Учебник москва мфти 2014
 Скачать 1.39 Mb.
|
|
0 (z 0 )| = Кроме того из формулы (2) также следует, что отображение сохраняет углы между кривыми, выходящими из точки, так как каждая из них повернется на один и тот же угол. Поясним это более подробно. u v 0 ? ? 1 ? ? 2 w 0 1 w 0 2 ? w 0 x y 0 ? 1 ? 2 z 0 1 z 0 2 ? z 0 Рис. Пусть функция f : B r (z 0 ) ? регулярна и f 0 (z) 6= 0 . Пусть f (z 0 ) . Рассмотрим два гладких контура ? 1 ,? 2 ? проходящие через точку см. рис. 51), те. представимые в виде {z | z = z k (t), t ? [t 0 ? ?,t 0 + ?]}, ? > 0, k ? причем z 0 k (t) 6= и z 1 (t 0 ) = z 2 (t 0 ) = Тогда функция f отображает контуры ? k , k ? 1,2, в кривые {w | w = w k (t) 4 = f (z k (t)), t ? [t 0 ? ?,t 0 + Тогда в силу очевидной формулы) = f 0 (z k (t))z 0 k (t), ? t ? [t 0 ? ?,t 0 + ?], k ? получаем, что w 0 k (t) 6= 0 , ? t, те. кривые являются гладкими контурами џ 25. Конформные отображения в Угол между кривыми ив точке по определению есть угол между касательными векторами и z 0 2 (t 0 ) . Соответственно, угол между кривыми ив точке есть угол между векторами и w 0 2 (t 0 ) . При этом из формулы (6) при = получаем) = откуда следует равенство w 0 k (t 0 ) = arg гл) + Arg z 0 k (t 0 ), ? k ? Из формулы (7) следует, что каждый касательный вектор z 0 k (t 0 ) контура при отображении f поворачивается на один и тот же угол arg гл. То есть угол между двумя кривыми, выходящими из точки z 0 , сохраняется при регулярном отображении, если f 0 (z 0 ) 6= 0 . Это свойство называется свойством сохранения углов. Конформные отображения в C. На основе указанных геометрических свойств производной функции введем понятие конформного отображения в точке из Определение 1. Отображение f : B r (z 0 ) ? называется конформным в точке z 0 ? C , если его компоненты дифференцируемы в точке z 0 = x 0 + iy 0 , а линейное отображение+ представляет собой композицию растяжения и поворота относительно точки Теорема 1. Отображение f конформно в точке z 0 ? тогда и только тогда, когда функция f дифференцируема в точке z 0 и f 0 (z 0 ) 6= Доказательство. То, что дифференцируемая функция, у которой f 0 (z 0 ) 6= 0 , является конформной в точке по определению 1), было показано вначале этого параграфа. Пусть теперь отображение f конформно в точке z 0 = x 0 + Тогда по определению 1 существуют K > 0 и ? ? [0,2?) такие Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции что выражение (8) принимает вид Г ? sin ? ? sin ? cos ? ! откуда следует, что u x = K cos ? , u y = K sin ? , v x = ?K sin ? , v y = K cos ? , те. выполнены условия КошиРимана, в результате чего функция f дифференцируема в точке и |f 0 (z 0 )| = = K 6= Определение 2. Отображение f : G ? C называется конформным в области G ? C, если оно однолистно в области и конформно в каждой точке области Замечание 1. В силу теоремы Гурса (см. замечание 1 џ из того, что функция дифференцируема в каждой точке области следует, что она непрерывно дифференцируема в этой области, те. регулярна. Поэтому ив силу теоремы 1 функция, осуществляющая конформное отображение некоторой области изв комплексную плоскость C является регулярной в данной области. Отсюда ив силу принципа сохранения области (см. теорему 1 џ24) при конформном отображении образом области является область. Конформные отображения в C. Обобщим понятие конформного отображения на случай расширенной комплексной плоскости Отметим, что определенное выше понятие конформности отображения в конечной точке включает в себя два геометрических свойства таких отображений свойство сохранения углов и свойство сохранения окружностей в малом. Мы хотели бы определить конформность отображения в бесконечно удаленной точке ?, опираясь на эти же геометрические свойства, по крайней мерена свойство сохранения углов. Для этого необходимо ввести понятие угла между кривыми в бесконечности. Отметим следующие два свойства стереографической проекции C на сферу Римана S см. џ 2). 1) Угол между любыми двумя гладкими кривыми, пересекающимися в некоторой конечной точке из C, при стереогра- 196 џ 25. Конформные отображения в C фической проекции переходит в равный ему угол между образами данных кривых на сфере Римана S. 2) Отображение плоскости C на плоскость C, осуществляемое функцией w = 1 z , при стереографической проекции соответствует отображению S на себя, получаемому при повороте сферы Римана на угол ? вокруг диаметра сферы с концами в точках, являющихся образами точек +1 и ?1 из В силу этих свойств под углом между двумя неограниченными кривыми в точке ? следует понимать угол между образами этих кривых (при стереографической проекции) на сфере Римана в верхней точке P , если эти образы имеют в