Учебник москва мфти 2014

• Название: Учебник москва мфти 2014
• Дата: 06.06.2022
• Размер: 1.39 Mb.
• Имя файла: TFKP-POLOVIN.pdf
• Тип: Учебник; #571748
• страница: 8 из 15

Следствие 1. В силу теоремы 3 можно определить понятия и ?
?
arg z
) не только для гладких, но и для непрерывных функций z(t) (и контуров Покажем это. Пусть задана непрерывная функция z:
[0,1] ? те) и пусть z(t) 6= 0 при всех t ? Определим число r
4
= min{|z(t)| | t ? [0,1]}
. Очевидно, что r >
> 0
. Выберем положительное число ? 6 r/2. Обозначим через произвольную функцию класса C
1
[0,1]
, приближающую данную функцию z(·) с точностью доте, причем z
?
(0) = z(0)
, z
?
(1) = z(1)
. Такую функцию

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
z
?
(·)
будем называть гладкой аппроксимацией функции Легко показать, что гладкая аппроксимация z
?
(·)
функции
z(·)
существует. Так, например, по теореме Вейерштрасса для заданной функции z(·) существует многочлен такой, что) ? P
n
(t)| < ?/2, ? t ? [0,1]
. Тогда функция P
n
(t) + (z(1) ? P
n
(1)) t + (z(0) ? P
n
(0)) (1 ? будет искомой функцией. В самом деле, она гладкая, z
?
(0) =
= z(0)
, z
?
(1) = z(1)
, и) ? z(t)| 6 |z(t) ? P
n
(t)| + |z(1) ? P
n
(1)|t+
+|z(0) ? P
n
(0)|(1 ? t) <
?
2
+
?
2
t +
?
2
(1 ? t) = Отметим, что z
?
(t) 6= при всех t ? [0,1]. В самом деле = |(z
?
(t) ? z(t)) + z(t)| >
> |z(t)| ? |z
?
(t) ? z(t)| > r ? ? >
1 2
r > Определение 4. Приращением аргумента непрерывной функции z(·) ? C[0,1], z(t) 6= 0, ?t ? [0,1], на отрезке назовем z(t)
4
= ?
[0,1]
arg где z
?
(·) ? C
1
[0,1]
 любая гладкая аппроксимация функции
z(·)
при достаточно малом значении ? > Замечание 5. Выражение (15) не зависит от выбора гладкой аппроксимации для непрерывной функции z(·), т. е.
определение 4 корректно arg Рис. В самом деле пусть ez
?
(·)
 другая гладкая аппроксимация функции
z(·)
при достаточно малом ? > см. рис. Определим функцию ?e
z
?
(t) + (1 ? ?)z
?
(t),
?? ? [0,1], t ? [0,1].
114

џ 14. Приращение аргумента z вдоль контура
Очевидно, что эта функция задает непрерывную деформацию
z
?
(·)
в ez
?
(·)
. При этом) ? z(t)| 6 ?|e
z
?
(t) ? z(t)| + (1 ? ?)|z
?
(t) ? z(t)| < где < r 6 |z(t)|, ?t ? поэтому > |z(t)| ? |z(t,?) ? z(t)| > r ? ? > те. В итоге показали, что функция удовлетворяет условиям теоремы 3, из которой получаем требуемое равенство ?
[0,1]
arg e
z
?
(t) = ?
[0,1]
arg Приведем еще одно очевидное следствие определений 1 и Следствие 2. Для всякого замкнутого непрерывного контура существует число n
?
?
? такое, что z = 2?n
?
?
.
(16)
115

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции 15. Регулярные ветви многозначных функций корня и логарифма Ln Напомним, что на множестве C \ {0} в џ 5 были определены многозначные функции вида z
,
(1)
Ln z
4
= ln |z| + i Arg где n ? N, n > 2, Arg z
4
= {arg z + 2?k | k ? Z}
 множество всех аргументов числа z 6= В џ 5 по теореме 2 об обратной функции было показано, что эти многозначные функции ив области C \ имеют регулярные ветви, которые были названы главными регулярными ветвями. Эти ветви имели вид
g
0
(z)
4
=
n
p
|z|e
i
n
argгл z
,
(3)
h
0
(z)
4
= ln |z| + i arg гл
z,
(4)
где arg гл ? Обобщим рассуждения из џ 5.
1. Простейший случай. Зафиксируем числа n ? N, n > и ?
0
? [??,?)
. Рассмотрим угловую область вида G
1
4
= {z 6= 0 |
| arg z ?
і
?
0
n
,
?
0
+2?
n
ґ
}
Функция w = z
n
однолистна на области и отображает эту область на область C\?
?
0
, где ?
?
0
4
= {z | arg z = луч, выходящий из точки 0, состоящий из точек с аргументом. Следовательно, обратная к степенной функции функция существует и имеет вид
g
?
(z)
4
=
n
p
|z|e
i
n
arg
?
z
,
(5)
где arg
?
z ? (?
0
,?
0
+ 2?)
. По теореме об обратной функции
(точнее, последствию) функция g
?
, определенная по формуле, будет регулярной функцией, те. регулярной ветвью многозначной функции {
n
?
z}
, определенной на области C \ со значениями в области G
1 116

