Менеджмент 3-е издание - Глухов В.В.. Учебник для вузов. 3е изд. Спб. Питер, 2008. 608 с. ил. Серия Учебник для вузов

• Название: Учебник для вузов. 3е изд. Спб. Питер, 2008. 608 с. ил. Серия Учебник для вузов
• Анкор: Менеджмент 3-е издание - Глухов В.В..pdf
• Дата: 16.02.2017
• Размер: 3.25 Mb.
• Имя файла: Менеджмент 3-е издание - Глухов В.В..pdf
• Тип: Учебник; #2763
• Категория: Экономика. Финансы
• страница: 12 из 55

Пример. Пусть наличие некоторого i го ресурсав каждом квартале b
i
— слу чайная величина. Реализация этой случайной величины — фактический объем ресурса в каждом квартале (по отчету за прошлый год и три квартала текущего)
(табл. 8.1).
Квартал
I II III IV I II III b
i
90 100 105 111 89 95 110
Таблица 8.1
Объем ресурса в каждом квартале
Решение. Математическое ожидание случайной величины b
i
:
7
_
1 1
90 100 105 111 89 95 110 100.
7 7
i
i
b
b
=
+
+
+
+
+
+
=
=
=
∑

Глава 8. Методы решения управленческих задач
142 142 142 142 142
Среднеквадратическое отклонение:
_
2 2
2 2
2 2
2 2
7 1
(
)
(10 0
5 11 11 5
10 )
8,5.
7 7
i
b
i
b b
σ
=
−
+ + +
+
+ +
=
=
=
∑
Коэффициент вариабельности:
8,5 0,085.
100
b
b
b
σ
μ =
=
=
Наиболее полная характеристика случайной величины — закон ее
распределе
ния. Он показывает, какова вероятность появления каждого возможного значе ния случайной величины или каким образом суммарная вероятность появления случайной величины, равная единице, распределена между ее возможными зна чениями. То есть закон распределения устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.
Из множества законов наиболее распространен нормальный закон
распределе
ния, с помощью которого решают различные задачи оптимизации, в том числе и в условиях неопределенности.
Нормальный закон распределения имеет две формы представления: плотность
распределения
(рис. 8.1, а) ифункцию распределения (рис. 8.1, б).
С помощью графика (а) можно определить, например, чему равна вероятность принятия случайной величиной x, изменяющейся в интервале значений A, B
(A
≤ x ≤ B), значения не больше величины a, т. е. P(x ≤ a). Оказывается, эта вероят ность равна заштрихованной площади.
Зная P(x
≤ a), можно предположить, что x будет не меньше величины а, т. е.
P(x
≤ a).
Очевидно, что P(x
≤ a) + P(x ≤ a) = 1 (как сумма несовместных событий), тогда
P(x
≥ a) = 1 – P(x ≥ a), что соответствует незаштрихованной площади (рис. 8.1, а).
Рис. 8.1. Плотность распределения(а) ифункция распределения (б)

143 143 143 143 143 8.1. Регрессионный анализ
Большое распространение получила другая форма распределения (потому что площадь криволинейной фигуры трудно вычислить) — функция распределения
F(x) (рис. 8.1б). Здесь вероятность P(x
≤ a) равна ординате кривой F(x). Следова тельно, P(x
≤ a) = F(a), т. е. P(x ≤ a) = 1 – F(a). Для обеспечения расчетов по нор мальному закону распределения от реальной случайной величины x переходят к нормированной (центрированной) случайной величине
(
)
x
x x
t
σ
−
=
При этом P(x
≤ a) = F(t). Для определения F(t) используют специальные табли цы, по данным которых можно построить график функции распределения (табл. 8.2,
рис. 8.2).
Таблица 8.2
Данные для построения графика функции распределения
t
–3 –2 –1 –0,25 0 0,25 1 2 3
F(t) 0,001 0,02 0,16 0,4 0,5 0,6 0,84 0,98 0,999
Рис. 8.2
По графику F(t) можно определить интересующие нас величины. Например,
какова вероятность того, что наличный ресурс будет не менее 98.
Очевидно, что
P(x
≥ 98) = 1 – P(x ≤ 98).
Для данного примера
(98
)
b
b
t
σ
−
=
Ранее установили, что
b
= 100;
σ
b
= 9.
Следовательно,
98 100 0,25.
9
t
−
=
= −

