Учебник москва мфти 2014

• Название: Учебник москва мфти 2014
• Дата: 06.06.2022
• Размер: 1.39 Mb.
• Имя файла: TFKP-POLOVIN.pdf
• Тип: Учебник; #571748
• страница: 13 из 15

z,z
?
]
, очевидно, получаем, что окружность не перпендикулярна окружности ?, т. е.
не выполнено условие) Рассмотрим теперь в качестве ? произвольную окружность, проходящую через точки z и Обозначим через ? точку пересечения окружностей, те. Тогда касательная к окружности ? в точке ? обозначим ее L) по условию перпендикулярна касательной к окружности в точке ? обозначим ее l), следовательно, прямая пройдет через центр a, те. отрезок [a,?] лежит на касательной к окружности ?. По теореме о касательной и секущей получаем R
2
= |? ? a|
2
= |z ? a| · |z
?
? a|
. Это означает, что точки z и являются симметричными относительно окружности Доказательство теоремы 3. Пусть и z
?
0
 симметричные точки относительно окружности ? и пусть дробно- линейное отображение f вида (1), (2) переводит окружность ? в кривую e? = f(?). По круговому свойству (по теореме 2) кривая является окружностью (или прямой. Пусть w
0
= f (z
0
),w
?
0
=
= f (z
?
0
)
. Рассмотрим любую окружность e? такую, что w
0
,w
?
0
?
? e
?
. Тогда существует окружность ? такая, что f(?) = e? и Так как точки и симметричны, то по лемме 1 окружность перпендикулярна окружности ?. По свойству сохранения углов при конформных отображениях итак как по теореме дробно-линейное отображение конформно в C, окружность) будет перпендикулярна окружности e? = f(?).
204

џ 26. Дробно-линейные отображения
Отсюда в силу произвольности окружности e? и по лемме следует, что точки и являются симметричными точками относительно окружности Теорема 4. Совокупность дробно-линейных отображений образует группу относительно операции суперпозиции, т. е.
суперпозиция двух дробно-линейных отображений является дробно-линейным отображением, и обратное к любому дробно- линейному отображению также является дробно-линейным отображением.
Д ока за тел ь ст во. Рассмотрим два дробно-линейных отображения =
a
1
z + b
1
c
1
z + d
1
,
(13)
w =
a
2
? + b
2
c
2
? + Подставив (13) в (14), после элементарных преобразований получаем их суперпозицию вида =
az + b
cz + где коэффициенты a,b,c,d таковы, что справедливо равенство определителей
Ї
Ї
Ї
Ї
a
b
c
d
Ї
Ї
Ї
Ї =
Ї
Ї
Ї
Ї
a
1
b
1
c
1
d
1
Ї
Ї
Ї
Ї ·
Ї
Ї
Ї
Ї
a
2
b
2
c
2
d
2
Ї
Ї
Ї
Ї те, следовательно, отображение (15) также является дробно-линейным.
Доказательство того, что обратное отображение к дробно- линейному также является дробно-линейным, приведено в доказательстве теоремы Разберем некоторые примеры канонических областей в плоскости C и их образов, получаемых при дробно-линейных отображениях.
Пример 1. Описать дробно-линейные отображения верхней полуплоскости Im z > 0 вкруг Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Р е ш е ни е. Выберем произвольную точку в верхней полуплоскости. Найдем дробно-линейное отображение, которое переводит в точку 0. Потребуем дополнительно, чтобы точка
z
0
отобразилась в ?, те. рассмотрим отображение вида = A
z ? z
0
z ? z
0
, A 6= Так как симметричные относительно прямой Im z = 0 точки и по свойству дробно-линейных отображений перейдут в точки 0 и ?, которые симметричны для любой окружности с центром в нуле, те. образом прямой Im z = 0 будет некоторая окружность с центром в точке 0. Чтобы получить из (требуемое отображение верхней полуплоскости Im z > 0 вкруг, заметим, что для любой граничной точки z
1
, Im z
1
=
= 0
, ее образом должна быть граничная точка w
1
, те. такая,
что |w
1
| = 1
. Отсюда можем уточнить величину A, те Итак, A = e
i?
, где ?  произвольное действительное число. В
итоге получили, что отображения вида = e
i?
z ? z
0
z ? описывают семейство искомых конформных отображений, определяемых выбором трех действительных параметров двумя координатами точки z
0
, у которой Im z
0
> 0
, и числа ? ? Пример 2. Описать дробно-линейные отображения круга) = {z | |z| < на круг B
1
(0) = {w | |w| < Решение. Выберем произвольную точку в круге,
т. е. |z
0
| < 1
. Найдем дробно-линейное отображение, переводящее точку в точку 0, асимметричную ей относительно окружности |z| = 1 точку
1
z
0
в точку ?. Такое отображение,
очевидно, имеет вид = A
z ? z
0
z ?
1
z0
= e
A
z ? z
0 1 ? zz
0
.
(19)
206

