Учебник москва мфти 2014

• Название: Учебник москва мфти 2014
• Дата: 06.06.2022
• Размер: 1.39 Mb.
• Имя файла: TFKP-POLOVIN.pdf
• Тип: Учебник; #571748
• страница: 10 из 15

, причем точка 0 содержится внутри контура ?
1 2) Обозначим d
n
4
= min{|z| | z ? ?
n
}
. Требуется, чтобы lim
n??
d
n
= ?

3) Обозначим длина контура ?
n
. Требуется, чтобы существовало число A > 0 такое, что l
n
6 Ad
n
, ? n ? Приведем простейшие примеры правильных систем контуров. Окружности с центрами в точке 0 и радиусами R
n
= n ? N
2. Квадраты с центрами в точке 0 и диагоналями длины n ?
? Теорема 7 (Коши. Пусть для заданной мероморфной функции f существует правильная система контуров такая, что выполнены два дополнительные условия. Обозначим ?
n
4
= max{|f (z)| | z ? ?
n
}
. Требуется, чтобы lim
n??
?
n
= 0 2. Полюсы функции f пронумерованы так, что для любого область, ограниченная контуром содержит ровно n первых по порядку полюсов функции f, причем на самом контуре полюсов функции f нет.
Тогда функция f представима в виде суммы ряда элементарных дробей вида (z) =
+?
X
k=1
q
k
(z),
(8)
152

џ 19. Целые и мероморфные функции где функции определены в формуле (6). Более того, для любого R > 0 в круге B
R
(0)
, из которого выброшены точки полюсов функции f, ряд (8) сходится равномерно.
Д ока за тел ь ст во. Для всякого n ? N определим функции f (z) ? Зафиксируем n ? N. Внутри контура по условию теоремы содержится ровно n различных полюсов z
1
,z
2
, . . . функции. В силу определений (9), (10) для функции каждая точка z
k
, k ? 1,n, является устранимой особой точкой,
так как ее ряд Лорана в проколотой окрестности точки есть разность между суммой ряда Лорана функции f в этой окрестности и S
n
(z)
 суммой главных частей рядов Лора- на функции f с центрами в полюсах, в том числе и сцен- тром в данной точке z
k
. Доопределив функцию в каждой точке при k ? 1,n соответствующим значением предела,

получаем, что функция регулярна внутри и непрерывна на замыкании области, ограниченной контуром ?
n

. По интегральной формуле Коши (теорема 1 џ 8) в любой точке принадлежащей области, ограниченной контуром ?
n
, получаем Вычислим I
1n
(z)
4
= ?
1 с помощью вычетов
(теорема 1 џ 13). Здесь подинтегральная функция регулярна всюду, кроме полюсов в точках ? = z, ? = z
1
, . . . , ? = z
n
. Вне контура она регулярна, и поэтому) = res
?
S
n
(?)
? ? z
.
153

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Так как в силу равенств (6) и (9) получаем сумму ? z
=
n
X
k=1
m
k
X
l=1
c
k
?l
(? ? z)(? ? в которой каждое слагаемое представимо в виде ? z)(? ? z
k
)
l
= c
k
?l
µ
1
?
l+1
+ где l + 1 > 2, то по формуле вычетов (12) џ 13 получаем res
?
S
n
(?)
? ? z
= те В итоге справедливо равенство) =
1 2?i
Z
?
n
f (?)
? ? из которого получаем оценку 6 1
2?
Z
?
n
Ї
Ї
Ї
Ї
f (?)
? ? z
Ї
Ї
Ї
Ї |d?| 6
l
n
2?
max
ЅЇ
Ї
Ї
Ї
f (?)
? ? z
Ї
Ї
Ї
Ї | ? ? Зафиксируем произвольное число R > 0. Так как lim
n??
d
n
=
= по условию 2 определения 4), то найдется номер такой, что для всех n > N
0
, d
n
> 2R
. В силу условия 3 определения для всех z ? и всех n > получаем оценку 6 1
2?
·
?
n
d
n
? R
l
n
=
?
n
2?
·
1 1 Отсюда и из равенства lim
n??
?
n
= условие 1 теоремы) следует, что последовательность функций сходится равномерно на к нулю. Это значит, что последовательность функций f ? равномерно сходится к функции f в круге всюду, за исключением тех точек, где функция f не определена, теза исключением точек ее полюсов.
Следствие 2. Пусть в теореме 7 выполнены все условия, за исключением условия 1, вместо которого выполнено условие) существуют числа C > 0 и m ? N такие, что справедливо неравенство max{|f (z)| | z ? ?
n
} 6 C · (d
n
)
m
, ? n ? N,
(13)
154

џ 19. Целые и мероморфные функции где d
n
 см. в определении 4. Тогда, если точка нуль не являлась полюсом функции f, то добавляя еще один достаточно малый круговой контур с центром в нуле, содержащийся внутри контура ?
1
, получаем, что для функции выполнены условия теоремы 7, по которой можно получить разложение ее вряд элементарных дробей, откуда, в свою очередь, легко получается ряд элементарных дробей для функции Пример 1. Разложить функцию w = ctg z вряд элементарных дробей.
Р е ш е ни е. Так как точки z
1
= 0
, z
2
= ?
, z
3
= ??
,
z
4
= 2? . . .
,  полюсы го порядка, то строим правильную систему контуров в виде квадратов (см. рис. Эта система квадратов правильная, так как d
n
> (n ? 1)
?
2
,
l
n
= 4?n
, те при всех n ? Проверим условия теоремы Рис. 38 1) Оценим max{| ctg z| | z ? На вертикальных сторонах квадрата ?
n
, имеющих вид z =
=
?
2
+ iy + ?m
, получаем
Ї
Їcos
Ў
?
2
+ iy + ?m
ўЇ
Ї
Ї
Їsin
Ў
?
2
+ iy + ?m
ўЇ
Ї =
| sin iy|
| cos iy|
=
Ї
Ї
Ї
Ї
e
?y
? e
y
e
?y
+ e
y
Ї
Ї
Ї
Ї 6 1.
155

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции

На горизонтальных сторонах квадрата ?
n
, имеющих вид = x + iy
n
, |y
n
| =
?
2
m
, получаем по формулам Эйлера ctg z| =
|e
ix?y
n
+ e
?ix+y
n
|
|e
ix?y
n
? e
?ix+y
n
|
6
|e
ix?y
n
| + |e
?ix+y
n
|
||e
ix?y
n
| ? |e
?ix+y
n
||
6 6
e
?y
n
+ e
y
n
|e
?y
n
? e
y
n
|
=
1 + e
?2|y
n
|
1 ? e
?2|y
n
|
< В итоге, функция | ctg z| ограничена на квадратах {?
n
}
?
n=1 2) Каждый квадрат содержит внутри себя ровно n полюсов и на нет полюсов.
Таким образом, функция ctg удовлетворяет всем условиям теоремы 7. Найдем главные части разложений вряд Лорана функции ctg в ее в полюсах. В полюсе z = 0 получаем ctg z
z
=
cos z
z sin z
=
1?
z2 2!
+...
z
2

1?
z2 3!
+...

