Учебник москва мфти 2014
 Скачать 1.39 Mb.
|
|
{a n } ? R + такая, что |f n (z)| 6 для ? n ? N и ? z ? G и пусть числовой ряд +? P n=1 a n сходится. Тогда функциональный ряд +? P n=1 f n (z) сходит- ся абсолютно и равномерно на G. 22 џ 3. Дифференцирование функции комплексного переменного 3. Дифференцирование функции комплексного переменного Зафиксируем точку z 0 ? и ее окрестность B r (z 0 ) = {z | | |z ? z 0 | < r} , где r > Определение 1. Если функция f : B r (z 0 ) ? такова, что существует конечный предел отношения (z) ? f (z 0 ) z ? при ? то этот предел называется производной функции f в точке и обозначается Пусть ?z 4 = z ? и ?f 4 = f (z) ? f (z 0 ) . Определение означает, что ? ? > 0 ? ? = ?(?) > 0 такое, что для всех ?z: 0 < |?z| < справедливо неравенство Ї Ї Ї Ї ?f ?z ? f 0 (z 0 ) Ї Ї Ї Ї < Отсюда следует, что = f 0 (z 0 )?z + где функция ?(?z), определяемая из равенства (3), в силу (удовлетворяет условию Замечание 1. Функция ?, удовлетворяющая условию (называется малой функцией, что обозначается как Определение 2. Говорят, что функция f : B r (z 0 ) ? дифференцируема в точке z 0 ? C , если справедливо представление где A не зависит от ?z, а функция ?(?z) является В силу изложенного выше очевидно справедлива следующая Лемма 1. Функция f : B r (z 0 ) ? дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда существует производная, причем в формуле (5) число A = f 0 (z 0 ) 23 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции Распишем определение 1 через действительные и мнимые компоненты чисел и функции f(z) = u(x,y) + Пусть z 0 = x 0 + iy 0 , z = x + iy, ?z = ?x + i?y, ?x = x ? x 0 , ?y = y ? y 0 , ?u = u(x,y) ? u(x 0 ,y 0 ) , ?v = v(x,y) ? v(x 0 ,y 0 ) , ?f = ?u + Теорема 1. Для того, чтобы функция f : B r (z 0 ) ? была дифференцируема в точке z 0 = x 0 + iy 0 ? C , необходимо и достаточно, чтобы) функции u(x,y) и v(x,y) были дифференцируемы в точке) ? как функции двух действительных переменных ив точке (были выполнены следующие условия (называемые условиями КошиРимана): ?u ?x (x 0 ,y 0 ) = ?v ?y (x 0 ,y 0 ), ?u ?y (x 0 ,y 0 ) = При этом) = ?u ?x (x 0 ,y 0 ) + i ?v ?x (x 0 ,y 0 ) = ?v ?y (x 0 ,y 0 ) ? Доказательство. Пусть существует производная f 0 (z 0 ) , те. справедливы выражения (4), (5), где A = Обозначим A 4 = a + ib , ?(?z) 4 = ? 1 (?x,?y) + и получим из (5) равенства его действительных и мнимых частей, те+ Из выражения (4) итого, что |? 1 | 6 и |? 2 | 6 |?| , получаем lim (?x, ?y)?(0, 0) ? 1 (?x,?y) p (?x) 2 + (?y) 2 = = lim (?x, ?y)?(0, 0) ? 2 (?x,?y) p (?x) 2 + (?y) 2 = 0, (9) 24 џ 3. Дифференцирование функции комплексного переменного откуда равенства (8) означают дифференцируемость (по определению) функций u(x,y) ив точке (x 0 ,y 0 ) ? R 2 , причем) = a, ?u ?y (x 0 ,y 0 ) = ?b, ?v ?x (x 0 ,y 0 ) = b, ?v ?y (x 0 ,y 0 ) = Используя равенства (10) убеждаемся, что выполнены условия КошиРимана (6), причем) = a+ib = ?u ?x (x 0 ,y 0 )+i ?v ?x (x 0 ,y 0 ) = ?v ?y (x 0 ,y 0 )?i ?u ?y (x 0 ,y 0 ). 2. Пусть функции u(x,y),v(x,y) дифференцируемы в точке (x 0 ,y 0 ) и выполнены условия КошиРимана (6). Тогда = ?u + i?v = ?u ?x ?x + ?u ?y ?y + ? 1 (?x,?y)+ +i µ ?v ?x ?x + ?v ?y ?y + ? 2 (?x,?y) ¶ (6) = (6) = µ ?u ?x + i ?v ?x ¶ (?x + i?y) + ? 1 (?x,?y) + i? 2 (?x,?y) = = A · ?z + где число A = ?u ?x (x 0 ,y 0 ) + i ?v ?x (x 0 ,y 0 ) , функция ? = ? 1 + причем компоненты и удовлетворяют условию (9). Тогда получаем, что Ї Ї Ї Ї ?(?z) ?z Ї Ї Ї Ї 6 |? 1 (?x,?y)| p (?x) 2 + (?y) 2 + |? 2 (?x,?y)| p (?x) 2 + (?y) 2 ? прите. функция f дифференцируема в точке, и верна формула (Аналогично действительному случаю доказываются следующие свойства дифференцируемости функций. Утверждение 1. Если функции f и g дифференцируемы в точке z 0 , тов точке z 0 : a) функция f + g дифференцируема и (f + g) 0 = f 0 + б) функция fg дифференцируема и (fg) 0 = f 0 g + f g 0 , 25 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции в) функция f g дифференцируема, если g(z 0 ) 6= 0 , и і f g ґ 0 = = f 0 g?f Разберем простейшие примеры вычисления производных. Пример 1. Рассмотрим функцию w = z 2 . Исходя из определения, для произвольной точки z 0 ? запишем ?f = (z 0 + + ?z) 2 ? z 2 0 = 2z 0 · ?z + (?z) 2 . Очевидно, что ?f/?z = 2z 0 + + ?z ? прите. функция дифференцируема и) = Проверим дифференцируемость этой же функции с помощью теоремы 1. Здесь u(x,y) = x 2 ? и v(x,y) = 2xy. Вычисляя частные производные 2x = ?v ?y , ?u ?y = ?2y = убеждаемся в том, что условия теоремы 1, в том числе условия КошиРимана (6), выполнены всюду, те. функция w = дифференцируема