џ 26. Дробно-линейные отображения
При отображении (19) окружность |z| = 1 по теореме 3 переходит в некоторую окружность с центром в точке 0. Чтобы это окружность имела радиус R = 1, достаточно для любой граничной точки z
1
= посчитать модуль образа = |w| = | e
A|
|z
0
? e
i?
|
|1 ? e
i?
· z
0
|
= | e
A|
|e
i?
? z
0
|
|e
i?
||e
?i?
? z
0
|
= | Таким образом, число имеет вид e
A = e
i?
. В итоге отображения вида = e
i?
z ? z
0 1 ? описывают семейство требуемых конформных отображений,
определяемых выбором трех действительных параметров двумя координатами точки такой, что |z
0
| < 1
, и числа ? ? В следующем параграфе мы покажем, что семейство (описывает все конформные отображения единичного круга на себя.
Пример 3. Описать дробно-линейные отображения, которые три различные точки отображают в три различные точки w
1
,w
2
,w
3
, те Решение. Такое конформное отображение, очевидно,
задается формулой ? w
1
w ? w
2
·
w
3
? w
2
w
3
? w
1
=
z ? z
1
z ? z
2
·
z
3
? z
2
z
3
? Если выразить неявную функцию w = f(z) из (21), то получим,
что функция f является дробно-линейным отображением, так как она представима в виде суперпозиции двух отображений = g
?1
· где) =
z ? z
1
z ? z
2
·
z
3
? z
2
z
3
? и) =
w ? w
1
w ? w
2
·
w
3
? w
2
w
3
? а отображение также дробно-линейно (см. теорему 4).
207

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Докажем, что требуемое дробно-линейное отображение единственно. Пусть некоторое дробно-линейное отображение отображает три различные точки на себя, точнее+ b
cz
k
+ d
= z
k
, k = Отсюда получаем, что уравнение cz
2
k
+ (d ? a)z
k
? b = имеет три различных решения z
1
,z
2
,z
3
, что возможно (по теореме
Гаусса) лишь прите. Допустим,
что и f
2
(z)
 два дробно-линейных отображения, отображающие точки в точки при k = 1,2,3, тогда w = f
?1 оставляет точки на месте, тете Пример 4. Описать конформные отображения, переводящие верхнюю полуплоскость Im z > 0 на верхнюю полуплоскость Решение. Возьмем три различные точки на действительной оси так, что x
1
< x
2
< x
3
. При движении от точки к точке по возрастанию их индексов область z > остается слева. Так как каждое дробно-линейное отображение конформно на всей плоскости C, то при отображении полуплоскости Im z > 0 на полуплоскость Im w > 0 граница
(действительная ось) должна отобразиться на границу (действительную ось. Поэтому искомое дробно-линейное отображение должно отобразить данные точки в три различные точки u
1
,u
2
,u
3
, лежащие на действительной оси стой же ориентацией обхода точек, те. область Im w > 0 при их соответствующем обходе должна оставаться слева (так как конформные отображения сохраняют углы).
Рассмотрим отображение, задаваемое формулой (21), где и w
k
= при k = 1,2,3. В этой формуле все коэффициенты оказались действительными числами. Следовательно, после преобразования формулы (21) к виду w получаем в данной формуле также действительные коэффициенты Так как при этом действительная ось перешла в действительную ось с сохранением ориентации обхода (те. действительная

џ 26. Дробно-линейные отображения ось не поворачивается, то arg w
0
(x) = при каждом действительном значении x. Поэтому) =
ad ? bc
(cx + d)
2
> откуда следует, что ad ? bc > В итоге показали, что дробно-линейное отображение осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости на верхнюю полуплоскость тогда и только тогда, когда его коэффициенты действительны и справедливо неравенство ? bc > 0
,
209

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции 27. Конформные отображения элементарными функциями. Теорема Римана
Продолжим рассмотрение примеров конформных отображений, осуществляемых элементарными функциями, являющимися локально однолистными.
1. Степенная функция.
Зафиксируем число t > 0 и рассмотрим на области G
4
= C \ функцию = |z|
t
e
it arg где arg z ? Эта функция регулярна в данной области G, так как она представима в виде w = e
t·h(z)
, где функция h(z) = ln |z| + i arg z,
arg z ? (0,2?)
, есть регулярная ветвь логарифма в области Функция (1), очевидно, однолистна на угловой области, ?
0
4
= {z | |z| > 0, 0 < arg z < где 6 2?, t?
0 6 При этом всякий луч l
?
1
4
= {z | z = re
i?
1
, ? r ? (0,+?)}, где const ? (0,?
0
)
, отобразится на луч l
t?
1
= {w | w = µe
it?
1
,
? µ ? (0,+?)}
. Всякая дуга {z | z = r
0
e
i?
, ? ? ? (0,?
0
)}
, где const > 0
, взаимно однозначно отобразится на дугу {w |
| w = r
t
0
e
i?
, ? ? ? см. рис. Рис. В итоге область из (2) конформно отображается функцией (1) на область, t?
0
= {w | |w| > 0, 0 < arg w < Рассмотрим более конкретные примеры таких отображений. Конформные отображения элементарными функциями
Пример 1. Пусть заданы функция w = те) и область G
1
4
= {z | |z| < 1, Im z > 0}
. Тогда функция w =
= z
2
конформна на области G
0, и отображает область G
1
?
? G
0, конформно на область G
?
1
= {w | |w| < 1, w 6? см. рис. 55).
u
v
0
G
?
1 1
x
y
0
z
2
G
1
?1 Рис. Пример 2. Пусть функция w = задана на области G
2
4
=
4
= {z | Im z > a > 0} ? G
0, ?
. Тогда граница области G
2
, т. е.
прямая Im z = a, функцией w = отображается в граничную кривую w = x
2
? a
2
+ 2ixa
, ? x ? R, образа G
?
2
, те откуда, исключая параметр x, получаем уравнение параболы =
v
2 4a
2
? a
2
. Отсюда и из того, что 0 6? G
?
2
, получаем, что {w = u + iv | v
2
> 4a
2
(u + см. рис. 56).
u
v
0
G
?
2
?a
2
v
2
> 4a
2
(u + Рис. 56 211