=
=
1
z
2
+ c
0
+ . . .
, те. Остальные полюсы z
k
= ?k
, k = ±1, ± 2, . . . , будут го порядка, те z)
0
Ї
Ї
Ї
Ї
z=?k
=
1
?k
.
По теореме 7 получаем разложение в сумму ряда элементарных дробей ctg z
z
=
1
z
2
+
+?
X
k6=0
k=??
1
?k(z ? откуда ctg z =
1
z
+
+?
X
k6=0
k=??
(z ? ?k) + ?k
?k(z ? ?k)
=
1
z
+
+?
X
k6=0
k=??
µ
1
?k
+
1
z ? ?k
¶
=
=
1
z
+
+?
X
k=1
µ
1
?k
+
1
z ? ?k
+
1
??k
+
1
z + ?k
¶
=
=
1
z
+
+?
X
k=1
µ
1
z ? ?k
+
1
z + ?k
¶
.
156

џ 20. Аналитическое продолжение 20. Аналитическое продолжение
Известны различные способы аналитического продолжения заданных функций. Простейший из них мы уже встречали при рассмотрении примеров по теореме единственности в џ 10. Напомним его.
Определение 1. Пусть некоторая функция f задана на множестве E, а функция g регулярна в области G, содержащей множество E, причем (z) = g(z), ? z ? Тогда функция g называется аналитическим продолжением функции f с множества E на область Утверждение 1. Если множество E содержит бесконечное число точек и имеет в области G по крайней мере одну предельную точку, то аналитическое продолжение функции : E ? с множества E на область G единственно, т. е.
если существует регулярная функция g : G ? C, удовлетворяющая определению 1, то она единственна.
Данное утверждение, очевидно, следует из теоремы единственности регулярной функции (теорема 1 џ Так, например, в џ 10 мы рассмотрели аналитическое продолжение функций e
x
, sin x, cos x с действительной осина всю комплексную плоскость по формулам 4
= e
x
· e
iy
,
sin z
4
=
e
iz
? e
?iz
2i
,
cos z
4
=
e
iz
+ Основные сложности аналитических продолжений связаны с рассмотрением многозначных функций, примерами которых являются Ln z и Приведем ряд определений.
Определение 2. Пусть выбраны точка a ? C и круг B
r
(a)
,
r > 0
, на котором задана регулярная функция f. Тогда пару, назовем элементом, а точку a назовем центром этого элемента.
Определение 3. Скажем, что элемент, является непосредственным аналитическим продолжением элемента

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции, f
ў
, если B
r
(a) ? B
?
(b) 6= и f(z) = g(z), ? z ? B
r
(a) ?
? Отметим, что при заданных элементе (B
r
(a),f и круге
B
?
(b)
функция g на B
?
(b)
, если существует, то единственна (в силу теоремы единственности  теоремы 1 џ Определение 4. Скажем, что два элемента, и, эквивалентны, если они имеют общий центр a = b и один из этих элементов является непосредственным аналитическим продолжением другого. То есть, если r < ?, то f(z) =
= при всех z ? B
r
(a)
. Обозначаем, f
ў
?
Ў
B
?
(b), Определение 5. Скажем, что элемент, является аналитическим продолжением элемента, через конечную цепочку кругов (также говорят через конечную цепочку элементов, если существует конечный набор элементов, таких, что для каждого номера k ? 2,n элемент, является непосредственным аналитическим продолжением элемента, f
k?1
ў
, причем справедливы равенства, f
1
ў
=
Ў
B
r
(a), и, f
n
ў
=
Ў
B
?
(b), Пример 1. Степенной ряд
+?
P
n=0
z
n
сходится в круге и расходится при |z| > 1. При этом по теореме Вейерштрасса (см. џ 9) сумма данного ряда является регулярной в круге функцией, и, как показано в примере 1 џ 9, она совпадает в этом круге с функцией f
2
(z) =
1 1?z
, которая определена и регулярна в C \ {1}. Таким образом,
при любом a ? C \ [1,+?) элемент, является непосредственным аналитическим продолжением элемента, так как не пусто множество B
1
(0)
T
B
|a?1|
(a)
, в котором эти функции совпадают. При любом действительном множество пусто, но элемент, является аналитическим продолжением элемента, через цепочку кругов, так как, введя, например, еще один элемент, f
2
ў
, мы убеждаемся, что

џ 20. Аналитическое продолжение последний элемент является непосредственным аналитическим продолжением как элемента, f
1
ў
, таки элемента, f
2
ў
x
y
0
?2 2
?1 Рис. Пример 2. Рассмотрим пять элементов, составленных из регулярных ветвей многозначной функции {
?
z}
, вида
Ў
B
1
(1),f
0
ў
,
Ў
B
1
(i),f
?/2
ў
,
Ў
B
1
(?i),f
??/2
ў
,
Ў
B
1
(?1),f
?
ў
,
Ў
B
1
(?1),f
??
ў
,
где f
s
(z) =
p
|z|e
i
2
arg
s
z
, причем arg
s
z ?
Ў
s ?
?
2
,s +
?
2
ў
, s = 0,
±?/2
, Легко убедиться, что в данных пяти элементах каждая функция на соответствующем ей круге является регулярной ветвью многозначной функции {
?
z}
, причем f
?
(z) =
= при всех z ? B
1
(?1)
. В силу определения 3 элемент, также, как и элемент, f
??/2
ў
) является непосредственным аналитическим продолжением элемента, так как на множестве B
1
(1) ? функции и равны (см. рис. Аналогично элемент, есть непосредственное аналитическое продолжение элемента, f
?/2
ў
, а элемент, есть непосредственное аналитическое продолжение элемента, f
??/2
ў
. В итоге мы получили два различных элемента, и, f
??
ў
, определенных водном и том же круге, которые являются аналитиче-
159