точке касательные. Этот угол, в свою очередь, совпадает с углом в точке нуль на плоскости C между новыми кривыми, получаемыми изданных кривых при отображении w = 1/z плоскости на себя. Приведенные выше соображения порождают следующие определения. Определение 3. Пусть функция f : ? B R (?) ? имеет в точке z 0 = устранимую особую точку. Скажем, что отображение конформно в точке ?, если отображение g(z) 4 = f Ў 1 z ў , доопределенное по непрерывности в нуле, конформно в точке нуль. Определение 4. Пусть точка z 0 ? является особой точкой функции f, ноне является устранимой особой точкой. Скажем, что отображение f конформно в точке z 0 , если отображение, доопределенное в точке по непрерывности, конформно в точке Замечание 2. Отметим, что в определении 4 особая точка может быть только полюсом го порядка, так как иначе нарушается однолистность в малом, те. в любой проколотой окрестности особой точки. У пр аж не ни е 1. Докажите справедливость замечания Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции Теперь мы можем ввести понятие отображения, конформного в области из расширенной плоскости C в расширенную плоскость Определение 5. Отображение f : G ? C называется конформным в области G ? C, если оно однолистно на области и конформно в каждой точке области Суммируя вышесказанное, сформулируем следующее ут- верждение. Утверждение 1. Функция f : G ? C осуществляет конформное отображение области G ? C на область f(G) тогда и только тогда, когда f однолистна на G и f регулярна во всех точках области G, за исключением, быть может, двух точек) ?, если ? ? G и ? является устранимой особой точкой или полюсом первого порядка функции f; 2) некоторой конечной точки z 0 ? G , которая является полюсом первого порядка функции f, при этом либо ? /? либо, если ? ? G, то ? есть устранимая особая точка функции Упражнение Докажите справедливость утверждения Исследование конкретных классов конформных отображений, получаемых с помощью элементарных функций, проделаем в следующих трех параграфах џ 26. Дробно-линейные отображения 26. Дробно-линейные отображения В этом параграфе изучим свойства дробно-линейных отображений, как покажем, важнейшего класса конформных отображений плоскости C на себя. Определение 1. Функция (или отображение) вида = az + b cz + где коэффициенты a,b,c,d ? C и ad?bc 6= 0, называется дробно- линейной функцией (или отображением). Доопределим функцию w изв особых точках по непрерывности в C: 1) если c = 0, то полагаем) = ?, (2 0 ) 2) если c 6= 0, то полагаем) = a c , w µ ? d c ¶ = Таким образом, функция (1), (2) отображает C на В случае, когда c = 0, получаем аффинную функцию, свойства которой считаем известными из курса линейной алгебры и аналитической геометрии. Поэтому, как правило, полагаем, что c 6= Теорема 1. Дробно-линейная функция (1), (2) отображает расширенную комплексную плоскость C на всю расширенную комплексную плоскость C конформно. Д ока за тел ь ст во. Докажем однолистность функции) на плоскости C. Из формул (1), (2) элементарными вычислениями можно выразить z через w, в результате чего получаем, что существует обратное отображение вида = ?dw + b cw ? a , (3) z(?) = ? d c , і a c ґ = ?. (4) 199 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции Таким образом, отображение (1), (2) однолистно отображает плоскость C на всю плоскость C, причем, так как определитель Ї Ї Ї Ї Ї ?d b c ?a Ї Ї Ї Ї Ї = ad ? bc 6= то обратное отображение (3), (4) также является дробно- линейным. Докажем конформность функции (1), (2) в каждой точке z 0 плоскости C. 1) Пусть z 0 6= ? d c , z 0 6= ? . Тогда) = a(cz 0 + d) ? c(b + az 0 ) (cz 0 + d) 2 = ad ? bc (cz 0 + d) 2 6= 0. (5) 2) Пусть z 0 = ? d c . Так как lim z?z 0 w(z) = ? , то рассмотрим функцию + d az + b , g 0 (z 0 ) = bc ? ad (az 0 + b) 2 = c 2 cb ? ad 6= Это значит, что функция g конформна в точке z 0 , откуда по определению 4 џ 25 функция w(z) конформна в точке z 0 = ? d c 3) Пусть z 0 = ? . Тогда lim z?? w(z) = a c . Исследуем на конформность функцию w µ 1 ? ¶ = a + b? c + в точке ? 0 = 0 . Вычисляя производную в этой точке) = bc ? ad (c + d? 0 ) 2 = bc ? ad c 2 6= получаем, что функция g конформна в нуле. Отсюда по определению функция w(z) конформна в точке Итак, по определениям 15 џ 25 функция (1), (2) конформно отображает плоскость C на всю плоскость Упражнение. Докажите, что если некоторая функция конформно отображает плоскость C на плоскость, то функция f является дробно-линейной. 