Учебник москва мфти 2014
 Скачать 1.39 Mb.
|
|
Рис. быть концевой не более чему двух кривых. Эти кривые ? 1 , . . . , будем называть гладкими компонентами границы ? области G. Эти компоненты бывают двух типов) Кривая такова, что в каждой окрестности каждой точки z 0 ? ? находятся как точки из области, таки из C \ (G ? ?). Такая џ 7. Интегральная теорема Коши кривая называется правильной гладкой компонентой границы) Кривая такова, что для каждой точки обозначение означает кривую без концевых точек) существует окрестность такая, что B ? 0 (z 0 ) \ ? k ? G . Такая компонента называется разрезом, причем каждая точка называется внутренней точкой разреза. На рис. 12 кривые ? 1 , ? 2 , суть правильные гладкие компоненты, а кривые ? 4 , ? 5 , суть разрезы. Определение 2. Областью G с положительно ориентированной кусочно-гладкой границей ? называется область G с кусочно-гладкой границей (см. определение 1), если на ? задана ориентация так, что при движении по всем правильным гладким компонентам границы область G остается слева, а каждый разрез обходится дважды в противоположных направлениях. При этом обходе разрез представляется в виде двух берегов, при движении по каждому из них область G должна оставаться слева (справа будет находиться другой берег разреза) (см. рис. В соответствии с этим уточним понятие непрерывности функции f : G ? C на замыкании области G = G ? ?, а именно, в точках границы Для всякой точки, принадлежащей лишь одной из правильных гладких компонент границы ?, или являющейся концевой точкой лишь одного разреза, непрерывность функции в этой точке определяется через совпадение ее значения в этой точке с пределом функции в этой точке по области Для любой внутренней точки произвольного разреза не являющейся концевой точкой никакого другого разрезав силу определения 1 найдется достаточно малая окрестность B ? (z 0 ) такая, что множество B ? (z 0 ) \ ? k ? делится разрезом на две подобласти, которые обозначим и B ? . При этом считаем, что точка разбилась на две точки и такие, что точка принадлежит берегу разреза, принадлежащему границе области B + , а точка принадлежит берегу Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции разреза, принадлежащему грвнице области B ? . Тогда говорят, что функция f непрерывна в граничной точке или точке, если значение функции в этой точке z + 0 (z ? 0 ) совпадает с пределом функции f в точке по множеству по множеству Если же концевая точка одного из разрезов принадлежит и другим компонентам границы, то малая окрестность этой точки компонентами границы может быть разбита натрии более подобластей, в каждой из которых непрерывная функция в этой концевой точке определяется через предельное значение в соответствующей подобласти. Теорема 2. Пусть задана ограниченная односвязная область с положительно ориентированной кусочно-гладкой границей ?. Пусть функция f : G ? C регулярна на области и непрерывна на замыкании области G = G ? ?. Тогда (z) dz = Доказательство теоремы 2 приведем для класса областей, когда добавлением к ее границе ? конечного числа разрезов оставшиеся точки области G можно представить в виде объединения конечного числа, так называемых, звездных областей. При этом в силу того, что интегралы по разрезам в сумме равны нулю, интеграл по ? равен сумме интегралов по границам звездных областей. Таким образом, достаточно доказать теорему для звездной области. Определение 3. Ограниченная область G называется звездной областью, если граница ? области G может быть задана в виде = {z | z = z 0 + z 1 (t), ? 6 t 6 ?, z 1 (?) = где z 0 ? называется центром звездной области, z 1 : [?,?] ? ? C кусочно-гладкая функция, причем для каждой кривой {z | z = z 0 + ?z 1 (t), ? 6 t 6 ?}, ? ? (0,1), (7) 52 џ 7. Интегральная теорема Коши справедливо включение G, ? ? ? Приведем примеры некоторых звездных областей. z 0 ? ? ? ? а б Рис. Пример 1. Каждое ограниченное выпуклое открытое множество с кусочно-гладкой границей является звездной областью, причем ее центром может служить любая точка этого множества. Пример 2. Область, изображенная на риса, является звездной. Пример 3. Область, изображенная на рис. б, не является звездной, но ее можно некоторым разрезом ? разбить на две звездные подобласти. Замечание 3. Примеры 13 показывают, что класс областей, являющихся звездными или представимых в виде объединения конечного числа звездных