џ 15. Регулярные ветви многозначных функций корня и логарифма
Аналогично, пусть функция e
z
, задана на области G
2
4
= {z |
| Im z ? (?
0
,?
0
+ 2?)}
. Тогда она однолистна на ней и принимает значения в области C \ ?
?
0
. Соответствующая обратная функция имеет вид ln |z| + i где arg
?
z ? (?
0
,?
0
+ 2?)
. По теореме об обратной функции функция h
?
, определенная по формуле (6), будет регулярной функцией, те. регулярной ветвью многозначной функции Ln определенной на области C \ со значениями в области Лемма 1. Зафиксируем число ?
0
? и область G ?
? C\?
?
0
. Все непрерывные ветви многозначных функций и Ln z, существующие на области G, являются регулярными ветвями и имеют соответственно вид) = g
?
(z)e
2?ki
n
, k ? 0,n ? 1,
(7)
h
k
(z) = h
?
(z) + 2?ki, k ? где функции и определены в (5), Доказательство. Очевидно, что функции и являются ветвями многозначных функций и Ln z соответственно, при этом они регулярны на области G, так как функции и регулярны. Допустим, что g  некоторая непрерывная ветвь многозначной функции {
n
?
z}
, определенная на области G. Тогда по определению корня справедливы тождества и g
n
?
(z) ? z
. Поэтому
і
g(z)
g
?
(z)
ґ
n
? 1
, откуда {
n
?
1}
, те. существует k(z) ? 0,n ? 1 такое, что e
i
2?
n
k(z)
, z ? В равенстве (9) слева стоит непрерывная функция, а справа функция, принимающая дискретные значения, что возможно лишь при условии, что эта функция постоянна. Это значит,
что существует число k
0
? 0,n ? такое, что g(z) = g
k
0
(z)
, т. е.
формула (7) описывает все непрерывные (и регулярные) ветви многозначной функции {
n
?
z}
117

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Аналогично, пусть задана некоторая непрерывная ветвь многозначной функции Ln z на области G. Тогда по определению обратной функции получаем равенства e
h(z)
? z
, e
h
?
(z)
?
? z
, ? z ? G, те, откуда существует k(z) ? такое, что) ? h
?
(z) = Слева в равенстве (10)  непрерывная функция, справа функция с дискретными значениями, следовательно, k(z) =
= k
0
= const
, те. формула (8) описывает все непрерывные (и регулярные) ветви многозначной функции Ln Лемма 2. У многозначных функций и Ln z не существует непрерывных ветвей, определенных в кольце, R
(0)
4
= {z | r < |z| < R}
, где 0 6 r < R 6 Доказательство от противного. Допустим, что в кольце K
r, существует некоторая непрерывная ветвь многозначной функции {
n
?
z}
. Тогда эта функция g непрерывна на области K
r, R
(0) \ (??,0]
. По лемме 1 (при ?
0
= существует номер k
0
? такой, что) = g
0
(z)e
2?k0i
n
, ? z ? K
r, R
(0) \ где g
0
 главная регулярная ветвь (3). Пусть x ? Тогда из равенства (11) получаем в пределе + i0) =
n
p
|x|e
i?+2?k0i
n
,
g(x ? i0) те, что противоречит тому, что функция непрерывна в точке x ? K
r, Аналогично доказывается утверждение для Ln Следствие 1. Не существует непрерывных ветвей многозначных функций и Ln z, определенных в произвольной области G ? C, содержащей проколотую окрестность точки или содержащей проколотую окрестность бесконечности.
Замечание 1. Особая роль точек 0 и ? для функций и Ln z будет изучена в џ 2223.
118