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции скими продолжениями одного элемента, f
0
ў
. Приведем еще один способ аналитического продолжения  продолжение вдоль контура.
Определение 6. Пусть, f
ў
 начальный элемента кусочно-гладкий контур с началом в точке a и концом в точке b, заданный через параметр его длины s, те. Скажем, что элемент, является аналитическим продолжением элемента, вдоль контура ?
ab
, если существует число r > 0, r 6 непрерывная функция ? : [0,l] ? C и семейство элементов, f
s
ў
, ? s ? [0,l] такие, что a) для всякого s
0
? справедливо равенство f
s
0
(z(s)) =
= при всех s ? [0,l]
T
(s
0
? r,s
0
+ б, f
0
ў
?
Ў
B
r
1
(a), и, f
l
ў
?
Ў
B
r
2
(b), эквивалентность элементов.
Сформулированное в определении 6 условие по существу означает, что при выбранном значении элемент, является непосредственным аналитическим продолжением элемента, лишь для близких к значений s, те. при |s ? s
0
| < r
. Если же круг имеет непустое пересечение с кругом при далеком от значении s
1
, то может оказаться, что значения функций f
s
0
и
f
s
1
различны в точках пересечения указанных выше кругов.
В разобранном нами ранее примере 2 начальный элемент, f
0
ў
, очевидно, можно продолжить не только вдоль конечной цепочки кругов, но и вдоль контура  верхней полуокружности, с помощью семейства элементов, f
s
ў
, где для всех s ? [0,?] функция определяется также, как ив примере 2. В результате продолжения вдоль этого контура опять получаем конечный элемент, f
?
ў
. Если же начальный элемент, будем продолжать вдоль нижней полуокружности z = z
2
(s) = e
?is
,
s ? с помощью семейства элементов, f
?s
ў
, то получится конечный элемент, f
??
ў
. В этом случае, также как и при продолжении вдоль трехзвенных цепочек кругов

џ 20. Аналитическое продолжение в примере 2, конечные элементы, и, f
??
ў
различны.
Теорема 1. Понятия аналитических продолжений вдоль конечной цепочки кругов (по определению 5) и вдоль контура
(по определению 6) эквивалентны. Те. для всякого аналитического продолжения вдоль конечной цепочки кругов найдется контур такой, что аналитическое продолжение вдоль этого контура приводит к тому же конечному элементу, что и при продолжении вдоль заданной конечной цепочки кругов. С другой стороны, для всякого аналитического продолжения вдоль контура найдется конечная цепочка кругов, такая, что аналитическое продолжение вдоль нее проводит к тому же элементу,
что и при продолжении вдоль заданного контура.
Д ока за тел ь ст во. Допустим, что элемент (является аналитическим продолжением элемента (B
r
(a),f через некоторую конечную цепочку кругов. Пусть при этом получены элементы
{(B
r
k
(a
k
),f
k
}
(см. определение 5). Тогда в порядке возрастания номера k последовательно соединяем центры входящих в упорядоченную цепочку кругов отрезками и получаем ломаную. При этом легко указать число r > 0 такое, что всякий круг радиуса r с центром в произвольной точке, принадлежащей ломаной ?
ab
, содержится по крайней мере водном из кругов {B
r
k
(a
k
)}
n
k=1
. Отсюда, в соответствии с определением, можно в каждой точке z(s) ломаной на круге задать элемент так, что элемент (может быть получен в результате аналитического продолжения элемента (B
r
(a),f вдоль этой ломаной ?
ab
2. Допустим, что элемент, получен из элемента, аналитическим продолжением вдоль кусочно - гладкого контура по определению Пусть контур через параметр его длины s задается функцией z = z(s), 0 6 s 6 l, z(0) = a, z(l) = b. По определению 6 существует бесконечное семейство элементов, f
s
ў
, s ? [0,l], с соответствующими свойствами. Вы

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции берем в ней конечную цепочку элементов, где n =
Ј
2l
r
¤
+ 1
, при k = 0, . . . ,n ? 1, а s
n
= Тогда для каждого номера k справедливо неравенство |z(s) ?
? z(s
k
)| при любом s ? (s
k
,s
k+1
]
. Поэтому каждый элемент, является непосредственным аналитическим продолжением элемента, f
s
k
ў
, откуда в совокупности следует, что элемент, является аналитическим продолжением элемента, через конечную цепочку кругов Определение 7. Полной аналитической функцией, порожденной начальным элементом, называется совокупность всех элементов, получающихся аналитическим продолжением элемента, вдоль всех таких контуров, начинающихся в точке a, вдоль которых аналитическое продолжение возможно.
Определение 8. Аналитической функцией (без слова:
полная) называется любое связное подмножество элементов полной аналитической функции F, те. такое подмножество,
любые два элемента которого являются аналитическими про- должениями друг друга через некоторый контур или некоторую конечную цепочку элементов из этого же подмножества.
Очевидно, что каждая аналитическая функция F не зависит от выбора начального элемента, f
0
ў
. В качестве начального можно брать любой элемент из совокупности Множество G =
S
?
B
r
?
(z
?
)
, являющееся объединением кругов всех элементов, принадлежащих аналитической функции, представляет собой область.
В самом деле, открытость множества G следует из того,
что оно есть объединение открытых множеств, связность следует из определения 8, те. из того, что любые две точки из можно соединить ломаной, лежащей в объединении кругов, в узлах которой находятся центры кругов элементов, входящих в цепочку, с помощью которой осуществляется аналитическое продолжение элементов с центрами в указанных точках друг

џ 20. Аналитическое продолжение в друга. Поэтому будем говорить, что аналитическая функция задана (определена) на области В случае, когда область определения аналитической функции односвязна, имеет место следующее важное утверждение.
Теорема 2 (о монодромии). Пусть G  односвязная область и B
r
(a) ? G
. Если элемент, аналитически продолжаем по любому контуру ?
ab
, лежащему в односвязной области, то результат его продолжения в произвольную точку ? не зависит от контура ?
ab
, а однозначно определяется его концом Часто это формулируют итак аналитическая функция,
определенная на односвязной области G, является однозначной регулярной функцией, определенной на Для доказательства теоремы 2 нам потребуются следующие определение и лемма.
Определение 9. Пусть кусочно-гладкие контуры ? и заданы соответственно через параметр длины s в виде z =
= z(s), s ? и z = ez(s), s ? (0,el). Расстоянием между кривыми и e? назовем величину dist(?,e
?) = max{|z(s) ? e
z(s)| | s ? [0, min(l,el)]} + |l ? Лемма 1. Пусть элемент (может быть аналитически продолжен вдоль кусочно-гладкого контура с началом в точке a и концом в точке b). Тогда существует число > такое, что элемент (может быть аналитически продолжен вдоль любого кусочно-гладкого контура имеющего те же начало и конец) такого, что dist(?
ab
,e
?
ab
) < где dist см. в определении 9). При этом в конечной точке b будут получены эквивалентные между собой элементы.
Д ока за тел ь ст во. Пусть функция z = z(s), s ? описывает контур через параметр его длины, и z(0) = a,
z(l) = b
. Пусть число r > 0, непрерывная функция ?(s),
s ? и элементы (выбраны в соответствии с определением 6 при аналитическом продолжении элемента
(B
r
0
(a),f
0
)
вдоль контура ?
ab
163

