Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
общим уравнением Шредингера или временн м уравнением Шредингера. В квантовой механике оно играет такую же роль, как уравнение Ньютона в классической. Уравнение Шредингера справедливо для любой микрочастицы, дви- жущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т.е. со скоростью v << c. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и не- прерывной; 2) производные ∂ ∂ Ψ x , ∂ ∂ Ψ y , ∂ ∂ Ψ z , ∂ ∂ Ψ t должны быть непрерывны; 3) функция | Ψ| 2 должна быть интегрируема; это условие в простей- шем случае сводится к условию нормировки вероятностей (П.2.2). 4. Уравнение Шредингера для стационарных состояний В общем уравнении Шредингера (П.3.1) функция U(x, y, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется. Если силовое поле стационарно, то функция U не зависит от времени [ U = U(x, y, z)] и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера (П.3.1) можно искать в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени: Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z)j(t). (П.4.1) Подставив функцию (П.4.1) в уравнение Шредингера (П.3.1) и разделив левую и правую части на произведение ψ(x, y, z)j(t), по- лучим 1 2 1 2 ψ ψ ψ j j x y z m x y z U x y z x y z i t t , , , , , , , , ( ) − ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ∆ d )) d t . (П.4.2) Так как левая часть уравнения зависит только от координат, а правая — только от времени, то их можно приравнять одной и той же постоянной разделения, в качестве которой, как можно показать, можно выбрать E — полную энергию частицы. Таким образом, − ( ) + ( ) ( ) = ( ) 2 2 m x y z U x y z x y z E x y z ∆ψ ψ ψ , , , , , , , , , (П.4.3) i t E t d d j j = ( ) (П.4.4) 308 Уравнение (П.4.3) называют стационарным уравнением Шре дингера. Его обычно записывают в более удобном виде: ∆ψ ψ + − ( ) = 2 0 2 m E U (П.4.5) Явный вид стационарного уравнения Шредингера определяется конкретной зависимостью U(x, y, z). Решая уравнение (П.4.4), получаем, что j t C i Et ( ) = − e , (П.4.6) где C — произвольная постоянная. Подставляя (П.4.6) в (П.4.1), ви- дим, что в случае стационарного силового поля состояние частицы описывается волновой функцией Ψ x y z t z y z i Et , , , , , ( ) = ( ) − ψ e (П.4.7) [постоянная C включена в функцию ψ(x, y, z), откуда следует, что стационарность состояния не исключает зависимости волновой функции от времени, а только ограничивает ее гармоническим за- коном e − i Et ]. В стационарном состоянии плотность вероятности w = |Ψ(x, y, z, t)| 2 = |ψ(x, y, z)| 2 (П.4.8) выражается только через ψ(x, y, z) и не зависит от времени. Обще- принято ψ(x, y, z) также называть волновой функцией, хотя она является только координатной (амплитудной) частью волновой функции Ψ(x, y, z, t) стационарного состояния. В уравнение Шредингера (П.4.5) в качестве параметра входит пол- ная энергия E. Решения этого уравнения (при условии, что ψ должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными) имеют место при определенном наборе E. Эти значения энергии называются собственными. Они могут об- разовывать как непрерывный, так и дискретный спектр энергий. 5. движение свободной частицы Свободной частице — частице, движущейся в отсутствие внешних полей, — согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна де Бройля. Известно, что уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, имеет вид (см. § 113) ξ(x, t) = Acos(ωt – kx) или в ком- плексной записи ξ(x, t) = Ae i( ωt – kx) . Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид Ψ x t A i Et px , ( ) = − − ( ) e (П.5.1) 309 При записи плоской волны де Бройля учтено, что ω = E , k p = ( ω — циклическая частота; k — волновое число; E — энергия ча- стицы, p — ее импульс). Показатель экспоненты в плоской волне де Бройля берется со знаком «минус», но это несущественно, так как физический смысл имеет | Ψ| 2 = Ψ * Ψ. В случае свободной частицы внешние силы отсутствуют, поэтому U(x) = const (рассматриваем одномерный случай, и ось x совпадает с направлением движения) и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. При рассмотренных выше условиях стационарное уравнение Шредингера (П.4.5) запишется в виде (учли, что для одномерной задачи ∆ = ∂ ∂ 2 2 x ) ∂ ∂ + = 2 2 2 2 0 ψ ψ x m E (П.5.2) или ∂ ∂ + = 2 2 2 0 ψ ψ x k , (П.5.3) где k mE p x 2 2 2 2 2 = = (П.5.4) Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным ре- шением уравнения (П.5.3) является функция ψ(x) = Ae ikx ( A = const, k = const) с собственным значением энергии E k m p m x = = 2 2 2 2 2 (П.5.5) Функция ψ x A A ikx i mE x ( ) = = e e 2 представляет собой координат- ную часть волновой функции Ψ(x, t), поэтому зависящая от времени волновая функция (см. (П.4.7)) ψ ψ x t x A i Et i Et p x x , ( ) = ( ) = − − − ( ) e e (П.5.6) Таким образом, свободная частица в квантовой механике описы- вается плоской волной де Бройля [сравни (П.5.1) и (П.5.6)]. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности об- наружения частицы в данной точке пространства | Ψ| 2 = ΨΨ * = |A| 2 , т. е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными. Зависимость энергии от импульса [см. (П.5.5)] оказывается обыч- ной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной 310 частицы может принимать любые значения (так как волновое чис- ло k может принимать любые положительные значения), т.е. энерге- тический спектр свободной частицы является непрерывным. 6. частица в потенциальном ящике. квантование энергии Рассмотрение частицы в потенциальном ящике — одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками — имеет боль- шое значение, так как потенциальная яма есть первое приближение силового поля, связывающего электроны в атоме, а также атомы в кристаллической решетке. Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси x и ее движение ограничено непроницаемыми стенками: x = 0 и x = l. Потенциальная энергия (рис. П.1) равна нулю при 0 ≤ x ≤ l и обра- щается в бесконечность при x < 0 и x > l. Применим к частице, движущейся в потенциальной яме, стацио- нарное уравнение Шредингера (П.4.5), учитывая, что для одномерной задачи ∆ = ∂ ∂ 2 2 x : ∂ ∂ + − ( ) = 2 2 2 2 0 ψ ψ x m E U (П.6.1) Частица за пределы ямы не проникает, т.е. в области x < 0 и x > l функция ψ(x) ≡ 0, а из условия непрерывности следует, что ψ должна быть равна нулю и на границах ямы, т.е. ψ(0) = ψ(l) = 0. (П.6.2) В пределах ямы (0 ≤ x ≤ l) уравнение Шредингера ∂ ∂ + = 2 2 2 2 0 ψ ψ x m E или ∂ ∂ + = 2 2 2 0 ψ ψ x k , (П.6.3) где k mE 2 2 2 = (П.6.4) Общее решение дифференциального уравнения (П.6.3) ψ(x) = Asinkx + Bcoskx. Так как по (П.6.2) ψ(0) = 0, то B = 0. Тогда ψ(x) = Asinkx. (П.6.5) рис. П.1 311 Условие [см. (П.6.2)] ψ(l) = A sin kl = 0 выполняется только при kl = nπ, где n — целые числа, т.е. необходимо, чтобы k n l = π (n = 1, 2, 3, …) (П.6.6) ( n = 0 отпадает, так как тогда ψ(x) ≡ 0 — частица нигде не находит- ся). Из выражений (П.6.4) и (П.6.5) получим собственные значения энергии (см. п. 4): E n ml n = 2 2 2 2 2 π (n = 1, 2, 3, …), (П.6.7) т. е. спектр энергии частицы является дискретным (или кванто- ванным). Квантованные значения E n называют уровнями энергии, а число n, их определяющее, — главным квантовым числом. Из формулы (П.6.7) следует, что существует минимальная, не равная нулю энергия: E ml 1 2 2 2 2 = π , (П.6.8) соответствующая основному состоянию частицы. Наличие отлич- ной от нуля минимальной энергии противоречит классической механике и не противоречит соотношению неопределенностей. В самом деле, частица «зажата» в области, на границах которой U → ∞, поэтому ее положение известно с неопределенностью ∆x ≈ l. Тогда согласно (П.1.1), неопределенность импульса ∆p x ≥ /l. Таким образом, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками не может иметь энергию меньше минимальной, равной π 2 2 2 2 ml [см. (П.6.8)]. Расстояния между соседними энергетическими уровнями, со- гласно (П.6.7): ∆E E E ml n ml n n n n = − = + ( ) ≈ +1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 π π . Например, для электрона при размерах ямы l = 10 −1 м (свободные электроны в металле) E n ≈ 10 −35 n Дж ≈ 10 −16 n эВ, т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно счи- тать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными ( l ≈ 10 −10 м), то для электрона ∆E n ≈ 10 −17 n Дж ≈ 10 2 n эВ, т.