200 џ 26. Дробно-линейные отображения Отметим следующее "круговое свойство"дробно-линейных отображений. Теорема 2. При дробно-линейном отображении (1), (2) образом любой окружности или прямой является окружность или прямая. Д ока за тел ь ст во. Для аффмнного отображения (т. е. при c = 0) w = az + b, a 6= круговое свойство, приведенное в формулировке теоремы, очевидно, справедливо, так как из линейной алгебры известно, что аффинное отображение на плоскости сводится к суперпозиции преобразования подобия, поворота и переноса, при которых окружности переходят в окружности, а прямые в прямые. В общем случае (при c 6= 0) представим отображение (1) в виде = a c + ?ad + bc c · 1 cz + те. функцию (1) представим в виде суперпозиции трех отображений+ В формулах (7) два отображения являются аффинными, и, как уже отмечали выше, они обладают круговым свойством. Осталось доказать, что отображение t также обладает круговым свойством. Зададим произвольную окружность ? в плоскости ? = ? + +i? . Как следует из аналитической геометрии, она описывается некоторым уравнением го порядка+ ? 2 ) + B? + C? + D = где A,B,C,D действительные числа, удовлетворяющие условиям. В случае, когда A = 0, уравнение) описывает некоторую прямую. Так как ? 2 + ? 2 = |?| 2 = = ?? , ? = 1 2 (? + ?) , ? = 1 2i (? ? ?) , то уравнение (8) можно переписать в виде + µ B 2 + C 2i ¶ ? + µ B 2 ? C 2i ¶ ? + D = 0. (9) 201 Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции Отображение t преобразует окружность (9) в кривую, уравнение которой имеет вид + µ B 2 + C 2i ¶ t + µ B 2 ? C 2i ¶ t + Dtt = Очевидно, что уравнение (10) в случае, когда D 6= 0, также является уравнением окружности, а в случае, когда D = является уравнением прямой. Замечание 1. При дробно-линейном отображении окружности или прямой нетрудно уточнить, что же конкретно будет ее образом окружность или прямая. Для этого достаточно посмотреть на точку z 0 = ? d c , для которой w(z 0 ) = ? . Если точка принадлежит исходной кривой, то образом будет прямая, в противном случае ее образом будет окружность. Из средней школы известно понятие точки, симметричной данной точке относительно прямой. Расширим это понятие на случай окружности. x y 0 A M M ? Рис. Определение 2. Пусть на плоскости R 2 задана окружность ? радиуса R сцен- тром в точке A см. рис. 52). Точки M и M ? называются симметричными относительно окружности ?, если они лежат на одном луче, выходящем из центра A, и справедливо равенство | · |AM ? | = Переходя на язык комплексных чисел, получаем, что точки являются симметричными относительно окружности = {z | |z ? a| = R} , если справедливо равенство a = R 2 z 0 ? Так как в формуле (12) при z 0 ? получаем z ? 0 ? ? , то будем считать, что точки a и ? также являются симметричными относительно окружности ? = {z | |z ? a| = R}. 202 џ 26. Дробно-линейные отображения Теорема 3. При всяком дробно-линейном отображении, (2) пара точек, симметричных относительно некоторой окружности или прямой, переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой кривой. Замечание 2. В силу сходства получаемых свойств дробно- линейных отображений, связанных как с окружностями, таки с прямыми, для краткости изложения в формулировках теорем будем окружностью называть не только окружности, но также и прямые. Для доказательства теоремы 3 нам потребуется следующая Лемма 1. Точки и являются симметричными относительно данной окружности (или прямой) ? тогда и только тогда, когда любая окружность или прямая ?, проходящая через точки и z ? 0 , пересекает окружность ? под прямым углом. Д ока за тел ь ст во. Необходимость. Пусть точки z 0 и z ? 0 симметричны относительно окружности ? радиуса R сцен- тром в точке a. Пусть ? произвольная окружность, проходящая через точки и см. рис. Рис. Проведем через точку касательную прямую L кок- ружности ?. При этом обозначим через ? точку касания окружности ?, те По теореме о касательной и секущей получаем, что ? a| 2 = |z 0 ? a| · |z ? 0 ? Отсюда и из определения о симметричных точках (равенство (12)) получаем, что |? ? ? a| = R , те. точка ? лежит на окружности ?, те. точка ? есть точка пересечения окружностей ? и ?. Так как радиус [a,?] окружности перпендикулярен касательной l к окружности проведенной через точку ?, то касательные L и l перпендикулярны, те. окружности ? и ? перпендикулярны Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции Достаточность. Пусть точки z и таковы, что любая окружность ?, проходящая через эти точки, перпендикулярна данной окружности ? радиуса R с центром в точке a. 1) Рассмотрим в качестве кривой ? прямую, проходящую через точки z и z ? . Так как по условию прямая ? перпендикулярна окружности ?, то прямая ? проходит через центр Более того, точки z и лежат на одном луче с началом в точке, так как в противном случае, проведя окружность с диаметром, совпадающим с отрезком [ |