при каждом z ? C, причем по формуле (получаем, что w 0 = 2x + i2y = Пример 2. Рассмотрим функцию w = |z| 2 . У нее u(x,y) = = x 2 + и v(x,y) = 0. Вычисляя частные производные, получаем Отсюда видим, что условия КошиРимана (6) будут выполнены лишь при условии, что x = y = 0, те. функция w = дифференцируема лишь в точке z 0 = 0 , несмотря на то, что функции u(x,y) и v(x,y) являются бесконечно дифференцируемыми в Пример 3. Рассмотрим функцию w = z = x ? iy. Для нее u(x,y) = x и v(x,y) = ?y. Вычисляя частные производные, получаем ?u ?x = 1, ?v ?y = ?1, ?u ?y = 0, ?v ?x = Убеждаемся, что условия КошиРимана (6) не выполнены нив одной точке z ? C, те. функция всюду не дифференцируема џ 3. Дифференцирование функции комплексного переменного Более сложные примеры дифференцируемых функций разберем позже. Следствие 1. Условия КошиРимана (6) очевидно эквивалентны следующим трем условиям на векторы grad u = = і ?u ?x , ?u ?y ґ и grad v = і ?v ?x , ?v ?y ґ из R 2 : 1) эти векторы имеют одинаковую длину, те) эти векторы ортогональны, те) вектор grad v повернут на угол ? 2 против хода часовой стрелки по отношению к вектору grad Геометрические условия 13 позволяют найти другие формы представления условий КошиРимана (6). Рассмотрим два взаимно перпендикулярных единичных вектора n и l на плоскости стой же взаимной ориентацией, что и базисные векторы (и e 2 = (0,1) , идущие по осями Раскладывая векторы grad u и grad v по новому базису из векторов n и l, получаем grad u = ?u ?n n + ?u ?l l, grad v = ?v ?n n +Условия 1)3) в силу формул (11) эквивалентны общей форме условий КошиРимана вида Для демонстрации формул (12) в плоскости зададим полярные координаты (см. формулы (6) в џ 1), вследствие чего получаем функции eu(r,?) = u(x,y) и ev(r,?) = v(x,y). Для любой фиксированной точки z 0 = r 0 e i? 0 , где r 0 > 0 , определим нормальный вектор n = (cos ? 0 , sin и касательный вектор l = (? sin ? 0 , cos к окружности {z | |z| = в точке и придем к выражениям (grad u,n) = ?u ?x cos ? 0 + ?u ?y sin ? 0 = ?e u ?r , ?u ?l = (grad u,l) = ?u ?x (? sin ? 0 ) + ?u ?y cos ? 0 = 1 r ?e u ?? , 27 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции откуда в силу (12) получаем условия КошиРимана в полярных координатах вида Замечание 2. В дальнейшем, как правило, будем употреблять сокращенную форму записи частных производных функций, например, будет писать вместо, или вместо џ 4. Регулярные функции. Гармонические функции 4. Регулярные функции. Гармонические функции Так как множество комплексных чисел C есть евклидово пространство с дополнительной операцией умножения, то и основные понятия множеств в можно перенести на комплексную плоскость C. Аналогично вводятся понятия окрестности точки что уже сделано в џ 2), открытого множества (для каждой его точки найдется ее окрестность, принадлежащая этому множеству, замкнутого множества (оно содержит все свои предельные точки, области (те. открытого и связного множества, односвязной области (те. области, у которой любой простой замкнутый контур, целиком лежащий в ней, может быть непрерывной деформацией стянут в точку, оставаясь внутри области). Приведем простейшие примеры областей. Круг B 1 (0) = {z | |z| < есть односвязная область в Окрестность бесконечности) = {z | |z| > 1} , проколотая окрестность нуля) = {z | 0 < |z| < и кольцо | 1 < |z| < суть примеры неодносвязных областей в В расширенной комплексной плоскости C эти определения сохраняются, за исключением того, что здесь появляется дополнительная возможность непрерывной деформации через осуществляемой на сфере Римана, что приводит к расширению в C понятия односвязной области. Так, например, область B 1 (?) в плоскости C является односвязной. Замечание 1. Мы неприводим строгого определения односвязной области в C, которое при желании можно найти, например, в книге [10] ч. 1, гл. 1, џ Определение 1. Пусть G область в C. Функция f : G ? ? называется регулярной (или голоморфной или аналитической) в области G, если она дифференцируема на G и ее производная f 0 : G ? является непрерывной функцией. Говорят, что функция f регулярна в точке z 0 , если она определена и регулярна в некоторой окрестности этой точки. Говорят Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции что функция f : D ? C регулярна на множестве D ? C, если функция f регулярна в каждой точке множества Как показано в примере 1 из џ 3, функция w = всюду дифференцируема, итак как ее производная w 0 (z) = непрерывна, то w = регулярна во всей комплексной плоскости Функция жене регулярна нив какой области и нив какой