Глава 8. Методы решения управленческих задач
144 144 144 144 144
Так как
P(x
≤ a) = F(t), то P(x ≤ 98) = F(–0,25) = 0,4;
то
P(x
≥ 98) = 1 – P(x ≤ 98) = 1 – 0,4 = 0,6.
Можно поставить и обратную задачу: при каком значении t
α
вероятность появ ления случайной величины удовлетворяла условию P(t
≤ t
α
) =
α — заданный уро вень вероятности. Если a задать 0,6, то t
α
= 0,25.
Регрессионный анализ представляет собой статистическую процедуру для ма тематического расчета среднего соотношения зависимой и независимой перемен ных. Выделяют два вида регрессии — простую и множественную. Простая регрес сия включает одну независимую переменную, множественная — две и более.
Для характеристики метода построения регрессионной зависимости рассмот рим совокупность двух величин x(i) и y(i). Требуется на базе этих данных постро ить зависимость
y = a + bx.
Коэффициенты a и b следует подобрать так, чтобы расчетные значения y по уравнению были наиболее близки к заданным значениям y(i). Условие близости формулируется как сумма квадратов отклонений по каждому из значений y.
Значение коэффициентов a и b определяется из соотношений:
b = (nR(x, y) – m(x)m(y))/(nD(x) – m(x)m(x));
a = m(y) – bm(x).
Здесь использованы следующие предварительно вычисленные параметры: n —
количество пар значений рассматриваемых переменных; m(y) — сумма значе ний y; m(x) — сумма значений x; D(x) — сумма квадратов значений x; R(x, y) —
сумма произведений значений x(i) и y(i).
Сумма квадратов расхождений значений y, вычисленных по расчетному соот ношению, и значений по исходным данным называется стандартной ошибкой
регрессионного уравнения.
8.2.
8.2.
8.2.
8.2.
8.2. Метод Лагранжа
Метод Лагранжа
Метод Лагранжа
Метод Лагранжа
Метод Лагранжа
Вся совокупность методов решения управленческих задач делится на две группы:
аналитические и численные. При выборе метода решения конкретной задачи сле дует учесть, что аналитическое решение всегда предпочтительнее численного, так как оно позволяет исследовать влияние различных факторов на оптимальное ре шение. Однако при решении практических задач не всегда удается получить ана литическое решение.
Общего метода решения всех управленческих задач не существует.
В зависимости от вида оценки вариантов решения задачи, состава и вида огра ничивающих условий могут применяться различные методы поиска оптимально го решения. Иногда одна задача может решаться разными методами. Аналитиче ские методы решения управленческих задач опираются на дифференциальное

145 145 145 145 145 8.2. Метод Лагранжа исчисление. Наиболее универсальными среди численных методов являются ме тоды линейного и динамического программирования. Для численных методов решения необходимо иметь четкую область ограничений. Чем меньше эта об ласть, тем проще поиск оптимального решения.
Дифференциальное исчисление — метод поиска оптимального решения через вычисление производных оптимизируемой функции. Для отыскания экстремума
(максимума, минимума) функции одной переменной J(x) необходимо найти ре шение уравнения
dJ/dx = 0.
Если вторая производная меньше нуля, то имеет место максимум функции,
если вторая производная больше нуля, то имеет место минимум функции.
В случае функции нескольких переменных задача оптимизации сводится к ре шению систем уравнений, каждое из которых является производной по одной из переменных.
Необходимым условием применения метода дифференциального исчисления является дифференцируемость выражения J(x) и в общем случае — отсутствие ограничений.
Метод Лагранжа — метод дифференциального исчисления, применяемый при наличии ограничивающих условий. Этот метод позволяет перейти от оптимиза ционной задачи с ограничениями к альтернативной оптимизационной задаче без ограничений при совпадении решений. Фактически математическая задача на условный экстремум заменяется задачей на безусловный экстремум, но с увели чением числа неизвестных.
Первоначальная задача:
с(x)
→ min;
A(x) > 0.
Альтернативная задача:
с(x) +
λA(x) → min.
Условиями экстремума при решении данной задачи являются условия равен ства нулю производной по x и
λ.
Коэффициент
λ называется множителем Лагранжа. Если в исходной задаче имеется набор ограничений, то в альтернативной задаче во втором слагаемом по является сумма слагаемых с коэффициентами
λ(i). Если ограничение по i му ре сурсу в точке экстремума обращаются в равенство, то множитель Лагранжа для них не равен нулю. Если ограничения в точке экстремума не оказывают влияние на решение, то множитель Лагранжа для них равен нулю.
При общей постановке оптимизационной задачи в виде max (min) f (x
1
, x
2
, ..., x
n
); g
i
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) = b
i
(i =1... m),
функция Лагранжа имеет вид:
λ λ
λ
λ
=
=
+
∑
1 2
1 2
1 2
1 2
1
( , ,..., , , ,..., )
( , ,..., )
[
( , ,..., )].
m
n
m
n
i
i
i
n
i
F x x
x
f x x
x
b g x x
x