џ 15. Регулярные ветви многозначных функций корня и логарифма
x
y
0
Рис. 31 2. Общий случай. Пусть выбрана односвязная область G в C, причем 0 6?
6? G
. Кроме областей вида примером такой области может быть область в C, граница которой является разрезом по некоторому кусочно-гладкому контуру, идущему из точки 0 в ? см. рис. Покажем, что в такой области G существуют регулярные ветви многозначной функции и z
. Опишем их вид.
Лемма 3. В односвязной области G ? C такой, что 0 6? существуют непрерывные ветви многозначной функции Arg Доказательство. Зафиксируем произвольные точку и ее аргумент ?
0
? Arg z
0
. Из точки как начальной)
в произвольную (конечную) точку z ? G проведем некоторый гладкий контур ?
z
0
z
? Определим ?
0
+ ?
?
z0z
arg где z
4
= Очевидно, что справедливо включение ?
?
z0z
? Arg В односвязной области G, удовлетворяющей условию 0 6?
6? G
, функция
1
z
регулярна, и по интегральной теореме Коши для любого замкнутого кусочно-гладкого контура ? справедливо равенство 0
. В силу равенства (13) это значит,
что ?
?
?
arg z = для любого замкнутого контура ? G
, т. е.
выражение (12) не зависит от выбора контура ?
z
0
z
, а определяется лишь выбором конечной точки z, темы получим функцию от z вида ?
0
+ ?
?
z0z
arg где z = Im
z
Z
z
0
d?
?
.
(15)
119

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
В силу теоремы 2 џ 10 функция является регулярной первообразной функции
1
z
в области G, поэтому является гармонической функцией от (x,y). Таким образом показали, что функция есть непрерывная ветвь Arg z в области Определим функции e
g
0
(z)
4
=
n
p
|z|e
i
n
?
0
(z)
, z ? G,
(16)
e
h
0
(z)
4
= ln |z| + i?
0
(z), z ? где функция взята из формул (14), (Очевидно, что это ветви многозначных функций и соответственно, причем в силу леммы 3 эти ветви непрерывны в области Теорема 1. В односвязной области G такой, что 0 6? существуют непрерывные ветви многозначных функций и Ln z, при этом все они являются регулярными функциями вида) = e
g
0
(z)e
2?ki
n
, k = 0,1, . . . ,n ? 1,
(18)
h
k
(z) = e
h
0
(z) + 2?ki, k ? где функции и взяты из выражений (16), Доказательство. Прежде всего покажем, что непрерывные функции и являются регулярными в данной области Зафиксируем произвольную точку z
1
? G
, и пусть r > такое, что B
r
(z
1
) ? G
. Так как 0 6? B
r
(z
1
)
, то существует луч, не пересекающий круг B
r
(z
1
)
. Итак, в силу включения) ? (C \ ?
?
0
) ? G
, выполнены условия пункта 1 Простейший случай и по лемме 1, в которой описаны все непрерывные ветви многозначных функций ив круге B
r
(z
1
) ?
? (C \ ?
?
0
)
, существуют номера k
?
, k
??
? такие, что e
g
0
(z) = g
?
(z)e
2?k?i
n
, ?z ? и e
h
0
(z) = h
?
(z) + 2?k
??
i, ?z ? B
r
(z
1
),
120

џ 15. Регулярные ветви многозначных функций корня и логарифма те. функции eg
0
, регулярны в данной окрестности точки Так как точка была выбрана произвольной из области G, то функции и регулярны в области Далее, повторяя рассуждения доказательства леммы 1, легко показать, что все непрерывные ветви указанных функций являются регулярными функциями и имеют вид (18), (Приведем еще одну формулу представления регулярных ветвей многозначной функции Ln Следствие 2. Всякая регулярная ветвь см. (19)) многозначной функции Ln z в односвязной области G такой, что 6? G
, удовлетворяет равенству (формуле НьютонаЛейбни- ца):
h
k
(z) = h
k
(z
0
) +
z
Z
z
0
d?
?
, z ? где интеграл берется по любому контуру, лежащему вобла- сти G, с началом в произвольной фиксированной точке z
0
? и концом в точке z ? Доказательство. Отметим, что справедливо равенство В самом деле+ yy
0
x
2
+ y
2
d? =
t
Z
0
d
p
x
2
+ y
2
p
x
2
+ y
2
= ln |z(t)| ? ln что и доказывает равенство (21). Отсюда и из формул (14),
(15), (17) и (19) получаем) = ln |z| + i(?
0
+ ?
?
arg z + 2?k) =
= ln |z| ? ln |z
0
| + (ln |z
0
| + i(?
0
+ 2?k)) + i?
?
arg z =
= Re
z
Z
z
0
d?
?
+ h
k
(z
0
) + i Im
z
Z
z
0
d?
?
= h
k
(z
0
) Упражнение. Получите формулу (20) как следствие теоремы 2 о первообразной из џ 10.
121