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Пример 3. Пусть необходимо область G
3
4
= {z = x + iy |
| y
2
> 2p
Ў
p
2
+ x
ў
}
, где p > 0, конформно отобразить в некоторое полупространство. Если параметр p заменить на параметр, тов силу предыдущего примера 2 функция = |z|
1 2
e
i arg z
2
, где arg z ? (0,2?), конформно отображает область на полуплоскость G
?
3
= {w | Im w см. рис. Рис. 57 2. Экспоненциальная функция.
Пусть заданы действительные числа a,b,?,? такие, что ?? 6 a < b 6 +? и 0 <
< ? ? ? 6 2?
. Рассмотрим функцию w = e
z
. Эта функция на прямоугольнике {z = x + iy | a < x < b, ? < y < где ? ? 6 2?,
однолистна (что показано нами в примере 2 из џ 5) (см. рис. Рис. 58 212

џ 27. Конформные отображения элементарными функциями
При этом функция w = интервал {z | z = t + iy
0
,a < t <
< b}
, где y
0
? (?,?)
, отображает на интервала интервал {z | z = x
0
+ it, ? < t < ?}
, отображает на дугу {w | w = e
x
0
· e
it
, ? < t < В итоге функция w = конформно отображает прямоугольник на сектор {w | e
a
< |w| < e
b
, ? < arg w < Рассмотрим два частных случая прямоугольника Пример 4. Пусть прямоугольник G имеет вид G
4
4
= {z =
= x + iy | x < 0, 0 < y < ?}
. Тогда в силу сказанного выше функция w = конформно отображает область на полукруг см. рис. 59).
u
v
0
G
?
4
?1 Рис. Пример 5. Пусть прямоугольник G имеет вид G
5
4
= {z =
= x + iy | x > 0, 0 < y < ?}
. Тогда в силу сказанного выше функция w = конформно отображает область на область {z | |z| > 1, Im z > см. рис. 60).
u
v
0
G
?
5
?1 Рис. Замечание 1. Так как конформные отображения во многих примерах (как в примерах 1, 2 и примерах 4, 5) заданы

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции регулярными функциями, однолистными на соответствующих областях, то обратные к ним функции конформно отображают образы на соответствующие им прообразы. Это уже показано в примере 3. Также, например, полукруг регулярной функцией, конформно отображается на область G
4
, а область этой же функцией h конформно отображается на область G
5 3. Функция Жуковского.
Функция
w =
1 2
µ
z называется функцией Жуковского.
Исследуем, каким условиям должна удовлетворять область,
чтобы функция Жуковского (3) на ней была конформной.
Очевидно, что функция (3) регулярна в области C \ При этом) =
1 2
µ
1 те при 6= В точке z = 0 функция w (3) имеет полюс го порядка.
Тогда рассмотрим функцию + z
2
, g
0
(z) =
2 ? 2z
2
(1 + те Отсюда и из определения 4 џ 25 следует, что функция w кон- формна в точке Аналогично для проверки конформности функции w в точке достаточно рассмотреть функцию eg(z)
4
= в точке Так как w
Ў
1
z
ў
= и, как уже показали, функция w кон- формна в нуле , то по определению 3 џ 25 функция w конформ- на в Итак, мы показали, что функция Жуковского w конформна в каждой точке множества C \ Исследуем условия на область, при которых функция Жуковского будет однолистной в этой области

џ 27. Конформные отображения элементарными функциями
Допустим, что две различные точки таковы, что) = w(z
2
)
. Это значит, что 2
µ
z
1
+
1
z
1
¶
=
1 тете Таким образом, функция Жуковского однолистна в области тогда и только тогда, когда для любого z ? G следует, что Вывод. Функция Жуковского (3) конформна на всякой области такой, что ±1 6? G и ? z ? G ?
1
z
6? Ї Рис. Так как равенство означает, что
z
2
получено из суперпозицией двух симметрий (см. рис. 61)  относительно окружности и относительно прямой z = 0
, то для того, чтобы функция (была конформна на некоторой области достаточно, чтобы эта область не содержала пар точек, симметричных относительно указанной окружности, или указанной прямой. Поэтому примерами областей, на которых функция Жуковского конформ- на, очевидно, являются четыре области) Im z > 0,
3) |z| > 1,
2) Im z < 0,
4) |z| < Для дальнейшего изучения свойств функции Жуковского) воспользуемся представлением числа z в полярной форме. Тогда функция Жуковского принимает вид =
1 2
re
i?
+
1 2r
e
?i?
= u + где =
1 2
Ў
r +
1
r
ў
cos ?,
v =
1 2
Ў
r ?
1
r
ў
sin ?.
(4)
215

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции а) Пусть задана окружность ?
r
0
4
= {z | z = r
0
e
i?
, 0 6 6 ? < радиуса r
0
> 0
, где r
0
6= 1
. Тогда из формулы (получаем, что ее образ удовлетворяет уравнению где 2
µ
r
0
+
1
r
0
¶
,
b
4
=
1 2
Ї
Ї
Ї
Їr
0
?
1
r
0
Ї
Ї
Ї
Ї те. функция Жуковского отобразит окружности и при в один и тот же эллипс (5), (6) с фокусами в точках +итак как очевидно, что c
2
= a
2
? b
2
= 1
) (см. рис. 62).
u
v
0
?1 1
x
y
0 Рис. б) Пусть задан луч {z | z = te
i?
0
,0 < t < ?}, ?
0
? Вначале полагаем, что ?
0
6?
©
0;
?
2
; Є. По формулам (4) для образа луча получаем выражения 4
µ
t
2
+ 2 +
1
t
2
¶
,
v
2
sin
2
?
0
=
1 4
µ
t
2
? 2 +откуда следует,что
u
2
cos
2
?
0
?
v
2
sin
2
?
0
= Это означает, что функция Жуковского отображает луч на ветвь гиперболы (7), фокусы которой находятся в точках

