Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
диэлектрическая проницаемость среды, показывающая, во сколько раз поле ослабляется диэлектриком; она характеризует ко- личественно свойство диэлектрика поляризоваться в электрическом поле. § 73. электрическое смещение. теорема гаусса для поля в диэлектрике Для характеристики электростатического поля, помимо векто- ра E, претерпевающего на границе диэлектрика скачок [E E = 0 ε [см. 72.6]], вводят вектор электрического смещения D. Для изотропной среды D E = ε ε 0 , (73.1) где ε 0 — электрическая постоянная; ε — диэлектрическая проница- емость среды. Покажем, что вектор D не терпит разрыва на границе двух диэлек- триков с ε 1 и ε 2 . Согласно формулам (72.6) и (73.1), E E 1 0 1 = ε , E E 2 0 2 = ε и D E 1 0 1 1 = ε ε , D E 2 0 2 2 = ε ε , откуда следует, что D E 1 0 0 = ε и D E 2 0 0 = ε , т. е. D D 1 2 = Учитывая формулы (72.7) и (72.2) [ ε = 1 + ; P E = ε ε 0 ], вектор электрического смещения можно выразить как D E P = + ε 0 (73.2) Единица электрического смещения в СИ — кулон на метр в квадрате (Кл/м 2 ). Аналогично, как и поле E, поле D изображается с помощью линий электрическогосмещения, направление и густота которых опреде- ляются точно так же, как и для линий напряженности (см. § 64). 134 Линии вектора E могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах — свободных и связанных, в то время как линии векто- ра D — только на свободных зарядах. Через области поля, где нахо- дятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь. Аналогично потоку вектора E (см. § 68) вводят поток вектора электрического смещения D, который сквозь произвольную зам- кнутую поверхность S Φ D S n S D D S = = ∫ ∫ dS d , (73.3) где D n — проекция вектора D на нормаль n к площадке dS. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектри ке: D D S Q S n S i i n dS d ∫ ∫ ∑ = = =1 , (73.4) т. е. поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электри- ческих зарядов. В такой форме теорема Гаусса справедлива для электростатического поля как для однородной и изотропной, так и для неоднородной и анизотропной сред. В случае непрерывного распределения заряда в пространстве с объемной плотностью ρ [см. (69.4)] теорему Гаусса для электро- статического поля в диэлектрике можно записать в виде D D S V S n S V dS d d ∫ ∫ ∫ = = ρ , (73.5) т. е. поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен свободному за- ряду, заключенному в объеме, ограниченном этой поверхностью. § 74. Проводники и распределение в них зарядов Проводники — тела, в которых электрический заряд может пере- мещаться по всему их объему. Если проводник поместить во внешнее электростатическое поле или его зарядить, то на заряды проводника будет действовать элек- тростатическое поле, в результате чего они начнут перемещаться до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника об- ращается в нуль: E = 0. (74.1) 135 Если бы это было не так, то заряды двига- лись бы без затрат энергии, что противоречит закону сохранения энергии. Поверхность проводника в электростати- ческом поле является эквипотенциальной. Экспериментальным доказательством тому служит следующий опыт. Если зарядить цилиндрический проводник с коническим выступом на одном основании и впадиной на другом (рис. 90) и соединить проволокой пробный шарик на изолирующей ручке с электрометром, то при перемещении шарика по наружной и внутренней поверхностям проводника показания электрометра одинаковы. Отсюда же следует, что вектор E направлен по нормали к каждой точке поверхности проводника: E E n = (74.2) Кроме того, если бы это было не так, то под действием касательной составляющей E заряды начали бы перемещаться по поверхности про- водника, что противоречит равновесному распределению зарядов. Если проводнику сообщить некоторый заряд Q, то нескомпенси- рованные заряды располагаются только на поверхности проводника. Это следует непосредственно из теоремы Гаусса (73.4), согласно кото- рой заряд Q, находящийся внутри проводника в некотором объеме, ограниченном произвольной замкнутой поверхностью, Q D D S S n S = = = ∫ ∫ dS d 0, так как во всех точках внутри поверхности D = 0. Распределение зарядов на поверхности проводника можно по- казать, взяв заряженный полый металлический стакан (рис. 91) и коснувшись пробным шариком его внутренней и внешней поверх- ностей, перенести пробный шарик к незаряженному электроскопу. В первом случае пробный шарик не зарядился (рис. 91, а), во вто- ром — зарядился (рис. 