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Выберем число ? и рассмотрим произвольный контур, задаваемый функцией z = ez(s), s ? (0,el), где ez(0) =
= a, e
z(el) = b
, такой, что dist(?
ab
,e
?
ab
) < Для каждого числа s ? [0, min(l,el)] определим значение функции и элемент (B
?
(e
z(s)), из выражений e
?(s) =
= и e
f
s
(z) = при всех z ? B
?
(e
z(s))
, что возможно в силу очевидного включения B
?
(e
z(s)) ? В случае, когда l > el, из равенства z(l) = ez(el) = b следует включение B
?
(e
z(el)) ? откуда следует, что) = при всех z ? те. конечные элементы эквивалентны.
В случае, когда l < el, для каждого числа s ? (l,el], так как el? l < ?, то имеем ez(s) ? B
?
(b)
. Поэтому определим значение функции и элемент (B
?
(e
z(s)), из выражений e
?(s) =
= и e
f
s
(z) = при всех z ? B
?
(e
z(s))
, что возможно в силу включения B
?
(e
z(s)) ? В частности, отсюда следует, что ив этом случае (при l < el) конечные элементы эквивалентны.
Покажем непрерывность функции на отрезке [0,el]. Для каждого значения s
0
? [0, в силу выбора контура справедливо включение ez(s) ? при всех s ?
? [0, max(l,el)]
T
(s
0
? ?,s
0
+ ?)
, откуда следует, что e
?(s) =
= при всех s ? [0, max(l,el)]
T
(s
0
??,s
0
+?)
, те. функция непрерывна в точке s
0
. Аналогично, в случае, когда l < из равенства e
?(s) = при всех s ? (l ??,el] следует непрерывность функции на интервале (l ? ?,el]. Таким образом,
мы показали, что по определению 6 существует аналитическое продолжение элемента (вдоль контура e?
ab
, причем в конечной точке получен элемент, эквивалентный конечному элементу, получаемому при аналитическом продолжении элемента (вдоль контура Докажем теперь теорему Доказательство. Пусть в односвязной области G даны два кусочно-гладких контура и с помощью уравнений = и z = где t ? [0,1], которые соединяют точки a
164

џ 20. Аналитическое продолжение и b, те и z
0
(1) = z
1
(1) = b
. Без ограничения общности (так как в силу леммы 1 и теоремы Вейерштрасса можно сгладить кривые в конечном числе точек, в которых имеется излом) будем считать, что контуры и являются гладкими. В силу односвязности области G кривые и являются гомотопными, те. существует функция z = z(t,?) ? при t ? [0,1], ? ? [0,1] такая, что функции z(t,?) и непрерывны на квадрате Ч, а также справедливы равенства) = и z(t,1) = при всех t ? [0,1], аи при всех ? ? Таким образом, при каждом фиксированном значении параметра функция z = z(t,?), t ? [0,1] описывает гладкую кривую ?
?
, которая принадлежит области G и соединяет точки a и b. В силу равномерной непрерывности функций
z(t,?)
и на квадрате [0,1] Ч [0,1] длина l(?) контура есть непрерывная функция параметра ? ? [0,1], и при достаточно близких значениях ?
1
,?
2
? расстояние между кривыми мало.
По лемме 1 для любого значения параметра ? ? [0,1] существует число ?(?) > 0 такое, что при любом значении e?, взятом из интервала I
?
4
= [0,1]
T
(? ? ?(?),? + ?(?))
, аналитическое продолжение элемента, вдоль каждого контура приводит к эквивалентным элементам в конечной точке По лемме ГейнеБореля можно выбрать конечное число интервалов, где 0 = ?
0
< ?
1
< . . . < ?
n
, покрывающих отрезок так, что эти интервалы удовлетворяют соотношениями. Тогда аналитическое продолжение элемента, вдоль каждого контура ?
?
, где ? приводит к эквивалентным элементам в концевой точке b. Аналогично это верно при всех ? ? итак далее. В результате получаем, что аналитическое продолжение элемента, вдоль каждого контура ?
?
, где ? ? приводит к эквивалентным элементам в точке b.
165

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции 21. Полные аналитические функции логарифма и корня и их римановы поверхности. Полные аналитические функции. Пусть точка a ?
? C
, a 6= 0. Выберем в круге некоторые регулярные ветви и многозначных функций Ln z и соответственно (которые, как показано в теореме 1 џ 15, существуют в круге B
|a|
(a)
). В этом случае будет говорить, что элементы
(B
|a|
(a),h
a
)
и (порождены многозначными функциями и {
n
?
z}
соответственно.
Теорема 1. Зафиксируем произвольные точки a,b ? и начальный элемент (B
|a|
(a),h
a
)
, порожденный многозначной функцией Ln z. Тогда этот элемент может быть продолжен вдоль любого кусочно-гладкого контура с началом в точке и концом в точке b), не проходящего через нуль. Для полученного в результате такого продолжения элемента (справедливы формулы) = h
a
(a) +
Z
?
ab
d?
?
,
(1)
h
b
(z) = h
b
(b) +
Z
z
b
d?
?
, z ? Для всякой точки c ? C\{0} и всякого элемента (B
|c|
(c),h
c
)
, порожденного многозначной функцией Ln z, найдется такой контур, не проходящий через нуль, что элемент (является аналитическим продолжением элемента (вдоль контура Доказательство. Обозначим через d
4
= dist({0}
, ?
ab
)
 расстояние от точки 0 до кривой ?
ab
. Разобьем контур точками z
0
=
= a
, z
1
, . . . ,z
K
= на части так, чтобы длина каждого из них удовлетворяла неравенству l(?
z
k?1
z
k
) < d
, ? k ?
? 1,K
. Пусть для некоторого k ? 1,K элемент (допускает продолжение вдоль контура ?
az
k?1
? ?
ab
, в результате чего получен элемент (B
|z
k?1
|
(z
k?1
),h
k?1
)
. Покажем, что элемент (допускает аналитическое продолжение вдоль следующей части контура ?
ab
166

