Учебник москва мфти 2014
 Скачать 1.39 Mb.
|
|
? P n=0 q n z очевидно сходится, то по признаку сравнения ряд (1) сходится и абсолютно в точке z. 2) Определим q 0 4 = r |z 0 ?a| . Аналогично пункту 1 получаем оценку |c n (z ? a) n | 6 для всех z ? B r (a) . Так как числовой ряд ? P n=0 q n 0 очевидно сходится, то по признаку Вейерштрасса (см. утверждение 6 џ 2) ряд (1) сходится равномерно на круге B r (a) Эта теорема 1 позволяет получить представление об области сходимости степенного ряда (1). 60 џ 9. Ряд Тейлора. Теоремы Вейерштрасса Определим для степенного ряда (1) понятие радиуса сходимости a) n сходится}. (2) Тогда, если 0 < R < +?, тов силу теоремы 1 в каждой точке круга ряд (1) сходится, а в каждой точке z 6? ряд (1) расходится. Круг называется кругом сходимости ряда (Радиус сходимости R степенного ряда (1) может быть вычислен по известной формуле КошиАдамара R Доказательство этой формулы можно найти, например, в книгах [12] или Пример 1. Рассмотрим ряд вида, являющийся суммой бесконечной геометрической прогрессии. Этот ряд очевидно сходится при |z| < 1 к функции 1?z . В самом деле, преобразовав частичную сумму к виду: S N (z) 4 = N X n=0 z n = Г N X n=0 z n ! 1 ? z 1 ? z = 1 ? z N +1 1 ? убеждаемся, что S N (z) ? 1 при N ? Определение 2. Пусть у функции f : B r (a) ? существуют в точке a производные любого порядка n ? Тогда степенной ряд вида ? называется рядом Тейлора функции f с центром в точке a. 61 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции Теорема 2. Если функция f регулярна в круге B r (a) , где ? C , r > 0, то она представима в этом круге в виде суммы сходящегося ряда Тейлора, те B r (a), (5) где c n = f (n) (a) n! . (6) Д ока за тел ь ст во. Зафиксируем произвольную точку. Тогда существует число r 1 > такое, что |z ? ? a| < r 1 < Рис. Пусть ? r 1 4 = {? | |? ? a| = ориентированная движением против хода часовой стрелки окружность (см. рис. 17). Запишем интегральную формулу Коши (z) = 1 2?i Z ? r1 f (?) ? ? Преобразуем функцию ? где ? ? ? r 1 , к виду ? z = 1 (? ? a) ? (z ? a) = 1 (? ? і ? z?a ??a ґ . Здесь Ї Ї Ї z?a ??a Ї Ї Ї = |z?a| r 1 4 = q , q < 1. Как ив примере 1, получаем разложение в сходящийся ряд ? z = 1 ? ? Г + z ? a ? ? a + µ z ? a ? ? a ¶ 2 + . . . ! = +? X n=0 (z ? a) n (? ? В итоге, подынтегральная функция в (7) представима сходящимся нарядом. Ряд Тейлора. Теоремы Вейерштрасса Так как для членов ряда (8) справедлива оценка Ї Ї Ї Ї (z ? a) n (? ? a) n+1 f (?) Ї Ї Ї Ї 6 M r 1 · где sup ??? r1 |f (?)| < а ряд ? P n=0 q n сходится, то по признаку Вейерштрасса функциональный ряд (8) сходится равномерно на окружности ? r 1 . Поэтому в силу теоремы 2 из џ 6 ряд (8) можно почленно интегрировать по окружности ? r 1 . В результате из формул (7), (получаем равенство (z) = +? X n=0 1 2?i Z ? r1 f (?) (? ? a) n+1 d? · (z ? те. степенной ряд вида (1) с коэффициентами 2?i Z ? r1 f (?) (? ? Эти коэффициенты не зависят от выбора точки z или окружности, так как, воспользовавшись формулой для производной) из џ 8, получаем для формулу (6). Таким образом, ряд (9) есть ряд Тейлора функции f. В силу произвольности ряд (9) сходится во всем круге B r (a) , а поэтому его радиус сходимости R > Следствие 1. Пусть функция f регулярна в области G и пусть выбрана точка a ? G. Тогда функция f представима в виде ряда Тейлора (z) = +? X n=0 f (n) (a) n! (z ? который сходится по крайней мере в круге максимального радиуса R > 0, при котором этот круг содержится в области см. рис. Пример 2. Пусть w = e z . По формуле (2) из џ 4 имеем) = · · · = w (n) (z) = e z . Так как функция регулярна в Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции круге при любом R > 0, то, вычисляя непосредственно коэффициенты ряда по формуле (6), получаем ряд = e z = w(0) + 1 1! w 0 (0)z + · · · При этом в силу следствия 1 ряд (11) сходится всюду в C, те +Пример 3. Функция w = sin регулярна в см. џ 