и какие связанными в них. СЕМАНТИКА ЯЗЫКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ Семантику языка, как мы видели при анализе естественного языка, составляет совокупность предметных значений и смысловых содержаний его выражений. Нов данном случае, поскольку речь идет не об анализе уже имеющегося языка, а о построении — в данном случае логического формализованного языкато семантикой называют совокупность правил приписывания значений выражениям этого языка. Точнее говоря, здесь даже не ставится задача построения какого-то определенного языка. Создается лишь некоторая схема языка определенного типа, в данном случае языка так называемой классической логики предикатов первого порядка. Этот тип языка отличается от языков других типов, даже языков стем же синтаксисом (например, языка интуиционистской логики предикатов, определенной системы релевантной логики) своей семантикой. Приписывание значений отдельным выражениям языка, составляющим дескриптивным терминам, употребляемым при построении формул, осуществляется лишь в составе тех или иных формул и при этом различно от случая к случаю в зависимости от характера решаемых логических задач, (например, при переводе каких то высказываний с естественного языка на данный формализованный, при анализе логических отношений между формулами данного языка, при аксиоматизации некоторых теорий, а именно при формулировке их аксиом в языке данного типа). Совокупность всех правил приписывания значений выражениям языка разбивается наследующие три группы (I, И, III). I. Правила определения (задания) возможных значений предметных переменных и правила приписывания предметных значений дескриптивным постоянным в составе рассматриваемых в томили ином случае формул — интерпретация выражений языка. II. Правила приписывания значений свободным переменным в составе тех или иных рассматриваемых формулу. III. Правила приписывания истинностных значений интерпретированным формулам, не содержащим свободных переменных I. Интерпретация состоит, во-первых, в выборе некоторого непустого множества D индивидов, предметов того или иного типа, к которым могут относиться образуемые из тех или иных формул языка высказывания. Индивиды — любые предметы в широком смысле этого слова, структура которых не учитывается и которые можно отличать друг от друга. В качестве такой области D можно взять множество людей, растений, городов, чисел и т. д возможно также объединение водной области множеств различных предметов, например, людей, городов, домов (положим, для выражения высказываний о местах жительства людей. Но при этом все различные предметы рассматриваются именно как индивиды 1 Область D — это область возможных значений предметных переменных символы предметных переменных х, установятся именно переменными лишь при указании области их возможных значений. Предполагается, что на области D определено некоторое множество свойств, отношений и характеристик предметно- функционального типа (то есть возможных значений преди- каторов и предметных функторов). Второй момент интерпретации языка состоит в задании некоторой функции (интерпретационная функция) приписывания значений дескриптивным постоянным (предметным константам предметным функторам опять- таки в составе рассматриваемых формул. Задание в каждом конкретном случае представляет собой просто указание на то, какие значения должны быть приписаны упомянутым исходным символам языка в составе рассматриваемых формул. При этом предметным константам (простые постоянные термы) приписываются в качестве предметных значений определенные предметы из заданной области D. Предикатному (л-местному) символу прил в качестве значения Здесь имеются ввиду так называемые односортные языки, в которых все переменные — в нашем случае все предметные переменные — имеют одну и туже область значений. В принципе можно употреблять языки с несколькими сортами переменных, различающимися областями значений, однако всегда можно объединить эти области водно множество, отражая принадлежность тех или иных предметов, о которых речь идет в некотором высказывании, к той или иной области в самих записях высказываний напоминаем, что эта возможность была разъяснена при общей характеристике приписываются некоторые свойства а при п > 1 — п-местное отношение (между предметами Например, если область есть множество целых положительных чисел, то предикатному символу можно приписать в качестве значения свойство четно, а предакатору отношение «больше» или меньше. Предметному функтору в качестве предметного значения функция приписывает какую-нибудь л-местную предметную функцию, определенную на области Например, для области чисел таковыми могут быть синус (одноместные функции, сумма, произведение (двухместные функции, для области людей — одноместные (возраст, рост, для области материальных тел — объем, удельный вес. Значения сложных термов, каковыми являются также предметы из области и приписывание которых составляет их интерпретацию, вычисляются в зависимости от приписанных уже значений их простым составляющим — предметным константам, предметным функторам, а также и возможным предметным переменным, значения которых приписываются по правилам II). Вычисление происходит в соответствии с правилами построения сложного терма. Сложные термы образуются, как мы видели, с применением предметных функторов и строятся индуктивно. Значение такого терма вычисляется последовательно в соответствии с порядком его построения. Пример. Имеем терм Пусть область D — целые положительные числа есть число 3, = = — сумма — произведение Имея ввиду языки экстенсионального типа, каковым является описываемый здесь язык классической логики предикатов, свойства и отношения отождествляются — ради достижения максимальной точности в описании семантики — сих объемами. Так, свойство рассматривается как множество предметов — некоторое подмножество предметной области. Отношение местности, равной л (л-местное отношение, л > 2 — трактуется как множество последовательностей из л предметов (л-ок предметов. Однако мы здесь не прибегаем к такого рода отождествлениям, предполагая, что читателю ясно, что такое свойство и отношение (хотя бы из предшествую- его анализа естественного языка Тогда. Свободным переменным в той или иной формуле (а тем самыми в составе термов этой формулы) в качестве значений приписывают, также как и постоянным термам, предметы из области D. Такие приписывания осуществляются когда мы хотим получить из интерпретированной формулы со свободными переменными высказывание нашего языка. Приписывание осуществляют