Учебник москва мфти 2014
 Скачать 1.39 Mb.
|
|
? k+1 ? B k ? для всех k ? 0,K ? 1 (см. рис. Так как ? 0 > ? , то по доказанному в пункте 1 функция (z) = на круге B 0 = Рассмотрим функцию f на круге B 1 . Так как f(z) = 0 при всех z ? B 0 ? B 1 , итак как очевидно существует нестационарная последовательность {z 1 n } ? B 0 ? такая, что z 1 n ? прите, то отсюда аналогично пункту следует, что f(z) ? 0 в круге B 1 . Продолжая аналогичные рассуждения, из того, что при любом k ? 1,K : f(z) ? 0 в круге, и справедливо включение [? k?1 ,? k ] ? B k?1 ? B k , получаем, что f(z) ? 0 в круге B k , что в итоге на последнем шаге дает равенство f(b) = Следствие 1. Пусть заданы область G и множество E ? ? G , содержащее последовательность различных точек, сходящуюся к некоторой точке из G. Пусть функции f и g : G ? регулярны в области G и f(z) = g(z) при всех z ? E. Тогда ? в области Доказательство. Введем функцию h(z) 4 = f она регулярна в области G и по условию h(z) = 0 ? z ? E. Тогда по теореме 1 функция h(z) ? 0 на G, что и влечет требуемое равенство. Замечание 1. Утверждение теоремы 1 может оказаться несправедливым, если a 6? G. Например, рассмотрим функцию џ 10. Некоторые свойства регулярных функций (z) = sin 1 z , определенную на области C \ {0}. Она регулярна, а при z n = 1 функция f(z n ) = 0 , но очевидно, что sin 1 z 6? в C \ Пример 1. Рассмотрим две функции (z) = sin z 4 = e iz ? и + Еще раз докажем их равенство, опираясь на теорему В самом деле, функции f и g регулярны в C, причем, как было показано в математическом анализе, f(x) = g(x) при всех действительных x. Тогда по теореме единственности f ? g на плоскости Пример 2. Докажем равенство sin 2 z + cos 2 z = при всех ? C . Определим функцию f(z) 4 = sin 2 z + cos 2 z ? 1 . Она, очевидно, регулярна, итак как f(x) ? 0 для любого действительного значения x, то по теореме 1 f(z) ? 0 ? z ? Пример 3. Докажем формулу cos(z + ?) = cos z cos ? ? sin z sin ? ? z,? ? C. 1) Зафиксируем произвольное действительное значение Функция f(z) 4 = cos (z + ?) ? cos z cos ? + sin z sin такова, что она регулярна в C, и f(x) = 0 для любого действительного Следовательно, по теореме единственности f(z) ? 0 ? z ? C. 2) Зафиксируем далее произвольное комплексное значение. Функция h(?) 4 = cos(z + ?) ? cos z cos ? + sin z sin регулярна в C и при каждом действительном значении ? в силу доказанного в пункте 1 h(?) = 0. По теореме единственности получаем, что h(?) ? 0 ? ? ? C. Это и доказывает требуемое равенство. Определение 1. Пусть заданы область G и функция : G ? C . Функция g : G ? C называется первообразной функции f в области G, если функция g дифференцируема в области G и справедливо равенство g 0 (z) = f (z) , ? z ? G. 71 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции Теорема 2 (о существовании первообразной. Пусть функция f : G ? C непрерывна в области G. Пусть для каждого замкнутого кусочно-гладкого контура ? справедливо равенство (z) dz = Тогда у функции f существует регулярная первообразная вида (?) d?, z ? где a произвольно выбранная точка из G, а интеграл берется по любому кусочно-гладкому контуру в G с началом в точке и концом в точке Доказательство. Зафиксируем некоторую точку a ? ? G . Докажем, что интеграл (5) не зависит от выбора пути интегрирования. В самом деле, если и e? az два различных кусочно-гладких контура с общими началом в точке a и концом в точке z, то контур ? az ? является замкнутым контуром, принадлежащим области G. По условию теоремы справедливо равенство (4), откуда следует равенство + Рис. 21 Z ? az f (?) d? = Z e ? az f (?) Итак показали, что интеграл (является функцией концевой точки. Покажем теперь, что функция из (5) есть первообразная функции f. Зафиксируем произвольную точку z ? G и кусочно-гладкий контур ? az , соединяющий точку a сточкой Так как G область, то существует число r > 0 такое, что) ? G . Для любого ?z такого, что 0 < |?z| < r, определим контур такой, что ? a(z+?z) = ? az ? [z,z + ?z] , где џ 10. Некоторые свойства регулярных функций + ?z] прямолинейный отрезок, соединяющий концевые точки (см. рис. Вычисляя значения g(z) и g(z +?z) через интегралы (5) по контурами, получаем равенство + ?z) ? g(z) ?z = 1 ?z z+?z Z z f (?) где интеграл справа взят по направленному отрезку [z,z + В силу непрерывности функции f в точке z для любого > найдется ? = ?(?) > 0, ? 