4). По теореме 1, вычисляя коэффициенты (6), получаем формулу sin z = +? X k=0 z 2k+1 (2k + 1)! (?1) k , R = +Аналогично для регулярной в C функции w = cos получаем формулу cos z = +? X k=0 z 2k (2k)! (?1) k , R = +?. (13) x y 0 R G a x y 0 ?1 Рис. Рис. Пример 4. Пусть w = h 0 (z) 4 = ln |z| + i arg гл, где arg гл ? ? (??,?) , те. h 0 (z) главная регулярная ветвь многозначной функции Ln z в области G = C \ По теореме об обратной функции (см. теорему 2 џ 5 и формулу) из џ 5) имеем h 0 0 (z) = 1 z ? z ? G. (14) 64 џ 9. Ряд Тейлора. Теоремы Вейерштрасса Сделаем замену z на z + 1. Получим, что функция w = h 0 (z + + регулярна в области e G = C \ (??,?1] , те, в частности, функция h 0 (z + регулярна в круге см. рис. Из формулы (14) получаем выражения для производных + z)) 0 = 1 1 + z ; (h 0 (1 + z)) 00 = ? 1 (1 + z) 2 ; . . . ; (h 0 (1 + z)) (n) = (?1) n?1 (n ? 1)! (1 + Вычисляя по формуле (6) коэффициенты c n , в силу теоремы получаем сходящийся в круге ряд Тейлора для регулярной ветви h 0 (1 + z) : h 0 (1+z) = +? X n=1 (?1) n?1 n z n = z ? z 2 2 + z 3 3 ?. . . ; z ? Определим в области e G = C \ функцию f(z) = ?z + + (1 + z)h 0 (1 + z) . Из формулы (15) получаем для нее сходящийся в круге ряд Тейлора (z) = +? X n=1 (?1) n+1 n(n + Этот ряд (16) интересен тем, что он сходится абсолютно на границе своего круга сходимости, а именно, в каждой точке окружности |z| = Перейдем к рассмотрению функциональных рядов) = +? X n=1 f n (z), z ? членами которых являются регулярные функции f n : G ? заданные в некоторой области G. Ослабим понятие равномерной сходимости ряда (17) на области G (ср. определение 11 џ Определение 3. Говорят, что функциональный ряд (сходится локально равномерно на области G, если для каждой точки z ? G существует круг B r (z) , r > 0, содержащийся в области G, на котором ряд (17) сходится равномерно Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции Отметим, что в силу свойства компактности любого замкнутого ограниченного множества на плоскости C, из локально равномерной сходимости ряда (17) на области G следует, что ряд (17) сходится равномерно на любом замкнутом ограниченном подмножестве области Теорема 3 (Вейерштрасса. Пусть функциональный ряд (17), составленный из регулярных функций f n : G ? сходится локально равномерно на области G. Тогда) сумма S(z) ряда (17) есть тоже регулярная функция на Первая теорема Вейерштрасса) ряд (17) можно почленно дифференцировать на G любое число раз, те. для ? k ? N имеет место формула) = +? X n=1 f (k) n (z), z ? причем каждый ряд (18) сходится локально равномерно на области G Вторая теорема Вейерштрасса). Д ока за тел ь ст во. Обозначим через частичную сумму ряда (17), те. Зафиксируем произвольную точку z 0 ? и возьмем такие r > 0, r 1 > 0 , чтобы B r+r 1 (z 0 ) ? G . Так как для всякого ? функция регулярна в G, то согласно интегральной формуле Коши имеем) = 1 2?i Z ? r+r1 S N (?) ? ? z d?, ? z ? где ? r+r 1 4 = {? | |? ? z 0 | = r + r 1 } окружность, ориентированная положительно (те. против хода часовой стрелки). В силу локально равномерной сходимости функционального ряда (17) на G и непрерывности функций из утверждения следует, что и сумма ряда S(z) также есть непрерыв- 66 џ 9. Ряд Тейлора. Теоремы Вейерштрасса ная функция на G. Кроме того, из равномерной сходимости наряда (17) следует, что ? > 0 ? N (?) ? N, ? N > N (?) : sup ??? r+r1 |S N (?) ? S(?)| 6 Для любой точки z ? и натурального числа N > где N(?) из (21), получаем Ї Ї Ї Ї Ї Ї Ї 1 2?i Z ? r+r1 S N (?) ? ? z d? ? 1 2?i Z ? r+r1 S(?) ? ? z d? Ї Ї Ї Ї Ї Ї Ї 6 6 1 2? Z ? r+r1 |S N (?) ? S(?)| |? ? z| |d?| 6 ? 2?r 1 · 2?