Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
туннельного эффекта, в результате которого микро- объект может «пройти» сквозь потенци- альный барьер. рис. П.5 315 Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффи циента прозрачности, который, как определяется, равен отноше- нию квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волн: D A A = 3 2 1 2 Вновь воспользовавшись условиями для непрерывности ψ и ψ′ на границах барьера x = 0 и x = l и предположением, что коэффициент прозрачности мал по сравнению с единицей, получаем D D m U E l = − − ( ) 0 2 2 e , (П.7.8) где D 0 — постоянный множитель, который можно приравнять еди- нице; U — высота потенциального барьера; E — энергия частицы; l — ширина барьера. Из формулы (П.7.8) следует, что коэффициент прозрачности (вероятность проникновения сквозь потенциальный барьер) быстро убывает с увеличением ширины барьера, а также с ростом его вы- соты. Подчеркнем еще раз, что туннельный эффект — эффект специ- фически квантовый, обусловленный волновыми свойствами частиц и не имеющий аналога в классической физике. Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (например, α-распад, протекание термоядерных реакций). 8. гармонический осциллятор Линейный гармонический осциллятор — система, совершающая движение под действием квазиупругой силы F = −kx. Осциллятор называют одномерным, если система, например частица, движется вдоль одной прямой. Задача о гармоническом осцилляторе в квантовой теории играет фундаментальную роль по двум причинам: 1) она встречается во всех задачах, где имеют место квантованные колебания (например, в квантовой теории поля, в теории молекуляр- ных и кристаллических колебаний и т.д.); 2) проблемы, относящиеся к гармоническому осциллятору, — хо- рошая иллюстрация основных принципов и формализма квантовой механики. Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора равна: 316 U m x = ω 0 2 2 2 , (П.8.1) где m — масса частицы; ω 0 — собственная частота колебаний осцил- лятора; x — отклонение от положения равновесия. Гармонический осциллятор в квантовой механике — квантовый осциллятор — описывается уравнением Шредингера (П.4.5), учи- тывающим выражение (П.8.1) для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида ∂ ∂ + − = 2 2 2 0 2 2 2 2 0 ψ ω ψ x m E m x , (П.8.2) где E — полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что урав- нение (П.8.2) имеет однозначные, конечные и непрерывные решения при собственных значениях E n n = + 1 2 0 ω (n = 1, 2, …). (П.8.3) Из формулы (П.8.3) следует: энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т.е. квантуется. Кроме того, уровни энергии расположены на одинаковых расстояниях друг от друга (на рис. П.6 они изображены горизонтальными прямыми), а именно расстояние между соседними энергетическими уровня- ми равно ω 0 , причем минимальное значение энергии квантового осциллятора E 0 0 1 2 = ω , (П.8.4) она называется энергией нулевых колебаний. Наличие энергии нулевых колебаний типично для квантовых систем и является следствием соотношения неопределенностей: частица не может находиться на дне потенциальной ямы независимо от ее формы. Если бы это было возможно, то импульс, а также его неопределенность обращались бы в нуль. Тогда неопределенность координаты ∆x → ∞, что противоречит пребыванию частицы в по- тенциальной яме. Плотность вероятности обнаружить частицу на оси x определя- ется квадратом модуля волновой функции | ψ(x)| 2 . На рис. П.6 пред- ставлены кривые распределения плотности вероятности | ψ n ( x)| 2 для различных состояний квантового осциллятора (для n = 0, 1 и 2). В точках A и A ′, B и B′, C и C′ потенциальная энергия равна полной энергии ( U 0 = E), причем, как известно, классический осциллятор не может выйти за пределы этих точек. 317 Для квантового осциллятора | ψ n ( x)| 2 и за пределами этих точек имеет конечные значения. Это означает, в свою очередь, что имеется конеч- ная, хотя и небольшая, вероятность обнаружить частицу за пределами «потенциальной ямы». Этот результат не противоречит выводам кван- товой механики, поскольку равенство T = E – U в квантовой механике не имеет силы, так как кинетическая ( T) и потенциальная (U) энергии не являются одновременно измеримыми величинами. 9. атом водорода в квантовой механике 9.1. Собственные значения энергии Завершающий шаг в создании теории атома — квантово-меха- ническая теория атома водорода. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром в атоме водорода U r e r ( ) = − 2 0 4 πε , (П.9.1) где r — расстояние между электроном и ядром. Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредин- гера (П.4.5), учитывающему значение (П.9.1): ∆ψ πε ψ + + = 2 4 0 2 2 0 m E e r , (П.9.2) где m — масса электрона; E — полная энергия электрона в атоме. рис. П.6 318 Кулоновское поле ядра, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, поэтому уравнение (П.9.2) целесо- образно решать в сферических координатах r, ϑ, j, считая, что ψ = ψ(r, ϑ, j). Записав оператор Лапласа в сферических координатах (исполь- зовали справочные данные) и подставив его в (П.9.2), уравнение Шредингера запишется в виде 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 r r r r r r ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ψ ϑ ϑ ϑ ψ ϑ ϑ ψ j sin sin sin ++ + = 2 4 0 2 2 0 m E e r πε ψ (П.9.3) Не вдаваясь в математическое решение этой задачи [уравне- ние (П.9.3) решается методом разделения переменных], мы огра- ничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический смысл. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что ре- шения уравнения (П.9.3) являются непрерывными, однозначными и конечными в следующих случаях: 1) при любых положительных непрерывных значениях энергии; 2) при дискретных отрицательных значениях энергии. Первый случай соответствует свободному электрону, второй — получаемым из уравнения Шредингера собственным значениям энергии E n me h n = − 1 8 2 4 2 0 2 ε ( n = 1, 2, 3, …), (П.9.4) в точности совпадающими [см. (153.4)] с уровнями энергии в модели атома Бора. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные постулаты, то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера. 9.2. Квантовые числа Собственные функции уравнения (П.9.3) содержат три целочис- ленных параметра n, l и m l : ψ ψ j = ( ) nlm l r, , . ϑ Целое число n, называемое главным квантовым числом, со- впадает с номером уровня энергии [см. (П.9.4)], определяя энергию 319 электрона в атоме; оно может принимать только целые положи- тельные значения: n = 1, 2, 3, … . (П.9.5) Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент им- пульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т.е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые по формуле L l l l = + ( ) 1 , (П.9.6) где l — орбитальное квантовое число, которое при заданном n принимает значения l = 0, 1, …, (n – 1), (П.9.7) т. е. всего n значений, и определяет модуль момента импульса электрона в атоме. Из решения уравнений Шредингера следует также, что век- тор L l момента импульса электрона может иметь лишь такие ориен- тации в пространстве, при которых его проекции L lz на направле- ние z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные : L m lz l = , (П.9.8) где m l — магнитное квантовое число. Так как проекция вектора не может быть больше модуля этого вектора, то m l l l ≤ + ( ) 1 , т. е. максимально возможное значение | m l | = l. Следовательно, при заданном l магнитное квантовое число m l может принимать 2 l + 1 различных значений: m l = 0, ±1, ±2, …, ±l. (П.9.9) Таким образом, магнитное квантовое число m l определяет про- екцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2 l + 1 ориентаций. Так как при данном n орбитальное квантовое число l может из- меняться от 0 до n – 1, а каждому значению l соответствует 2l + 1 различных значений m l , то число различных состояний, соответ- ствующих данному n, равно 2 1 0 1 2 l n l n + ( ) = = − ∑ (П.9.10) Квантовые числа и их значения являются следствием решений уравнений Шредингера и условий однозначности, непрерывности и конечности, налагаемых на волновую функцию ψ. 320 В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, характеризующееся квантовыми числами l = 0, называют s-состоянием (электрон в этом состоянии называют s-электроном), l = 1 — p-состоянием, l = 2 — d-состоянием, l = 3 — f-состоянием и т.д. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа. Например, электро- ны в состояниях с n = 2 и l = 0 и 1 обозначаются соответственно символами 2 s и 2p. 9.3. Энергетический спектр Энергетический спектр атома водорода может быть детализиро- ван по сравнению со спектром, полученным в теории Бора (см. рис. 180). Излучение происходит в результате перехода электрона из одного состояния в другое. Однако не все переходы возможны. Возмож- ными являются лишь переходы, разрешенные правилами отбора. Теоретически доказано и экспериментально подтверждено, что для электрона, движущегося в центрально-симметричном поле ядра, могут осуществляться только такие переходы, для которых: 1) изменение орбитального квантового числа ∆l удовлетворяет условию ∆l = ±1, (П.9.11) 2) изменение магнитного квантового числа ∆m l удовлетворяет условию ∆m l = 0, ±1. (П.9.12) Отметим, что правила отбора не накладывают ограничений на главное квантовое число: оно может изменяться на любое значе- ние. Учитывая число возможных состояний, соответствующих данно- му n, и правило отбора (П.9.11), рассмотрим спектральные линии атома водорода (рис. П.7). Серии Лаймана соответствуют переходы np → 1s (n = 2, 3, …); серии Бальмера — np → 2s, ns → 2p, nd → 2p (n = 3, 4, …); и т. д. Переход электрона из основного состояния в возбужденное свя- зан с увеличением энергии атома и может происходить только при сообщении атому энергии извне, например за счет поглощения ато- мом фотона. Так как поглощающий атом при нормальных условиях находится в основном состоянии, то спектр атома водорода должен 321 состоять из линий, соответствующих переходам 1 s → np (n = 2, 3, …), что находится в полном согласии с опытом. 