91, б). рис. 90 рис. 91 136 На рис. 92 показан вид линий напряженности (штриховые линии) и сечений эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) поля заряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, на другом — впадину. Из рисунка следует, что вблизи острия и выступов эквипотенциальные поверхности расположены гуще, т. е. там и напряженность поля больше. Соответственно на острие и выступах поверхностная плотность зарядов больше, чем на других участках поверхности. В области впадины напряженность поля и по- верхностная плотность зарядов минимальны. Рассмотрим небольшой цилиндр с основаниями ∆S, одно из ко- торых расположено внутри, а другое — вне проводника, причем ось цилиндра ориентирована вдоль вектора E (рис. 93). Поток вектора D сквозь внутреннюю часть поверхности равен нулю, так как внутри проводника E, а значит, и D равны нулю. Вне проводника напряженность поля направлена по нормали к поверх- ности. Следовательно, поток вектора D сквозь замкнутую цилиндри- ческую поверхность определяется только потоком сквозь наружное основание цилиндра. Согласно теореме Гаусса (73.4), этот поток ( D ∆S ) равен сумме зарядов (Q = s∆S ), охватываемых поверхностью: D ∆S = s∆S, т. е. D = s (74.3) или E = s ε ε 0 , (74.4) где ε — диэлектрическая проницаемость среды. Соотношение (74.4.) определяет напряженность электростатиче- ского поля вблизи поверхности проводника любой формы. § 75. Проводник во внешнем электростатическом поле Если во внешнее электростатическое поле внести нейтральный проводник, то свободные заряды (электроны, ионы) будут перемещать- рис. 92 рис. 93 137 ся: положительные по полю, отрицательные против поля (рис. 94, а). На одном конце проводника будет скапливаться избыток положитель- ного заряда, на другом — избыток отрицательного. Эти заряды на- зываются индуцированными. Процесс будет происходить до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника — перпендикулярными его поверхности (рис. 94, б). Таким образом, нейтральный проводник, внесенный в электростатическое поле, разрывает часть линий напря- женности; они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных. Индуцированные за- ряды распределяются на внешней поверхности проводника. Явление перераспределения поверхностных зарядов на провод- нике во внешнем электростатическом поле называется электро статической индукцией. Так как в состоянии равновесия внутри проводника заряды от- сутствуют, создание внутри него полости не повлияет на конфигу- рацию расположения зарядов и тем самым на электростатическое поле. Следовательно, внутри полости поле будет отсутствовать. Если теперь этот проводник с полостью заземлить, то потенциал во всех точках полости будет нулевым, т. е. полость полностью изолирована от влияния внешних электростатических полей. На этом основана электростатическая защита — экранирование тел, например измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Вместо сплошного проводника для защиты может быть ис- пользована густая металлическая сетка. § 76. электроемкость уединенного проводника Уединенный проводник— проводник, который удален от других проводников, тел и зарядов. Из опыта следует, что одинаково заряженные проводники раз- личной формы имеют разные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать рис. 94 138 Q = Cj. Величину C Q = j (76.1) называют электрической емкостью (электроемкостью) уединенного проводника. Электроемкость уединенного проводника определяется зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу. Электроемкость проводника определяет способность проводни- ка накапливать электрический заряд. Она зависит от его размеров, формы и диэлектрической проницаемости среды, но не зависит от материала проводника, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри него. Это связано с тем, что избыточные заряды рас- пределяются по внешней поверхности проводника. Электроемкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала. Изложенное не противоречит формуле (76.1), так как она лишь по- казывает, что электроемкость уединенного проводника может быть рассчитана по этой формуле. Единица электроемкости — фарад (Ф); 1 Ф — электроемкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл. Согласно (67.5), потенциал уединенного шара радиусом R, нахо- дящегося в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε, равен j πε ε = 1 4 0 Q R (76.2) Используя формулу (76.1), получим, что электроемкость шара C = 4πε 0 εR. (76.3) Отсюда следует, что