Учебник москва мфти 2014
 Скачать 1.39 Mb.
|
|
i(sin ? 1 cos ? 2 + sin ? 2 cos откуда в силу известных формул тригонометрии получаем |z 1 ||z 2 | (cos(? 1 + ? 2 ) + i sin(? 1 + ? 2 )) Таким образом, показали, что при перемножении комплексных чисел модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются, те В формуле (12) записано равенство множеств, причем под суммой множеств A и B понимается сумма Минковского, темно- жество вида A + B 4 = {a + b | a ? A, b ? Аналогично тому, как это делалось для действительных чисел, для комплексных чисел определяется понятие натуральной степени n числа z, а из формулы (10) получаем так называемую формулу Муавра вида |z| n (cos n? + i sin n?). (13) 12 џ 1. Комплексные числа Введем обозначение 4 = cos ? + i sin называемое формулой Эйлера. В силу (14) тригонометрическая форма комплексного числа принимает вид = В силу формулы (10) получаем равенство e i? 1 · e i? 2 = = e i(? 1 +? 2 ) , а формула Муавра (13) принимает вид Также легко проверить, что при z 1 6= справедлива следующая формула деления комплексных чисел, ? k ? Arg Для нахождения операции, обратной к операции возведения в натуральную степень, рассмотрим уравнение относительно вида где число a ? C и натуральное число n > 2 заданы, причем 6= Для решения уравнения (18) представим числа z ив форме, те и z = |z|e i? , где ? ? Arg a. Тогда, учитывая) и неоднозначность выбора аргумента комплексного числа, получаем) ?? |z| n e in? = |a|e i? ?? ( |z| n = |a| n? = ? + 2?k, ? k ? Z ? ?? |z| = n p |a|; ? k = ? n + 2?k n , k ? Z. (19) 13 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции Множества решений (19) уравнения (18) будем обозначать { n ? a} и называть корнем й степени комплексного числа Итак, мы получили формулу = = Ѕ n p |a| µ cos µ ? n + 2k? n ¶ + i sin µ ? n + 2k? n ¶¶ | k ? 0,n ? В формуле (20) мы учли, что множество решений (19) состоит ровно из n различных комплексных значений. Так, например, при k = n в (19) получается тоже комплексное число, что и при k = 0, и т. д. Пример 1. Найти { 4 ? i} . По формуле (20) получаем = Ѕµ cos µ ? 8 + 2k? 4 ¶ + i sin µ ? 8 + 2k? 4 ¶¶ | k ? 0,3 ѕ . x y 0 ? 8 Рис. Изобразим эти значения в виде точек на комплексной плоскости см. рис. 2). Видно, что все значения корня лежат на единичной окружности, так каких модули равны 1 и являются вершинами квадрата. В общем случае множество (20) образует вершины правильного угольника, вписанного в окружность радиуса n p |a| У пр аж не ни е 1. Подумайте, чем определение произведения комплексных чисел по формуле (2) на ваш взгляд лучше, чем, например, следующее определение произведения x 1 x 2 + iy 1 y 2 ? 14 џ 2. Пределы. Ряды. Расширенная комплексная плоскость. Функции 2. Пределы. Ряды. Расширенная комплексная плоскость. Функции комплексного переменного x y 0 z 0 B r (z 0 ) Рис. Чтобы определить сходимость последовательности точек на комплексной плоскости C, нужно уточнить понятие окрестности точки. Так как является евклидовым пространством, тов качестве простейшей окрестности произвольной точки z 0 ? выбираем круг с центром произвольного радиуса r > 0, который обозначаем При этом проколотой окрестностью точки z 0 ? называем множество вида {z | 0 < |z ? z 0 | < r} Будем обозначать {z | |z ? z 0 | 6 замкнутый круг с центром в точке радиуса r > 0 (см. рис. Остаются в силе основные понятия математического анализа, связанные со сходимостью в R 2 . Напомним их. Пусть z 1 ,z 2 , . . . ,z n , . . . последовательность комплексных чисел, где z n 4 = x n + iy n , n ? N, которую кратко записываем как или Определение 1. Число A = a+ib ? C называется пределом последовательности {z n } , если ? ? > 0 ? N(?) ? N такое, что > N справедливо включение z n ? B ? (A) . Обозначаем = или z n ? Утверждение 1. A = lim n?? z n ?? ? ? ? lim n?? x n = a, lim n?? y n = b. (3) 15 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции Д ока за тел ь ст во следует из очевидных неравенств A| 6 |x n ? a| + |y n ? b|; |x n ? a| 6 |z n ? A|; |y n ? b| 6 |z n ? Упражнение. Докажите, что если z n ? A , то ? |A| , и что обратное верно при A = 0, однако при A 6= изв общем случае не следует сходимость z n ? В силу утверждения 1 для последовательностей комплексных чисел сохраняются известные свойства последовательностей действительных чисел и их пределов (о сумме, произведении, частном, критерий Коши). Определение 2. Скажем, что последовательность сходится (стремится) к бесконечности (обозначаем z n ? или lim n?? z n = ? ), если ? > 0 ? N (?) ? N, ? n > N (?) |z n | > Это определение будет следовать из определения 1 при A = = ? , если окрестность бесконечности определить как дополнение круга B ? (0) , те. множество вида {z | |z| > ?