џ 27. Конформные отображения элементарными функциями
+1
и ?1 (так как здесь c
2
= a
2
+ b
2
= cos
2
?
0
+ sin
2
?
0
= см. рис. Если 0 < ?
0
<
?
2
, то из формул (4) получаем, что в образе > 0
, а функция v при возрастании параметра t возрастает от
??
до +?, те. образом луча является правая ветвь гиперболы) Если ?
0
< ?
, то из формул (4) получаем, что в образе < 0
, а функция v возрастает, те. образом этого луча является левая ветвь гиперболы (Для рассмотрения образов лучей из третьей и четвертой четвертей плоскости отметим следующее. При замене ?
0
на
??
0
из формул (4) следует, что образом луча служит та же ветвь гиперболы, что и образом луча ?
?
0
, с заменой направления движения по ней на противоположное.
В заключение осталось рассмотреть образы лучей, идущих по координатным осям. Для ?
0
= из формул (4) получаем,
что образом каждого из лучей и является мнимая ось
(со взаимно противоположными направлениями обхода).
Для ?
0
= образом луча будет луч [1,+?) с двойным обходом.
Для ?
0
= образ луча будет луч (??,?1] с двойным обходом.
Разберем некоторые примеры областей, на которых функция Жуковского (3) конформна.
u
v
0
G
?
6
?1 1
x
y
0
G
6
?1 Рис. Пример 6. Пусть задана область G
6
= B
1
(0)
4
= {z |
| |z| < 1}
, то функция Жуковского конформна на G
6
, при

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции чем ее граница |z| = 1 переходит вразрез по отрезку см. рис. Рассмотрев образы всех окружностей с центром в 0, содержащихся в области G
6
, в силу приведенных выше рассуждений получаем, что функция Жуковского отображает область на область G
?
6
= C \ Пример 7. Пусть задана верхняя полуплоскость G
7
=
= {z | Im z > 0}
. Тогда функция Жуковского на области G
7
конформна, и, рассмотрев образы лучей, выходящих из нуля и лежащих в верхней полуплоскости, получаем, что образом области является область G
?
7
= C \ ((??,?1] ? см. рис. 64).
u
v
0
G
?
7
?1 1
x
y
0
G
7
?1 Рис. Замечание 2. Разобранные выше примеры позволяют также конформно отображать область на область G
6
, а область
G
?
7
конформно отображать на область G
7
. Для этого нужно рассмотреть обратные к функции Жуковского отображения.
Из определения функции (3) получаем квадратное уравнение относительно z
z
2
? 2wz + 1 = решая которое получаем, что в области существуют две регулярные функции, обратные к функции Жуковского, это функции z = w ± g
0
(w)
, где есть та регулярная ветвь корня {
?
w
2
? 1}
, которая эквивалентна w при w ? ?. Тогда область конформно отображается на область функцией = w ? g
0
(w)
, так как при w ? ? ее предел равен нулю.
В односвязной области также существуют две регулярные ветви многозначной функции {
?
w
2
? 1}
. Возьмем ее регулярную ветвь такую, что g
1
(0) = +i
. Тогда функция = конформно отображает область на область G
7 218

џ 27. Конформные отображения элементарными функциями
Пример 8. Пусть задана область {z | |z ? ia| >
p
1 + где число a > 0. Границей области является окружность проходящая через точки ±1, ib и ?
i
b
, где b
4
= a +
?
a
2
+ см. рис. 65).
Дробно-линейное отображение f(z) отображает окружность на себя, так как три точки из ? отображаются натри точки из ?, те. Так как (?) = 0
, то функция f(z) отобразит область надо- полнение C \ G
8
, те. в области нет точек, переходящих при отображении
1
z
в область G
8
, те. по критерию ее однолистно- сти функция Жуковского на области G
8
однолистна.
u
v
0
?
?
ia
?1 1
x
y
0
?
?
?1 Рис. Найдем образ области при отображении функцией Жуковского. Представим функцию (3) как суперпозицию трех отображений+ 1
.
(10)
Дробно-линейное отображение t(z) (10), очевидно, переведет окружность ? впрямую, а функция ? = переведет эту прямую в луч, идущий изв и не лежащий на действительной оси. Дробно-линейное отображение (9) переведет этот луч

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции в дугу окружности с концами в точках 1 и ?1. Точку z = функция Жуковского переведет в точку =
1 2
µ
ib +
1
ib
¶
= Таким образом, функция Жуковского конформно отобразит область в плоскость C с разрезом по дуге окружности с концами в точках +1, ?1 и проходящей через точку ia. Если в области взять любую окружность ?, касающуюся окружности в точке ?1, то функция Жуковского отобразит ее в кривую ?
?
, называемую профилем Жуковского (см. рис. Замечание 3. Эти кривые впервые использовались
Н. Е. Жуковским для построения профилей крыла самолета при расчете подъемной силы крыла самолета. Теорема Римана.
Мы рассмотрели много примеров в 26 ив, когда регулярные и однолистные в области функции конформно отображают эту область на образ. Рассмотрим теперь более трудную и более важную для приложений обратную задачу. Пусть заданы две области и из C и требуется найти функцию f : G
1
? G
2
, осуществляющую конформное отображение области на область Для начала завершим исследование всех конформных отображений круга на себя. При изучении дробно-линейных отображений мы нашли некоторый класс таких отображений
(см. пример 2 и формулу (20)). Покажем, что этот класс исчерпывает все возможности.
Теорема 1. Все отображения, конформно переводящие круг на себя, являются дробно-линейными функциями вида =
z ? a
1 ? где a  точка из и ? ? Доказательство. Допустим, что функция g конформно отображает на себя. Тогда существует точка w
0
?
? такая, что g(0) = w
0
. Рассмотрим отображение h(w)
4
=
4
=
w?w
0 1?ww
0
, которое как показано в примере 2 конформно отоб-
220