10. 1s-Состояние электрона в атоме водорода 1 s-Состояние электрона в атоме водорода является сферически- симметричным. Волновая функция ψ электрона в этом состоянии определяется только расстоянием r электрона от ядра, т.е. ψ = ψ 100 ( r), где цифры в индексе соответственно указывают, что n =1, l = 0 и m l = 0. Стационарное уравнение Шредингера [см. (П.9.3)] для 1 s-состояния электрона в атоме водорода запишется в виде 1 2 4 0 2 2 2 2 0 r r r r m E e r ∂ ∂ ∂ ∂ + + = ψ πε ψ , или ∂ ∂ + ∂ ∂ + + = 2 2 2 2 0 2 2 4 0 ψ ψ πε ψ r r r m E e r (П.10.1) Волновую функцию, описывающую 1 s-состояние электрона в атоме водорода, будем искать в виде рис. П.7 322 ψ = Ce −r/a , (П.10.2) где a — постоянная, имеющая размерность длины, а C — некоторая постоянная, определяемая из условия нормировки. После подста- новки ψ, ∂ ∂ ψ r и ∂ ∂ 2 2 ψ r в уравнение (П.10.1), сокращения на Ce −r/a и перегруппировки членов получим 1 2 2 4 1 0 2 2 2 0 2 a mE r me a + + − = πε Это уравнение должно тождественно удовлетворяться для любых значений r, поэтому 1 2 0 2 2 a mE + = и me a 2 0 2 4 1 0 πε − = . (П.10.3) После элементарных преобразований и подстановок получим a me = ⋅ 2 0 2 4 πε и E me h o = – , 4 2 2 8 ε причем a совпадает с первым боровским радиусом [ср. в (153.4)], а полученное выражение для энергии совпадает со значением энергии основного состояния ( n = 1) атома водорода [см. (153.4)]. Благодаря сферической симметрии ψ-функции вероятность обна- ружения электрона на расстоянии r одинакова по всем направлениям. Поэтому элемент объема d V, отвечающий одинаковой плотности вероятности, обычно представляют в виде объема сферического слоя радиусом r и толщиной dr: dV = 4πr 2 d r. Вероятность обнаружить электрон в элементе объема d V d W = |ψ(r)| 2 d V = |ψ| 2 4 πr 2 d r. Подставив в эту формулу выражение (П.10.2) для волновой функ- ции основного состояния, получим d e d W C r r r a = − 2 2 2 4 π Чтобы найти расстояния от ядра, на которых электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью, необходимо исследовать выражение для плотности вероятности w W r r C r a = = − d d e 4 2 2 2 π (П.10.4) на максимум. Дифференцируя функцию r r a 2 2 e − и приравнивая про- изводную нулю, получаем искомое наиболее вероятное расстояние электрона от ядра 323 r в = a, равное боровскому радиусу. Плотность вероятности найти электрон в шаровом слое на расстоянии r от ядра при n = 1 определяется функцией (П.10.4). График этой функции приведен на рис. П.8. Из рисунка видно. что эта функция обраща- ется в нуль вместе с r 2 в начале координат, за- тем, возрастая, проходит через максимум при r = a и экспоненциально убывает при боль- ших r. На рис. П.8 пунктиром представлена также плотность вероятности обнаружения электрона по теории Бора (классической теории), откуда следует, что плотность вероятности обнаружить электрон в 1 s-состоянии отлична от нуля только для r = a. Согласно квантовой механике, плотность вероятности лишь при r = a достигает максимумам, оставаясь отличной от нуля во всем пространстве. Таким образом, в основном состоянии атома водорода наи- более вероятным расстоянием электрона до ядра является рас- стояние, равное боровскому радиусу. В этом заключается квантово- механический смысл боровского радиуса. 11. спин электрона. спиновое и магнитное спиновое квантовые числа Штерном и Герлахом (1922) ставились опыты по измерению маг- нитных моментов атомов различных элементов. В вакууме с помощью полюсных наконечников S и N специальной формы создавалось магнитное поле, неоднородное вблизи полюса S (рис. П.9) Узкий пучок атомов водорода, заведомо находящихся в s-состоянии, про- пускался вдоль оси y. Вдоль оси z происходило расщепление пучка, но всегда наблюдалось только два пучка, одинаково отклоненных в противоположные стороны и расположенных симметрично от- носительно пучка в отсутствие магнитного поля. рис. П.8 рис. П.9 324 В опытах Штерна и Герлаха атомы водорода находились в s-со- стоянии (орбитальное квантовое число l = 0), поэтому, согласно (П.9.6), L l l l = + ( ) = 1 0. Магнитный момент атома пропорционален механическому моменту, поэтому он равен нулю, и магнитное поле не должно оказывать влияния на движение атомов водорода в основном состоянии, т. е. расщепления быть не должно. Однако в дальнейшем при применении спектральных приборов с большой разрешающей способностью было доказано, что спектральные линии атома водо- рода обнаруживают тонкую структуру (являются дублетами) даже в отсутствие магнитного поля. Для объяснения опытов Штерна и Герлаха Дж. Уленбек и С. Гаудсмит (1925) высказали гипотезу о том, что электрон обладает |