подобластей, достаточно большой. Без ограничения общности доказательство теоремы 2 проведем для случая, когда область G является звездной с центром в точке z 0 = В самом деле, допустим, что ее центр z 0 6= 0 . Сделав замену e z = z ? z 0 , e? = ? ? z 0 , e G = G ? z 0 , получим звездную область с центром в точке 0, причем (z) dz = Z e ? f (e z + z 0 )de z = Z e ? e f (e z)de z, 53 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции где e f (e z) 4 = f (e z + есть регулярная функция, и если покажем, что последний интеграл равен нулю, то и исходный равен нулю. Итак, считаем, что центр области G есть точка z 0 = 0 . Тогда кривая из (7) принимает вид {z | z = ?z 1 (t), ? 6 t 6 ?}, ? ? Так как по определению 3 звездной области справедливы включения ? ? ? G , то по теореме 1 справедливо равенство (?) d? = 0, ? ? ? Выберем произвольное число ? ? (0,1) и сделаем замену переменного ? = ?z. Тогда включение ? ? эквивалентно включению z ? ?. В силу этого равенство (8) принимает вид (?z)? dz = откуда (?z) dz = 0, ? ? ? Так как функция f непрерывна на ограниченном замкнутом множестве G, то по известному свойству она равномерно непрерывна на G. Это значит, что ? > 0 ? ? = ?(?) > 0, ? z 0 ,z 00 ? G, |z 0 ? z 00 | < ? ? ? |f (z 0 ) ? f (z 00 )| < Кроме того, для любого z ? ? получаем |z ? ?z| = (1 ? ? ?)|z| 6 (1 ? ?)C 0 , где C 0 4 = max{|z| | z ? ?} < Выбрав ? ? ? удовлетворяющее неравенству (1 ? ? ? ) < < ?(?)/C 0 , получаем, что |z ? ? ? z| < ?(?) , ? z ? ?. Поэтому из (9) следует: Ї Ї Ї Ї Ї Ї Z ? f (z) dz Ї Ї Ї Ї Ї Ї = Ї Ї Ї Ї Z ? (f (z) ? f (? ? z)) dz Ї Ї Ї Ї 6 6 Z ? |f (z) ? f (? ? z)| |dz| 6 В силу произвольности ? > 0 получаем равенство (5). 54 џ 7. Интегральная теорема Коши Теорема 3 (обобщјнная теорема Коши. Пусть задана ограниченная область G с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей ?. Пусть функция f : G ? C регулярна на области G и непрерывна на замыкании области G = G ? Тогда (z) dz = Рис. Доказательство. В силу ограниченности области G одна группа компонент образует внешний кусочно-гладкий замкнутый контур, который отделяет точки области G от бесконечной точки и поэтому ориентирован против хода часовой стрелки (для простоты рассуждений будем считать, что это одна компонента ? 1 ). Все другие компоненты границы ? будут внутренними, соответственно обход их (для разрезов обход по их берегам) будет проводиться по направлению движения часовой стрелки (см. рис. Построим положительно ориентированную многокомпонентную кривую e?, включающий в себя границу ?, добавлением к каждой внутренней компоненте границы дополнительного разреза ? k ? G , соединяющего с внешней компонентой, причем так, чтобы все дополнительные разрезы попарно не пересекались, и каждый обходился дважды в противоположных направлениях. Так как дополнительные разрезы находятся в области регулярности функции f, то интеграл от функции f по каждому дополнительному разрезу (обойденному дважды в противоположных направлениях) равен нулю. Поэтому интеграл по ориентированной кривой e? совпадает с интегралом по границе ?. Но построенная нами кривая ограничивает некоторую односвязную область e G ? G , и по теореме интеграл по ее границе e? равен нулю, то есть справедливо равенство (10). 55 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции 8. Интегральная формула Коши Получим представление функций, регулярных в ограниченной области, при помощи интеграла по границе этой области. С помощью этого представления покажем, что всякая регулярная в области функция бесконечно дифференцируема. Теорема 1. Пусть G ограниченная область в C с кусочно- гладкой положительно ориентированной границей ?. Пусть функция f : G ? C регулярна на G и непрерывна на G = G ? ? ? . Тогда для любой точки z ? G справедлива интегральная формула Коши вида (z) = 1 2?i Z ? f (?) ? ? Рис. Доказательств о. Зафиксируем произвольную точку. Функция ? ? f регулярна в области G \ {z}. Выберем число r 0 > такое, что выполнено включение B r 0 (z) ? Для каждого r ? обозначим через ? r 4 = {? | |? ? z| = окружность с центром в точке радиуса r, ориентированную против хода часовой стрелки. Также обозначим множества G r 4 = 4 = и ? r 4 = ??? ?1 r . По построению каждое множество является областью с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей см. рис. По теореме 3 из џ 7 получаем = Z ? r f (?) ? ? z d? = Z ? f (?) ? ? z d? ? Z ? r f (?) ? ? Итак 2?i Z ? f (?) ? ? z d? (2) = 1 2?i Z ? r f (?) ? ? z d?, ? r : 0 < r < r 0 . (3) 56 џ 8. Интегральная формула Коши Как показано в примере 1 џ 6, справедливо равенство 1 = = 1 2?i R ? r 1 ??z d? , откуда ? f (z) = 1 2?i Z ? r f (?) ? f (z) ? ? z d?, ? r ? Так как f(?) непрерывна в точке z ? G, то для каждого > существует ?