џ 27. Конформные отображения элементарными функциями ражает круг на круг B
1
(0)
. Тогда суперпозиция f
4
= h ? также конформно отображает на B
1
(0)
, причем f(0) =
= 0
. Кроме того, это значит, что |f(z)| < 1 при всех z ? Применяя лемму Шварца (см. лемму 2 џ 24), получаем, что (z)| 6 для всех z ? В свою очередь, обратное отображение f
?1
: B
1
(0) ? также конформно, ограничено и f
?1
(0) = 0
. По лемме Шварца получаем |f
?1
(w)| 6 для всех w ? B
1
(0)
, те. |z| 6 при всех z ? B
1
(0)
. В результате получаем равенство |f(z)| =
= для всех z ? B
1
(0)
. По лемме Шварца существует число ? такое, что f(z) = для всех z ? B
1
(0)
. Отсюда следует, что функция g имеет вид g = h
?1
? f = h
?1
(e
i?
z)
, т.е.
g
является дробно-линейной функцией.
Существует точка a
0
? такая, что g(a
0
) = Дифференцируя тождество e
i?
z = h ? g
, получаем, что e
i?
=
= h
0
(0)g
0
(a
0
)
, откуда и из того, что h
0
(0) = 1?|w
0
|
2
> 0
, получаем, что ? ? Arg g
0
(a
0
)
. Рассмотрим функцию g
1
, удовлетворяющую формуле (11) при a = и ? = ?. Легко проверить, что) = e
i?
1 1?|a
0
|
2
, те. ? ? Arg g
0
1
(a
0
)
. Тогда дробно-линейная функция ? = g
1
? такова, что ?(0) = 0 и 0 ? Arg Но это значит, что ?(z) = z, тете. все конформные отображения на себя описываются формулой (Лемма 1. Пусть область такова, что существует функция, конформно отображающая область на круг Тогда совокупность всех конформных отображений области на круг задается формулой = h ? где h  дробно-линейное отображение вида Доказательство. Так как всякое отображение h вида, конформно отображает круг на себя, то отображение из (12) очевидно конформно отображает G на B
1
(0)
. С
другой стороны, пусть задано произвольное конформное отображение области G на B
1
(0)
. Тогда отображение f ? f
?1 конформно отображает на себя. В силу тео-
221

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции ремы 1 функция ? является дробно-линейной вида (11), и из последнего равенства получаем представление f в виде (Теорема 2 (единственности. Если для области G ?
? существует конформное отображение области G на круг B
1
(0)
, то совокупность всех конформных отображений на круг зависит от трех действительных параметров. В
частности, существует единственное конформное отображение области G на круг B
1
(0)
, нормированное условиями (z
0
) = 0, arg f
0
(z
0
) = где z
0
 произвольная точка из G, ? ? Доказательство. Первое утверждение следует из леммы 1 итого, что дробно-линейное отображение (11) зависит от трех действительных параметров двух координат точки и числа ? в (Допустим, что существуют два конформных отображения
f
1
и области G на круг B
1
(0)
, удовлетворяющие одинаковым условиям (13). Тогда функция h
4
= f
1
? f
?1 будет конформно отображать на себя, причем h(0) = 0. Кроме того, из равенства f
1
= h ? получаем по теореме о сложной функции) = h
0
(0) f
0
2
(z
0
)
, откуда получаем, что arg h
0
(0) = 0
. Из формулы (11) при h(0) = 0 и arg h
0
(0) = следует, что a = 0 и = 0
, тете при любом z ? Замечание 4. В силу леммы и теоремы единственности получаем, что функция (17) из џ 26 задает общий вид конформного отображения верхней полуплоскости на круг Заметим, что расширенную комплексную плоскость C и комплексную плоскость C нельзя конформно отобразить на круг B
1
(0)
. В самом деле, если бы такое отображение существовало, то это была бы целая функция, со значениями, ограниченными по норме единицей. Но по теореме Лиувилля такая функция может быть лишь постоянной, которая не может давать однолистное отображение на B
1
(0)
. Итак, чтобы существовало конформное отображение области G на круг необходимо, чтобы граничных точек было больше одной. Оказывается этого и достаточно

џ 27. Конформные отображения элементарными функциями
Теорема 3 (Риман. Пусть задана односвязная область в C, граница которой состоит более чем из одной точки. Тогда существует конформное отображение области G на круг Теорему приводим без доказательства. При желании доказательство можно найти в џ 12 книги Следствие 1. Если заданы две односвязные области ив, и граница каждой состоит более чем из одной точки, то существует конформное отображение, переводящее область на область Доказательство. Пусть f : G ? и g : G
1
?
? B
1
(0)
 конформные отображения, существующие по теореме, тогда g
?1
· есть искомое конформное отображение.
Также без доказательства приведем следующий результат.
Теорема 4 (Принцип соответствия границ. Пусть заданы две ограниченные односвязные области G и G
1
, границы которых ? и являются простыми, кусочно-гладкими кривыми. Пусть функция f : G ? конформно отображает область на область G
1
. Тогда существует непрерывное продолжение функции f c области G на ее замыкание G = G ?
? ?
, причем эта функция осуществляет взаимно однозначное отображение замкнутой области G на замкнутую область G
1
=
= G
1
??
1
, и границу ? отображает на границу с сохранением ориентации относительно своей области.
У пр аж не ни е Покажите, что для выполнения принципа сохранения границ одной регулярности отображения недостаточно. А именно придумайте пример функции, регулярной (ноне однолистной) на некоторой односвязной ограниченной области G со значениями, образующими некоторую ограниченную область G
1
, причем границы этих областей являются кусочно-гладкими контурами, но для которой не существует непрерывного продолжения на границу области G.
223