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции 16. Регулярные ветви многозначных функций f и корня
В данном параграфе будем рассматривать функции f : G ?
? C
, удовлетворяющие следующему предположению.
Предположение 1. Функция f : G ? C регулярна в области, причем (z) 6= 0, ? z ? В этом случае определим в области G две многозначные функции f (z)
4
= ln |f (z)| + i Arg f (z),
(2)
{
n
p
f (z)}
4
=
n
p
|f (z)|e
i
n
Arg f где Arg f(z)
4
= {arg f (z) + 2?k | k ? Исследуем при каких условиях, кроме предположения 1, у многозначных функций (2) и (3) существуют в области G регулярные ветви, а также какой вид эти регулярные ветви имеют.
Определение 1. Пусть для простого непрерывного контура, принадлежащего области G, задана параметризация вида = z(t)
, t ? [0,1], z(·) ? C[0,1]. Обозначим через ? образ контура при отображении регулярной функцией f, те Очевидно, что контур ? может быть задан параметризацией вида w = w(t)
4
= f (z(t))
, t ? [0,1]. В силу (1) 0 6? ?. Приращением аргумента функции f вдоль контура ? назовем действительное число f (z)
4
= ?
?
arg w = ?
[0,1]
arg Из этого определения, из определения 1 џ 14 и теорем 12
џ 14, очевидно, следует
Лемма 1. Пусть функции f, f
1
, в области G удовлетворяют предположению 1, и пусть выбран простой непрерывный контур ? ? G. Тогда) справедливо равенство (f
1
(z)f
2
(z)) = ?
?
arg f
1
(z) + ?
?
arg f
2
(z);
(5)
122

џ 16. Регулярные ветви многозначных функций Ln f(z) и корня) если простой непрерывный контур ? разбит некоторой точкой A на два контура и ?
2
, те, (см. рис. то f (z) = ?
?
1
arg f (z) + ?
?
2
arg f В частности, если ?  кусочно-гладкий контур, где и две его гладкие компоненты, то справедливо равенство (6);
3) для любого кусочно-гладкого контура ? справедлива формула f (z) = Im
Z
?
dw
w
= Im
Z
?
f
0
(z) dz
f Рис. Рис. Лемма 2. Пусть функция f удовлетворяет в области предположению 1. Если область G односвязна, то для любого простого замкнутого непрерывного контура ? справедливо равенство f (z) = Доказательство. В силу определения 4 џ 14 лемму достаточно доказать для случая, когда контур
?
?
является гладким. Тогда из односвязности области G следует, что для любой точки существует функция z(t,?) ? G, t ? [0,1],
? ? [a,b]
, осуществляющая непрерывную деформацию контура задаваемого функцией t ? z(t,a)) в точку z
0
? см. рис. 33). В свою очередь, функция f(z(t,?)) задает непрерывную деформацию контура = f (
?
? в точку w
0
= f (z
0
)
123

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
При этом в силу предположения 1 f(z(t,?)) 6= 0 ? t,?. Следовательно, по теореме 3 џ 14 получаем ?
[0,1]
arg f (z(t,?)) = const те Лемма 3. Пусть функция f в области G удовлетворяет предположению 1. Если в области G существуют регулярные ветви или многозначных функций {
n
p
f или Ln соответственно, то все непрерывные ветви этих многозначных функций в области G могут быть представлены в виде) = g
0
(z)e
2?ki
n
, k ? 0,n ? 1,
(9)
h
k
(z) = h
0
(z) + 2?ki, k ? при этом они описывают все регулярные ветви в области многозначных функций {
n
p
f и Ln f(z) соответственно.
Д ока за тел ь ст во аналогично доказательству леммы 1
џ Лемма 4. Пусть функция f в неодносвязной области удовлетворяет предположению 1 и такова, что для любого простого замкнутого кусочно-гладкого контура ? справедливо равенство (8). Тогда в области G существуют непрерывные ветви многозначной функции Arg f(z), причем все они представимы в виде) = ?
0
(z) + 2?k, k ? Z,
?
0
(z) = ?
0
+ ?
?
az
arg f при произвольном выборе начальной точки a ? G и угла Arg f (a)
, причем ?
az
? есть произвольный кусочно- гладкий контур с началом в точке a и концом в точке Доказательство. В силу выполнения равенства (легко показать, что значение из формулы (11) не зависит от выбора контура ?
az
, те. является функцией точки z. Также легко показать, что из определения 1 следует, что приведенные в (11) функции удовлетворяют включению ?
k
(z) ? Arg f (z)
? z ? G
, ? k ? Z. Пусть замкнутый кусочно-гладкий контур