точке. Аналогично рассмотрим функцию w = z n , n ? N, n > 2. По определению производной получаем) = lim ?z?0 (z + ?z) n ? z n ?z = = lim ?z?0 n · ?z · z n?1 + (?z) 2 (. . . ) ?z = те. производная всюду существует и непрерывна, поэтому w = = регулярна во всей плоскости Рассмотрим более сложные примеры регулярных функций. Определение 2. Определим экспоненциальную функцию комплексного переменного по формуле 4 = e x (cos y + i sin где z = x + В стандартных обозначениях компонент функции f = получаем следующие действительную и мнимую части экспоненциальной функции u(x,y) = e x cos y , v(x,y) = e x sin y , причем Очевидно, что функция (1) непрерывна и является периодической с периодом Легко проверить равенства частных производных e x cos y = v y , u y = ?e x sin y = те. частные производные непрерывны и выполнены условия КошиРимана (6) из џ 3 всюду. По теореме 1 џ 3 существует производная функции e z , причем по формуле (7) из џ 3 она равна u x + iv x = e x cos y + ie x sin y = те регулярна во всем пространстве C. 30 џ 4. Регулярные функции. Гармонические функции Определение 3. Определим тригонометрические функции и cos z комплексного переменного по формулам sin z 4 = e iz ? e ?iz 2i , cos z 4 = e iz + Заметим, что прите. когда z является действительным числом) равенства (3) непосредственно следуют из формулы Эйлера (см. џ В силу определения 3 из регулярности экспоненты (1) очевидно следует регулярность функций sin z и cos z как суммы регулярных функций. Из формул (1), (3) легко получить формулы для производных Более того, из определений 2 и 3 легко доказать справедливость основных элементарных свойств тригонометрических функций, известных в действительном анализе. Например + cos 2 z = 1, sin(z 1 + z 2 ) = sin z 1 cos z 2 + sin z 2 cos Из периодичности экспоненты получаем, что функции sin z и cos также являются периодическими с периодом Упражнение. Проверьте равенства (4) и (Однако в отличие от действительного случая функции sin и cos z не ограничены на C. В самом деле, найдем, например, действительную и мнимую части функции sin z: sin z = sin(x + iy) (5) = sin x cos iy + cos x sin iy = = sin x ch y + i cos x sh Отсюда sin z| = q sin 2 x ch 2 y + cos 2 x sh 2 y = = q (1 ? cos 2 x) ch 2 y + cos 2 x(ch 2 y ? 1) = q ch 2 y ? те при y ? ?, а поэтому функция sin z не ограничена Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции У пр аж не ни е 2. Рассмотрим функцию w = f(z) = = e ?1/z 4 , при z 6= 0 и f(0) = 0. Покажите, что данная функция удовлетворяет условиям КошиРимана (6) изв точке 0 , но тем не менее не дифференцируема в точке z 0 = Не противоречит ли это теореме 1 џ Определение 4. Функция u = u(x,y) действительных переменных и y, определенная и дважды непрерывно дифференцируемая в области G ? те, называется гармонической в G, если ? (x,y) ? G: ?u 4 = ? 2 u ?x 2 + ? 2 u ?y 2 = Теорема 1. Пусть функция w = f(z) = u(x,y) + регулярна в области G и функции u(x,y),v(x,y) ? C 2 (G) . Тогда функции u(x,y) и v(x,y) суть гармонические функции в Доказательство. В самом деле, из условий Коши Римана ?u ?x = ?v ?y , ?u ?y = получаем по определению оператора Лапласа ?u: ?u = ? ?x µ ?u ?x ¶ + ? ?y µ ?u ?y ¶ (7) = ? 2 v ?x?y ? ? 2 v ?y?x = 0 Аналогично из условий КошиРимана (7) следует, что ?v = те суть гармонические функции. Замечание 2. В џ 8 покажем, что всякая регулярная вобла- сти функция f дифференцируема в этой области любое число рази поэтому ее компоненты, те. функции u и v, являются бесконечно дифференцируемыми функциями. Поэтому условие теоремы 1 о гладкости функций u и v можно было бы опустить, так как оно следует из условия регулярности функции Определение 5. Две гармонические функции u(x,y) и, связанные соотношениями КошиРимана (7), называются сопряженными. Итак, мы показали, что из регулярности в области функции = u + следует гармоничность ее действительной и мнимой частей u и v. 32 џ 4. Регулярные функции. Гармонические функции Обратное утверждение имеет место при дополнительном условии односвязности области определения функции. А именно Теорема 2. Пусть задана гармоническая функция в односвязной области G ? C. Тогда существует регулярная в области G функция f, для которой u(x,y) = Re Доказательство. Для заданной функции u определим функции (x,y) 4 = Для нахождения функции f достаточно найти функцию) = Im f (z) . Эта функция вместе с функцией u(x,y) обязана удовлетворять условиям КошиРимана (7), те. ищем функцию, решая систему уравнений P (x,y), ?v ?y = Так как функция u является гармонической, то для определенных в формуле (9) функций P (x,y) и