Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
Токи считаются квазистационарными(относительно медленно меняющийся электрический ток, для мгновенных значений которого с достаточной степенью точности выполняется закон Ома). Обо- значим через Q заряд той из обкладок конденсатора, направление которой к другой обкладке совпадает с положительным направлением обхода (см. рис. 122). Закон Ома для участка цепи 1RL2 : IR = j 1 − j 2 + 1 s + 1, (106.1) где ЭДС самоиндукции 1 s L I t = − d d (катушка считается недефор- мируемой и не имеющей ферромагнитного сердечника), а разность потенциалов j j 1 2 − = Q C . Тогда уравнение (106.1) примет вид: L I t IR Q C d d + + = 1. (106.2) Учитывая, что I Q t Q = = d d и d d I t Q = , получим уравнение колебательного контура: LQ RQ Q C + + = 1. (106.3) рис. 122 189 Уравнение колебательного контура (106.3) может быть пред- ставлено в виде Q Q Q L + + = 2 0 2 δ ω 1 , (106.4) где δ = R L 2 (106.5) — коэффициент затухания; ω 0 1 = LC (106.6) — собственная частота колебательного контура. При 1 = 0 (в контуре отсутствует внешняя ЭДС) электрические колебания являются свободными, при R = 0 — незатухающими, при R ≠ 0 — затухающими. § 107. свободные незатухающие колебания в контуре Рассмотрим колебательный контур, в котором активное сопротив- ление R = 0 и отсутствует внешняя ЭДС (1 = 0). В данном случае [см. (106.3) и (106.4)] уравнение свободных незатухающих колебаний Q LC Q + = 1 0 или Q Q + = ω 0 2 0, (107.1) известное нам из учения о механических колебаниях [см. (33.3)]. Решение уравнения (107.1) Q = Q m cos ( ω 0 t + j), (107.2) где Q m — амплитуда колебаний заряда конденсатора; j — начальная фаза колебаний заряда на конденсаторе. Значения Q m и j определя- ются начальными условиями, а j — параметрами колебательного контура. Период свободных незатухающих электрических колебаний определяется формулой Томсона: T LC 0 2 = π (107.3) Сила тока в колебательном контуре и напряжение в конденса- торе I Q Q t I t = = − + ( ) = + + ω ω j ω j π 0 0 0 2 m sin cos ; m (107.4) 190 U Q C Q C t U t C = = + ( ) = + ( ) m cos cos , m ω j ω j 0 0 (107.5) где I m = ω 0 Q m , U Q C m m = — соответственно амплитуды силы тока и напряжения. Из выражений (107.2) и (107.4) вытекает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда Q на π 2 , т. е. при достижении током максимального значения заряд (а также и напряжение [см. (107.5)] обращается в нуль, и наоборот. § 108. свободные затухающие колебания в контуре Рассмотрим реальный колебательный контур (R ≠ 0), но в нем отсутствует внешняя ЭДС ( 1 = 0). В данном случае уравнение сво- бодных затухающих колебаний [см. (106.3) и (106.4)] Q R L Q LC Q + + = 1 0 или Q Q Q + + = 2 0 0 2 δ ω , (108.1) известное нам из учения о механических колебаниях [см. (37.3)]. В уравнении (108.1) δ = R L 2 [см. (106.5)] — коэффициент затухания; ω 0 1 = LC [см. (106.6)] — собственная частота колебательного контура. Колебания заряда в случае малых затуханий ( δ << ω 2 0 ) соверша- ются по закону Q Q t t = + ( ) m e δ ω j cos (108.2) с частотой ω ω δ = − = − 0 2 2 2 2 1 4 LC R L , (108.3) меньше собственной частоты ω 0 колебательного контура [см. (106.6)]. При R = 0 формула (108.3) переходит в (106.6). Зависимость (108.2) представлена на рис. 123 сплошной кривой, а амплитуда затухающих колебаний (см. § 37) Q m e −δt — штриховыми линиями. Колебание Q = Q m e −δt cos ( ωt + j) не гармоническое. Как и в случае механических затухающих колебаний [см. (37.8)], величину 191 T LC R L = = − 2 2 1 4 2 2 π ω π (108.3) называют периодом затухающих коле баний. Логарифмический декремент зату хания [см. (37.9)] θ = δT, (108.4) а добротность колебательного контура [см. (37.10)] Q T R L C = = = = π θ π δ ω δ 0 0 2 1 (108.5) При δ 2 ≥ ω 0 2 вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, называемое критическим, при котором наступает апериодический процесс, определяется из условия R L LC кр 2 2 4 1 = , откуда R L C кр = 2 § 109. вынужденные колебания в контуре Вынужденные электромагнитные колебания — незатухающие колебания под действием внешней периодически изменяющейся по гармоническому закону ЭДС: 1 = 1 m cos ωt. (109.1) Подставив (109.1) в уравнение (106.2), запишем L I t IR Q C t d d m + + = 1 cosω или Q Q Q L t + + = 2 0 2 δ ω ω 1 m cos , (109.2) где ω 2 0 и δ определяются формулами (106.6) и (106.5). Как и в случае механических колебаний [см. (38.4)], частное решение уравнения рис. 123 192 (109.2), отвечающее установившимся вы- нужденным колебаниям заряда на обкладках конденсатора: Q = Q m cos ( ωt − α), где Q m — амплитуда заряда на конденсаторе; α — разность фаз между колебаниями заряда и внешней ЭДС определяется выражениями Q L R L C m m m = − ( ) + = ω + − 1 1 ω ω δ ω ω ω 0 2 2 2 2 2 2 2 4 1 ; (109.3) α ω ω = − arctg R C L 1 (109.4) В установившемся режиме (рис. 124, который является аналогом рис. 50) электромагнитные вынужденные колебания являются гармоническими, происходят с частотой ω внешней ЭДС, ампли- туда Q m (109.3) и фаза α (109.4) определяются как частотой ω, так и характеристиками колебательного контура. Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях в кон- туре I Q t Q t I t I t = = − − ( ) = = − + = − ( ) d d m m ω ω α ω α π ω j sin cos cos , m 2 (109.5) где амплитуда тока I Q R L C m m 2 = = + − ω ω ω m 1 1 2 (109.6) и сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС j α π ω ω = − = − 2 1 arctg L C R (109.7) Из выражения (109.7) следует, что ток отстает по фазе от внешней ЭДС ( j > 0), если ω ω L C > 1 , и опережает ЭДС, если ω ω L C < 1 . рис. 124 193 § 110. электрический резонанс. Резонансные кривые Из формулы (109.3), записанной в виде Q L m m = − ( ) + 1 ω ω δ ω 0 2 2 2 2 2 4 , (110.1) следует, что при некоторой определенной для данного колебательного контура частоте амплитуда Q m достигает максимального значения. Для определения резонансной частоты ω рез — частоты, при ко- торой амплитуда заряда достигнет максимума, нужно найти макси- мум функции (110.1) или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по ω и приравняв его нулю, получим, что резонансная частота [см. (38.8)] для заряда ω ω δ Q LC R L рез = − = − ( ) 0 2 2 2 2 2 1 2 (110.2) Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колеба- ний при приближении частоты внешней ЭДС к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательного контура, называют электрическим резонансом. Подставив формулу (110.2) в выражение (110.1), получим Q L m m max = − 1 2 0 2 2 δ ω δ (110.3) На рис. 125 приведено семейство резонансных кривых — зависимостей Q m от ω при различных коэффициен- тах затухания δ. Из рисунка и формулы (110.3) следует, что с уменьшением δ максимумы кривых лежат выше и пра- вее. При ω → 0 все кривые приходят к так называемому статическому отклонению 1 m L ω 0 2 . Если ω → ∞, то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой кон- тура: рис. 125 ω ω I LC рез = = 0 1 . [амплитуда силы тока [см. формулу (109.6)] максимальна при ω ω L C − = 1 0]. Семейство резонансных кривых для силы тока — зависимостей амплитуды силы тока в контуре I m от частоты ω внешней ЭДС при различных коэф- фициентах затухания δ — представлено на рис. 126. Амплитуда силы тока максимальна при ω рез = ω 0 и равна 1 m / R. Чем больше коэффициент затухания δ, тем ниже максимум резонансной кривой. рис. 126 195 ра з д е л IV волновая оПтика Гл а в а 16 волны § 111. волновой процесс. Продольные и поперечные волны Если один конец шнура закрепить, а свободный конец привести в колебательное движение, перемещая руку вверх и вниз (рис. 127, а), то по шнуру начнут распространяться горбы и впадины. Аналогично, закрепив один конец горизонтальной пружины, а по свободному кон- цу сообщать рукой горизонтально направленные толчки (рис. 127, б), вдоль пружины можно наблюдать сгущения и разрежения ее витков. В обоих случаях концы шнура и пружины приводились в колебатель- ное движение. Эти колебания передавались соседним частицам, от соседних частиц к следующим и т. д., т. е. распространялись в среде (шнуре, пружине). рис. 127 196 Колебания, возбужденные в какой-то точке среды (твердой, жид- кой, газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. При изучении распространения колебаний в среде среда рассматривается как сплошная, т. е. непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами. Процесс распространения колебаний в сплошной среде назы- вают волновым процессом (волной). При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений, равновесия. Вместе с волной от одной частицы среды к другой передаются лишь состояние колебательного дви- жения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества. Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются, например, следующие: упругие (волны, распространя- ющиеся в жидких, твердых и газообразных средах за счет действия упругих сил); волны на поверхности жидкости; электромагнит ные волны (в частности, световые волны, радиоволны). Упругие волны бывают продольные и поперечные. Продольные волны — волны, в которых частицы среды колеблют- ся в направлении распространения волны (рис. 128). Продольные волны могут распространяться в среде, где возникают упругие силы при деформациях сжатия и растяжения, т. е. в твердых телах, жидкостях и газах. Поперечные волны — волны, в которых частицы среды колеблют- ся в направлениях, перпендикулярных направлению распростране- ния волны (рис. 129). Поперечные волны могут распространяться в среде, где возникают упругие силы при деформации сдвига, т. е. в твердых телах. Геометрическое место точек, в которых в рассматриваемый момент времени фаза волны имеет одно и то же значение, называют волно вой поверхностью (волновым фронтом). Различным значениям фазы волны соответствует семейство волновых поверхностей. Вол- новая поверхность, отделяющая область пространства, захваченную волновым процессом, от невозмущенной пока области, называют рис. 128 рис. 129 197 волновым фронтом. Волновой фронт — частный случай волновой поверхности. § 112. Плоские и сферические волны Волновые поверхности (см. § 111) могут быть любой формы. По форме простейших волновых поверхностей различают плоские и сферические волны. Плоские волны — волны, для которых волновые поверхности — совокупность параллельных плоскостей, перпендикулярных направ- лению распространения волны. В среде однородной (среда, в которой физические свойства не изменяются от одной точки среды к другой) и изотропной (среда, в которой физические свойства одинаковы по всем направлениям) волновые поверхности плоской волны пер- пендикулярны направлению распространения волны (направлению распространения энергии), называемому лучом (рис. 130). Сферические волны — волны, для которых волновые поверхности представляют собой совокупность концентрических сфер (например, в однородной изотропной среде волновая поверхность от точечного источника колебаний представляет собой сферу) (рис. 131). Центр этих сфер называют центром волны. Упругую волну называют гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Пусть плоская гармоническая волна распространяется со скоростью v вдоль оси X. На рис. 132 показан график функции ξ(x, t) для фиксированного момента времени t, т. е. для момента времени t представлена зависи- мость смещения ξ частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстояния x этих частиц (например, частицы B) от источника колебаний O. Рисунок задает мгновенную картину распределения возмущений вдоль направления распространения и его не следует воспринимать как зримое изображение волны. Графики гармонической волны (см. рис. 132) и гармонических колебаний (см. рис. 37), несмотря на их внешнее сходство, различны по существу. Если график волны определяет зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный рис. 130 рис. 131 рис. 132 198 момент времени, то график колебания — зависимость смещения данной частицы от времени. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называют длиной волны λ (см. рис. 132). Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т. е. λ = vT, (112.1) или, учитывая, что T = 1 ν , где ν — частота колебаний, v = λν, (112.2) где v — скорость волны; T — период колебаний. Гармонические волны характеризуют волновым числом k vT v = = = 2 2 π λ π ω , (112.3) где ω — циклическая частота. § 113. Уравнения плоской и сферической волн Уравнением волны называют зависимость смещения колеблю- щейся частицы, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени: ξ = ξ(x, y, z, t). (113.1) Рассмотрим плоскую бегущую волны — плоскую волну, которая переносит в пространстве энергию. Предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось X совпадает с направлением распространения волны (см. рис. 132). В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси X, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение ξ будет зависеть только от x и t, т. е. ξ = ξ(x, t). Если колебания точек, лежащих в плоскости x = 0, описываются функцией ξ(0, t) = A cos ωt, то частица B среды (см. рис. 132) коле- блется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по вре- мени от колебаний источника на τ, так как для прохождения волной расстояния x требуется время τ = x v , где v скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости x, имеет вид ξ ω x t A t x v , cos ( ) = − (113.2) |