џ 21. Полные аналитические функции логарифма и корня
В самом деле, так как |z
k?1
? z
k
| < d 6 |z
k?1
|
, то z
k
?
? B
|z
k?1
|
(z
k?1
)
. Определим в круге регулярную ветвь
h
k
функции Ln z по ее значению в центре круга, те. пусть) = h
k?1
(z
k
)
. Тогда) ? h
k?1
(z
k?1
) = ln |z
k
| ? ln |z
k?1
| + i?
?
zk?1zk
arg z Отсюда следует, что h
k
(z) = во всех точках z из непустого множества B
|z
k?1
|
(z
k?1
) ? B
|z
k
|
(z
k
)
. Это означает, что элемент (есть аналитическое продолжение элемента
(B
|z
k?1
|
(z
k?1
),h
k?1
)
вдоль части контура ?
z
k?1
z
k
. В частности,
мы показали, что при k = 1 элемент (есть аналитическое продолжение элемента (вдоль контура В итоге получаем справедливость первого утверждения теоремы о продолжаемости элемента (вдоль контура. При этом, складывая по всем k выражения (3), получаем формулу (1). Формула (2) была доказана в следствии 2
џ 15.
2. Пусть заданы точка c 6= 0 и произвольный элемент, порожденный многозначной функцией Ln z. Выберем произвольный кусочно-гладкий контур с концевыми точками a и c, причем такой, что 0 6? ?
ac
. Тогда по доказанному в пункте 1 элемент (продолжаем вдоль контура, в результате чего будет получен некоторый новый элемент (B
|c|
(c),e
h
c
)
. Так как функции и являются регулярными ветвями многозначной функции Ln z в круге то существует число ek ? Z такое, что h
c
(z) = e
h
c
(z) + 2?e
ki
, ? z ?
? Если ek = 0, то все доказано. Если ek 6= 0, ток контуру надо добавить контур ?
1
= {z | |z| = |c|}
, по которому производится обход начала координат |ek| раз, причем против хода часовой стрелки при ek > 0, и походу часовой стрелки при

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции e
k < 0
. Тогда аналитическое продолжение элемента (вдоль приведет к элементу (по формуле (Из доказанной теоремы мы получаем
Следствие 1. Полная аналитическая функция Ln z состоит из совокупности элементов вида) + 2?ki), ? a ? C \ {0}, ? k ? где h
a
 некоторая регулярная ветвь многозначной функции в круге Так как справедливо равенство множеств {
n
?
z} = e
1
n
Ln z
, то возможность аналитического продолжения элементов, порожденных многозначной функцией Ln z в C \ {0}, влечет возможность аналитического продолжение элементов, порожденных многозначной функцией {
n
?
z}
. Точнее, из теоремы 1 следует утверждение.
Следствие 2. Зафиксируем произвольные точки a,b ?
? C \ и произвольный элемент (B
|a|
(a),g
a
)
, порожденный многозначной функцией {
n
?
z}
. Этот элемент может быть продолжен вдоль любого кусочно-гладкого контура с началом в точке a и концом в точке b), не проходящего через нуль.
Для полученного в результате такого продолжения элемента
(B
|b|
(b),g
b
)
справедлива формула) = g
a
(a) ·
n
sЇ
Ї
Ї
Ї
b
a
Ї
Ї
Ї
Ї e
i
n
?
?ab
arg Для всякой точки c ? C \ {0} и всякого элемента (порожденного многозначной функцией {
n
?
z}
, найдется такой контур e?
ac
, не проходящий через нуль, что элемент (будет аналитическим продолжением элемента (вдоль контура Следствие 3. Полная аналитическая функция
n
?
z
состо- ит из совокупности элементов вида
і
B
|a|
(a),g
a
(z) · e
i
n
2?k
ґ
, где ? C \ {0}
, k ? 0,n ? 1, а g
a
 некоторая регулярная ветвь многозначной функции в круге B
|a|
(a)
168

џ 21. Полные аналитические функции логарифма и корня
Замечание 1. Мы рассмотрели пример многозначной функции. Стем же успехом, в силу определения многозначной функции {z
b
} = e
b Ln z
, где b ? C  фиксировано, и z 6=
6= 0
, взяв для каждого a 6= 0 элемент вида (B
|a|
(a),h
a
)
, порожденный многозначной функцией Ln z, мы получим элемент, где f
a
(z) = e
bh
a
(z)
, порожденный многозначной функцией {z
b
}
. Аналогично следствию 2 получаем, что всякий элемент (B
|a|
(a),f
a
)
, порожденный многозначной функцией, допускает аналитическое продолжение по любому контуру, не проходящему через точку z = 0.
2. Римановы поверхности. Существует другой способ избавления от многозначности аналитических функций Ln z и, через понятия римановых поверхностей этих функций a). Риманова поверхность Ln z. Рассмотрим плоскость с разрезом, точнее, область C \ (??,0]. Как показано в џ функция Ln z на этой области распадается на бесконечное число регулярных ветвей вида) = h
0
(z) + 2?ki, k ? Z,
h
0
(z) = ln |z| + i arg гл
z,
(5)
где arg гл ? Воспользуемся этим для построения регулярной на специальном множестве функции, принимающей все значения аналитической функции Ln z при z ? C \ {0}. Расширим область определения искомой функции до некоторого множества, которое и будет называться "римановой поверхностью"функции
Ln z
. Для этого по определению будем различать точки z
k
=
= где r > 0, ? ? (??, + ?]) при различных целых значениях k. А именно, с помощью введенной таким образом нумерации из множества C \ {0} получим счетное семейство непересекающихся множеств вида {z | z = re
i?
, r > 0, ? ? (?? + 2?k, ? + где k ? Z. На каждом множестве определим функцию ln r + где = re
i?
? G
k
,
(7)
169

