Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
кинематическими уравне ниями движения материальной точки. Линия, описываемая движущейся материальной точкой (или телом) относительно выбранной системы отсчета, называется тра екторией. В различных системах отсчета траектория разная, причем ее вид зависит от начальныхусловий и сил, действующих на ма- териальную точку. Так, для человека, едущего на велосипеде, кажется, что конец педали опи- сывает окружность, а для человека, стоящего на дороге, — это сложная кривая, называемая циклоидой. В зависимости от вида траектории разли- чают: – прямолинейное движение (траектория в данной системе отсчета — прямая линия (напри- мер, движение выпущенного из рук камня)); рис. 4 11 – криволинейное движение (траектория в данной системе отсче- та — кривая (например, движение артиллерийского снаряда)). Предположим, что материальная точка (рис. 4) в начальный мо- мент времени t 0 находится в точке A (ей соответствует радиус- век- тор r 0 ), а в момент времени t = t 0 + ∆t — в точке B (ей соответствует радиус-вектор r ). Длину участка траектории AB, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называют длиной пути ∆s. Это скалярная функция времени: ∆s = ∆s(t). Единица длины пути — 1 м (см. Введение). Вектор ∆ r r r = − 0 , проведенный из начального положения движу- щейся точки в положение ее в данный момент, называют вектором перемещения. Это приращение радиуса-вектора материальной точки за рассматриваемый промежуток времени. Как следует из рисунка, вектор ∆r направлен вдоль хорды из положения движущейся точки в начальный момент времени в ее положение в данный момент вре- мени. Поэтому в общем случае ∆ ∆ r s ≠ Подчеркнем еще раз, что траектория, пройденный путь и вектор перемещения зависят от выбранной системы отсчета, что указывает на относительность механического движения. § 4. скорость Каждый человек использует термин «скорость», подразумевая под ней путь, проходимый телом за единицу времени. В физике скорость — векторная физическая величина, характеризующая как быстроту перемещения тела вдоль траектории, так и направление его движения в каждый момент времени. Предположим, что за время ∆t = = t − t 0 материальная точка совершила перемещение ∆r (рис. 5). Физическая величина, равная от- ношению вектора перемещения ∆r к промежутку времени, за который это перемещение произошло, называется средней скоростью материальной точки за промежуток времени ∆t: v r t = ∆ ∆ Направление вектора средней ско- рости совпадает с направлением ∆r (см. рис. 5), вдоль хорды, стягиваю- щей участок траектории ∆s. Только рис. 5 12 при прямолинейном движении в одном направлении ∆ ∆ s r = . В этом случае v s t = ∆ ∆ (4.1) При неограниченном уменьшении ∆t средняя скорость стремится к пре- дельному значению, которое называют мгновенной скоростью: v r t r t t = = → lim ∆ ∆ ∆ 0 d d (4.2) Мгновенная скорость v, таким образом, определяется первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. В случае равномерного и прямолинейного движения v = const. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (см. рис. 5). Модуль мгновенной скорости v v r t r t s t s t t t t = = = = = → → → lim lim lim , ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 0 0 0 d d т. е. определяется первой производной пути по времени: v s t = d d (4.3) Единица скорости в СИ — метр в секунду (1 м/с) — скорость движения, при котором материальная точка за 1 с перемещается на расстояние 1 м. Если выражение d s = vdt [см. формулу (4.3)] проинтегрировать по времени в пределах от t до t + ∆t, то найдем длину пути, пройденного точкой за время ∆t: s v t t t t = + ∫ d ∆ Для равномерного прямолинейного движения s v t v t t t t = = + ∫ d ∆ ∆ . Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t 1 до t 2 , определяется интегралом s v t t t t = ∫ ( ) . d 1 2 рис. 6 13 Если построить график зависимости v от t (рис. 6), то площадь выделенной на рисунке полоски определяет v(t)dt. Тогда пройден- ный путь можно представить как площадь фигуры, ограниченной кривой v(t), осью t и прямыми t = t 1 и t = t 2 § 5. Ускорение В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и на- правлению, является ускорение. Средним ускорениемнеравномерного движения в интервале от t до t + ∆t называется векторная величина, равная отношению измене- ния скорости ∆v к интервалу времени ∆t, за которое это изменение произошло: a v t = ∆ ∆ Направление вектора среднего ускорения совпадает с векто- ром ∆v только в том случае, если тело движется прямолинейно. Мгновенным ускорением a (ускорением) материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения: a a v t v t t t = = = → → lim lim , ∆ ∆ ∆ ∆ 0 0 d d (5.1) т. е. ускорение — векторная величина, определяемая первой произ- водной скорости по времени. Вектор ускорения можно представить в виде двух составляющих (рис. 7): – тангенциальной a v t v t t τ = = → lim , ∆ ∆ ∆ 0 d d (5.2) т. е. равной первой производной по времени от модуля скорости: она характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории); – нормальной a v r n = 2 , (5.3) характеризующей быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории). Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциаль- ной и нормальной составляющих (см. рис. 7): 14 a a a n = + τ Тангенциальная и нормальная составляющие взаимно перпенди- кулярны, поэтому модуль полного ускорения a a a n = + τ 2 2 Единица ускорения в СИ — метр на секунду в квадрате (1 м/с 2 ) — ускорение, при котором за время 1 с скорость материальной точки изменяется на 1 м/с. § 6. кинематика вращательного движения абсолютно твердого тела Рассмотрим абсолютно твердое тело (тело, которое ни при ка- ких условиях не деформируется и при всех условиях расстояние между двумя точками постоянно), которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описы- вать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения (см. § 2). Радиус-вектор каждой точки (вектор, проведенный из центра соответствующей окружности в данную точку) за малый про- межуток времени d t повернется на один и тот же угол d j (рис. 8). При вращении мерой поворота тела за элементарный промежуток времени d t является вектор элементарного углового перемещения d j (см. рис. 8), численно равный d j и направленный вдоль оси вра- щения так, что его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается рис. 8 рис. 7 15 в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого винта. Векторная величина ω j j = = → lim ∆ ∆ ∆ t t t 0 d d (6.1) называется угловой скоростью тела. Угловая скорость ω направлена вдоль оси, вокруг которой вращает- ся тело, в сторону, определяемую правилом правого винта (рис. 9). Единица угловой скорости в СИ — радиан в секунду (1 рад/с) — угловая скорость равномерно вращающегося тела, все точки которого за время 1 с поворачиваются относительно оси на угол 1 рад. Вращение с постоянной угловой скоростью ( ω = const) называ- ется равномерным. В данном случае ω показывает, на какой угол j поворачивается тело за единицу времени: ω j = t (6.2) Равномерное вращение характеризуют: – периодом вращения T — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2 π. Так как про- межутку времени ∆t = T соответствует ∆j = 2π, то ω π = 2 T , откуда T = 2π ω ; (6.3) – частотой вращенияn — числом полных оборотов, совершае- мых телом при равномерном его движении по окружности в единицу времени: n T = = 1 2 ω π , (6.4) откуда ω = 2πn. (6.5) рис. 9 рис. 10 16 Найдем выражение, связывающее v и ω (рис. 10, 11): v s t R t R t R t t t = = = = → → → lim lim lim , ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 0 0 0 j j ω т. е. v = ωR. (6.6) Положение рассматриваемой точки задается радиусом-вектором r, который проводится из лежащего на оси вращения начала коор- динат O (см. рис. 11). Из рисунка следует, что R = r sin α, и согласно формуле (6.6) v = ωr sin α, откуда с учетом направления векторов v, ω и r можно записать векторное произведение v r =[ , ]. ω (6.7) Векторная величина, определяемая первой производной угловой скорости по времени ε ω ω = = → lim , ∆ ∆ ∆ t t t 0 d d (6.8) назвается угловым ускорением. При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элемен- тарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε сонаправлен вектору ω (рис. 12, а), при замедленном — противонаправлен ему (рис. 12, б). Единица углового ускорения в СИ — радиан на секунду в квадра- те (1 рад/с 2 ) — угловое ускорение равноускоренного вращающегося тела, при котором оно за время 1 с изменяет угловую скорость на 1 рад/с. рис. 11 рис. 12 Тангенциальная составляющая ускорения a v t τ = d d , или с учетом формулы (6.6) a R t R t R τ ω ω ε = ( ) = = d d d d Нормальная составляющая ускорения a v R R R R n = = = 2 2 2 2 ω ω . Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройден- ного точкой по дуге окружности радиусом R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение a τ , нормальное ускорение a n ) и угловыми величинами (угол поворота j, угловая скорость ω, угловое ускоре- ние ε) выражается следующими формулами: s = Rj, v = Rω, a τ = Rε, a n = ω 2 R. При равнопеременном движении точки по окружности ( ε = const) ω = ω 0 ± εt, j ω ε = ± 0 2 2 t t , где ω 0 — начальная угловая скорость. 18 Гл а в а 2 основы динамики ПостУПатЕльного движЕния § 7. инерциальные системы отсчета. Первый закон ньютона Ранее уже указывалось на относительность механического движения (см. § 2). Характер механического движения зависит от выбора системы отсчета. Существуют системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела. Такие системы отсчета называются инерциальными системами отсчета. Их существование установлено опытным путем и представляет собой закон природы. С большой степенью точности (например, при изучении движе- ний, происходящих в масштабе нашей планетной системы) инер- циальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси про- ведены в направлении определенных звезд). Любая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно гелиоцен- трической системы отсчета, является инерциальной. Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциаль- на, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), при решении многих задач пренебрежимо малы, и в этих случаях ее можно считать инерциальной. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называют инерцией. И. Ньютон утвержде- ние о существовании инерциальных систем отсчета, сформулиро вал в виде закона инерции, называемого также первым законом Нью тона. Этот закон гласит: всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздей ствие со стороны других тел не заставит изменить это состояние. Следует отметить, что, согласно современным представлениям, в первом за- коне Ньютона под телом следует понимать материальную точку. Подчеркнем еще раз, что инерциальные системы отсчета такие, относительно которых материальная точка, свободная от внешний воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существо- вание инерциальных систем отсчета. 19 § 8. сила. масса и импульс тела Чтобы характеризовать воздействия, о которых шла речь в первом законе Ньютона (см. § 7), вводят понятие силы. Сила — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей. Приложенная к телу сила является причиной изменения его скорости или возникновения в нем деформаций (изменения взаимного расположения частиц, из которых состоит тело, и расстояний между ними). Сила как векторная величина в каждый момент характеризуется направлением, числовым значением и точкой приложения. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Опытным путем установлено, что любое тело «сопротивляется» попыткам изменить его состояние движения. Свойство, присущее всем телам и заключающееся в том, что тела оказывают сопротивле- ние изменению его скорости (как по модулю, так и по направлению), называется инертностью. Количественной мерой инертности тела является масса. Массу тела определяют, сравнивая с массой тела, рассматриваемого в ка- честве эталона массы, принятой за единицу. Единица массы в СИ ( основная единица) — килограмм (1 кг) — масса, равная массе международного прототипа килограмма платиново-иридиевого ци- линдра, хранящегося в Международном бюро мер и весов в Севре, близ Парижа. Эта единица с точностью 3 ⋅10 −5 равна массе 1000 см 3 чистой воды при 4 °С. В России имеются две точные копии эталона массы. В классической механике масса — величина постоянная (неиз- менная, т.е. инвариантная при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой) и аддитивная (масса составного тела равна сумме масс его частей). Понятие массы впервые введено Нью- тоном (как количество материи в теле) при введении им понятия импульса. Масса является также мерой количества вещества. Массу единицы объема вещества называют |