Q(x,y) получаем 0, ? (x,y) ? Равенство (10) и односвязность области G ? являются достаточными условиями того, что непрерывно дифференцируемое векторное поле (P (x,y), Q(x,y)) является потенциальным в области G см, например, [6] том 2, глава 13), те. выражение = P dx + Q представляет собой полный дифференциал некоторой непрерывно дифференцируемой (потенциальной) функции v(x,y) в области G, которую можно описать формулой) = (x, y) Z (x 0 , y 0 ) P dx + Q dy + C, 33 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции те. в нашем случаев силуэта функция равна) = (x, y) Z (x 0 , y 0 ) ? ?u ?y dx + ?u ?x dy + при этом интеграл в (11) является криволинейным интегралом второго рода вдоль некоторой ориентированной кривой, лежащей в области G, с началом в некоторой произвольно выбранной начальной точке (x 0 ,y 0 ) ? и концом в точке (x,y) ? Очевидно, что полученная в (11) функция v(x,y) является гармонической в силу выполнения (7), (8), а в силу теоремы 1 џ функция f(z) 4 = u(x,y) + является регулярной в Замечание 3. Аналогично доказательству теоремы 2 доказывается утверждение о том, что для всякой гармонической функции v(x,y), заданной в односвязной области G, существует регулярная функция f такая, что v(x,y) = Im Пример 1. Пусть задана функция u(x,y) = xy. Очевидно, что она гармоническая, те. Найдем функцию v из условий КошиРимана (Из первого условия получаем u x = откуда) = y 2 2 + ?(x) ? Из второго условия и формулы (12) получаем ?u y = те откуда ?(x) = ? x 2 2 + В итоге = y 2 ? x 2 2 + C; f (z) = xy + i µ y 2 ? x 2 2 + C ¶ = ? iz 2 2 + iC. 34 џ 5. Теорема об обратной функции 5. Теорема об обратной функции Сначала отметим следующую теорему о сложной функции. Теорема 1. Пусть заданы две области D ив комплексной плоскости C, две регулярные функции f : D ? C и g : H ? причем выполнено условие, что f(z) ? H для всех z ? D те. Тогда сложная функция ? = g(f(z)) регулярна в области D и справедлива формула дифференцирования) = g 0 (f (z))f 0 (z), ? z ? Доказательство теоремы сводится к проверке формулы. Для этого возьмем произвольную точку z 0 ? и пусть w 0 4 = f (z 0 ) . Приращения функций ?f и ?g по определению дифференцируемости функций принимают вид = f 0 (z 0 )?z + o(?z); ?g = g 0 (w 0 )?w + Подставляя во второе равенство в качестве ?w значение из первого равенства, переходя к пределу в выражении g 0 (w 0 ) ?f ?z + o(?f ) ?f ?f ?z , в итоге получаем формулу (1). Так как Рис. по условию теоремы функция непрерывна на H, функции, также непрерывны на области D, то и функция непрерывна на области D, те. функция ? = = g(f регулярна на области Теорема 2 (об обратной функции. Пусть на области заданы регулярная функция f : G ? C и точка z 0 ? G . Пусть Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции точка w 0 4 = f и пусть выполнено условие f 0 (z 0 ) 6= 0 . Тогда существуют круги B ? (z 0 ) ? и такие, чтоб) Для любой точки b w ? уравнение f(z) = имеет единственное решение bz в круге B ? (z 0 ) , те. на круге существует обратная к функции f функция g : B ? (w 0 ) ? ? те. функция, для которой f(g(w)) = w при любом в) Обратная функция g : B ? (w 0 ) ? регулярна, причем ее производная вычисляется по формуле) = 1 f 0 (g(w)) , ? w ? B ? (w 0 ). (2) u v 0 w 0 B ? (w 0 ) x y 0 z 0 B ? (z 0 ) f ?? g Рис. Доказательство. Пусть z 0 = x 0 + iy 0 , w 0 = u 0 + iv 0 , f (z) = u(x,y) + iv(x,y) . Задание функции f : G ? C эквивалентно заданию отображения = u(x,y) v = v(x,y) : G ? Якобиан отображения (3) в силу условий КошиРимана равен) = Ї Ї Ї Ї u x u y v x v y Ї Ї Ї Ї = Ї Ї Ї Ї Ї u x ?v x v x u x Ї Ї Ї Ї Ї = u 2 x + v 2 x = Отображение (3) непрерывно дифференцируемо, ив силу условия теоремы и формулы (4) получаем, что J(x 0 ,y 0 ) 6= 0 , 36 џ 5. Теорема об обратной функции те. для отображения (3) выполнены условия теоремы об обратном отображении (см, например, [1], џ 12.1, теорема 1, или [9], џ 28, теоремы 23), в силу которой существуют круги и, ? > 0, ? > 0, такие, что J(x,y) 6= 0, ? (x,y) ? и для каждой фиксированной точки (bu,bv) ? система уравнений = u(x,y), b v = имеет в единственное решение, те. существует отображение = x(u,v), y = y(u,v), ? (u,v) ? обратное к отображению (3). Более того, по той же теореме функции x(u,v) и y(u,v) непрерывно дифференцируемы в круге B ? (w 0 ) Отображению (5) на комплексной плоскости C соответствует комплекснозначная функция g : B ? (w 0 ) ? вида = g(w) 4 = x(u,v) + которая в силу задания является обратной к функции f, те Покажем, что функция (6) регулярна в Проверим по определению е дифференцируемость в круге. Выберем произвольную точку b w ? B ? (w 0 ) . Пусть b z ? такова, что f(bz) = b w , те. bz = g( b w) . Выберем произвольную последовательности {w k } ? такую, что w k 6= и w k ? при k ? +?. Покажем, что существует предел lim k?