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Сравнивая выражения (5) и (7) убеждаемся, что при каждом функции (5) и (7) совпадают на множестве G
k
\ {z | z = re
i?(1+2k)
, r > 0}
, те. функция регулярна на множестве
?
G
k
Определим множества G
k
\
{z | | Im z > 0}, G
?
k
4
= G
k
\
{z | | Im z < При каждом z ? функция терпит разрыва именно,
справедливы выражения) = lim
G+
k
? ? z
h
k
(?) 6= lim
G?
k
? ? z
h
k
(?),
(9)
h
k
(z) =
lim
G?
k+1
? Из семейства непересекающихся множеств образуем множество, на котором определим функцию h по формуле) = если z ? На множестве G введем следующую систему окрестностей его точек. Если a ?
?
G
k
, Re a < 0, то окрестностью этой точки назовем любой круг вида
B
?
(a),
где ? ? (0,| Im Если a ?
?
G
k
, Re a > 0, то окрестностью этой точки a назовем любой круг вида
B
?
(a),
где ? ? Если же a ? G
k
\
?
G
k
, то, выбирая любое ? ? (0,|a|), окрестность этой точки определим по формуле ? G
+
k
| |z ? a| < ?}
[
{z ? G
?
k+1
| |a e
2?i
? z| < При таком задании системы окрестностей на множестве G получаем, что определенная выше функция h в силу выраже-
170

џ 21. Полные аналитические функции логарифма и корня ний (9) (13) является непрерывной функцией, а в силу теоремы из џ21 она будет также и регулярной на множестве Множество G с указанной системой окрестностей называется римановой поверхностью аналитической функции Ln Рис. Для наглядного представления римановой поверхности G в каждом множестве введем разрез по линии разрыва функции с соответствующими верхним берегом разреза l
+
k
=
= и нижним берегом разреза l
?
k
= {z | z = re
i?
, ? =
= ?(?1 + см. рис. Очевидно для любого k ? Z справедливо равенство l
+
k
=
= l
?
k+1
, которое вместе с заданием окрестностей вида (13) означает склейку верхнего берега разреза листа с нижним берегом разреза листа см. рис. Рис. Рис. 42 2 b). Риманова поверхность корня.
На области C \ (??,0] существуют две регулярные ветви многозначной функции вида) гл z+2?k)
, k ? 0,1.
(14)
171

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Для получения регулярной функции, принимающей все значения аналитической функции, расширим ее множество определения, а именно рассмотрим два непересека- ющихся множества и G
1
, задаваемые формулами (6) (при ? 0,1
). На каждом определим функцию где z = re
i?
? G
k
, k ? При каждом k ? 0,1 функция совпадает с функцией (на множестве, те. там она является регулярной функцией.
При этом в каждой точке z ? функция терпит разрыва именно, справедливы выражения) = lim
G+
k
? ? z
g
k
(?) = ? lim
G?
k
? ? точнее, имеем) =
lim
G?
0
? ? ze?2?i
g
0
(?), z ? G
1
\
?
G
1
,
(16)
g
0
(z) =
lim
G?
1
?
? ze2?i
g
1
(?), z ? Определим множество G = и, как в случае римановой поверхности логарифма, в соответствии с формулами) определяем систему окрестностей точек a из
?
G
k
по формулами) (где k ? 0,1), для точек a из по формулам (13) (при k = 0), а для точек a ? следующим образом ? G
+
1
| |z ? a| < ?}
[
{z ? G
?
0
| |a e
?2?i
? z| < На множестве G c определенной выше системой окрестностей зададим функцию) = если z ? G
k
, k ? Эта функция принимает все значения аналитической функции. Мы специально так подобрали систему окрестностей на чтобы функция g была на множестве G непрерывной, а в силу следствий 2, 3 функция g будет регулярна на множестве G.
172

џ 21. Полные аналитические функции логарифма и корня
Определенное выше множество G называется римановой поверхностью аналитической функции
?
z
Приведенный выше выбор окрестностей во множестве можно наглядно изобразить как специальную склейку двух листов
?
G
0
и
?
G
1
по берегам разреза, сделанного на интервале. При этом верхний берег разреза множества нужно склеить с нижним берегом разреза множества G
0
, а верхний берег разреза множества нужно склеить с нижним берегом разреза множества см. рис. 42).
173

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции 22. Особые точки аналитических функций
В џ 12 мы рассмотрели изолированные особые точки регулярных функций, которые называют еще особыми точками однозначного характера. При разборе примеров полных аналитических функций Ln z ив џ 21 мы показали, что эти аналитические функции существуют в области 0 < |z| < ?, те. точки и ? тоже являются особыми, но уже нового типа. Обобщим классификацию особых точек для аналитических функций.
?
az
B
r
(a)
a
z
b
Рис. Определение 1. Пусть аналитическая функция F содержит элемент
(B
r
(a),f
a
)
с центром в точке a ? C, и пусть существует кусочно-гладкий контур с началом в точке a икон- цом в точке b ? C такой, что элемент
(B
r
(a),f
a
)
может быть продолжен вдоль любой части контура при z ? ?
ab
\ {b}
, ноне продолжаем вдоль всего контура те. не существует элемента (с центром в точке b, являющегося аналитическим продолжением элемента
(B
r
(a),f
a
)
вдоль контура ?
ab
). Тогда точка b называется особой точкой аналитической функции F см. рис. Пусть точка b = ? такова, что при замене переменного в элементах данной аналитической функции F(z) получаем аналитическую функцию і, у которой точка ? = оказалась особой точкой. Тогда точка b = ? называется особой точкой аналитической функции Иногда, когда это требует уточнения, "особой точкой"будем называть пару, состоящую из точки b и указанного в определении контура Отметим, что полюс и существенно особая точка регулярной функции удовлетворяют определению 1, а устранимая особая точка не удовлетворяет определению Особая точка аналитической функции, заданной в области,
как правило, является граничной точкой области определения аналитической функции.
Поясним это на примере

џ 22. Особые точки аналитических функций
Пример 1. Пусть функция f
0
(z) задана в круге, где функция h есть регулярная в круге ветвь многозначной функции Ln z такая, что h(1) = 0. Аналитически продолжая элемент (вдоль верхней полуокружности {z | z = e
is
, s ? [0,?]}
, получаем значение h(?1) = i?, т. е.
в особой точке (аналитической функции F, порожденной элементом (B
1
(1),f
0
)
, будет полюс (см. рис. 44).
x
y
0 1
?1 Рис. Аналитически продолжая элемент (вдоль нижней полуокружности ?
2
= {z
Ї
Ї z = e
?is
, s ? [0,?]}
, получаем элемент (со значением f
??
(?1) =
1
?2i?
, те. (есть правильная точка, те. точка z = ?1 является особой и граничной точкой аналитической функции F лишь на одном из листов ее римановой поверхности.
Теорема 1 (КошиАдамар). Пусть степенной ряд ? имеет ненулевой конечный радиус сходимости R. Тогда на границе его круга сходимости существует хотя бы одна особая точка его суммы.
Д ока за тел ь ст во. От противного. Допустим, что на граничной окружности ?
R
= {? | |? ? a| = нет особых точек суммы S(z) ряда (1). Тогда элемент (продолжаем по любому радиусу из центра a в концевую точку ?, лежащую на окружности ?
R
175