заменой каждого вхождения некоторой свободной переменной какой-либо предметной константой с одновременной интерпретацией таковой, если она еще не была интерпретирована в формуле. Будем говорить, что при осуществлении этих приписыва- ний в добавление к уже имеющейся интерпретации формулы, формула оказывается полностью интерпретированной. Однако важно заметить, что формулы со свободными переменными нужны не только для образования высказываний из них. Они представляют собой особые высказывательные формы, называемые предикатами. Это сложные знаковые формы возможных свойств предметов заданной области и возможных отношений среди этих предметов. По типу их предметных значений они должны быть отнесены к категории предакаторов. Можно назвать их сложными предикато- рами (в отличие от простых, указанных среди исходных символов. Надо отметить, что эти формы не выделяются и даже не замечаются в естественных языках. Они играют, однако, решающую роль в теории понятия (см. гл. IV, V). Имея тот или иной предикат, можно ставить вопрос, для каких предметов, которые могут представлять свободные переменные, этот предикат выполняется или не выполняется. В таком случае мы просто указываем предметы для соответствующих переменных (не осуществляя указанных подстановок предметных констант вместо них. Например, можно сказать, что предикат — выражающий свойство какого-то числах из области натуральных чисел, состоящее в том, что если это число больше 5 (знаками отношения больше и «5» является соответственно Р и то оно делится без остатка (Она некоторое число выполняется для чисел 9 и т. дно не выполняется для 7, 11 и др. Приписывание истинностных значений полностью интерпретированным формулам. Напомним, что полностью интерпретированная формула это формула, в которой осуществлена интерпретация дескриптивных постоянных и приписано значение всем свободным переменным, если таковые имеются в ней. Каждая такая формула представляет собой определенное высказывание с определенным смыслом и истинностным значением но лишь при условии, если нам известны значения встречающихся в ней — явным или неявным образом — логических констант, (которые и определяются рассматриваемыми правилами III). Явным образом указываются — в сложных формулах — логические константы, перечисленные в списке исходных символов. Простые (атомарные формулы видов ..., по-видимому, не содержат логических констант. Однако, неявным образом здесь присутствует логическое отношение принадлежности свойства Р некоторому предмету t при пили о наличии отношения между предметами ..., из области Определение значений всех логических терминов, как явно обозначенных, таки неявно содержащихся в формулах, осуществляется как раз посредством правил приписывания истинностных значений полностью интерпретированным формулам нашего языка (строго говоря, мы имеем здесь гак называемое неявное определение логических констант, по они достаточны для понимания того, какой именно смысл они придают нашим высказываниям). Правила эти таковы. Значение простого (атомарного) высказывания п > определяется в зависимости от заданных значений термов и предикатора Оно зависит от характера предметов данной предметной области. Положим, имеем формулу Р Предположим, что согласно заданной интерпретации D — множество людей Р означает больше /} возраст — Петров Сидоров. Вся формула представляет собой высказывание «Возраст Петрова больше, чем возраст Сидорова». Высказывание истинно или ложно в зависимости оттого, имеет или не имеет место данное отошение между возрастами Петрова и Сидорова. Заметим, что в части лексики мы перевели здесь высказывание, полученное из определенной формулы рассматриваемого языка (ЯКЛП), по существу на обычный естественный русский язык. В самом ЯКЛП знаковой формой его является упомянутая формула. Подобные переводы обычно напрашиваются сами собой в силу того, что задание значений отдельных терминов — составляющих формулу — осуществляется посредством выражений естественного языка. Мы говорим значение Р — больше и — соответственно Сидоров и Петров и т. п. Это значит, что приписывание предметных значений выражениям описываемого языка осуществляется методом перевода их в тот или иной естественный язык. Может показаться, что при упомянутых переводах высказываний данного языка на естественный теряется та самая точность их выражений, ради достижения которой как рази строятся формализованные языки. Однако точность здесь по сравнению с естественными языками достигается не за счет более точною употребления отдельных терминов, — достаточная точность их уже должна быть обеспечена при осуществлении интерпретации выражений формализованного языка — аза счет определенных, стандартных способов построения высказываний и их логических форм. Иона именно сохраняется, или точнее сказать, должна сохраняться при указанных переводах. Для сложных формул имеем, предполагая, что все составляющие их формулы полностью интерпретированы. Формула вида А & имеет значение истина — приданной интерпретации и приписывании значений свободным переменным е. те. Л имеет значение И и имеет значение И. Формула A v В — истина е. те. значение А равно И или значение В равно И. Формуле вида приписывается значение И е. те. А имеет значение Лили В имеет значение И. Значением формул вида А является И е.т.е. значение А есть Л. Формула вида имеет значение истина е. те. для всякого предмета из D, — истина — результат замещения всех свободных вхождений х в Ах константой Согласно принципу предметности употребления знаков истинность формулы здесь определяется в зависимости оттого, каков предмет подставляется же вместо переменных сама константа то есть имя данного предмета Формула вида имеет значение истина е. те. существует предмета в области D такой, что истинна формула Если значение некоторой формулы не является И, то она имеет значение Л, но никакая формула не имеет одновременно значения И Л. Как уже говорилось, правила приписывания истинностных значений полностью интерпретированным формулам неявным образом определяют также значения логических констант «&», «v», и кванторов V и 3 и вместе стем и смыслы высказываний, образованных посредством соответствующих констант. Например, высказывания вида A{x), Ах относящиеся к некоторой области индивидов мы должны понимать, соответственно, как для всякого предметах из D верно и существует предмет х в D такой, что верно Нетрудно видеть, что v, представляют собой здесь логические связки — знаки функций истинности определенные ранее в разделе Логика высказываний, но теперь применительно к формулам ЯЛП. |