Учебник москва мфти 2014
 Скачать 1.39 Mb.
|
|
z), z ? G, то, делая замену переменных ? и w через ? и z, при этом допуская, что функция f 0 (z) также непрерывно продолжима на границу ?, получаем формулу решения общей задачи Дирихле в области G вида) = e u(f (z)) = Re 1 2?i I ? u 0 (?) f (?) + f (z) f (?) ? f (z) · f 0 (?) f Замечание 3. Утверждение теоремы 4 остается справедливым для случая неограниченной области G, граница которой содержит точку ?, если существует конформное отображение области G на круг |w| < 1, удовлетворяющее принципу соответствия границ. Если же при этом функция f удовлетворяет усиленному принципу соответствия границ, те. функции f и непрерывно продолжимы на границу области, то справедлива формула (Например, это верно, когда область G конформно отображается на круг |w| < 1 некоторым дробно-линейным отображением, так как оно конформно отображает всю расширенную комплексную плоскость C на всю плоскость C и поэтому оно и его производная непрерывно продолжимы на границу данной области G. В качестве демонстрации этой возможности получим решение общей задачи Дирихле на верхней полуплоскос- ти. Теорема 5. Пусть задана ограниченная и кусочно-непре- рывная функция u 0 : R ? с конечным числом точек разрыва первого рода (включая точки +? и ??). Тогда существует Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции решение u(z) общей задачи Дирихле в верхней полуплоскости z > с граничным условием на прямой ? = {z | Im z = При этом для решения u(z) справедлива формула Пуассона вида) = 1 ? +? Z ?? yu 0 (t) (t ? x) 2 + где z = x + iy, y > Доказательство. Существование решения u(z) следует из теоремы 4 и замечания 3. Формула (26) легко следует из формулы (25), если в качестве функции f, отображающей верхнюю полуплоскость в единичный круг, взять, например, функцию f(z) = (z ? i)/(z + i) и провести упрощения выражений под интегралом (Формулу (26) можно получить, не используя теорему 4 и формулы (25). Зафиксируем произвольную точку z 0 = x 0 + + iy 0 , где y 0 > 0 , и рассмотрим дробно-линейное отображение = f (z) 4 = z ? z 0 z ? конформно отображающее полуплоскость Im z > 0 на круг < 1 , при котором f(z 0 ) = 0 . Из формулы (27) получаем обратное отображение = g(w) = wz 0 ? z 0 w ? круга |w| < 1 на верхнюю полуплоскость. По теореме 1 функция eu(w) 4 = будет гармонической в круге |w| < 1. При этом она будет непрерывной в замкнутом круге |w| 6 1, за исключением конечного числа точек разрыва, полученных от функции u 0 , включая, может быть, и точку 1 . По формуле Пуассона (14) (или по теореме 4 џ 24 о среднем для гармонических функций) для функции eu получаем і џ 29. Задача Дирихле на плоскости В интеграле (29) сделаем замену и вернемся к прежним переменным. Пусть w = тогда g(e i? ) = t , те. принимает действительные значения. И обратно, по формуле (27) получаем ? z 0 t ? z 0 = f где t действительное число. Поэтому e u(e i? ) = e u(f (t)) = u(g(f (t))) = Из формулы (30) находим = z 0 ? z 0 i|t ? z 0 | 2 dt = 2y 0 (t ? x 0 ) 2 + y 2 В итоге из выражений (29), (30) и (31) получаем формулу) = 1 ? +? Z ?? u 0 (t) y 0 (t ? x 0 ) 2 + (Заменяя в полученной формуле произвольную точку на точку, получим формулу Пуассона (Замечание 4. Так как справедливо равенство ? x) 2 + y 2 = Re 1 i(t ? то формула Пуассона (26) может быть преобразована к другому виду) = Re 1 ?i +? Z ?? u(t) t ? Пример 1. Найти решение классической задачи Дирихле = 0, |z|<1 , u Ї Ї |z|=1 = sin ? 5+4 cos Решение. Воспользуемся формулой Пуассона (16) для решения задачи (33). Для этого сделаем замену переменных Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции на окружности ? = e i? . Тогда sin ? = 1 і ? 1 ? ґ , cos ? = = 1 і + 1 ? ґ , откуда) = sin ? 5 + 4 cos ? = ? 2 ? 1 2i(2? 2 + 5? + Подставляя в формулу (16), получаем, что u(z) = = Re J(z) , где) = 1 2?i Z ? 1 (? 2 ? 1)(? + z) 2i(2? 2 + 5? + 2)(? ? Вычислим интеграл (34) с помощью вычетов. Подинтег- ральная функция (?) 4 = (? 2 ? 1)(? + z) 2i(2? 2 + 5? + 2)?