џ 16. Регулярные ветви многозначных функций Ln f(z) и корня в G. В силу формулы (21) из џ 15 для замкнутого контура ? =
= f (
?
? справедливо равенство Re
R
?
dw
w
= 0
. Отсюда ив силу формулы (7) из леммы 1 равенство (8) эквивалентно равенству (?)
d? = i?
?
?
arg f (z) = 0, ?
?
? ? Следовательно, по теореме о первообразной (теорема 2 џ можно утверждать, что функция ?(z)
4
=
z
R
a
f
0
(?)
f является регулярной функцией в области G. Так как к тому же справедливо равенство ?
0
(z) = ?
0
+ Im ?(z)
, то функция непрерывна на области Покажем, что формула (11) описывает все непрерывные ветви Arg f(z) в области G. Пусть задана некоторая непрерывная ветвь многозначной функции Arg f(z) в области Тогда по определению Arg f(z) для любого z ? G найдется номер такой, что e
?(z) ? ?
0
(z) = Слева в равенстве (12) стоит непрерывная функция, справа функция с дискретными значениями. Это возможно лишь, если) = k
0
= const
, что и доказывает формулу (Лемма 5. Пусть функция f в области G удовлетворяет предположению 1. Если в области G существует регулярная ветвь h многозначной функции Ln f(z), то для любых a,b ? справедлива формула) = h(a) + ln
Ї
Ї
Ї
Ї
f (b)
f (a)
Ї
Ї
Ї
Ї + i?
?
ab
arg f где ?
ab
 произвольный кусочно-гладкий контур в G с началом в точке a и концом в точке Доказательство. Для заданной в условии леммы регулярной ветви h многозначной функции Ln f(z) в силу определения справедливо выражение) = ln |f (z)| + i Im h(z),
(14)
125

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции те) есть непрерывная ветвь многозначной функции f см. формулу (2)), точнее, Im h(z) является гармонической функцией действительных переменных x и Допустим, что заданный контур гладкий и z : [0,1] ? C
 его гладкая параметризация. Тогда Im h(z(t)) есть гладкая ветвь многозначной функции Arg f(z(t)). По теореме 1 џ 14 и по определению 1 џ 14 получаем f (z(t)) = Im h(b) ? Im В случае, когда контур является кусочно-гладким, это равенство также справедливо ( следует еще воспользоваться леммой. Отсюда по определению 1 получаем h(b) ? Im h(a) = ?
?
ab
arg f Из равенств (14) и (15) следует) ? h(a) = ln |f (b)| ? ln |f (a)| + i?
?
ab
arg f Теорема 1. Пусть функция f в области G удовлетворяет предположению 1. Чтобы в области G существовали регулярные ветви многозначной функции Ln f(z), необходимо и достаточно, чтобы для любого простого замкнутого кусочно- гладкого контура ? выполнялось равенство Доказательство. Необходимость. Берем контур
?
?
с началом и концом водной точке a = b. По лемме 5 из формулы) получаем равенство (Достаточность. Зафиксируем произвольные точку a ? и значение h(a) ? Ln f(a). Определим для произвольной точки ? и для произвольного кусочно-гладкого контура с началом в точке a и концом в точке z выражение) = h(a) + ln
Ї
Ї
Ї
Ї
f (z)
f (a)
Ї
Ї
Ї
Ї + i?
?
az
arg f Легко показать, что в силу равенства (8) значение h(z) не зависит от выбора контура ?
az
? G
, а определяется лишь выбором концевой точки z, те является функцией. Кроме того,
очевидно, что h(z) ? Ln f(z) ? z ? G.
126