Глава 8. Методы решения управленческих задач
146 146 146 146 146
Для ее оптимизации находят частные производные
j
F
x
∂
∂
( j=1…n) и
i
F
∂
∂λ
(i =1… m)
и рассматривают систему n + m уравнений:
1 1
2 0;
( , ,..., ) 0
m
i
i
i
j
j
j
i
i
n
j
g
F
f
x
x
x
F
b
g x x
x
x
∂
∂
∂
λ
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎧
=
−
=
⎪
⎪
⎨
⎪
= −
=
⎪⎩
∑
с n + m неизвестными x
1
, x
2
,..., x
n
,
λ
1
,
λ
2
, ...,
λ
m
Всякое решение системы определяет точку
0 0
0 1
2
(
,...,
),
n
x
x x
x
=
, в которой может иметь место экстремум функции f (x
1
, x
2
, ..., x
n
). Следовательно, решив систему уравнений, получим все точки, в которых функция Лагранжа может иметь экст ремальные значения.
Пример. Известен рыночный спрос на определенное изделие в количестве 180 шт.
Это изделие может быть изготовлено двумя предприятиями одного концерна по различным технологиям. При производстве x
1
изделий первым предприятием его затраты составят
2 1
1 4x
x
+
руб., а при изготовлении x
2
изделий вторым предприя тием —
2 2
2 8x
x
+
руб. Требуется определить, сколько изделий, изготовленных по каждой технологии, может предложить концерн, чтобы общие издержки его про изводства были минимальны.
Решение. Запишем математическую постановку задачи в виде:
1 1
2 2
1 2
4 2 0;
8 2 0;
180 0.
F
x
x
F
x
x
F
x
x
∂
λ
∂
∂
λ
∂
∂
∂λ
⎧
= +
− =
⎪
⎪
⎪
= +
− =
⎨
⎪
⎪
=
− −
=
⎪
⎩
Для нахождения минимального значения целевой функции составим функцию
Лагранжа
2 2
1 2
1 1
2 2
1 2
( , , ) 4 8
(180
),
F x x
x
x
x
x
x
x
λ
λ
=
+
+
+
+
− −
вычислим ее частные производные по x
1
, x
2
,
λ и приравняем их к нулю:
1 1
2 2
1 2
4 2 0;
8 2 0;
180 0.
F
x
x
F
x
x
F
x
x
∂
λ
∂
∂
λ
∂
∂
∂λ
⎧
= +
− =
⎪
⎪
⎪
= +
− =
⎨
⎪
⎪
=
− −
=
⎪
⎩
Отсюда 4 + 2x
1
= 8 + 2x
2
, или x
1
+ x
2
= 2. Решая это уравнение совместно с x
1
+ x
2
=
= 180, находим
0 0
1 2
91;
89,
x
x
= =
т. е. получаем координаты точки, подозрительной
(8.2)
(8.1)

147 147 147 147 147 8.4. Линейное программирование на экстремум. Используя вторые частные производные, можно показать, что в этой точке функция f имеет условный минимум.
8.3.
8.3.
8.3.
8.3.
8.3. Метод Гаусса
Метод Гаусса
Метод Гаусса
Метод Гаусса
Метод Гаусса
Метод Гаусса — это последовательное изменение состава опорного решения до получения оптимального варианта, не допускающего улучшения, это способ ре шения оптимизационной задачи, у которой оценка и ограничения являются ли нейными функциями. Рассмотрим алгоритм метода Гаусса на числовом примере.
Постановка задачи: максимизировать
2x(1) + 3x(2) + 7x(3) + 9x(4)
при ограничениях:
x(1) + x(2) + x(3) + x(5) = 9;
x(1) + 2x(2) + 4x(3) + 8x(4) + x(6) = 24.
При наличии двух ограничений в конечном оптимизационном решении будут две переменные, отличные от нуля. Примем для первого варианта решения в ка честве этих переменных x(2) и x(3).
Из второго уравнения вычтем первое, умноженное на 2. Получим
x(3) = 3 + x(1)/2 – 3x(4) + x(5) – x(6)/2.
Из первого уравнения вычтем полученное:
x(2) = 6 – 3x(1)/2 +2x(4) – 2x(5) + x(6)/2.
Если принять x(1) = x(4) = x(5) = x(6) = 0, то x(2) = 6, x(3) = 3. Значение оценки при этом составит 39.
Рассмотрим второй вариант решения, при котором в составе оптимизационно го решения будут x(1) и x(3), не равные нулю.
По аналогичной процедуре получим
x(1) = 4 – 2x(2)/3 + 4x(5)/3 + x(6)/3;
x(3) = 5 – x(2)/3 + 7x(4)/3 + x(5)/3 – x(6)/3.
Если принять x(2) = x(4) = x(5) = x(6) = 0, то получим x(1) = 4, x(3) = 5. Значе ние оценки составит 43.
Любые изменения второй, четвертой, пятой и шестой переменных ведут к умень шению значения оценки, поэтому можно утверждать, что найденное решение яв ляется оптимальным.
8.4.
8.4.
8.4.
8.4.
8.4. Линейное программирование
Линейное программирование
Линейное программирование
Линейное программирование
Линейное программирование
Линейное программирование — математический метод, предназначенный для вы явления оптимального решения из большого числа возможных вариантов реше ния задачи, у которой условия позволяют запись в виде линейных соотношений.
Линейное программирование применяется для решения задач следующего типа:

Глава 8. Методы решения управленческих задач
148 148 148 148 148
распределение ресурсов, формирование комбинации кормов, составление порт феля инвестиций, выбор производственной программы. Для постановки задачи линейного программирования необходимо ввести переменные (определяемые)
величины, выразить через эти переменные ограничивающие условия и целевую функцию. Для решения задач линейного программирования используют симп лекс метод или графический метод (при наличии двух переменных в решаемой задаче).
Симплекс метод (аналитическое решение задач линейного программирова ния) — это алгоритм формального пересчета вариантов решения задачи с после довательным движением к оптимальному решению. Каждый шаг алгоритма рас четов улучшает предыдущее решение.
Рассмотрим алгоритм симплекс метода на основе числового примера — опти мизационной задачи, включающей пять неизвестных и три ограничивающих условия:
J = 1,2 x(1) + 1,4 x(2)
→ min; x(3) = 40 x(1) + 25x(2) + 1000;
x(4) = 35x(1) + 28x(2) + 980; x(5) = 25x(1) + 35x(2) + 875.
1 й этап решения задачи. Начальное решение задачи примем при условии ра венства нулю первых двух переменных:
x(1) = 0, x(2) =0, x(3) = 1000, x(4) = 980, x(5) = 875.
Это решение задачи представим в виде симплекс таблицы (табл. 8.3).
Таблица 8.3
Эта таблица в условном виде повторяет систему условий задачи.
2 й этап решения задачи. Находим «ключевой» столбец по условию max c(i)
(в нашем примере это будет c(i
*
) = 1,4).
3 й этап решения задачи. Находим «ключевую» строчку по условию min b( j)/
а(i, j) (в нашем примере это будет min b( j)/а(i, j) = 875/35).
4 й этап решения задачи. «Поворачиваем» таблицу вокруг «ключевого» эле мента (табл. 8.4).
Правила пересчета элементов таблицы:
1. a(i
*
, j
*
)
→ 1; a(i
*
, k)
→ 0.
Таблица 8.4
x(1) x(2) b x(3) 40 25 1000 x(4) 35 28 980 x(5) 25 35 875
J
1,2 1,4 0 х(1) х(5) b х(3) 155/7 0
375 х(4) 31 0
280 х(2) 5/7 0
25
J
1/5 0 35

149 149 149 149 149 8.4. Линейное программирование
2.
*
*
*
*
( , )
(1,3)
5
( , )
; (1,3)
(2,3)
7
( , )
a k j
a
a k j
a
a
a i j
→
→
=
3.
*
*
*
*
( , ) ( )
(2,1) (3)
25 875
( )
( )
; (1)
(1)
1000 375.
(2,3)
35
( , )
a i k b j
a
b
b k
b k
b
b
a
a i j
×
→
−
→
−
=
−
=
4.
( *, ) ( , *)
25 25 155
( , )
( , )
; (1,1) 40
( *, *)
35 7
a i j a i j
a i j
a i j
a
a i j
×
→
−
=
−
=
5.
( , *)
(1,3) (2)
25 1,4 1
( )
( )
; (1)
(1)
1,2
( *, *)
(2,3)
35 5
a k j
a
c
c k
c k
c
c
a i j
a
×
→
−
→
−
=
−
=
5 й этап решения задачи. Повторяем пункты 2–5 и получаем следующую таб лицу (табл. 8.5).
Таблица 8.5
х(3) x(5) b х
1 0
16 29/31 х
0 0
25 30/31 х
0 1
12 28/31
J
0 0 38,3871
В этой таблице получены нулевые коэффициенты в строке оценки, поэтому соответствующее ей решение является оптимальным:
29 28 30
(1)
16
; (2) 12
; (3) 0; (4) 25
; (5) 0.
31 31 31
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
J = 38,3871.
Зачастую к определяемым величинам в задаче линейного программирования предъявляют требование целочисленности исходя из смысла переменной. Это может быть целое число станков, вагонов, числа работающих. Решение этих задач значитель но сложнее. Типовыми алгоритмами их решения являются методы Гомори и Балаша.