+? g(w k ) ? g( b w) w k ? независящий от выбора последовательности {w k } . Определим g(w k ) k ? N . Тогда z k ? B ? (b z) , f(z k ) = и z k 6= b z . Из непрерывности функции g следует, что z k ? при k ? Так как у функции f существует производная в точке bz, то) = lim k?+? f (z k ) ? f (b z) z k ? b z = lim k?+? w k ? b w z k ? b z 6= 0. 37 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции Поэтому существует предел lim k?+? g(w k ) ? g( b w) w k ? b w = lim k?+? z k ? b z w k ? b w = lim k?+? 1 w k ? который не зависит от выбора последовательности {w k } , т.е. существует производная g 0 ( и справедлива формула (Так как производная f 0 (z) 6= на круге B ? (z 0 ) , а функции f 0 (z) и g(w) непрерывны, тов силу формулы (2) получаем, что функция непрерывна, те) регулярна в круге B ? (w 0 ) Определение 1. Функция f : G ? C называется одно- листной (или взаимно однозначной) на G, если для любых точек z 1 , из G, z 1 6= z 2 , справедливо неравенство f(z 1 ) 6= 6= f Иными словами, функция f : G ? C однолистна тогда и только тогда, когда на множестве G ? = f существует обратная ей функция g : G ? ? C . Из теоремы 2 получаем очевидное следствие. Следствие 1. Пусть функция f : G ? C регулярна и од- нолистна на области G ? C, причем f 0 (z) 6= при всех z ? Тогда множество G ? = f есть область, и обратная функция : G ? ? регулярна на области Доказательство. Рассмотрим произвольную точку b w ? G ? . Тогда существует точка bz ? G такая, что f(bz) = Так как по условию f 0 (b z) 6= 0 , то по теореме 2 существует число такое, что B ? ( b w) ? f (G) = те. множество открыто. Для любых точек w 1 ,w 2 ? существуют точки z 1 ,z 2 ? ? такие, что f(z k ) = при k = 1,2. Так как множество является областью, то существует гладкая кривая ? z 1 z 2 ? с концевыми точками z 1 ,z 2 . Тогда ее образ f(? z 1 z 2 ) ? является гладкой кривой, с концевыми точками w 1 ,w 2 ? G ? . Таким образом доказали, что множество является областью. Так как по теореме 2 функция g : G ? ? регулярна в каждой точке b w ? G ? , то функция g регулярна на Замечание 1. В џ 24 покажем, что в следствии 1 условие) 6= при всех z ? G можно специально не оговаривать џ 5. Теорема об обратной функции так как это условие будет следовать из условия однолистности заданной функции f на области Рассмотрим некоторые примеры элементарных функций и областей их задания, на которых эти функции будут однолист- ными. Пример 1. Рассмотрим функцию w = z n , n ? N, n > В џ 1 мы показали, что функция w = на всей плоскости не однолистна. А именно, показали, что для любого заданного числа w 6= 0 уравнение w = относительно величины z имеет ровно n различных решений Є w+2?k n ) | k ? 0,n ? Определение 2. Пусть задано G ? C. Если каждой точке ? поставлено в соответствие некоторое непустое подмножество из C, то говорят, что на G задана многозначная функция. Многозначные функции будем обозначать заглавными буквами, например, F : G ? 2 C , где означает множество всех подмножеств из В частности, функция ? = F (w) 4 = в силу (8) есть многозначная функция, определенная на всей плоскости Рассмотрим угловую область вида G ?, ? 4 = {z | z 6= 0, ? < < arg z < Очевидно, что угловая область G ?, при отображении w = = отобразится на угловую область G n?, n? , так как число = отобразится в число w = r n e in? . При этом луч l ? 0 4 = 4 = {z | z = re i? 0 , r > 0}, где угол ? 0 ? (?,?) зафиксирован, отобразится на луч l n? 0 4 = {w | w = te in? 0 , t > 0}. Дуга окружности, где радиус r 0 > зафиксирован, отобразится на дугу {w | w = r n 0 e i? , ? ? (n?,n?)}. При этом w 0 (z) = nz n?1 6= в угловой области Выберем область G ?, так, чтобы функция w = была однолистной на ней. Это означает, что нет пары чисел z 1 , из G ?, таких, что z 1 6= и z n 1 = z n 2 . Последнее равенство Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции означает, что r n 1 e in? 1 = r n 2 e in? 2 , те и n? 1 = n? 2 + при некотором k 6= Таким образом, функция z n однолистна на области G ?, если 0 < n? ? n? 6 Выберем ? = ? ? n , ? = ? n . Как показано выше, функция w = = z n однолистно отображает область на область G ? 4 = 4 = см. рис. Рис. Следовательно, существует обратная функция вида = g 0 (w) 4 = |w| 1 n e i arg гл w n , где ? ? < arg гл < Последствию функция g 0 (w) (9) является регулярной функцией на области Определение 3. Пусть F : G ? 