џ 16. Регулярные ветви многозначных функций Ln f(z) и корня
Так как h(a) = ln |f(a)|+i?
0
, где есть некоторое значение f (a)
, то из (16) получаем, что) = ln |f (z)| + i(?
0
+ ?
?
az
arg f те. в силу леммы 4 функция h есть непрерывная ветвь многозначной функции Ln f(z) в области G. Докажем ее регулярность в области G. Достаточно доказать, что в произвольной точке z
1
? функция h является регулярной.
Обозначим w
1
4
= f (z
1
)
. По предположению 1 w
1
6= 0
, т. е.
существует число ? > 0 такое, что 0 6? B
?
(w
1
)
. В силу непрерывности функции f найдется число ? > 0 такое, что образ круга B
?
(z
1
) ? содержится в круге B
?
(w
1
)
, те. Как показано в џ 15, у многозначной функции Ln в односвязной области B
?
(w
1
)
, не содержащей нуль, существует регулярная ветвь eh(w), удовлетворяющая условию eh(w
1
) =
= h(z
1
)
. Тогда суперпозиция регулярных функций вида есть регулярная ветвь функции Ln f(z) в круге B
?
(z
1
)
, причем e
h(f (z
1
)) = h(z
1
)
. В силу леммы 3 об общем виде непрерывных ветвей многозначной функции Ln f(z) в области ив силу совпадения значений этих непрерывных ветвей в точке получаем, что h(z) ? eh(f(z)) прите. функция регулярна в круге Лемма 6. Пусть функция f в области G удовлетворяет предположению 1. Если в области G существует регулярная ветвь g многозначной функции {
n
p
f (z)}
, то для любых a,b ?
? справедлива формула) = g(a)
n
sЇ
Ї
Ї
Ї
f (b)
f (a)
Ї
Ї
Ї
Їe
i
n
?
?ab
arg f где ?
ab
 произвольный кусочно-гладкий контур в G с началом в точке a и концом в точке Доказательство) Допустим, что область G односвязна. Тогда по лемме выполнено условие (8). Пусть выбраны точка a ? G и угол ?
0
?
? Arg f (a)
. По теореме 1 существует регулярная в области G
127

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции ветвь h многозначной функции Ln f(z) такая, что Im h(a) =
= ?
0
. Определим функцию g
0
(z)
4
= e
1
n
h(z)
. Очевидно, что она регулярна в G. В силу (2) и (17) функция принимает вид) =
n
p
|f (z)|e
i
n
(?
0
+?
?az
arg f (z))
, g
0
(a) =
n
p
|f Следовательно, функция есть некоторая регулярная ветвь многозначной функции {
n
p
f в области G. Для заданной в условии леммы 6 функции g в силу леммы 2 существует k
0
?
? 0,n ? такое, что) = g
0
(z)e
2?k0i
n
, z ? те откуда и следует формула (18).
2) Пусть область G неодносвязна. Пусть a,b и контур ?
ab
?
? заданы по условию. Разобьем данный контур точками на малые сегменты такие, что каждый из них лежит в некоторой односвязной подобласти в области G, где в силу доказанного в пункте 1) справедлива формула
g(z
l+1
)
g(z
l
)
=
n
sЇ
Ї
Ї
Ї
f (z
l+1
)
f (z
l
)
Ї
Ї
Ї
Їe
i
n
?
?zlzl+1
arg f Перемножая равенства (19) при всех l от 0 до k?1, получаем . . . ·
g(z
1
)
g(a)
=
n
sЇ
Ї
Ї
Ї
f (b)
f (a)
Ї
Ї
Ї
Їe
i
n
k?1
P
l=0
?
?zlzl+1
arg f откуда в силу леммы 1 следует равенство (Теорема 2. Пусть функция f в области G удовлетворяет предположению 1. Чтобы в области G существовали регулярные ветви многозначной функции {
n
p
f (z)}
, необходимо и достаточно, чтобы для любого замкнутого кусочно-гладкого контура нашлось целое число такое, что f (z) = (2?n)k
?
?
.
(20)
128