} Определение 3. Комплексная плоскость C, пополненная присоединением к ней единственной бесконечно удаленной точки и системой ее окрестностей (4) (те. сходимостью к ? по определению 2), называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается При этом обозначим B ? (?) 4 = ? B ? (?) ? Замечание 1. В силу определений сходимости в C по определениями следует, что C есть компактное пространство, т. е. из любой последовательности {z n } ? можно выделить сходящуюся подпоследовательность. В самом деле, если ограничена, то наличие сходящейся подпоследовательности известное свойство ограниченной последовательности на плоскости теорема Больцано Вейерштрасса. Если не ограничена, то для всякого числа k ? ? существует номер такой, что |z n k | > k , темы выделили подпоследовательность такую, что z n k ? ? 16 џ 2. Пределы. Ряды. Расширенная комплексная плоскость. Функции Расширенную комплексную плоскость C и ее компактность наглядно иллюстрирует так называемая сфера Римана. Дадим строгие определения. Поместим комплексную плоскость C в действительное трехмерное евклидово пространство R 3 = {(?,?,?)} , совместив ее с плоскостью ? = 0 (те. для всякой точки z = x + iy ? C имеем = x , ? = y, ? = 0). Рассмотрим в сферу S, касающуюся комплексной плоскости C в точке O = (0,0,0), радиуса 2 . Уравнение такой сферы S имеет вид+ ? 2 + ? 2 = Обозначим через P точку на сфере S, диаметрально противоположную точке O = (0,0,0), те. Каждому числу = x + iy ? сопоставим некоторую точку Z ? S, а именно, точку пересечения сферы S с отрезком прямой с концами в точках P и (Уравнение этого отрезка, очевидно, следующее = tx, ? = ty, ? = 1 ? t, t ? [0,1]. (6) y = ? ? 0 x = ? C S P z = x + Рис. Найдем точку Z пересечения отрезка со сферой как решение системы уравнений (5), (6): t 2 |z| 2 + 1 ? 2t + t 2 = 1 ? t, 17 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции те+ откуда координаты точки Z = (?,?,?) находим по формулами обратно по точке Z = (?,?,?), принадлежащей сфере S, можем вычислить точку z = x + iy на плоскости C из выражений = ? 1 ? ? , y = ? 1 ? В силу формул (7), (8) всякой точке z ? C взаимно однозначно сопоставлена точка Z ? S \ P . Условимся считать, что точке P соответствует точка ?. В итоге мы получаем взаимно однозначное соответствие между расширенной комплексной плоскостью C и сферой S, которое называется стереографической проекцией C на S. В дальнейшем мы будем отождествлять C со сферой S, которую и называют сферой Римана. Это вызвано еще и справедливостью следующих свойств стереографической проекции, которые мы приводим без доказательства) Любая прямая или окружность на комплексной плоскости при стереографической проекции переходит в окружность на сфере S. 2) Углы между любыми двумя пересекающимися кусочно- гладкими кривыми на C и углы между их образами на S при стереографической проекции сохраняются. У пр аж не ни е 2. Докажите приведенные выше свойства) и Аналогично случаю действительных чисел определяется понятие числового ряда с комплексными членами. Определение 4. Числовым рядом, образованным последовательностью чисел {z n } , называется последовательность, где S N 4 = N P n=1 z n . Говорят, что этот ряд сходится, если существует конечный предел последовательности {S N } ? N =1 , который называется суммой последовательности или сум- 18 џ 2. Пределы. Ряды. Расширенная комплексная плоскость. Функции мой числового ряда и обозначается +? X n=1 z n . (9) Члены последовательности называются частичными суммами числового ряда. Для краткости символом (9) принято обозначать не только сумму числового ряда, но и сам числовой ряд, образованный последовательностью Из утверждения 1, очевидно, следует Утверждение 2. Числовой ряд +? P n=1 z n сходится тогда и только тогда, когда сходятся два действительных числовых ряда +? P n=1 x n и +? P n=1 y n , где z n = x n + В силу утверждения 2 для таких рядов справедлив критерий Коши, а именно: ряд +? P n=1 z n сходится тогда и только тогда, когда ? > 