2 C многозначная функция и f : G ? C функция (которая по определению одно- точечная) такая, что для любого z ? G значение f(z) содержится во множестве F (z). Тогда говорят, что функция f есть ветвь многозначной функции F . Если к тому же функция непрерывна (или регулярна) на G, то говорят, что функция есть непрерывная (или регулярная) ветвь многозначной функции Таким образом, функция g 0 (w) , определенная формулой, дает пример регулярной ветви многозначной функции { n ? w} на области G ? = C \ (??,0] . По теореме об обратной функции (по формуле (2)) можно вычислить производную этой џ 5. Теорема об обратной функции регулярной ветви (9) многозначной функции в каждой точке w ? G ? , а именно: (g 0 (w)) 0 = 1 nz n?1 Ї Ї Ї Ї z=g 0 (w) = 1 n Так как впоследствии будем изучать различные регулярные ветви многозначной функции { n ? w} , то функцию (9) назовем главной регулярной ветвью многозначной функции Пример 2. Рассмотрим функцию = w(z) 4 = e z 4 = e x (cos y + i sin Как показано в џ 4, эта функция w(z) регулярна на плоскости. Так как |e z | = e x > 0 ? z ? и w 0 (z) = w(z) , тов каждой точке z ? Решая уравнение w = относительно z при фиксированном, из того, что w = и z = x + iy, получаем = e x , y = ? + 2?k ? Arg w, те Определение 4. Множество решений уравнения w = относительно z называется логарифмом w и обозначается w 4 = ln |w| + i Arg Итак, мы получили еще одну многозначную функцию Ln Для однолистности функции в некоторой области G нужно, чтобы ? z 1 ,z 2 ? G , z 1 6= следовало, что e z 1 6= e z 2 . Из равенства получаем e z 1 ?z 2 = 1 = e 2?ki , те. Отсюда для однолистности на G функции необходимо и достаточно, чтобы ? z ? G следовало, что z + 2?i 6? Например, рассмотрим область G 0 4 = {z | ?? < Im z < в которой функция w = по доказанному будет однолистна. Определим образ области при отображении w = Для этого рассмотрим образы простейших кривых) Всякая прямая {z | z = x + iy 0 , ?? < x < ?} ? ? функцией w = отображается на луч l y 0 4 = {w | w = = e x (cos y 0 + i sin y 0 ) , ?? < x < +?}, причем граничные для Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции области прямые {z | z = x ± i?, ?? < x < +?}, отображаются в один луч (??,0). 2) Всякий отрезок {z | z = x 0 + iy , ?? < y < ?} отображается на дугу окружности {w | w = e x 0 e iy , ?? < y < Рис. В итоге получаем, что полоса G 0 однолистно отображается функцией w = на область G ? 4 = C \ см. рис. 9). Следовательно, ее обратная функция h 0 , действующая из области G ? на полосу G 0 , такова, что Im h 0 (w) ? (??,?) , ? w ? G ? . Учитывая формулу (11), отсюда получаем, что) = ln |w| + i arg гл, w ? C \ где arg гл ? Последствию функция регулярна нате. есть регулярная ветвь многозначной функции Ln w. Будем называть ее главной регулярной ветвью многозначной функции w . По теореме 2 вычислим ее производную) = 1 e z Ї Ї Ї Ї z=h 0 (w) = 1 w . (13) У пр аж не ни е 1. С помощью теоремы об обратной функции и следствия 1 покажите, что функция) = ln |w| + i arg w, arg w ? также является регулярной ветвью многозначной функции логарифма в области C \ [0,+?). 42 џ 6. Интегрирование функции комплексного переменного 6. Интегрирование функции комплексного переменного Напомним некоторые определения из математического анализа на плоскости Определение 1. Непрерывной кривой называется геометрическое место точек z комплексной плоскости C, удовлетворяющих некоторому уравнению z = z(t) = x(t)+iy(t), где x(t) и непрерывные функции действительного параметра t на некотором отрезке [t 0 ,t 1 ] . Непрерывная кривая состоит более чем из одной точек. Непрерывная кривая ? называется простой кривой (или кривой Жордана), если различным значениям параметра кроме, быть может, его значений t = и t = t 1 ) соответствуют различные значения z(t). Простая кривая называется замкнутой, если z(t 0 ) = z(t 1 ) Жорданом была доказана теорема о том, что любая простая замкнутая кривая делит расширенную комплексную плоскость C на две односвязные области, внешнюю (содержащую точку z = ?) и внутреннюю. При изменении параметра t на отрезке водном направлении (от кили обратно) точка z(t) совершает обход кривой ?. Выбор направления обхода кривой ? называется ориентацией кривой ?, а кривая с выбранной ориентацией называется ориентированной кривой или контуром. Скажем, что на кривой ? выбрана ориентация, индуцированная заданной параметризацией z(t), t ? [t 0 ,t 1 ] , если на кривой выбрано направление движения, соответствующее возрастанию параметра t. Точки и называются концевыми точками контура, или, более точно, начальной и конечной точками контура ? соответственно. Определение 2. Непрерывная кривая ? ? C называется гладкой, если для нее существует параметрическое представление с помощью комплекснозначной функции действительного переменного z = z(t) = x(t) + iy(t), t ? [t 0 ,t 1 ] , у которой Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции функции x(t) и y(t) непрерывны, имеют непрерывные производные и и z 0 (t) = x 0 (t) + iy 0 (t) 6= всюду на отрезке, причем если кривая замкнута, то z 0 (t 0 + 0) = z 0 (t 1 ? Определение 3. Пусть задан непрерывный контур ? в с параметризацией z = z(t), t ? [t 0 ,t 1 ] . Пусть существует конечное разбиение отрезка [t 0 ,t 1 ] , те такое, что контуры ? k , определяемые функциями являются различными гладкими контурами стой же, что и у контура ?, ориентацией. Тогда контур ? называется кусочно-гладким контуром, или объединением гладких контуров {? k } , те Замечание 1. Далее, если не оговорено противное, будем считать, что ориентация контура ? совпадает с ориентацией, индуцированной его параметризацией Пусть задан кусочно-гладкий контур ? с параметризацией = z(t) , t ? [t 0 ,t 1 ] , где z(t 0 ) начальная, а z(t 1 ) конечная точки контура Пусть выбрано конечное разбиение отрезка вида {? k | k ? 0,m ? , t 0 = ? 0 < ? 1 < ? 2 < · · · < ? m ? = Рис. Мелкостью разбиения ? назовем величину max{? k ? ? k?1 | k ? Пусть при каждом k ? произвольно выбрана точка {z(t) | t ? те. точка принадлежит дуге ? , где z k 4 = Определение 4. Пусть на кусочно-гладком контуре ? задана непрерывная функция f : ? ? C. Определим выражение где z k ? z k?1 , (3) 44 џ 6. Интегрирование функции комплексного переменного которое будем называть интегральной суммой функции вдоль ?, соответствующей разбиению ?. Если существует конечный предел интегральных сумм (3) при |?| ? 0, независящий от выбора разбиения ? (1) и точек {? k } (2), то этот предел называется интегралом от функции f по контуру ?, который обозначается (z) Теорема 1. При сделанных выше в определении 4 предположениях интеграл (4) существует и справедлива формула (z) dz = = Z ? (u(x,y) dx ? v(x,y) dy) + i Z ? (v(x,y) dx + u(x,y) где f(z) = u(x,y) + iv(x,y), и стоящие справа в формуле (два интеграла являются криволинейными интегралами второго рода от действительных функций действительных переменных по контуру ? на евклидовой плоскости Доказательство. Записав интегральную сумму (через действительные и мнимые части, получаем) = m ? X k=1 (u(? k ,? k ) + iv(? k ,? k )) (?x k + i?y k ) = = m ? X k=1 (u(? k ,? k )?x k ? v(? k ,? k )?y k ) + +i m ? X k=1 (u(? k ,? k )?y k + v(? k ,? k )?x k ) 4 = ? 1 (?) + В итоге показали, что ?(?) может быть представлена формулой) в виде двух интегральных сумм и ? 2 (?) , соответствующих криволинейным интегралам второго рода действительных функций от действительных переменных x, y по кривой ? на плоскости. Как показано в курсе математического анализа (см, например, џ 50 [9]), условий теоремы 1 (те. функции непрерывны на кусочно-гладком контуре ?) достаточно, чтобы существовали пределы этих интегральных сумм при ? 0 , откуда и следует утверждение теоремы и формула (5). 45 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции Следствие 1. В условиях теоремы 1 справедлива формула (z) dz = Z t 1 t 0 f (z(t))z 0 (t) где в правой части равенства (7) стоит интеграл от комплексно- значной функции действительного переменного, который определяется по формуле) + iv(t)) dt 4 = Z t 1 t 0 u(t) dt + i Z t 1 t 0 v(t) Доказательство непосредственно следует из формулы) и из формулы представления криволинейного интеграла второго рода через интеграл по параметру контура (x,y) dx + Q(x,y) dy = = Z t 1 t 0 Ў P (x(t),y(t))x 0 (t) + Из теоремы 1 и свойств криволинейного интеграла второго рода действительных функций от действительных переменных по кривой на плоскости следуют свойства интеграла (4): 1 ? . Линейность (z) + µg(z)) dz = ? Z ? f (z) dz + µ Z ? g(z) dz, ? ?,µ ? C. 2 ? . Обозначим через контур, полученный из ? заменой ориентации на противоположную. Тогда (z) dz = ? Z ? f (z) dz. 3 ? . Пусть кусочно-гладкий контур ? является объединением двух кусочно-гладких контуров и те по определению 3). Тогда (z) dz = Z ? 1 f (z) dz + Z ? 