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции 28. Принцип симметрии
Рассмотрим один из специальных принципов аналитического продолжения, относящийся к конформным отображениям.
Теорема 1. Пусть области G и расположены вверх- ней полуплоскости комплексной плоскости C и имеют кусочно- гладкие границы ? и ?
?
. Пусть граница ? содержит конечное число непересекающихся интервалов l
1
, . . . ,l
k
, лежащих на действительной оси, а граница содержит непересекающи- еся интервалы l
?
1
, . . . ,l
?
k
, также лежащие на действительной оси. Определим области и e
G
?
, симметричные относительно действительной оси с областями G и G
?
соответственно
(см. рис. Рис. Пусть задана непрерывная функция f : G?(
k
S
s=1
l
s
) ? C
, которая конформно отображает область G на область G
?
, а каждый интервал взаимно однозначно отображает на интервал
l
?
s
при всех s ? 1,k. Тогда функция f допускает аналитическое продолжение на область G?(
k
S
s=1
l
s
)? e
G
, причем полученная регулярная функция конформно отображает область G?(
k
S
s=1
l
s
)?
? на область G
?
? (
k
S
s=1
l
?
s
) ? e
G
?
224

џ 28. Принцип симметрии
Д ока за тел ь ст во. Покажем, что искомая функция имеет вид) =
?
?
?
?
?
?
?
?
?
f (z), z ? G ? (
k
S
s=1
l
s
);
f (z), z ? По условиям теоремы функция f регулярна на области G. Из формулы (1) и из условий теоремы следует, что функция F однозначна и непрерывна в области и отображает эту область на область e
G
?
1. Докажем регулярность функции F в области e
G
, доказав существование непрерывной производной F
0
(z)
. Зафиксируем произвольную точку z
0
? e
G
. Тогда существует число r
0
> такое, что B
r
0
(z
0
) ? e
G
, следовательно, для каждого ?z, 0 <
< |?z| < r
0
, справедливо включение z
0
+ ?z ? e
G
. В силу (получаем+ ?z) ? F(z
0
)
?z
=
f (z
0
+ ?z) ? f (z
0
)
?z
=
=
·
f (z
0
+ ?z) ? f Так как из определения области следует, что z
0
? и z
0
+
+ ?z ? G
, тов силу регулярности функции f на области существует предел lim
?z?0
f (z
0
+ ?z) ? f (z
0
)
?z
= Отсюда следует существование производной и формулы) = lim
?z?0
F(z
0
+ ?z) ? F(z
0
)
?z
= Непрерывность функции на области следует в силу формулы) из непрерывности функции на области G.
2. Докажем, что функция F непрерывна на области G ?
? (
k
S
s=1
l
s
) ? e
G
. Для этого осталось доказать, что F непрерывна

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции в произвольной точке x
0
?
k
S
s=1
l
s
. В самом деле, из непрерывности на множестве G ? получаем lim
z
e
G
?x
0
F(z) = lim
z
G
?x
0
f (z) = lim
z
G
?x
0
f (z) = f (x
0
) = f где последнее равенство в (3) следует из того, что по условию теоремы f(x
0
) і, те. является действительным чис- лом.
В итоге, по теореме 4 изо стирании разреза) функция
F
регулярна на области G ? (
k
S
s=1
l
s
) ? Таким образом, функция F является аналитическим продолжением функции f с области G на область G ? (
k
S
s=1
l
s
) ? e
G
3. Из взаимной однозначности отображения f : G ? и взаимной однозначности f и из формулы) следует взаимная однозначность отображения F : e
G ?
? e
G
?
. В итоге получаем однолистное отображение F области на область G
?
?
µ
k
S
s=1
l
?
s
¶
? e
G
?
. Из однолистности и регулярности функции F следует, что функция F конформно отображает область G ? (
k
S
s=1
l
s
) ? на область G
?
? (
k
S
s=1
l
?
s
) ?
? Замечание 1. Принцип симметрии (теорему 1) можно легко обобщить со случая симметрии относительно действительной осина случай симметрии относительно произвольной прямой или окружности. Такое обобщение можно получить, воспользовавшись конформностью дробно-линейного отображения, которое переводит данную полуплоскость (или круг) на верхнюю полуплоскость, аналитическим продолжением в теореме 1 и об

џ 28. Принцип симметрии ратным дробно-линейным отображением, переводящим верхнюю полуплоскость в данную полуплоскость (или круг).
Приведем несколько примеров, демонстрирующих эффективность применения принципа симметрии при отыскании функций, осуществляющих конформные отображения заданных областей в заданные области, при наличии у этих областей симметрии относительно прямой или окружности.
Пример 1. Требуется найти конформное отображение, переводящее область = {z | Im z > 0} \ ({z | z = t(1 + i), t ? [0,1]} ?
? {z | z = t(?1 + i), t ? см. риса) в верхнюю полуплоскость плоскости C.
x
y
0
H
?1 а б
Рис. Воспользуемся симметрией множества H относительно мнимой оси. Обозначим через G правую половину этого множества (см. рис. б. Чтобы не потерять введенный при этом дополнительный участок границы  интервал l
1
= (обозначим его на рисунке пунктиром. Задача свелась к тому,
чтобы найти функцию f, которая непрерывна на замыкании области G по пунктиру на мнимой полуоси и конформно отображает область G в аналогичный угол первой четверти плоскости, но без разреза по отрезку {z | z = t(1 + i), t ? см. рис. 70). При этом образом пунктира должен быть он сам  интервал l
1
. Тогда по принципу симметрии соответствующее аналитическое продолжение функции f с области G на область H отобразит область H в верхнюю полуплоскость) Выбираем в области G функцию w
1
= z
4
, которая од- нолистна (в области же H она не является однолистной). Эта