6 r, такое, что для всех ? : |? ? ? z| < справедливо неравенство |f(?) ? f(z)| < ?. Поэтому из равенства (6) при |?z| < ?(?) получаем Ї Ї Ї Ї ?g ?z ? f (z) Ї Ї Ї Ї = Ї Ї Ї Ї Ї Ї 1 ?z z+?z Z z (f (?) ? f (z)) d? Ї Ї Ї Ї Ї Ї 6 6 1 |?z| z+?z Z z |f (?) ? f (z)| |d?| < 1 |?z| · ? · |?z| = Это означает, что существует производная g 0 (z) , причем справедливо равенство g 0 (z) = f (z) . Так как функция f непрерывна, тов итоге получаем, что функция g регулярна на области Следствие 2. Если область G односвязна, то у всякой регулярной функции f : G ? C существует ее регулярная первообразная вида Доказательство. По теореме Коши (теорема 1 џ 7) в односвязной области G справедливо равенство (4), те. выполнены все условия теоремы Теорема 3 (Морера). Пусть функция f : G ? C непрерывна в области G и удовлетворяет условию (?) d? = 0 (8) 73 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции для любого треугольного контура 4, принадлежащего области. Тогда функция f регулярна в области Доказательство. Из условия (8) для любого круга B r (a) ? и любой замкнутой ломаной ориентированной кривой ? ? следует равенство (?) d? = 0 2. Зафиксируем произвольные точку a ? G, круги точку z ? B r (a) . Для любого контура ? az ? B r (a) , являющегося ломаной линией с началом в точке a и концом в точке z, рассмотрим интеграл (?) d? . В силу пункта 1 значение этого интеграла не зависит от вида ломаной ? az , соединяющей точки a и z, а зависит лишь от точки z, те. это функция аргумента z. Обозначим ее g(z). Повторяя доказательство теоремы 2, получаем существование производной и справедливость равенства g 0 (z) = f (z) ? z ? B r (a) , откуда следует, что функция g регулярна нате. в силу теоремы 3 из 8 она бесконечно дифференцируема. Поэтому функция f как производная бесконечно дифференцируемой функции g является регулярной на Следствие 3. Если функция f удовлетворяет условиям теоремы 2, то она является регулярной. Теорема 4 (о стирании разреза. Пусть односвязная область G интервалом (A,B) ? G где точки A и B принадлежат границе области G) разделена на две односвязные подобласти и G 2 , те. Пусть для каждого k ? 1,2 задана функция f k : G k ? (A,B) ? C , регулярная в области и непрерывная на множестве G k ? ? (A,B) . Пусть справедливо равенство f 1 (z) = при всех ? (A,B) . Тогда функция f, равная при z ? G 1 ? ? и равная при z ? G 2 , регулярна на всей области Доказательство. Так как функция f очевидно непрерывна на области G, то для доказательства регулярности џ 10. Некоторые свойства регулярных функций функции f воспользуемся теоремой Морера, по которой достаточно проверить равенство (z) dz = для любого треугольного контура ?DEC ? Рис. Рис. Если контур ?DEC целиком лежит водном из множеств (A,B) , то равенство (9) следует из интегральной теоремы Коши (теорема 2 из џ 7) для регулярной в односвязной области G k функции f k . Пусть ?DEC ? G k 6= ?, ?k ? 1,2 . Обозначим через замкнутую область, границей которой является контур ?DEC, и пусть отрезок [P,Q] = G DEC ? (A,B) . Тогда (см. рис. 22) для многоугольников P CQ и P QED выполнены условия теоремы 2 из џ 7, из которой следует, что CQ f (z) dz = 0, Z P QED f (z) dz = Отсюда, складывая эти интегралы, в сумме получаем равенство (Лемма 1. Любые две первообразные регулярной функции : G ? в области G отличаются друг от друга на постоян- ную. Д ока за тел ь ст во. Пусть и g 2 две первообразные функции f на области G. Тогда функция h(z) 4 = g 1 (z) ? g 2 (z) 75 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции регулярна и h 0 (z) = f (z) ? f (z) ? 0 ? z ? G . Выберем произвольную точку a ? G и пусть число r > 0 такое, что справедливо включение B r (a) ? G . По теореме 2 из џ 9 представим функцию h в круге в виде степенного ряда Тейлора. Так как h 0 (z) ? 