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
При этом для каждой точки ? ? существуют число r
?
>
> и круг B
r
?
(?)
, в котором определена регулярная функция
f
?
такая, что элемент (является аналитическим продолжением элемента (Рис. По лемме ГейнеБореля (см. [2]) из покрытия окружности открытыми множествами {B
r
?
(?)}
, ? ? ?
R
, можно выделить конечное подпокрытие, те. конечное множество кругов, k ? 1,K, все еще покрывающее окружность т. е.
?
R
?
K
S
k=1
B
r
k
(?
k
)
).
Определим область G
4
= и для каждого обозначим через (элемент, полученный продолжением элемента (по радиусу [a,?
k
]
. Определим аналитическую функцию =
(
(B
R
(a),S),
(B
r
k
(?
k
),f
k
), ? k ? Покажем, что аналитическая функция F однозначна и регулярна в области G.
176

џ 22. Особые точки аналитических функций
Допустим, что номера k и m таковы, что B
r
k
(?
k
)?B
r
m
(?
m
) 6=
6= Тогда множество B
R
(a) ? B
r
k
(?
k
) ? не пусто
(см. рис. 45) и по определению аналитического продолжения внутри круга получаем) = S(z) = при всех ? B
R
(a) ? B
r
k
(?
k
) ? В силу теоремы единственности регулярной функции (см. џ из равенства (2) получаем) = при всех ? B
r
k
(?
k
) ? Таким образом, аналитическая функция F однозначна и регулярна в области Определим число inf{|z ? ?| | z ? B
R
(a), ? ? C \ Очевидно, что число r > 0, и справедливо включение) ? G
. Поэтому функция F определена и регулярна в круге B
R+r
(a)
. По формуле Тейлора функция F в круге
B
R+r
(a)
представима в виде сходящегося степенного ряда) =
+?
X
k=0
F
(k)
(a)
k!
(z ? Так как F(z) = S(z) при всех z ? B
R
(a)
, то справедливо равенство, темы получили, что ряд (сходится в круге B
R+r
(a)
, что противоречит определению радиуса сходимости R. Таким образом, допущение об отсутствии на граничной окружности ?
R
= {? | |? ? a| = особых точек суммы S(z) ряда (1) не верно.
Следствие 1. Радиус сходимости R степенного ряда (при условии, что 0 < R < +?, равен расстоянию от точки до ближайшей особой точки суммы S ряда (1) Пример 2. Не вычисляя коэффициентов степенного ряда функции + 3)(z
2
+ 2)
=
+?
X
n=0
c
n
z
n
,
177

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции можно сразу сказать, что его радиус сходимости равен, так как ближайшими к точке z = 0 особыми точками являются полюсы Замечание 1. Сходимость ряда (1) в точке границы его круга сходимости не связана стем, является ли данная точка особой или нет. Поясним это на примерах.
Пример 3. Ряд
+?
P
n=0
z
n
сходится в круге к функции и расходится в каждой точке окружности |z| = 1, а особой точкой суммы ряда является лишь одна точка z = Пример 4. Ряд + сходится в круге к функции S(z) = ?z + (1 + z)h
0
(1 + где h
0
(z) = ln |z|+i arg гл, игл см. пример 4 џ при этом очевидно, что ряд (3) абсолютно сходится в любой точке окружности |z| = Упражнение. По теореме 1 на окружности |z| = являющейся границей его круга сходимости, ряд (3) должен иметь по крайней мере одну особую точку. В тоже время этот ряд в каждой точке круга |z| = 1 сходится. Нет ли здесь противоречия Где особая точка?
Для ответа на последний вопрос определим новый тип особых точек аналитических функций.
Определение 2. Пусть задана точка a ? C, и пусть аналитическая функция F определена в ее проколотой окрестности
?
B
R
(a)
и неоднозначна в этой окрестности. Тогда точка a называется точкой ветвления аналитической функции Рис. Расшифруем определение Пусть точка a ? C. Пусть задана функция, регулярная в односвязной области) \ [a,b)
, те. в круге с разрезом по радиусу [a,b). Выберем круг B
r
(a
1
)
, содержащийся в области B
R
(a) \ [a,b)
. Пусть элемент

џ 22. Особые точки аналитических функций
(B
r
(a
1
),f
0
)
продолжаем вдоль любого контура, лежащего в области и начинающегося из точки a
1
. Если получаемая при этом продолжении аналитическая функция F многозначна, то точка z = a является точкой ветвления аналитической функции F см. рис. Пример 5. Точки 0,? являются точками ветвления аналитических функций Ln z и. В самом деле, по формулам при e? = {z | |z| = |a| > 0} после одного обхода окружности против хода часовой стрелки получаем другие значения элементов e
h
a
(a) = h
a
(a) + 2?i,
e
g
a
(a) = g(a) · Упражнение. Покажите, что точка ветвления аналитической функции является особой точкой этой аналитической функции в смысле определения Определение 3. Пусть a  точка ветвления аналитической функции F. Пусть (B
r
(a
1
),f
0
)
 любой элемент с центром в точке функции F. Если существует наименьшее число m ? N, m > 2, такое, что в результате аналитического продолжения элемента (по окружности, лежащей в, с центром в точке a или в точке 0, если a = ? причем с кратным ее обходом, получаем конечный элемент, эквивалентный элементу (B
r
(a
1
),f
0
)
, то говорят,
что точка a есть точка ветвления алгебраического порядка В противном случае, если нет такого конечного m, то говорят,
что точка a есть точка ветвления логарифмического порядка.
Пример 6. Продолжая разбор примера 5, из формул (получаем, что у функции
?
z
точки 0 и ? суть точки ветвления го порядка, ау функции Ln z точки 0 и ? суть точки ветвления логарифмического порядка.
Пример 7. Рассмотрим аналитическую в C \ {1} функцию 8
?
z?1
, которая имеет элемент (B
1
(2),f
0
)
, где регулярная функция определена по формуле) =
1 8
p
|z ? 1|
e
?
i
8
(?
?2z
arg(z?1))
.
179

