Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф

• Название: Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
• Анкор: Trofimova Физика для бакалавров.pdf
• Дата: 14.12.2017
• Размер: 4.33 Mb.
• Имя файла: Trofimova Физика для бакалавров.pdf
• Тип: Учебник; #11431
• страница: 14 из 41

эле­
ментарному электрическому заряду e (e
= 1,6 ⋅ 10
−19
Кл).
Электрон (m
e
= 9,11⋅10
−31
кг) и протон (m
p
= 1,67⋅10
−27
кг) яв- ляются носителями элементарного соответственно отрицатель- ного и положительного заряда;

117
аддитивен
•
: заряд любой системы тел (частиц) равен сумме за- рядов тел (частиц), входящих в систему.
Единица электрического заряда в СИ — 1 кулон (1 Кл — электри- ческий заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А за время 1 с). Кулон —
производная единица.
В результате обобщения опытных данных и экспериментального подтверждения Фарадеем (1843) был сформулирован закон сохра­
нения электрического заряда: общее количество зарядов обоих знаков, содержащихся в телах, не изменяется: эти заряды только перераспределяются между телами.
Замкнутой называют систему, не обменивающуюся зарядами с внешними телами.
§ 63. закон кулона
Для описания взаимодействия электрических зарядов вводится
точечный заряд — заряд, сосредоточенный на теле, линейные раз- меры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует. Это, конеч- но,
физическая абстракция.
Закон взаимодействия
неподвижных относительно друг друга то- чечных электрических зарядов — закон Кулона (1785) — установлен опытным путем: сила взаимодействия
F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися
в вакууме, пропорциональна зарядам
Q
1
и
Q
2
и обратно пропорциональна квадрату расстояния
r между ними:
F
Q Q
r
= 1 4
0 1
2 2
πε
(63.1)
Сила

F , называемая также кулоновской силой, направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, т. е. является
центральной, и соответствует притяжению (F
< 0) в случае раз- ноименных зарядов (рис. 73,
а) и отталкиванию (F
> 0) в случае одноименных (рис. 73,
б ).
Кулоновские силы подчиняются тре- тьему закону Ньютона (см. § 10), так как они равны по модулю; направлены про- тивоположно друг другу вдоль прямой, соединяющей точечные заряды; действу- ют парами; являются силами одной при- роды; приложены к разным телам (за- рядам).
В формуле (63.1)
ε
0
= 8,85⋅10
−12
Ф/м
(63.2)
рис. 73

118
— электрическая постоянная, относящаяся к числу фундамен-
тальных физических постоянных, где фарад (Ф) — единица элек- трической емкости (см. § 76).
При решении задач удобно пользоваться величиной
1 4
9 10 0
9
πε
= ⋅
м Ф.
Точность выполнения закона Кулона на больших расстояниях, вплоть до 10 7
м, установлена с помощью спутников в околоземном пространстве. Считается, что закон Кулона должен соблюдаться и для больших расстояний, однако прямых экспериментов не проводилось.
Этот закон выполняется и для малых расстояний, вплоть до 10
−15
м
(доказано в опытах Резерфорда).
Дальнейшие эксперименты по упругому рассеянию электронов с большими энергиями убедительно доказали выполнимость закона
Кулона на расстояниях
≈ 10
−17
м.
§ 64. напряженность электростатического поля
Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести другой заряд, то на него будет действовать кулоновская сила (см.
§ 63), значит, в пространстве, окружающем электрические заряды, существует
силовое поле, посредством которого взаимодействуют электрические заряды. Поля, создаваемые неподвижными электри- ческими зарядами, называют электростатическими.
Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля используется пробный точечный положительный заряд — такой заряд, который не искажает исследуемое поле (не вызывает перераспределения зарядов, создающих поле).
Если в поле, создаваемое зарядом
Q, поместить пробный заряд Q
0
, то на него действует сила

F , различная в разных точках поля, ко- торая, согласно закону Кулона (63.1), пропорциональна пробному заряду
Q
0
. Поэтому отношение

F
Q
0
не зависит от
Q
0
и характеризует электростатическое поле в той точке, где пробный заряд находится.
Эта величина называется
напряженностью и является силовой ха-
рактеристикой электростатического поля. Подчеркнем, что на- пряженность не зависит ни от силы, ни от величины электрического заряда, а определяется только их отношением.
Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяющая силу, действующую на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля

119


E
F
Q
=
0
(64.1)
Согласно формуле (64.1), единица напряженности электростати- ческого поля в СИ —
ньютон на кулон (Н/Кл); 1 Н/Кл — напряжен- ность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует силой
1 Н; 1 Н/Кл
= 1 В/м, где В (вольт) — единица потенциала электро- статического поля (см. § 66).
Напряженность поля точечного заряда в вакууме
E
Q
r
= 1 4
0 2
πε
[учли выражения (64.1) и (63.1)].
Направление вектора

E совпадает с направлением силы, действу- ющей на положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор

E направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заряда, рис. 74,
а); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор

E направлен к заряду (рис. 74, б ).
Электростатическое поле называют однородным, если его вектор напряженности в любой точке постоянен по модулю и на- правлению.
Графически электростатическое поле изображают с помощью
линий напряженности — линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора

E (рис. 75). Им приписыва- ется направление, совпадающее с направлением вектора

E в рассма- триваемой точке линии. Так как в каждой данной точке пространства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются.
Если поле создается точечным заря- дом, то линии напряженности — ради- альные прямые, выходящие из заряда, если он положителен (рис. 76,
а), и вхо- дящие в него, если заряд отрицателен
(рис. 77,
б ).
рис. 74 рис. 75
рис. 76

120
Линии напряженности электростатического поля начинаются на положительных электрических зарядах и заканчиваются на отрица- тельных либо уходят в бесконечность.
На рис. 77 для примера показаны линии напряженности электро- статического поля для двух
одинаковых по модулю одноименных
(рис. 77,
а) и разноименных (рис. 77, б) точечных зарядов.
§ 65. Принцип суперпозиции электростатических полей. диполь
Рассмотрим систему неподвижных точечных зарядов
Q
1
,
Q
2
, …,
Q
n
Экспериментально установлено, что результирующая сила
F, действу- ющая со стороны поля на пробный заряд
Q
0
, равна векторной сумме сил

F
i
, приложенных к нему со стороны каждого из зарядов
Q
i
:


F
F
i
i
n
=
=
∑
1
(65.1)
Согласно (64.1),


F Q E
=
0
, где

E — напряженность результирую- щего поля, а

E
i
— напряженность поля, создаваемого зарядом
Q
i
Подставляя последние выражения в (65.1), получаем

E
E
i
i
n
=
=
∑
1
(65.2)
Формула (65.2) выражает принцип суперпозиции электростати­
ческих полей: напряженность

E результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей по- лей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.
Принцип суперпозиции позволяет рассчитать напряженность электростатического поля любой системы неподвижных зарядов, поскольку протяженный заряд всегда можно свести к совокупности точечных зарядов.
Отметим, что принцип суперпозиции является обобщением опытных данных и, возможно, нарушается на малых расстояниях
(
≤ 10
−15
м).
рис. 77

121
Применим принцип суперпозиции для расчета поля
электрическогодиполя в вакууме.
Электрический диполь — система двух равных по модулю разноименных
точечных зарядов (
+Q,
−Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля.
Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называют плечом диполя

l .
Вектор


p Q l
=
,
(65.3)
совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произве- дению заряда |
Q| на плечо

l , называют электрическим моментом
диполя, или дипольным моментом (рис. 78).
Применяя принцип суперпозиции электростатических полей
(65.2), напряженность

E поля диполя в произвольной точке



E E
E
=
+
+
−
,
(65.4)
где

E
+
и

E
−
— напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами.
В качестве одного из примеров рассмотрим
напряженность поля
на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины, в точке
B (рис. 79, рисунок не в масштабе).
Точка
В равноудалена от зарядов, поэтому


E
E
Q
r
l
Q
r
+
−
=
=
+
≈
1 4
4 1
4 0
2 2
0 2
πε
πε
,
где
r — расстояние от точки B до середины плеча диполя (учли, что
l
<< r).
Из подобия равнобедренных треугольников, опирающихся на плечо диполя и вектор

E
B
, по- лучим
E
E
l
r
l
l
r
B
+
=
+ 





≈
2 2
2
,
(65.5)
откуда
E
E l
r
B
=
+
(65.6)
Подставив в выражение (65.6) значение (65.5), получим рис. 78
рис. 79

122
E
Ql
r
p
r
B
=
=
1 4
1 4
0 3
0 3
πε
πε
Таким образом, создаваемое диполем электростатическое поле при
r
>> l убывает обратно пропорционально третьей степени рас- стояния
r от диполя.
Модель электрического диполя — хорошее приближение для описания электрических свойств атомов и молекул [см., например, полярные молекулы (см. § 71)].
§ 66. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля
Если в электростатическом поле точечного заряда
Q из точки 1 в точку
2 вдоль произвольной траектории (рис. 80) перемещается другой точечный заряд
Q
0
, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы

F на элементарном перемещении d

l
d d
d d
A F l
F l
QQ
r
l
=
=
=
 
cos cos .
α
πε
α
1 4
0 0
2
Так как d
l cos
α = dr, то d
d
A
QQ
r
r
= 1 4
0 0
2
πε
Работа при перемещении заряда
Q
2
из точки
1 в точку 2
A
A
QQ
r
r
QQ
r
QQ
r
r
r
r
r
12 0
0 0
0 1
0 2
1 2
1 2
4 1
4
=
=
=
−






∫
∫
d d
2
πε
πε
(66.1)
не зависит от траектории перемещения, а определяется только поло- жениями начальной
1 и конечной 2 точек. Следовательно, электро­
статическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными (см. § 16).
Согласно (66.1), работа при перемещении заряда по замкнутому пути
L
d
A
L
∫
= 0.
(66.2)
Если в поле заряда
Q переносить единичный
точечный положительный заряд, то работа сил поля на элементарном перемещении d

l равна
 
Ed d
l
E l
l
=
, где
E
l
= E cos α — проекция вектора

E на направление элементарного перемещения. Тогда выражение (66.2) запишется в виде
 


E l
E l
L
l
L
d d
∫
∫
=
= 0.
(66.3)
рис. 80

123
Интеграл
 


E l
E l
L
l
L
d d
∫
∫
=
(66.4)
называют циркуляцией вектора напряженности, а выражение
(66.4) — теоремой о циркуляции вектора

E. Из формулы (66.3) следует, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.
Силовое поле

E называют потенциальным, если циркуляция вектора

E по любому замкнутому контуру равна нулю.
Формула (66.3) справедлива только для электростатического поля.
В дальнейшем будет показано, что для поля движущихся зарядов условие (66.3) не выполняется (для него циркуляция вектора напря- женности отлична от нуля).
§ 67. Потенциал. Разность потенциалов
Работа консервативных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии [см. (16.1)]:
A
12
= −∆W = W
1
− W
2
(67.1)
Из формул (66.1) и (67.1) следует, что потенциальная энергия за- ряда
Q
0
в поле заряда
Q
W
QQ
r
C
=
+
1 4
0 0
πε
При
r
→ ∞ потенциальная энергия W = 0, поэтому C = 0. Тогда
W
Q Q
r
= 1 4
0 0
πε
(67.2)
Из формулы (67.2) следует, что отношение W
Q
0
не зависит от за- ряда
Q
0
и поэтому может служить
энергетической характеристикой
электростатического поля, называемой потенциалом:
j = W
Q
0
(67.3)
— физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в данную точку.
Если поле создается несколькими электрическими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен
алгебраической сумме по- тенциалов полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом в от- дельности:

124
j j
πε
=
=
=
=
∑
∑
i
i
n
i
i
i
n
Q
r
1 0
1 1
4
(67.4)
Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом
Q,
j
πε
= 1 4
0
Q
r
(67.5)
[учли формулы (67.4) и (67.2)].
Работа, совершаемая силами электростатического поля при пере- мещении заряда
Q
0
из точки
1 в точку 2 [см. (67.1), (67.3) и (67.5)]:
A
12
= W
1
− W
2
= Q
0
(
j
1
− j
2
),
(67.6)
равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.
Если заряд
Q
0
из точки с потенциалом j удалить на бесконечность
(там, по условию, потенциал равен нулю), то работа сил электро- статического поля, согласно (67.6),
A
∞
= Q
0
j, откуда j =
∞
A
Q
0
(67.7)
Следовательно, потенциал — физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечность.
Из формул (67.3), (67.7) и (67.6) следует, что единица потенциала и разности потенциалов в СИ — вольт (В); 1 В — потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энер- гией 1 Дж (1 В
= 1 Дж/Кл). Учитывая размерность вольта, можно показать, что введенная в § 64 единица напряженности электроста- тического поля действительно равна 1 В/м: 1 Н/Кл
= 1 H⋅м/(Кл⋅м) =
= 1 Дж/(Кл⋅м) = 1 В/м.
Работа сил поля при перемещении заряда
Q
0
из точки
1 в точку 2 может быть записана также в виде
A
Q E l
12 0
1 2
=
∫
 
d .
(67.8)
Приравняв (67.6) и (67.8), придем к выражению для разности по- тенциалов:
j j
1 2
1 2
1 2
−
=
=
∫
∫
 
E l
E l
l
d d ,
(67.9)
где
E
l
— проекция вектора

E на произвольное направление l.
Интегрирование в (67.9) можно производить
вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.
Воображаемые поверхности, все точки которой имеют одинако- вый потенциал, называют