0 , то получаем, что все коэффициенты ряда Тейлора равны нулю, кроме c 0 . Следовательно, h(z) = c 0 , ?z ? откуда по теореме 1 получаем, что h(z) = c 0 , ?z ? Теорема 5. Пусть функция f : G ? C непрерывна на области и имеет на ней первообразную g 1 . Тогда для любых точек b,c ? G и любого кусочно-гладкого контура ? bc ? с началом в точке b ? G и концом в точке c ? G имеет место следующая формула (формула НьютонаЛейбница): Z ? bc f (?) d? = g 1 (c) ? Доказательство. Покажем, что в условиях теоремы функция f будет регулярной на G. В самом деле, так как f непрерывна и существует g 0 1 (z) = f на G, то функция регулярна на G по определению. По теореме 3 из џ 8 регулярная функция бесконечно дифференцируема на G, откуда и ее производная, те. функция f, также бесконечно дифференцируема на G, поэтому она регулярна. Пусть область G односвязна. Последствию у регулярной функции f существует первообразная g вида (5) с начальной точкой a ? G, откуда в силу теоремы Коши (џ 7) для любых кусочно-гладких контуров ? ab ? и ? ac ? получаем (?) d? = Z ? ac f (?) d? ? Z ? ab f (?) d? = g(c) ? g(b) = g 1 (c) ? Последнее равенство получено в силу того, что первообразные g и отличаются на константу (см. лемму 1). 3. Пусть область G неодносвязна, причем пусть ? граница области G. Определим ? 4 = dist(? bc ,?) . Так как по условию теоремы ? bc ? G , то ? > 0. Как и при доказательстве теоремы разобьем наконечное число гладких контуров ? 1 , . . . с концевыми точками соответственно ? 0 = b , ? 1 , . . . , ? K = c , и џ 10. Некоторые свойства регулярных функций так, что их длины l(? k ) 6 ?/2 ? k ? см. рис. 23). Тогда каждый контур содержится в односвязной области в круге. Поэтому можем воспользоваться результатом пункта 2 и записать (?) d? = g 1 (? k ) ? g 1 (? k?1 ), ? k ? В итоге, суммируя по всем контурам {? k } , получаем (?) d? = K X k=1 Z ? k f (?) d? = g 1 (c) ? Следствие 4. Непрерывная функция f : G ? C имеет на области G первообразную тогда и только тогда, когда для любого кусочно гладкого замкнутого контура ? справедливо равенство (z)dz = Пример 4. Пусть заданы область G = C \ {0} и функция (z) = 1 z n , где n ? N, n > 2. Тогда очевидно, что эта функция регулярна в области G, а функция g(z) = является первообразной функции f в области G. Из теоремы 5 следует, что по формуле НьютонаЛейбница (10) можно вычислить следующий интеграл g(1) ? g(1) = Пример 5. Пусть задана функция f(z) в области \ Эта функция, очевидно, регулярна. Однако в области \ она не имеет первообразной. Это следует из того, что интеграл этой функции по окружности отличен от нуля (см. пример 1 из џ 6), те что в силу теоремы 5 означает отсутствие в области C \ первообразной у функция f(z) = 1 z 77 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции 11. Ряд Лорана Определение 1. Рядом Лорана с центром в точке a ? называется выражение вида ? понимаемое как сумма двух рядов ? и ? a) n = +? X m=1 c ?m (z ? Ряд (2) является обычным степенным рядом ив силу теоремы Абеля (теорема 1 џ 9) областью его сходимости является некоторый круг B R (a) , где R радиус сходимости ряда. Ряд (3) заменой приводится к степенному ряду, и по той же теореме Абеля его область сходимости тоже некоторый круг |?| < ? 0 . Следовательно, ряд (сходится в области |z ? a| > 1 ? 0 4 = ? > 0 . Если ? > R, то суммарный ряд (1) не сходится нив одной точке, если же ? < то ряд (1) сходится в кольце {z | ? < |z ? a| < В последнем случае кольцо K ?,R (a) , где R радиус сходимости ряда (2), а радиус сходимости ряда, называется кольцом сходимости ряда Лорана (По теореме Абеля и по определению 3 из џ 9 ряд (2) сходится локально равномерно в круге сходимости B R (a) , в частности, равномерно в при любом R 1 ? (0,R) , а ряд (сходится локально равномерно в кольце |z ? a| > ?, в частности, равномерно на множестве |z ? a| > при любом ? 1 > Следовательно, ряд Лорана (1) сходится локально равномерно џ 11. Ряд Лорана в его кольце сходимости см. (4)), в частности, равномерно в любом кольце вида) = {z | ? 1 6 |z ? a| 6 где < ? 1 < R 1 < Так как к тому же каждый член ряда (1) в кольце сходимости является регулярной функцией, то по теореме Вейерштрасса (теорема 3 џ 9) сумма ряда Лорана в кольце сходимости также является регулярной функцией, причем ряд Лорана в этом кольце можно почленно дифференцировать любое число раз. Имеет место и обратное утверждение, а именно, Теорема 1 (ЛоранаВейерштрасса). Всякая функция : K ?,R (a) ? C , регулярная в кольце K ?,R (a) = {z | ? < |z ? ? a| < R} , где 0 6 ? < R 6 +?, представима в этом кольце суммой сходящегося ряда Лорана f (z) = +? X n=?? c n (z ? коэффициенты которого определяются формулой 2?i Z ? r f (?) (? ? a) n+1 d?, n ? при любом r ? (?,R), где ? r 4 = {? | |? ? a| = r} окружность с положительной ориентацией, те. ее обход производится против хода часовой стрелки. Д ока за тел ь ст во. Прежде всего покажем, что каждый коэффициент в формуле (5) не зависит от выбора r ? ? ( |