е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками приводит к кван- тованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает. 312 Подставив в (П.6.5) значение k [см. (П.6.6)], найдем собственные функции: ψ π n x A n l x ( ) = sin , где постоянная интегрирования A l = 2 (находится из условия нормировки (П.2.2)) A n l x x l 2 2 0 1 sin π d ∫ = Тогда нормированные соб- ственные функции ψ π n x l n l x ( ) = 2 sin ( n = 1, 2, 3, …). (П.6.9) На рис. П.2 изображена схема энергетических уровней: энергии возбужденных состояний 4 E 1 , 9 E 1 , …, соответственно значениям квантового числа n = 2, 3, … [см. (П.6.7)]. На рисунке представлены также для n = 1, 2, 3 собственные функции (П.6.9) и плотности веро- ятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равные ψ ψ ψ n n n x x x ( ) = ( ) ( ) 2 * . Из рисунка следует, что, напри- мер, в состоянии с n = 2 частица не может находиться в середине ямы, в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны. 7. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер Частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути прямоугольный одномерный потенциальный барьер высотой U 0 и шириной l (рис. П.3). Если энергия классической частицы больше высоты барьера (см. рис. П.3), то она проходит над барьером (в области 2 скорость части- цы меньше, поскольку здесь кинетическая энергия T 2 = E – U 0 ), а в рис. П.2 313 области 3 она движется с той же скоростью, что и в области 1. Если же E < U 0 (рис. П.4), то классическая частица не может преодолеть потенциального барьера, так как при E < U 0 (потенциальная энергия больше полной) кинетическая энергия частицы в области 2 должна быть отрицательной (что, очевидно, невозможно), а скорость — мни- мой. Поэтому частица от потенциального барьера отразится, изменив направление своего движения на противоположное. Согласно квантовой механике, даже при E > U 0 имеется отлич- ная от нуля вероятность того, что квантовая частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. Кроме того, для микрочастицы, даже при E < U 0 имеется отличная от нуля вероят- ность, что частица окажется в области x > l, т.е. проникнет сквозь барьер. Данный, казалось бы, парадоксальный вывод следует не- посредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движения микрочастицы при данных условиях задачи. В случае E < U 0 (см. рис. П.4) стационарные уравнения Шредин- гера запишутся в виде область 1 и 3 : ∂ ∂ + = = 2 1 3 2 2 1 3 2 0 2 ψ ψ , , ; x k k mE (П.7.1) область 2 : ∂ ∂ − = 2 2 2 2 2 0 ψ β ψ x β = − ( ) 2 0 2 m U E (П.7.2) Общие решения этих дифференциальных уравнений для облас- тей 1, 2 и 3 : ψ 1 1 1 x A B ikx ikx ( ) = + − e e , (П.7.3) ψ β β 2 2 2 x A B x x ( ) = + − e e , (П.7.4) ψ 3 3 3 x A B ikx ikx ( ) = + − e e (П.7.5) В частности, для области 1 полная волновая функция будет иметь вид: рис. П.3 рис. П.4 314 ψ ψ 1 1 1 1 1 1 x t x A B i Et i Et p x i Et p x , , ( ) = ( ) = + − − − ( ) − + ( ) e e e (П.7.6) где первое слагаемое представляет собой плоскую волну, распро- страняющуюся в положительном направлении оси x (соответствует частице, движущейся в сторону барьера), а второе — волну, распро- страняющуюся в противоположном направлении, т.е. отраженную от барьера (соответствует частице, движущейся от барьера налево). Решение (П.7.5) содержит также волны (после умножения на вре- менной множитель), распространяющиеся в обе стороны. Однако в области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распро- страняющаяся слева направо. Поэтому коэффициент B 3 в формуле (П.7.5) следует принять равным нулю. Тогда ψ 3 3 x A ikx ( ) = e (П.7.7) Внутри барьера решение (П.7.4) уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели экспонент не мнимые, а действительные. Однако теперь нельзя от- брасывать экспоненциально возрастающее решение, так как область, где U 0 > E, имеет конечные размеры. Если βl >> 1 (показатели экспонент в решении (П.7.4) сильно изменяются от одной границы барьера к другой), то из условий не- прерывности функций ψ 1 и ψ 2 и их первых производных и, найдя коэффициенты A 2 и B 2 , получим, что B 2 >> A 2 . Следовательно, на границе потенциального барьера, где x = 0, определяющим членом волновой функции является член, содержащий B 2 e −βx На рис. П.5 приведен качественный характер функций ψ 1 ( x), ψ 2 ( x) и ψ 3 ( x), откуда следует, что вол- новая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т.е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Следовательно, получили, что частица имеет отличную от нуля вероятность про- хождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины. Таким образом, квантовая механика приводит к принципиальному новому специфическому квантовому явлению, получившему название |