0 ? N (?) ? N : ? p,m : p > m > N (?) Ї Ї Ї Ї Ї p X n=m z n Ї Ї Ї Ї Ї < Центральным понятием нашего курса является понятие функции комплексного переменного. Определение 5. Говорят, что определена функция f на множестве G ? C, если указан закон, по которому каждому ? ставится в соответствие определенное w ? D ? C. Функцию обозначают : G ? или = f Когда задана функция w = f(z), говорят, что задано отображение множества G во множество D. Множество всех значений при z ? G обозначают Так как каждое значение функции w = f(z) имеет две компоненты, то задание функции f равносильно Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции заданию двух действительных функций u = u(x,y) и v = на плоскости R 2 , те (z) 4 = u(x,y) + где z = x + iy. (12) u v 0 u(x, y) v(x, y) w = f (z) x y 0 f x y z = x + Рис. Определение 6. Точка z 0 ? называется внутренней точкой множества G ? C, если существует число ? > 0 такое, что справедливо включение B ? (z 0 ) ? Определение 7. Точка z 0 ? называется предельной точкой множества G ? C, если для любого числа ? > 0 в проколотой окрестности ? B ? (z 0 ) имеется по крайней мере одна точка (а потому и бесконечно много точек) из G те Определение 8. Пусть заданы функция f : G ? C и точка, предельная для множества G ? C. Число A ? C называется пределом функции f в точке по множеству G, если ? ? > 0 ? ? = ?(?) > такое, что справедливо включение f(z) ? B ? (A) , ? z ? ? B ? (z 0 ) ? Обозначается lim z G ?z 0 f В случае, когда точка является внутренней точкой множества, то множество G не влияет назначение предела и обозначение (13) записывается проще A = lim z?z 0 f Из утверждения 1 следует џ 2. Пределы. Ряды. Расширенная комплексная плоскость. Функции Утверждение 3. Пусть G ? C и A = a + ib ? C. Тогда = lim G z?z0 f (z) ?? ? ? ? ? ? ? ? a = lim (x,y) G ?(x 0 ,y 0 ) u(x,y), b Определение 9. Функция f : G ? C называется непрерывной в точке z 0 ? G , если точка является предельной точкой множества G и ? ? > 0 ? ? = ?(?) > 0 такое, что ? z ? B ? (z 0 ) ? справедливо включение f(z) ? B ? (f Определение 10. Функция f : G ? C называется непрерывной на множестве G, если она непрерывна в каждой точке множества Из утверждения 3 получаем Утверждение 4. Пусть заданы множество G ? C и функция f : G ? C, где f(z) . = u(x,y) + iv(x,y) . Функция непрерывна в точке z 0 ? тогда и только тогда, когда функции непрерывны в точке (x 0 ,y 0 ) ? Замечание 2. В силу утверждения 4 в комплексном анализе сохраняются все свойства непрерывных функций из действительного анализа (о непрерывности суммы, произведения и т. д.). Пример 1. Функция w = z n , n ? N, непрерывна в Пример 2. Функция w = P n (z) Q m (z) , n,m ? N, где) = z n + a n?1 z n?1 + · · · + a 0 , Q m (z) = z m + b m?1 z m?1 + · · · + непрерывна в G = {z | Q m (z) 6= Пример 3. Функция w = |z| непрерывна в Пример 4. Функция w = z непрерывна в Пример 5. Функция w = arg гл z непрерывна в C \ это докажем позже в џ Пусть на множестве G ? C задана последовательность функций {f n (·)} ? n=1 , где f n : G ? C . Аналогично определению вводится понятие функционального ряда, порожденного Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции этой последовательностью и понятия сходимости и суммы этого ряда. Сумма ряда обозначается как +? X n=1 f n (z). (14) Аналогично действительному анализу определяются понятия абсолютной и равномерной сходимости функционального ряда (14). Напомним последнее. Определение 11. Пусть функции f n : G ? C , n ? определены на множестве G и пусть S n (z) 4 = n P k=1 f k (z) . Функциональный ряд (14) называется равномерно сходящимся на множестве G, если он сходится в каждой точке z ? G к некоторому значению S(z), и для любого ? > 0 найдется номер такой, что при любом n > N(?) справедливо неравенство) ? S(z)| < для всех точек z ? В силу утверждений 2 и 3 функциональные ряды обладают всеми свойствами, известными для действительных функциональных рядов. Например, справедлив критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда (14). Как ив действительном анализе доказываются следующие утверждения. Утверждение 5. Сумма равномерно сходящегося на функционального ряда, порожденного последовательностью непрерывных функций комплексного переменного, есть непрерывная на G функция. Утверждение 6 (признак Вейерштрасса. Пусть существует числовая последовательность |