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции функция конформно отображает область G на область G
1
=
= C \ [?4,+?)
. При этом пунктир для области G этой функцией отображается на новый пунктир для области G
1
 нижний край разреза по интервалу (0,+?) (см. риса) Выбираем функцию w
2
= w
1
+4
. Она конформно отображает область на область G
2
= C \ [0,+?)
, причем пунктир отображается на новый пунктир  интервал (4,+?) на нижнем краю разреза (см. рис. баб Рис. 68 3) Выбираем степенную функцию w
3
= |w
2
|
1 2
e
i
2
arg w
2
, где arg w
2
? (0,2?)
. Эта функция, являющаяся регулярной ветвью квадратного корня, конформно отображает область наверх- нюю полуплоскость G
3
, причем на границе появится новый пунктир, который будет проходить по интервалу (см. риса) Выбираем функцию w
4
= w
3
+ 2
, при этом верхняя полуплоскость отобразится на верхнюю полуплоскость причем на границе области новый пунктир будет проходить по интервалу (??,0) (см. рис. баб Рис. 69 5) Выбираем степенную функцию w
5
= |w
4
|
1 2
e
i
2
arg w
4
, где arg w
4
? (0,?)
. Эта функция, являющаяся регулярной ветвью квадратного корня, конформно отображает область на область G
5
= {z | Im z > 0, Re z > 0}
, причем пунктир
(??,0)
отображается на новый пунктир (i0,+i?), принадлежащий границе области см. рис. 70).
228

џ 28. Принцип симметрии
x
y
0
G
5
Рис. Итак, суперпозиция всех указанных выше отображений, т.е.
функция f = w
5
· w
4
· w
3
· w
2
· w
1
, конформно отображает область на область G
5
, при этом она непрерывна на замыкании области G по пунктиру  интервалу (i0,+i?), который при этом отображается на себя. Отсюда и из принципа симметрии относительно мнимой оси (см. замечание 1) следует существование аналитического продолжения функции f с области G на область H, которое и осуществляет конформное отображение области H на верхнюю полуплоскость.
Пример 2. Требуется найти конформное отображение, переводящее область H = {z = x+iy | y
2
< 2p
Ў
x +
p
2
ў
}
, где число > 0
, (см. риса) на верхнюю полуплоскость.
Границей области H является парабола. Всякая регулярная
(например, в области C \ [0,+?)) ветвь корня переводит данную параболу впрямую. Однако в отличие от примера 3 из 27 многозначная функция не имеет регулярных ветвей в области H, так как в этой области содержится точка ветвления функции
?
z
Чтобы обойти эту трудность, воспользуемся симметрией области относительно действительной оси. Выберем в качестве новой области G верхнюю половину области H, те і +
p
2
ґ
, y > При этом проводим пунктир по добавленному участку границы, те. по интервалу
Ў
?
p
2
,+?
ў
(см. рис. б) Выбираем на области G степенную функцию w
1
=
= |z|
1 2
e
i
2
arg z
, где arg z ? (0,?). Эта функция, являющаяся регулярной ветвью корня, конформно отображает область G на полуполосу G
1
= {z | Re z > 0, Im z ? [0,
p
p/2]}
. При этом образом пунктира будет новый пунктир, который пойдет по

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
x
y
0
H
?
p
2
x
y
0
G
?
p
2
а б
Рис. действительной полуоси и отрезку на мнимой оси.
(см. рис. 72а).
x
y
0
G
1
i
p
p
2
x
y
0
G
2
i?
а б
Рис. 72 2) Выбираем линейную функцию w
2
= ?
p
2/p w
1
. Она конформно отображает область на полуполосу G
2
= {z | Re z >
> 0, Im z ? см. рис. б 1
x
y
0
G
4
?1 а б
Рис. 73 3) Выбираем w
3
= e
w
2
. Эта функция конформно отображает полуполосу на область G
3
= {z | |z| > 1, Im z > причем образом пунктира будет граничная полуокружность и отрезок [1,+?) (см. риса) Выбираем функцию Жуковского w
4
=
1 і, которая конформна на области и отображает ее на верхнюю

џ 28. Принцип симметрии полуплоскость G
4
, причем образом пунктира будет интервал
(?1,+?)
(см. рис. 73б).
Применяя теорему 1 (принцип симметрии, отсюда получаем, что аналитическое продолжение суперпозиции указанных выше четырех отображений w
4
· w
3
· w
2
· конформно отображает область H на плоскость с разрезом, те. на область C \ Рис. 74 Выбираем отображения w
5
= w
4
+ игл, суперпозиция которых, очевидно, конформно отображает область на верхнюю полуплоскость.
В итоге, взяв суперпозицию приведенных выше шести отображений, получим искомое отображение области H наверх- нюю полуплоскость 1
x
y
0
G
0
G
1
G
2 Рис. Пример 3. Требуется найти конформное отображение, переводящее область = C \
2
[
k=0
{z = te
i
2?
3
k
| t ? см. рис. 75) на единичный круг B
1
(0)
231

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Для решения задачи разобьем область H натри подобласти
G
0
,G
1
,G
2
, где 6= 0 | arg z ?
µ
2 3
?k,
2 3
?(k + 1)
¶ѕ
, k = при этом дополнительные (пунктирные) интервалы границы пойдут по лучам {z = te
i
2?
3
k
| t > 1}, k = На границе области рисуем пунктир по интервалу и штрихпунктир по интервалу см. рис. 76). С помощью суперпозиции простых конформных отображений ищем отображение, переводящее область в область | |z| > 1, arg z ?
µ
0,
2 Более того, искомое отображение должно быть непрерывным на замыкании области по лежащим на границе области пунктиру и штрихпунктиру l
1
, которые должны отобразиться каждый сам на себя (см. рис. 79).
1) Возьмем в области степенную функцию |z|
3 2
e
3i
2
arg где arg z Как показано в пункте 1 џ 27, эта функция конформно отображает область на верхнюю полуплоскость G
1 0
. При этом пунктир отображается на себя, а штрихпунктир отображается на интервал (??,?1) (см. рис. 77).
x
y
0
G
0
l
0
l
1 1
e
2?i
3
x
y
0
G
1 0
l
1 0
l
1 1
?1 Рис. Рис. 77 232