электроемкостью 1 Ф обладал бы уединен- ный шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус R = C/(4πε 0 ) ≈ ≈ 9⋅10 6 км, что примерно в 1 400 раз больше радиуса Земли (электро- емкость Земли C ≈ 0,7 мФ). Следовательно, фарад — очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы — миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофа- рад (пФ). § 77. конденсаторы и их соединения Чтобы проводник обладал большой электроемкостью, он должен иметь очень большие размеры (см. § 76). На практике, однако, не- обходимы устройства, обладающие способностью при малых раз- мерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах 139 накапливать значительные по величине заряды, иными словами, обладать большой емкостью. Эти устройства получили название конденсаторов. Если к заряженному проводнику приближать другие тела, то на них возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэ- лектрике) заряды, причем ближайшими к наводящему заряду Q будут заряды противоположного знака. Эти заряды, естественно, ослабляют поле, создаваемое зарядом Q, т. е. понижают потенциал проводника, что приводит [см. (76.1)] к повышению его электроемкости. Конденсатор — система из двух проводников (обкладок) с оди- наковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами, форма и расположение которых таковы, что поле сосредоточено в узком зазоре между обкладками. Электроемкость конденсатора C Q = − j j 1 2 , (77.1) где Q — заряд, накопленный в конденсаторе; ( j 1 − j 2 ) — разность потенциалов (называемая также напряжением) между обкладками конденсатора. Плоский конденсатор состоит из двух параллельных металличе- ских пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды +Q и −Q. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то краевыми эффектами можно пренебречь и поле между обкладками считать однородным. Согласно формуле (70.4), разность потенциалов между обкладками плоского конденсатора при наличии диэлектрика между обкладками j j s ε ε 1 2 0 − = d , (77.2) где ε — диэлектрическая проницаемость; s — поверхностная плот- ность заряда на обкладках. Учитывая, что Q = sS, из формулы (77.1) с учетом (77.2) электроемкость плоского конденсатора C S d = ε ε 0 (77.3) Сферический конденсатор состоит из двух концентрических металлических обкладок, разделенных сферическим слоем диэлек- трика. Согласно формуле (70.6), разность потенциалов между обклад- ками сферического конденсатора при наличии диэлектрика между обкладками j j πε ε 1 2 0 1 2 4 1 1 − = − Q r r (77.4) 140 Подставив формулу (77.4) в (77.1), электроемкость сферического конденсатора C r r r r = − 4 0 1 2 1 2 πε ε (77.5) § 78. энергия электростатического поля Энергия системы неподвижных точечных зарядов. Электро- статические силы взаимодействия консервативны (см. § 66); следова- тельно, система зарядов обладает потенциальной энергией. Найдем потенциальную энергию системы двух неподвижных точечных за- рядов Q 1 и Q 2 , находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией [см. (67.2) и (67.5)]: W 1 = Q 1 j 12 , W 2 = Q 2 j 21 , где j 12 и j 21 — соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q 2 в точке нахождения заряда Q 1 и зарядом Q 1 в точке нахождения за- ряда Q 2 Согласно (67.5), j πε 12 0 2 1 4 = Q r и j πε 21 0 1 1 4 = Q r , поэтому W 1 = W 2 = W и W Q Q Q Q = = = + ( ) 1 12 2 21 1 12 2 21 1 2 j j j j (78.1) Формула (78.1) обобщается на случай n точечных неподвижных зарядов: W Q i i i n = = ∑ 1 2 1 j , (78.2) где j i — потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q i , всеми зарядами, кроме i-го. Энергия заряженного уединенного проводника. Пусть имеется уединенный проводник, заряд, электроемкость и потенциал которого соответственно равны Q, C, j. Для того чтобы увеличить заряд на проводнике, необходимо совершить работу. Эта работа совершается внешними силами, перемещающими заряд против сил электроста- тического поля проводника, и идет на увеличение энергии заряжен- ного проводника. Поскольку потенциал во всех точках проводника одинаков, из формулы (78.2) найдем W Q Q i i n = = = ∑ 1 2 2 1 j j , где Q Q i i n = = = ∑ 1 — заряд проводника. Учитывая, что C Q = j , энергия заряженного уединенного проводника W C Q Q C = = = j j 2 2 2 2 2 (78.3) Энергия заряженного конденсатора. Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (78.3) равна W C Q Q C = ( ) = = ∆ ∆ j j 2 2 2 2 2 , (78.4) где Q — заряд конденсатора; C — его электроемкость; ∆j — разность потенциалов между обкладками конденсатора. |