(r + r 1 ) = ? · r + В силу произвольности числа ? > 0 из (20) и (22) следует, что lim N ?? S N (z) = 1 2?i Z ? r+r1 S(?) ? ? z d?, z ? те Выражение справа в равенстве (23) является интегралом типа Коши от непрерывной функции S(?) (определение см. в џ По его основному свойству (теорема 2 џ 8) этот интеграл бесконечно дифференцируем, те. сумма ряда S(z) есть регулярная функция в окрестности произвольной точки из G, откуда следует, что сумма ряда S(z) регулярна во всей области Итак, функции и S(z) регулярны в области G, те. в этой области G существуют производные и при k ? см. теорему 3 џ 8). 2. Опять зафиксируем произвольную точку z 0 ? и произвольный круг B r (z 0 ) , r > 0, такой, что B r (z 0 ) ? G . Это значит, что найдется число r 1 > такое, что B r+r 1 (z 0 ) ? G . По Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции формуле (11) из теоремы 3 џ 8 для любого k ? N и регулярных функций и S(z) получаем) = k! 2?i Z ? r+r1 S N (?) (? ? z) k+1 d?, z ? B r (z 0 ), (24) S (k) (z) = k! 2?i Z ? r+r1 S(?) (? ? z) k+1 d?, z ? Отсюда для всякого ? > 0, выбирая N(?) в силу (21), при любом N > N(?) получаем оценку Ї Ї ЇS (k) N (z) ? S (k) (z) Ї Ї Ї = k! 2? Ї Ї Ї Ї Ї Ї Ї Z ? r+r1 S N (?) ? S(?) (? ? z) k+1 d? Ї Ї Ї Ї Ї Ї Ї 6 6 k! 2? · r k+1 1 · sup ??? r+r1 |S N (?) ? S(?)| · 2?(r + r 1 ) < < k!(r + r 1 ) r k+1 1 ?, ? z ? Таким образом, последовательность частичных сумм равномерно на сходится к функции S (k) (z) . В силу произвольности выбора z 0 ? и круга последнее означает, что последовательность сходится к локально равномерно на области Из теоремы 1 Абеля и теорем Вейерштрасса получаем Следствие 2. Сумма степенного ряда (1) в круге его сходимости представляет собой регулярную функцию, причем степенной ряд (1) в круге его сходимости можно почленно дифференцировать произвольное число раз. Следствие 3. Регулярность функции f : G ? C вобла- сти G и возможность представления этой функции f на всяком круге B r (a) ? в виде сходящегося степенного ряда (по степеням (z ? a) эквивалентны џ 10. Некоторые свойства регулярных функций 10. Некоторые свойства регулярных функций Продолжим изучение свойств регулярных функций. Теорема 1 (единственности. Пусть функция f : G ? ? регулярна в области G ? C. Пусть существует последовательность различных точек {z n } ? G , сходящаяся к некоторой точке a ? G и такая, что f(z n ) = 0 ? n ? N . Тогда f(z) = 0 при всех z из области Доказательство) Пусть ? граница области G и число ? 0 4 = dist(a,?) расстояние от точки a до границы Тогда очевидно, что 0 < ? 0 6 +? . Так как функция f регулярна на круге B ? 0 (a) ? G , то по теореме 2 из џ 9 функция представима в этом круге в виде сходящегося ряда Тейлора (z) = +? X n=0 c n (z ? Покажем, что коэффициенты c n = при всех n = 0,1, . . . Прежде всего в силу непрерывности f в точке a из условия теоремы следует, что c 0 = f (a) = lim n?+? f (z n ) = 0 . Допустим, что найдется наименьший индекс m > 1, при котором c m 6= Тогда ряд (1) принимает вид (z) = (z ? a) m (c m + c m+1 (z ? a) + . . . ) те. функцию f можно представить в виде (z) = (z ? где функция h как сумма сходящегося степенного ряда (в силу следствия 2 џ 9) регулярна в круге B ? 0 (a) , причем h(a) = c m 6= 6= 0 . В силу этого ив силу непрерывности h существует число такое, что h(z) 6= 0 ? z ? B r 0 (a) . Так как (z ? a) m 6= 6= при любом z ? ? B r 0 (a) , то из равенства (3) получаем, что (z) 6= при всех z ? ? B r 0 (a) . Но это противоречит условию, согласно которому f(z n ) = 0 , причем при достаточно больших n. Следовательно, все коэффициенты c n = в ряде (1), а потому f(z) ? 0 на круге B ? 0 (a) 69 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции a b G ? 1 ? 2 ? 3 Рис. 20 2) Докажем, что f(b) = 0 в произвольной точке b ? G \ B ? 0 (a) . Соединим точки a и b произвольным кусочно-гладким контуром ? ? Пусть ? 4 = dist(?,?) . Очевидно, что ? > 0, ? 6 ? 0 . Рассмотрим конечное множество кругов B 0 ,B 1 , . . . одинакового радиуса ? > 0, те. B k 4 = 4 = B ? (? k ) ? таких, что их центры принадлежат кривой ?, ? 0 = a , ? l = и справедлива оценка |? k ?? k?1 | 6 ?/2 ? k ? 1,K . По построению очевидно включение |