Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
Циркуляцией вектора B [по аналогии с циркуляцией вектора E [см. (66.4)] по замкнутому контуру называют интеграл B l B l L l L d d ∫ ∫ = , (90.1) где d l — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура; B l = B cos α — составляющая вектора B в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода); α — угол между векторами B и d l . Теорема о циркуляции вектора B в вакууме гласит: циркуля- ции вектора B по произвольному замкнутому контуру равна произ- ведению магнитной постоянной µ 0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром: B l B l I L l L k k n d d ∫ ∫ ∑ = = = µ 0 1 , (90.2) где n — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охва- тывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицатель- ным. Например, для системы токов, изображенных на рис. 108, I I I I I k k n = ∑ = + − ⋅ − 1 1 2 3 4 2 0 Применяя теорему о циркуляции (90.2), рассчитаем магнитное поле прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и на- правленного к нам (рис. 109). Замкнутый контур выбираем в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор B одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности (она явля- ется и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция векто- ра B равна B l B l B l B r l L L L d d d ∫ ∫ ∫ = = = ⋅2π . Согласно теореме о циркуляции (90.2), B ⋅2πr = µ 0 I, рис. 108 161 откуда магнитная индукция прямого тока B I r = µ π 0 2 (90.3) Формула (90.3) совпадает с (85.6), полученной из закона Био—Савара—Лапласа. Сравнивая выражения (66.3) и (90.2) для циркуля- ции векторов E и B, видим, что между ними существу- ет принципиальное различие. Циркуляция вектора E электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора B магнитного поля нулю не равна. Такое поле называется вихревым. § 91. магнитное поле соленоида и тороида Рассмотрим соленоид (изолированный проводник, равномерно намотанный на цилиндрическую поверхность, по которому течет электрический ток) длиной l, имеющий N витков, причем l >> d (d — диаметр витков соленоида), т. е. соленоид можно принять бесконечно длинным. Если витки расположены вплотную друг к другу, то солено- ид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса на общей оси. Магнитное поле однородно внутри бесконечного соленоида, а вне соленоида очень слабое и неоднородное и его можно не учиты- вать (на рис. 110 линии магнитной индукции «проявлены» с помощью железных опилок). Считая соленоид бесконечным, выберем замкнутый прямоуго- льный контур ABCDA (рис. 111), циркуляция вектора B по нему, охватывающему все N витков, согласно формуле (90.2), равна B l NI l ABCDA d ∫ = µ 0 рис. 109 рис. 110 рис. 111 162 Интеграл по ABCDA можно представить в виде суммы четырех интегралов: по AB, BC, CD и DA. На участках AB и CD контур пер- пендикулярен линиям магнитной индукции и B l = 0; вне соленоида B = 0. На участке DA циркуляция вектора B равна Bl (участок контура совпадает с линией магнитной индукции); следовательно, B l Bl NI l DA d ∫ = = µ 0 (91.1) Из (91.1) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме): B NI l = µ 0 , (91.2) т. е. B зависит от числа витков соленоида, его длины, а также от силы тока, протекающего по соленоиду. Тороид — кольцевая катушка с током, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис. 112). Если витки расположены вплотную друг к другу, то тороид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса, центры которых лежат на средней линии тороида. Магнитное поле тороида целиком локализовано внутри его объе- ма, оно однородно; вне тороида поле отсутствует (рис. 113). Линии магнитной индукции поля тороида, исходя из соображений симметрии, — концентрические окружности, центры которых лежат на оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиусом r. Тогда, по теореме о циркуляции (90.2), B ⋅2πr = µ 0 NI, откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме) B NI r = µ π 0 2 , (91.3) где N — число витков тороида. рис. 112 рис. 113 163 Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и B ⋅ 2πr = 0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует (что по- казывает и опыт). § 92. Поток вектора магнитной индукции. теорема гаусса для вектора магнитной индукции По аналогии с потоком вектора E (см. § 68) вводят поток век тора магнитной индукции (магнитный поток) сквозь площадку d S : d d d в Φ = = B S B S n (92.1) — скалярная величина, где B n = B cos α — проекция вектора B на направление нормали к площадке d S ( α— угол между векторами n и B ); d d S Sn = — вектор, модуль которого равен d S, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке. Поток вектора B может быть как положительным, так и отрица- тельным в зависимости от знака cos α (определяется выбором по- ложительного направления нормали n). Поток вектора B связывают с контуром, по которому течет ток. Поскольку положительное направление нормали к контуру связы- вается с током правилом правого винта (см. § 84), то магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен. Поток вектора магнитной индукции Ф в сквозь произвольную поверхность S Φ в dS d = = ∫ ∫ B B S S n S (92.2) Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору B, B n = B = const и Ф в = BS. (92.3) Из этой формулы определяется единица магнитного потока в СИ — вебер (Вб); 1 Вб — магнитный поток, проходящий сквозь пло- скую поверхность площадью 1 м 2 , расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл: 1 Вб = 1 Тл⋅м 2 Магнитный поток характеризует магнитное поле, пронизывающее поверхность. 164 В качестве примера рассчитаем поток вектора B сквозь бесконеч- но длинный соленоид (см. § 91). Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида (в вакууме) согласно (91.2) равна B NI l = µ 0 Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен Φ 1 = BS, а полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида, называемый потокосцеплением, Ψ Φ = = = 1 0 2 N NBS N I l S µ (92.4) Теорема Гаусса для поля B : поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю: B S B S S n S d d ∫ ∫ = = 0. (92.5) Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вслед- ствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми. Итак, для потоков векторов B и E сквозь замкнутую поверхность в вихревом и потенциальном полях получаются различные выраже- ния [см. (92.5) и (66.3)]. § 93. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле Контур с током (неподвижный проводник и скользящая по нему перемычка длиной l ) помещен во внешнее однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура (рис. 114). На перемычку (проводник с током) в магнитном поле действует сила Ампера, и перемычка будет переме- щаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению про- водника с током. Сила, направление которой определя- ется по правилу левой руки (см. § 87), а значение — по закону Ампера [см. (87.2)], равна F = IBl. рис. 114 165 Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок d x из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая магнитным полем, равна d A = F dx = IBl dx = IB dS = I dΦ, где l dx = dS — площадь, пересекаемая проводником при его пере- мещении в магнитном поле; B dS = dΦ — поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом, d A = I dΦ, (93.1) т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Полученная формула справедлива и для произвольного направления вектора B. Найдем работу по перемещению в магнитном поле замкнутого контура с постоянным током I. Разбив мысленно контур на бес- конечно малые элементы тока и рассмотрев их бесконечно малые перемещения, получим, что к каждому такому элементу применима формула d ′A = I d ′Φ (d ′Φ — магнитный поток, пересеченный бес- конечно малым элементом тока). Отметим, что при таких допуще- ниях магнитное поле, в котором перемещается данный элемент тока, можно считать однородным. Сложив элементарные работы для всех элементов тока, на которые разбит контур, получим формулу (93.1), в которой d Φ — приращение магнитного потока через весь контур. Тогда работа по перемещению в магнитном поле замкнутого контура с постоянным током из на- чального положения 1 в конечное положение 2 A I I I = = − ( ) = ∫ d Φ Φ Φ ∆Φ 1 2 2 1 , (93.2) где ∆Φ — изменение магнитного потока, сцепленного с конту- ром. Формула (93.2) справедлива для контура любой формы в произ- вольном магнитном поле. § 94. намагниченность. теорема о циркуляции вектора магнитной индукции в веществе Из опыта следует, что все вещества, помещенные во внешнее магнитное поле, намагничиваются, т. е. под действием магнитного поля приобретают магнитный момент. Для объяснения явления 166 намагниченности Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют молекулярные токи, обусловленные движением элек- тронов в атомах и молекулах. Каждый молекулярный ток создает собственное магнитное поле, и результирующее магнитное поле всех входящих в вещество атомов определяет магнитные свойства вещества. Для количественного описания намагничивания магнетиков вводят векторную величину — намагниченность, определяемую магнитным моментом единицы объема магнетика: J p V p V = = ∑ m a , (94.1) где p p m a = ∑ — магнитный момент магнетика, представляющий собой векторную сумму магнитных моментов отдельных молекул (сравните с формулой (72.1) для поляризованности). Магнитное поле в веществе складывается из двух полей: внешне- го поля, создаваемого током, и поля, создаваемого намагниченным веществом. Тогда можно записать, что вектор магнитной индукции результирующего магнитного поля в магнетике равен векторной сумме магнитных индукций внешнего поля B 0 (создаваемого намаг- ничивающим током в вакууме) и поля микротоков ′ B (создаваемого молекулярными токами): B B B = + ′ 0 (94.2) Запишем выражение для циркуляции [см. (90.1)] поля (94.2): B l B l B l L L L d d d ∫ ∫ ∫ = + ′ 0 (94.3) Согласно формуле (90.2), B l I L 0 0 d ∫ = µ , (94.4) где I — алгебраическая сумма макротоков (токов проводимости), охватываемых замкнутым контуром, по которому производится интегрирование. Для поля микротоков должно выполняться такое же соотноше- ние ′ = ′ ∫ B l I L d µ 0 , (94.5) где I ′ — алгебраическая сумма микротоков (молекулярных токов), охватываемых тем же замкнутым контуром L. Подставляя формулы (94.4) и (94.5) в выражение (94.3), получим теорему о циркуляции вектора B в веществе: B l B l I I L l L d d ∫ ∫ = = + ′ ( ) µ 0 , (94.6) 167 т. е. циркуляция вектора магнитной индукции B по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молекулярных токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную. Таким образом, вектор B характеризует результирующее поле, созданное как макроскопическими токами в проводниках (токами проводимости), так и микроскопическими токами в магнетиках, поэтому линии вектора магнитной индукции B не имеют источников и являются замкнутыми. § 95. теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля Из теории известно, что циркуляция намагниченности J (см. § 94) по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме молекулярных токов, охватываемых этим контуром: J l I L d ∫ = ′. (95.1) Тогда теорему о циркуляции вектора B в веществе (94.6) запишем в виде B J l I L µ 0 − = ∫ d , (95.2) где I (подчеркнем это еще раз) — алгебраическая сумма токов про- водимости. Циркуляция величин, стоящих в скобках под знаком интеграла, определяется только макроскопическими токами. Вектор H B J = − µ 0 (95.3) называют напряженностью магнитного поля. Подставив формулу (95.3) в выражение (95.2), получим теорему о циркуляции вектора H : H l I L d ∫ = , (95.4) т. е. циркуляция вектора H по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром. Сравнив векторные характеристики электростатического ( E и D) и магнитного ( B и H ) полей, укажем, что аналогом вектора напря- женности электростатического поля E является вектор магнитной 168 индукции B, так как векторы E и B определяют силовые действия этих полей и зависят от свойств среды. Аналогом вектора электри- ческого смещения D является вектор напряженности H магнитного поля. В случае вакуума J = 0, поэтому H B = µ 0 , (95.5) и формула (95.5) переходит в формулу (95.3). Из формулы (95.5) можно определить единицу напряженности магнитного поля в СИ — ампер на метр (А/м); 1 А/м — напряжен- ность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4 π⋅10 −7 Тл. Как показывает опыт, в несильных полях намагниченность про- порциональна напряженности поля, вызывающего намагничивание, т. е. J H = χ , (95.6) где χ — безразмерная величина, называемая |