2 f (z) dz. 4 ? . Справедлива оценка интеграла Ї Ї Ї Ї Z ? f (z) dz Ї Ї Ї Ї 6 Z t 1 t 0 |f (x(t) + iy(t))| p (x 0 (t)) 2 + (y 0 (t)) 2 dt 4 = 4 = Z ? |f (z)| |dz|, (9) 46 џ 6. Интегрирование функции комплексного переменного где справа в неравенстве стоит криволинейный интеграл первого рода от действительной функции |f(z)| действительных переменных x, y по контуру Доказательство. Из формулы (3) получаем оценку = Ї Ї Ї Ї Ї m ? X k=1 f (? k )?z k Ї Ї Ї Ї Ї 6 m ? X k=1 |f Справа в неравенстве (10) стоит интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода, итак как функция непрерывна на кусочно-гладком контуре ? попеременным то, как известно из курса математического анализа (см, например) криволинейный интеграл первого рода от действительной функции |f(z)| существует. Слева в (10), в силу равенства lim |?|?0 |?(?)| = | lim |?|?0 ?(?)| , в пределе получаем левую часть неравенства (9). 5 ? . Инвариантность. Интеграл (3) не зависит от выбора параметризации z(t) контура ? при условии, что каждая такая параметризация индуцирует одну и туже ориентацию контура Доказательство следует из аналогичного свойства для криволинейных интегралов второго рода от действительных функций, определенных на R 2 , и из формулы (Пример 1. Пусть a ? C, k ? Z, r > 0. Пусть есть окружность, ориентированная движением против хода часовой стрелки. Вычислить интеграл ? Решение. Выберем параметризацию окружности вида z(t) = a + re i t , где t ? [0,2?]. Тогда последствию имеем t rie it dt = ir k+1 В итоге) при k = ?1 получаем I ?1 = i 2? R 0 dt = 2?i ; 47 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции) при k 6= ?1 получаем ir k+1 ? ? 2? Z 0 cos(k + 1)t dt + i 2? Z 0 sin(k + 1)t dt ? ? = Теорема 2. Пусть в области G заданы непрерывные функции и кусочногладкий контур ?. Пусть функциональный ряд +? P n=1 f n (z) сходится к своей сумме равномерно на контуре ?. Тогда этот ряд можно почленно интегрировать по контуру ?, те. справедливо равенство Доказательство. Определим частичные суммы ряда через S N (z) = N P n=1 f n (z), N ? Они очевидно непрерывны на G, ив силу равномерной сходимости ряда на контуре аналогично утверждению 5 из џ 2, получаем, что сумма данного ряда также непрерывна на контуре ?, те. интегрируема на кривой ?. Так как данный ряд сходится равномерно на, то для любого ? > 0 существует номер N(?) такой, что для всех номеров N > N(?) справедливо неравенство sup z?? |S(z) ? S N (z)| где l(?) = R ? |dz| длина контура ?. Поэтому при всех N > > N в силу оценки (8) получаем Ї Ї Ї Ї Ї Ї Z ? S(z)dz ? N X n=1 Z ? f n (z)dz Ї Ї Ї Ї Ї Ї 6 Z ? | S(z) ? S N (z) | |dz| < что по определению суммы ряда означает равенство (12). 48 џ 7. Интегральная теорема Коши 7. Интегральная теорема Коши В этом параграфе мы докажем теорему Коши основную теорему теории регулярных функций. Сделаем это в три этапа. Начнем со случая односвязной области. D ? G Рис. Теорема 1 (Коши. Для всякой регулярной функции f : G ? C, заданной в односвязной области G, справедливо равенство где интеграл берется по любому простому замкнутому кусочно-гладкому контуру принадлежащему области G см. рис. Доказательство. Для заданного в теореме контура перепишем формулу (5) изв виде (z) dz = J 1 + где dx ? v dy; J 2 4 = Z ? v dx + u Через D обозначим односвязную подобласть G, границей которой является данный контур Из курса математического анализа (см, например, гл. 13) известна следующая формула Грина dx + Q dy = Z Z D µ ?Q ?x ? ?P ?y ¶ dx где P (x,y) и Q(x,y) действительные функции переменных, y, непрерывные со своими частными производными первого порядка в замкнутой области D = D ? В силу непрерывной дифференцируемости функций u и на односвязной области G, следующей из регулярности функ- 49 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции ции f, формула Грина (4) и условия КошиРимана дают для интегралов (3) J 1 = Z Z D µ ? ?v ?x ? ?u ?y ¶ dx КР 0, J 2 = Z Z D µ ?u ?x ? ?v ?y ¶ dx КР те. равенство (1) доказано. Замечание 1. Условие непрерывной дифференцируемости функции f в теореме 1 является избыточным. Э. Гурса доказал, что в теореме 1 достаточно потребовать лишь дифферен- цируемость функции f в каждой точке области G. Доказательство этого факта можно найти, например, в книге Замечание 2. Условие односвязности области G в теореме существенно, что показывает пример функции f(z) = 1/z, заданной на неодносвязной области, интеграл от которой по единичной окружности равен 2?i см. пример 1 џ Однако можно изменить формулировку теоремы, допускающую распространение теоремы 1 на случай интегрирования по границе неодносвязной области определенного ниже типа. Определение 1. Областью с кусочно-гладкой границей будем называть область G ? C, границу ? которой можно представить в виде объединения конечного числа гладких ограниченных кривых ? 1 , . . . , ненулевой длины, пересечение которых возможно лишь в концевых точках, причем точка может ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 |