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Продолжая элемент (по окружности |z ? 1| = 1, получаем, что точки z = 1,?  точки ветвления го порядка.
Пример 8. Рассмотрим аналитическую в C \ {0} функцию cos
?
z
. Для этого возьмем элемент (аналитической функции
?
z
такой, что g
0
(1) = При однократном обходе точки 0 по замкнутому контуру значение функции меняется назначение, а функция в силу четности cos z не меняется, те. аналитическая функция однозначна в C, причем точка z = ?  существенно особая точка, а точка z = 0  правильная точка (т. е.
точка, где функция регулярна. Это же видно из разложения функции в степенной ряд cos
?
z = 1 ?
z
2!
+
z
2 4!
? . . . Пример 9. Рассмотрим аналитическую в C \ {0} функцию sin
?
z
. Любой ее элемент можно представить в круге B
|a|
(a)
,
a 6= 0
, в виде регулярной функции sin
?
z = g
0
(z)
µ
1 ?
z
3!
+
z
2 5!
? . . .
¶
= g
0
(z) · f где (B
|a|
(a),g
0
)
 элемент аналитической функции, а f регулярная в C функция. Таким образом, аналитическая функция, как и функция, имеет точки ветвления го порядка в точках 0 и Пример 10. Функция sin
?
z
?
z
, доопределенная в точке z = по непрерывности, будет целой функцией (см. пример 9).
180

џ 23. Принцип аргумента. Теорема Руше
џ 23. Принцип аргумента. Теорема Руше
Теорема 1. Пусть задана односвязная область G и замкнутый простой кусочно-гладкий положительно ориентированный контур
?
?
в области G. Пусть функция f : G ? C регулярна в G \
µ
s
S
k=1
a
k
¶
, где {a
k
}
s
k=1
 полюсы функции f, причем все
{a
k
}
лежат внутри контура. Пусть f(z) 6= 0 при всех z Тогда справедлива формула 2?i
Z
?
?
f
0
(z)
f (z)
dz = N ? где N и P  число нулей и полюсов функции f внутри контура
?
?
с учетом их порядков.
Д ока за тел ь ст во. Так как f(z) 6? 0, то по теореме единственности функция f внутри контура
?
?
может иметь лишь конечное число нулей. Обозначим через b
1
,b
2
, . . . все нули функции f внутри контура
?
?
(если они существуют).
Для всякого нуля b = порядка m функции f в некоторой окрестности справедливо представление (z) = (z ? где функция g регулярна и g(z) 6= 0 при всех z ? B
?
(b)
. Тогда в проколотой окрестности
?
B
?
(b)
получаем
f
0
(z)
f (z)
=
m(z ? b)
m?1
g(z) + (z ? b)
m
g
0
(z)
(z ? b)
m
g(z)
=
m
z ? Так как функция
g
0
(z)
g(z)
регулярна в окрестности B
?
(b)
, тот. е. вычет в каждой точке b, являющейся нулем функции равен порядку этого нуля.
Для всякого полюса a = порядка l в силу следствия 1 џ в некоторой окрестности имеем представление функции

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции (z) =
p(z)
(z ? где функция p регулярна и p(z) 6= 0 при всех z ? B
?
(a)
. Тогда,
проведя вычисления, в проколотой окрестности
?
B
?
(a)
получа- ем (z)
=
?l
z ? Так как функция
p
0
(z)
p(z)
регулярна в окрестности B
?
(a)
, тот. е. вычет в каждой точке a, являющейся полюсом функции равняется порядку этого полюса со знаком минус. По теореме о вычетах, суммируя вычеты по всем особым точкам интегрируемой в (1) функции, те. по всем нулями полюсам функции получаем в итоге формулу (Геометрический смысл теореме 1 придает следующее след- ствие.
Следствие 1 (Принцип аргумента. В условиях теоремы справедлива формула 2?
?
?
?
arg f (z) = N ? где N и P  числа нулей и полюсов функции f с учетом их порядков, принадлежащих ограниченной области D, границей которой является контур
?
?
Д ока за тел ь ст во. В силу условий теоремы 1 кривая f (
?
? есть замкнутый кусочно-гладкий контур и 0 6? В силу определения 1 џ 16 имеем f (z) = ?
[0,1]
arg f (z(t)) = ?
?
0
arg где z = z(t), t ? [0,1]  некоторая кусочно-гладкая параметризация контура, причем z(0) = z(1).
182

џ 23. Принцип аргумента. Теорема Руше
Так как f(z(0)) = f(z(1)), то элементарной проверкой убеждаемся (см, например, формулу (21) џ 15) в том, что ln |w|
Ї
Ї
f (z(1))
w=f (z(0))
= Отсюда и по теореме 1 из џ 14 получаем w В свою очередь, выражая контур через параметризацию = f (z(t))
, t ? [0,1], получаем) dt
f (z(t))
=
Z
?
?
f
0
(z)
f Таким образом, в силу выражений (8), (9), (10) получим (z)
dz = i?
?
?
arg f В итоге из теоремы 1 и равенства (11) получаем формулу (Теорема 2 (Руше). Пусть заданы регулярные водно- связной области G функции f,g : G ? C и замкнутый простой кусочно-гладкий контур ? G
, такие, что справедливо неравенство Тогда функция f и функция h
4
= f + имеют в области ограниченной контуром, одинаковое число нулей с учетом их порядков.
Д ока за тел ь ст во. В силу условия (12) получаем, что (z) 6= при всех z ?
?
?
, и |h(z)| > |f(z)| ? |g(z)| > 0, те при всех z Обозначим через и числа нулей функций f ив области D с учетом их порядков. По теореме 1 в силу леммы 1 183

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции 16 получаем 2?
?
?
?
arg h(z) =
1 2?
?
?
?
arg
·
f (z)
µ
1 +
g(z)
f (z)
¶ё
=
=
1 2?
?
?
?
arg f (z) +
1 2?
?
?
?
arg
µ
1 +
g(z)
f Оценим второе слагаемое в равенстве (13). Функция w =
= 1 +
g(z)
f определена на контуре, и при движении поэтому контуру ее значения описывают некоторую замкнутую кривую. В силу неравенства (12) кривая e? принадлежит области Рис. 47
|w ? 1| =
Ї
Ї
Ї
g(z)
f (z)
Ї
Ї
Ї < 1
, те. кривая e? принадлежит односвязной области |w ? 1| < 1, не содержащей точки нуль (см. рис. 47). Поэтому, например, в силу леммы 2 џ 16 (в которой нужно взять f(z) ? z) справедливо равенство ?
e
?
arg w = 0