(? ? в области |?| > 1 имеет две особые точки. Это ? 1 = полюс го порядка и ? 2 = ? устранимая особая точка, так как очевидно, что f(?) = По теореме о вычетах получаем) = ? res ?2 f ? Вычислим вычеты = (? 2 ? 1)(? + z) 2i(? ? z)(4? + 5)? Ї Ї Ї Ї ?=?2 = 2 ? z 4i(z + 2) , res ? f = lim ??? [?(f (?) ? f (?))] = = lim ??? " ?(? 2 ? 1)(? + z) 4i(? 2 + 5 2 ? + 1)(? ? z) # = ? 1 В итоге из формулы (35) получаем, что) = z 2i(z + откуда) = Re z 2i(z + 2) = y (x + 2) 2 + Пример 2. Решить общую задачу Дирихле = 0, G = {z | |z| < 1, Im z > 0}, 248 џ 29. Задача Дирихле на плоскости u Ї Ї Im z=0 = 0, u Ї Ї |z|=1 = Решение. Возьмем функцию w = ? 1 2 Ў z которая конформно отображает данный полукруг G на верхнюю полуплоскость. Тогда данные граничные условия преобразуются на новой границе Im w = 0 в условия e u 0 (t) = при |t| > 1; eu 0 (t) = при t ? [?1, + По формуле Пуассона (26) получаем решение e u(?,?) = 1 ? 1 Z ?1 ? dt (t ? ?) 2 + ? 2 = 1 ? 1 Z ?1 d і t ? ґ і t ? ? ? ? ґ 2 + 1 = = 1 ? · arctg µ 1 ? ? ? ¶ + arctg µ 1 + Так как для w = ? + i? и z = x + iy функция w = ? 1 2 Ў z дает соотношения = ? x 2 µ 1 x 2 + y 2 + 1 ¶ , ? = ? y 2 µ 1 ? 1 x 2 + откуда заменой переменных получаем решение данной задачи Дирихле u(x,y) = 1 ? · arctg µ 2(x + 1) y(1 ? x 2 ? y 2 ) ? x + 2 y ¶ + + arctg µ 2(1 ? x) y(1 ? x 2 ? y 2 ) + x ? 2 y ¶ё . 249 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции Список литературы. Бесов О.В. Лекции по математическому анализу. М Физ- матлит, 2013. 2. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М Наука, 1969, 1972, 1984. 3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. е изд. М Наука, 1988. 4. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т.1, М Наука, 1998. 5. Лаврентьев МА, Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М Наука, 1973, 1987. 6. Никольский СМ. Курс математического анализа. Т, М.: Наука, 1991. 7. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. е изд. М Высшая школа, 1999. 8. Сидоров Ю.В., Федорюк МВ, Шабунин МИ. Лекции по теории функций комплексного переменного. М Наука, 1989. 9. Тер-Крикоров А.М., Шабунин МИ. Курс математического анализа. М Наука, 1988; М Изд-во МФТИ, 1997. 10. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч, М.: Наука, 1985. 11. Шабунин МИ, Половинкин Е.С., Карлов МИ. Сборник задач по теории функций комплексного переменного / М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2006.- 362 с. Яковлев Г.Н. Лекции по математическому анализу. Часть, М Физматлит, 2001. 250 Предметный указатель Предметный указатель Абеля теорема . . . . . . . . . . . . . аналитическое продолжение . вдоль контура . . . . вдоль цепочки элементов . . 158160, Вейерштрасса теорема . . . . . . . . . . . ветви многозначной функции непрерывные . . регулярные . . . . ветвь главная регулярная функции Ln z . . . . . . функции { n ? z} . . . . . ветвь многозначной функции регулярная (непрерывная)40 вычет функции . . . . . . . в бесконечности . . . . . . . Гаусса теорема . . . . . . . . . . . . . геометрический смысл модуля и аргумента производной функции . . . . . . . . . . граница области гладкие компоненты . . . 50 кусочно-гладкая . . . . ориентация . . . . . . . . . . правильные гладкие компоненты. Дирихле задача классическая 235, на круге . . . . . . задача общая . . 235238, на верхней полуплоскости. на круге . . . . . . 241244 Жордана теорема . . . . . . . . . . . . . Жуковского профиль . . . . . . . . . . . . функция . . . . . . . . интеграл по контуру . . . . . . . . . . . свойства . . . . . . . . . . комплексная плоскость расширенная . . . . . . . . . комплексное число . . . . . . аргумент . . . . . . . . . . . . главное значение . . . действительная (вещественная) часть . . . . . . . . 10 комплексно-сопряженное корень й степени . . . . мнимая единица . . . . . . . мнимая часть . . . . . . . . модуль . . . . . . . . . . . . . . предел последовательности 15 свойства . . . . . . . . . . . . тригонометрическая (полярная) форма . . . . . . . . функция см. функция комплексного переменного контур . . . . . . . . . . . . . . . . 