џ 28. Принцип симметрии) Возьмем функцию w
2
= w
1
+ g(w
2 1
? 1)
, являющуюся регулярной ветвью обратной функции к функции Жуковского,
причем такой, что w
2
(i) = (здесь функция g есть соответствующая регулярная ветвь корня. Эта функция конформно отображает область G
1 на область G
2 0
= {z | |z| > 1, Im z >
> 0}
, граница которой содержит пунктир (образ пунктира) по интервалу (1,+?) и штрихпунктир (образ штрих-пунктира)
по интервалу (??,?1) (см. рис. 78).
x
y
0
G
2 0
l
2 0
l
2 1
?1 1
x
y
0
G
?
0 2?
3
l
0
l
1 Рис. Рис. 79 3) Возьмем степенную функцию |w
2
|
2 3
e
2i
3
arg где arg w
2
? Как показано в џ 27, эта функция конформно отображает область на область из (6) (см. рис. 79), граница которой содержит пунктир по интервалу и штрихпунктир по интервалу Итак, определим функцию f
0
(z) = на области. Она конформно отображает область см. (4) ирис на область см. (6) ирис, она непрерывна на замыкании области по пунктиру и штрихпунктиру l
1
, при этом они отобразятся каждый сам на себя. Более того, так как входящие в функцию степенные функции и w
3
, очевидно, отображают точки с равными модулями в точки с равными модулями, а обратная функция к функции Жуковского нечетна, те при любом действительном то для точек пунктира и штрихпунктира справедливо со

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции отношение lim
z
G0
?x
f
0
(z)e
2?i/3
=
lim
z
G0
?x e
2?i/3
f
0
(z), ? x ? Продолжим функцию с области на области и определенные в (Определим функцию) = e
2?i
3
f
0
(e
?
2?i
3
z), ? z ? Эта функция конформно отображает область на область {z | |z| > 1, arg z причем в силу равенства (7) получаем равенство на границе l
1
lim
z
G1
?z
0
f
1
(z) = lim
z
G0
?z
0
f
0
(z), ? z
0
? Определим функцию) = e
4?i
3
f
0
(e
?
4?i
3
z), ? z ? Эта функция конформно отображает область на область {z | |z| > 1, arg z причем в силу равенства (7) получаем равенства lim
z
G2
?z
0
f
2
(z) = lim
z
G1
?z
0
f
1
(z), ? z
0
? l
2
,
lim
z
G0
?x
0
f
0
(z) = lim
z
G2
?x
0
f
2
(z), ? x
0
? В итоге, воспользовавшись теоремой 4 џ 10 (о стирании разреза, получаем, что функция F = {(G
k
,f
k
), k = является аналитической в области H, причем она конформно отображает область H на внешность круга |w| > 1. Для получения окончательного решения нужно применить отображение, которое внешность круга конформно отображает на круг B
1
(0)
234

џ 29. Задача Дирихле на плоскости 29. Задача Дирихле на плоскости
В этом параграфе мы продолжим изучение свойств гармонических функций на плоскости, которые, как мы уже знаем,
тесно связаны с регулярными функциями.
Для всякой функции u : R
2
? введем обозначение u(x,y)
, где z = x + i Теорема 1. Пусть регулярная функция w = f(z) отображает область G в область D и f(z) 6? const. Пусть в области задана гармоническая функция eu(w). Тогда функция u(z)
4
=
4
= e
u(f будет также гармонической функцией в области Доказательство. По принципу сохнанения области
(теорема 1) множество f(G) есть область и по условию f(G) ?
? D
. Выберем произвольную точку в области G и пусть точка w
0
? такая, что w
0
= f (z
0
)
. Так как f(G) область,
то существует число ? > 0 такое, что B
?
(w
0
) ? f (G)
. Так как функция f непрерывна в точке и G  область, то существует число ? > 0 такое, что B
?
(z
0
) ? и f(B
?
(z
0
)) ? B
?
(w
0
)
. По теореме 2 изв круге существует регулярная функция такая, что Re h(w) = eu(w). По теореме 1 изо сложной функции) функция z ? h(f(z)), определенная в круге будет регулярной. Следовательно, по теореме 1 из џ 4, функция Re h(f (z)) = e
u(f будет гармонической функцией в круге B
?
(z
0
)
, а в силу произвольности выбора точки функция u(z) является гармонической во всей области Приведем формулировки классической и общей задач Ди- рихле.
Классическая задача Дирихле. Пусть задана ограниченная односвязная область G ? C с кусочно-гладкой границей ?, и на границе ? задана непрерывная функция u
0
: ? ? R
1
. Требуется найти функцию u : G ? R
1
, гармоническую в области G и непрерывную на замыкании области G = G ? ?, которая на границе совпадает с заданной функцией, те. u(?)
Ї
Ї
???
= u
0
(?)
235

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Общая задача Дирихле. Пусть задана односвязная область
G
в расширенной комплексной плоскости C с кусочно-гладкой границей ?, и на границе ? задана ограниченная функция ? ? R
1
, непрерывная всюду, кроме, быть может, конечного числа точек ?
1
, . . . ,?
n