(?) ? такое, что для ? ? : |? ? z| < < следует |f(?) ? f(z)| < ?. Поэтому, выбирая r ? получаем ? f (z)| 6 1 2? Z ? r |f (?) ? f (z)| |? ? z| |d?| 6 ? 2?r Z ? r |d?| = Так как ? > 0 произвольное число, то из (3), (4) следует J = = f (z) , те. доказана формула (Определение 1. Пусть ? кусочно-гладкий контур в комплексной плоскости C и пусть w = q(z) непрерывная на функция. Тогда интеграл вида 2?i Z ? q(?) ? ? z d?, z ? C \ называется интегралом типа Кошипо контуру ? от функции Теорема 2. При сформулированных в определении 1 условиях функция I : C \ ? ? C из (5) определена и дифференцируема бесконечное число раз, причем для производных справедлива формула) = n! 2?i Z ? q(?) (? ? z) n+1 d?, n ? N. (6) z ? z + Рис. Доказательство. Докажем формулу) при n = 1. Так как функция непрерывна на контуре ?, то существует число M < +? такое, что |q(?)| 6 M при ? Зафиксируем точку z 6? ?. Пусть d 4 = dist(z,?) расстояние от точки z до кривой ?. Очевидно, что d > 0. Выберем число Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции и возьмем произвольное число ?z ? C так, чтобы < |?z| < r . Тогда для ? ? ? ? получаем ? (z + ?z)| > |? ? z| ? |?z| > d Оценим выражение + ?z) ? I(z) ?z ? 1 2?i Z ? q(?) (? ? z) 2 d? = = 1 2?i Z ? q(?) ·µ 1 ? ? z ? ?z ? 1 ? ? z ¶ 1 ?z ? 1 (? ? Упростим выражение в прямых скобках под интегралом (8): [. . . ] = = ? ? z ? (? ? z ? ?z) (? ? z)(? ? z ? ?z) · 1 ?z ? 1 (? ? z) 2 = ?z (? ? z) 2 (? ? z ? Поэтому для (8) получаем оценку Ї Ї Ї Ї Ї Ї ?I ?z ? 1 2?i Z ? q(?) (? ? z) 2 d? Ї Ї Ї Ї Ї Ї 6 1 2? Z ? |q(?)||?z| |d?| |? ? z| 2 |? ? z ? ?z| 6 6 |?z| ?d 3 Z ? |q(?)| |d?| 6 |?z| · M ?d 3 Z ? |d?| ? 0, ?z ? Таким образом, в пределе получаем равенство) = 1 2?i Z ? q(?) (? ? z) 2 d?. (9) 2. Общий случай й производной получается аналогично первому случаю из формулы (6) для (n ? й производной и воспользовавшись равенством ? z ? ?z) n = (? ? z) n ? n?z(? ? z) n?1 + которое легко проверяется, например, методом математической индукции џ 8. Интегральная формула Коши Теорема 3. Пусть функция f : G ? C регулярна в области ? C . Тогда эта функция имеет в G производные всех порядков, те. является бесконечно дифференцируемой функцией в области Доказательство. Зафиксируем произвольную точку G , тогда существует число r 0 > такое, что B r 0 (z 0 ) ? Пусть окружность ? r 0 4 = {z | |z ? z 0 | = ориентирована положительно относительно внутренности круга (те. движением против хода часовой стрелки. Тогда по теореме 1 справедлива интегральная формула Коши (z) = 1 2?i Z ? r0 f (?) ? ? z d?, ? z ? Так как в формуле (10) функция ? ? f(?) непрерывна на, то интеграл в (10) удовлетворяет определению интеграла типа Коши, и по теореме 2 он бесконечно дифференцируем в круге B r 0 (z 0 ) , те. в силу равенства (10) функция f бесконечно дифференцируема в этом круге B r 0 (z 0 ) , при этом из (6) следует формула) = n! 2?i Z ? r0 f (?) (? ? z) n+1 d?, ? z ? Так как точка z 0 ? была произвольной, то функция f бесконечно дифференцируема во всей области G. 59 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции 9. Ряд Тейлора. Теоремы Вейерштрасса Опираясь на интегральную формулу Коши, в этом параграфе покажем, что функция регулярна в окрестности некоторой точки тогда и только тогда, когда в этой окрестности она представима в виде суммы степенного ряда. Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида ? где точка a ? C и коэффициенты c n ? C заданы. Теорема 1 (Абель). Если степенной ряд (1) сходится в точке z 0 6= a , то ряд (1) сходится абсолютно в любой точке из круга B |z 0 ?a| (a) , а в любом замкнутом круге B r (a) , где 0 < r < < |z 0 ? a| , этот ряд сходится равномерно. Д ока за тел ь ст во. Так как по условию числовой ряд сходится, то из критерия Коши следует, что lim n?? |c n (z 0 ? a) n | = 0 , поэтому существует число ? > 0 такое, что |c n (z 0 ? a) n | 6 для всех n. 1) Пусть точка z ? B |z 0 ?a| (a) . Тогда |c n (z ? a) n | = = |c n (z 0 ? a) n | · Ї Ї Ї z?a z 0 ?a Ї Ї Ї n 6 ?q n z , где q z 4 = Ї Ї Ї z?a z 0 ?a Ї Ї Ї < 1 . Так как числовой ряд |