43 кусочно-гладкий . . . . . . Коши интегральная теорема интегральная формула . неравенство для коэффициентов ряда Лорана обобщенная теорема . . . теорема о вычетах . . 98101 КошиАдамара теорема . . . . . . . . . формула . . . . . . . . . . . . 61 КошиРимана условия . . . . . . . . . . . . . 24 251 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции кривая Жордана . . . . . см. простая гладкая . . . . . . . . . . . . . непрерывная . . . . . . . . . ориентированная см. контур простая . . . . . . . . . . . . . замкнутая . . . . . . . . . кривые гомотопные . . . . . . . . . . лемма об открытости . . . . 186187 Лиувилля теорема . . . . . . . . . . . . . 147 Лорана ряд . . . . . . . . . . . 7893, 96, 98, 137, 142, 144, 147, 148, 150151, 153, 156 ЛоранаВейерштрасса теорема . . . . . . . . . . . множество звездное . . . . . . . . . . . 5254 Морера теорема . . . . . . . . . . . 7374 Муавра формула . . . . . . . . . . . . непрерывная деформация гладкого контура . . . 112113 НьютонаЛейбница формула . . . . . . . . . . . . окрестность бесконечности . окрестность точки . . . . . . . проколотая . . . . . . . . . . ориентация контура . . . . . . . . . . . . . отображение дробно-линейное . . конформное . . 195199, 205, 206, 208, 210224, в области . . . . . . . . . первообразная функции . . . 71 Пикара теорема . . . . . . . . . . . . . принцип аргумента . . . . . . . максимума и минимума гармонической функции190 191 максимума модуля . симметрии . . . . . . . соответствия границ . . . сохранения области . . . . произведение . . . . . . . . . . . . производная функции . . . . . пространство комплексных чисел . . . . . Пуассона интеграл . . . . . . . . формула . . . . . . . . . . . . разбиение отрезка . . . . . . . . разрез . . . . . . . . . . . . . . . . . Римана сфера . . . . . . . . . . . . 17, теорема . . . . . . . . . риманова поверхность функции Ln z . . . . . 169, функции. . . . . . . . . 173 Руше теорема . . . . . . . . . ряд кольцо сходимости . . . степенной 6065, 68, круг сходимости . . . . радиус сходимости . . функциональный . 2122, сходимость . . . . . . . . числовой . . . . . . . 1819, элементарных дробей . . свойство сохранения окружности в малом . . . . . . . . . . . . сохранения углов . . . . . . 195 252 Предметный указатель система контуров правильная . 152155 Сохоцкого теорема . . . . . . . . . сумма интегральная функции . Тейлора ряд . . . . . . . . . . . . . . 6163 теорема Морера см. Морера теорема единственности регулярной функции . . . . . . . . о монодромии . . . . . . . . о сложной функции . . . . о среднем для гармонической функции . . . о стирании разреза . . о существовании первообразной. об обратной функции 3538 теоремы Вейерштрасса . . . . . . . . точка ветвления . . . . 178180, множества внутренняя . . . . . . . . предельная . . . . . . . . особая изолированная . . . однозначного характера см. изолированная полюс 8690, 96, 148, порядок полюса . . . . существенно . 86, 87, устранимая . . 86, 87, 148, 149, 151, особая аналитической функции. точки симметричные относительно окружности . 202 206, 215, функции мероморфные . . . . тригонометрические . целые . . . . . . . . . . функция аналитическая . . . . полная . . . . . . . . . . . взаимно однозначная . . . см. однолистная гармоническая . . . . . . голоморфная см. регулярная комплексного переменного19 мероморфная . . . . . . . . . многозначная . . . . . . . . . 39 Ln z . . . . . . . . . . . . . 42 { n ? z} . . . . . . . . . . . . непрерывная в точке . . . непрерывная на замыкании 51 непрерывная на множестве 21 однолистная . . . . . . . . . предел по множеству . . . регулярная . . . . . . . . сопряженная . . . . . . . . . целая . . . . . . . . . . . . . . . трансцендентная . . . . экспоненциальная . . . . . центр элемента . . . . . . . . . . Эйлера формула . . . . . . . . . . . . элемент аналитической функции |