Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
правилом правого винта: за положительное направление нормали принимается направление поступательного движения винта, головка которого вращается в на- правлении тока, текущего в рамке (рис. 97). Если плоский контур с током поместить в однородное магнит- ное поле, то положительная нормаль к контуру устанавливается в определенном направлении, которое принимают за направление маг- нитного поля в данной точке. Поскольку контур с током испытывает ориентирующее действие поля, то на него в магнитном поле действует пара сил. Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств рамки и определяется по формуле M p B =[ , ], m (84.1) где p m — вектор магнитного момента рамки с током; B — вектор магнитной индукции (количественная характеристика магнитного поля). Для плоского контура с током I p ISn m = , (84.2) где S — площадь поверхности контура (рамки); n — единичный вектор нормали к поверхности рамки. Направление p m совпадает с направлением положительной нормали. Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с раз- личными магнитными моментами, то на них действуют разные вра- щающие моменты, однако отношение M p max m ( M max — максимальный рис. 97 151 вращающий момент) для всех контуров одно и то же и поэтому может служить характеристикой магнитного поля, называемой магнитной индукцией: B M p = max m (84.3) Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действую- щим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нор- маль к рамке перпендикулярна направлению поля. Отметим, что магнитная индукция может быть определена не только по формуле (84.3), но и из закона Ампера [см. (87.2)] и из выражения для силы Лоренца [см. (89.2)]. Магнитное поле — силовое поле и его, по аналогии с электри- ческим, изображают с помощью линий магнитной индукции (магнитных силовых линий) — линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора B. Их направление задается правилом правого винта: головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, вращается в направлении линий магнитной индукции (рис. 98). Линии магнитной индукции всегда замкнуты (не имеют начала и конца) и охватывают проводники с током. Это означает, что маг- нитное поле в отличие от электрического не имеет источников — «магнитные заряды» не существуют. Поле с замкнутыми линиями индукции называют вихревым (в отличие от потенциальных полей, например электростатического поля). Таким образом, магнитное поле является вихревым. Линии магнитной индукции можно «проявить» с помощью же- лезных опилок, намагничивающихся в исследуемом поле и ведущих себя подобно маленьким магнитным стрелкам. На рис. 99 показаны рис. 98 152 линии магнитной индукции прямолинейного проводника с током: они имеют вид окружностей с центром на оси проводника. § 85. магнитное поле токов Для магнитного поля, как и для электрического (§ 65), справед- лив принцип суперпозиции: вектор магнитной индукции результи- рующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равен векторной сумме магнитных индукций складывае- мых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности: B B i i n = = ∑ 1 (85.1) Магнитное поле постоянных токов изучалось Ж.Био и Ф.Саваром, результаты опытов которых обобщил П. Лаплас. Магнитная индукция постоянного тока I в вакууме определяется законом Био—Савара— Лапласа: d d B I l r r = µ π 0 3 4 , , (85.2) где d l — вектор, по модулю равный длине dl проводника и со- впадающий по направлению с током (элемент d l создает в точке A (рис. 100) индукцию поля d B); r — радиус-вектор, проведенный из элемента d l проводника в точку A поля; r — модуль радиуса-вектора r, µ 0 = 4π⋅10 −7 Н/А 2 = 4π⋅10 −7 Гн/м — магнитная постоянная ( генри — единица индуктивности (см. § 99)). Направление d B перпендикулярно d l и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть задано по правилу нахождения линий магнитной индукции ( правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление d B, если по- рис. 99 153 ступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора d B определяется выра- жением d d B I l r = µ π α 0 2 4 sin , (85.3) где α — угол между векторами d l и r. Применяя закон Био—Савара—Лапласа (85.3) и принцип суперпозиции (85.1), мож- но рассчитать магнитное поле любых систем токов. В общем случае расчет достаточно сложен, но если распределение тока имеет определенную симметрию, то задача значи- тельно упрощается. Приведем примеры использования закона Био—Савара—Лапласа. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому пря- мому проводу бесконечной длины (рис. 101). В произвольной точке A, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы d B от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов d B можно заменить сложением их модулей. Выбирая в качестве постоянной интегрирования угол α и сле- дуя рисунку, r R = sin ; α d d sin l r = α α . Подставив эти выражения в (85.3), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна d d B I R = µ π α α 0 4 sin (85.4) Так как угол α для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до π, то, согласно (85.1) и (85.4), B B I R I R = = = ∫ ∫ d d µ π α α µ π π 0 0 0 4 4 2 sin . (85.5) Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока в вакууме B I R = µ π 0 4 2 . (85.6) Магнитное поле в центре кругового тока (рис. 102). Все элементы кругового проводни- ка с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали рис. 100 рис. 101 154 от витка. Поэтому сложение векторов d B можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу- вектору ( sin α = 1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно формуле (85.3), d d B I R l = µ π 0 2 4 (85.7) Тогда B B I R l I R R I R = = = = ∫ ∫ d d µ π µ π π µ 0 2 0 2 0 4 4 2 2 Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового про- водника с током в вакууме B I R = µ 0 2 (85.8) § 86. магнитное поле движущегося заряда Электрический ток представляет собой упорядоченное движе- ние электрических зарядов, поэтому любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. В результате обобщения опытных данных был установлен закон, определяющий поле B точечного положительного заряда Q, свободно движущегося в вакууме с нерелятивистской скоростью v. Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью. Этот за- кон выражается формулой B Q v r r = [ ] µ π 0 3 4 , , (86.1) где r — радиус-вектор, проведенный от заряда Q к точке наблюдения M (см. рис. 102); µ 0 — магнитная постоянная. Согласно выражению (86.1), вектор B направлен перпендикуляр- но плоскости, в которой расположены векторы v и r, а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от v к r. Вектор B представляет собой псевдовектор. Модуль магнитной индукции (86.1) вычисляется по формуле B Q v r = µ π α 4 2 sin , (86.2) где α — угол между векторами v и r. рис. 102 155 Сравнивая выражения (85.2) и (86.1), видим, что движущийся за- ряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока. § 87. закон ампера. взаимодействие параллельных токов Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, А. Ампер установил, что сила d F , с которой магнитное поле действует на элемент проводника d l с током, находящегося в магнитном поле, равна d d F I l B = [ , ], (87.1) где d l — вектор, по модулю равный dl и совпадающий по направле- нию с током; B — вектор магнитной индукции. Выражение (87.1) определяет закон Ампера. Модуль силы Ампера [см. (87.1)] вычисляется по формуле d F = IВ dl sin α, (87.2) где α — угол между векторами d l и B. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил век- тор B, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы Ампера (рис. 103). Пусть два бесконечных прямолинейных параллельных проводни- ка с токами I 1 и I 2 (токи направлены перпендикулярно плоскости чертежа к нам) находятся в вакууме на расстоянии R друг от друга (рис. 104). Магнитное поле тока I 1 действует на элемент d l второго проводника с током I 2 . Ток I 1 создает вокруг себя магнитное поле, линии индукции которого представляют собой концентрические окружности. рис. 103 рис. 104 156 Направление вектора B 1 определяется правилом правого винта, его модуль по формуле (85.6) равен B I R 1 0 1 2 = µ π (87.3) Направление силы d F 1 , с которой поле B 1 действует на уча- сток d l второго тока, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке. Модуль силы, согласно формуле (87.2), с учетом того, что угол α между элементами тока I 2 и вектором B 1 прямой, равен d F 1 = I 2 B 1 d l. (87.4) Подставляя значение для B 1 , получим d d F I I R l 1 0 1 2 2 = µ π (87.5) Рассуждая аналогично, имеем (см. рис. 104) d d d F I B l I I R l 2 1 2 0 1 2 2 = = µ π (87.6) Из выражений (87.5) и (87.6) следует, что d F 1 = dF 2 , т. е. два параллельных тока одинакового направления притягива- ются друг к другу (см. рис. 96) с силой d d F I I R l = µ π 0 1 2 2 (87.7) Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания (см. также рис. 96), определяемая формулой (87.7). § 88. Единицы магнитной индукции и силы тока Пусть элемент проводника d l с током I перпендикулярен на- правлению магнитного поля. Тогда закон Ампера (87.2) запишется в виде d F = IBdl, откуда B I F l = 1 d d (88.1) 157 Единица магнитной индукции — тесла (Тл); 1 Тл — магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику течет ток 1 А: 1 Тл = 1 Н/(А⋅м). Если два параллельных проводника с током находятся в вакууме, то сила взаимодействия на единицу длины проводника, согласно (87.7), равна d d F l I I R = µ π 0 1 2 4 2 (88.2) При I 1 = I 2 = 1 А, R = 1 м, µ 0 = 4π⋅10 −7 Н/м 2 (см. § 85): d d H м. F l = ⋅ ⋅ − 2 10 7 Таким образом, 1 ампер равен силе постоянного тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводни- кам бесконечной длины и ничтожно малого поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, создает между этими проводниками силу, равную 2 ⋅10 −7 Н на каждый метр длины (см. также Введение. Единицы физических величин). § 89. сила лоренца. движение заряженных частиц в магнитном поле Магнитное поле действует на проводники с токами (см. § 87), а электрический ток — это упорядоченное (направленное) движение заряженных частиц. Поэтому магнитное поле действует и на отдель- ные, движущиеся в нем, заряженные частицы. Сила, действующая на электрический заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью v, называется силой Лоренца и выражается формулой F Q v B Л = [ , ], (89.1) где B — индукция магнитного поля, в котором заряд движется. Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор B, а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора v, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд (рис. 105). На отрицательный заряд сила Лоренца действует в противоположном направлении (если он дви- жется с такой же скоростью и в таком же магнитном поле). 158 На рис. 106 показано направление силы Лоренца, действующей на движущиеся положительный и отрицательный заряды (вектор магнитной индукции B направлен перпендикулярно чертежу, от нас). Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости заряженной частицы, поэтому она изменяет только направление этой скорости, не меняя ее модуля. Следовательно, сила Лоренца не совершает работу. Модуль силы Лоренца [см. (89.1)] F = QvB sin α. (89.2) Предположим, что магнитное поле однородно ( B = const) и на за- ряженную частицу не действует электрическое поле. 1. Заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v вдоль ( v B || ) линий магнитной индукции (рис. 107, а). Тогда, согласно формуле (89.2), сила F Л = 0, т. е. частица продолжает двигаться равно- мерно и прямолинейно. 2. Если частица влетает в магнитное поле в направлении, пер- пендикулярном ( v B ⊥ ) линиям магнитной индукции (рис. 107, б ), то, согласно (89.2), F Л = QvB, (89.3) рис. 105 рис. 106 рис. 107 159 т. е. сила Лоренца постоянна по модулю и нормальна к траектории частицы. В данном случае траектория частицы — окружность (или дуга окружности, если частица покидает поле). Радиус r окружности найдем из условия QvB mv r = 2 (сила Лоренца играет роль центростремительной силы, сообщающей частице нормальное ускорение). Тогда r m Q v B = (89.4) Период вращения частицы, т. е. время T, за которое она совер- шает один полный оборот, T r v = 2π . (89.5) Подставив сюда выражение (89.4), получим T B m Q = 2π , (89.6) т. е. период вращения частицы в однородном магнитном поле опреде- ляется только величиной, обратной удельному заряду Q m частицы, и магнитной индукцией поля, но не зависит от ее скорости (при v << c). На этом основано действие циклических ускорителей за ряженных частиц. 3. Заряженная частица влетает в магнитное поле со скоростью v под углом α к вектору B (рис. 107, в). В данном случае ее движение можно представить в виде суперпозиции: равномерного прямолиней- ного движения вдоль поля со скоростью v || = v sin α; равномерного движения со скоростью v ⊥ = v sin α по окружности в плоскости, перпендикулярной полю. Радиус окружности определяется формулой (89.4) (в данном случае надо заменить v на v ⊥ = v sin α ). В результате сложения обоих движений возникает движение по спирали, ось ко- торой параллельна магнитному полю (см. рис. 107, в). Шаг винтовой линии h = v || T = vT cos α. Подставив в последнее уравнение выражение (89.6), получим h mv BQ = 2π α cos . Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака заряда частицы. |