џ 16. Регулярные ветви многозначных функций Ln f(z) и корня
Д ока за тел ь ст во. Необходимость условия (20) следует из леммы 6, так как при a = b и при в силу (имеем e
i
n
?
?
?
arg f (z)
= 1
, что влечет равенство (Достаточность. Зафиксируем точку a ? G и значение) ? {
n
p
f (a)}
. Определим для произвольной точки z ? и для произвольного кусочно-гладкого контура ?
az
? сна- чалом в точке a и концом в точке z) выражение) = g(a) ·
n
sЇ
Ї
Ї
Ї
f (z)
f (a)
Ї
Ї
Ї
Їe
i
n
?
?az
arg f которое в силу равенства (20) не зависит от выбора контура G
, те. является функцией отв области G. Очевидно также, что справедливо включение) ? {
n
p
f (z)}, ? z ? Покажем, что функция g, определенная в (21), регулярна в G. Зафиксируем произвольную точку z
1
? G
, и пусть число > таково, что B
r
(z
1
) ? G
. Тогда из формулы (21) следует выражение) = g(z
1
) ·
n
sЇ
Ї
Ї
Ї
f (z)
f (z
1
)
Ї
Ї
Ї
Їe
i
n
?
?z1z
arg f (z)
, ? z ? Формулу (22) можно переписать в виде g(z) = e
1
n
h(z)
, где функция соответственно вычисляется по формуле) = ln |f (z)| + i(?
1
+ ?
?
z1z
arg f (z)), ? z ? причем здесь ?
1
? Arg f (z
1
)
, соответствующее значению) =
n
p
|f Так как для любого замкнутого контура ? в силу леммы 2 справедливо равенство (8), то по теореме 1 в области
B
r
(z
1
)
функция h из (23) является регулярной ветвью многозначной функции Ln f(z), и поэтому функция g как суперпозиция двух регулярных есть регулярная ветвь функции {
n
p
f в круге B
r
(z
1
)
. В силу произвольности точки отсюда следует утверждение теоремы

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Следствие 1. Пусть в области G для функции f, удовлетворяющей предположению 1, существуют регулярные ветви или g многозначных функций Ln f(z) или {
n
p
f соответственно. Тогда производные этих ветвей вычисляются по формулам) Доказательство. В самом деле, данные функции регулярны и удовлетворяют тождествам f (z),
g
n
(z) ? f Дифференцируя эти тождества, получаем формулы (Замечание 1. Из лемм 5 и 6 следует, что каждая регулярная ветвь многозначных функций {
n
p
f ив заданной области G однозначно определяется заданием своего значения водной произвольной точке a ? G.
130

џ 17. Примеры нахождения регулярных ветвей 17. Примеры нахождения регулярных ветвей
В этом параграфе проиллюстрируем результаты предыдущего параграфа на примерах.
Пример 1. Исследовать существование регулярных ветвей многозначной функции {
4
p
z
3
(z + в области G
4
= C \ Для регулярной ветви g этой функции такой, что g
1
(2) вычислить значения и Решение. Проверим выполнение условий теоремы 2 изо существовании регулярных ветвей данной многозначной функции в заданной области Функция f(z)
4
= z
3
(z + регулярна ив области Пусть замкнутый кусочно-гладкий контур, лежащий в области, заданный с помощью кусочно-гладкой параметризации. Так как z(t) ? G,
?t ? [0,1]
, то z(t) 6= ? для каждого ? ? Определим функцию z(t,?)
4
= z(t) ? ?
, где t ? [0,1], ? ?
? [?1,0]
. Это непрерывная деформация (см. определение 3 џ в области G, причем z(t,?) 6= 0 ?t,? и при всех ? [?1,0]
. По свойству устойчивости к деформации (теорема 3
џ 14) получаем, что) ? ?
[0,1]
arg z(t,?) = const
?? ? Таким образом, I(0) = I(?1), те+ Отсюда и по логарифмическому свойству (теорема 2 џ 14) получаем те. выполнены все условия теоремы 2 џ 16, откуда следует, что в области G существуют регулярные ветви многозначной функции Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
По формуле (21) џ 16 регулярная ветвь g имеет вид) = (24)
1/4
· i ·
4
sЇ
Ї
Ї
Ї
z
3
(z + 1)
24
Ї
Ї
Ї
Ї e
i
4
(3?
?
arg где ?  контур с началом в точке a = 2 и концом в точке Таким образом, для вычисления значения возьмем отрезок ? = [2,i] и вычислим вдоль него приращения аргументов и z + 1. Так как приращение аргумента z вдоль кривой есть угол поворота радиус-вектора
??
?
0z
при непрерывном движении z по кривой ? от начальной точки к конечной, то