Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
полосами равной толщины. На рис. 142 верхняя и нижняя грани клина не параллельны между собой и лучи 1 ′ и 1 ′′, 2 ′ и 2 ′′ пересекаются вблизи пластинки: над ней (при другой конфигурации клина они могут пересекаться и под пластинкой). Таким образом, полосы равной толщины локализо- ваны вблизи поверхности клина. Если свет падает на пластинку нормально, то полосы равной толщины локализуются на верхней поверхности клина. Примером полос равной толщины являются кольца Ньютона — концентрические кольца (рис. 143), наблюдаемые при интерференции света от воздушного зазора, образованного плоскопараллельной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны. В отраженном свете оптическая разность хода (с учетом полувол- ны при отражении света от менее плотной оптической среды) при условии, что показатель преломления воздуха n = 1, а свет падает на систему нормально, т. е. α = 0 [см. (122.2)], равна ∆ = + 2 2 0 d λ , где d — ширина зазора. Из рис. 143 следует, что R 2 = (R − d ) 2 + r 2 , где R — радиус кривиз- ны линзы; r — радиус кривизны окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор d. Учитывая, что d мало, получим d r R = 2 2 . Следовательно, ∆ = + r R 2 0 2 λ (123.1) Приравняв (123.1) к условиям максимума (119.3) и минимума (119.4), получим выражения для радиусов m-го светового кольца и m-го тем- ного кольца соответственно: r m R m = − 1 2 0 λ ( m = 1, 2, 3, …); (123.2) r m R m * = λ 0 ( m = 0, 1, 2, 3, …). (123.3) рис. 143 216 Если на линзу падает монохроматический свет, то в отраженном свете в центре наблюдается темное пятно (см. (123.2)), окруженное чередующимися концентрическими светлыми и темными кольцами убывающей толщины (см. рис. 143). В случае освещения белым светом в месте соприкосновения линзы и пластинки в отраженном свете наблюдается темное пятно, вокруг которого располагаются радужные кольца. Измерив диаметры соот- ветствующих колец, можно определить длину волны света или радиус кривизны линзы. § 124. Примеры применения интерференции света 1. Явление интерференции обусловлено волновой природой све- та, а его количественные закономерности зависят от длины волны. Так что это явление подтверждает волновую природу света и лежит в основе измерения длины волны света (интерференционная спек троскопия). 2. Современные объективы содержат большое количество линз. Число отражений в них велико, поэтому велики и потери светового потока. Таким образом, интенсивность прошедшего света ослабля- ется и светосила оптического прибора уменьшается. Кроме того, отражения от поверхностей линз приводят к возникновению бликов, что часто (например, в военной технике) демаскирует положение прибора. Для устранения указанных недостатков осуществляют так называ- емое просветление оптики — сведение к минимуму коэффициентов отражения поверхностей оптических систем путем нанесения на них прозрачных пленок, толщина которых соизмерима с длиной волны оптического излучения и с показателем преломления, как правило, меньшим, чем у линзы. При отражении света от границ раздела воздух—пленка и пленка— стекло возникает интерференция когерентных пучков. Толщину пленки, показатели преломления пленки и стекла подбирают таким образом, чтобы пучки гасили друг друга. 3. Явление интерференции света используют для решения многих задач, например для точного измерения длин световых волн, пока- зателей преломления вещества, для точного определения длин и т. д. Для этого применяют интерферометры — оптические приборы, с помощью которых можно пространственно разделить пучок света на два или большее число когерентных пучков и создать между ними определенную разность хода. После сведения этих пучков вместе на- блюдается их интерференция. Методов получения когерентных пучков много, поэтому существу- ет множество конструкций интерферометров. На рис. 144 представ- лена упрощенная схема интерферометра Майкельсона, игравшего большую роль при решении как фундаментальных фи- зических, так и различных технических задач. Монохроматический свет от источ- ника S падает под углом α = 45° на пло- скопараллельную пластинку P 1 . Сторона пластинки, удаленная от S, посеребренная и полупрозрачная, разделяет луч на две ча- сти: луч 1 (отражается от посеребренного слоя) и луч 2 (проходит через него). Луч 1 отражается от зеркала З 1 и, возвращаясь обратно, вновь проходит через пластинку P 1 (луч 1 ′). Луч 2 идет к зеркалу З 2 , от- ражается от него, возвращается обратно и отражается от пластинки P 1 (луч 2 ′). Так как первый из лучей проходит сквозь пластинку P 1 дважды, то для компенсации возникающей разности хода на пути второго луча ставится пластинка P 2 (точно такая же, как и P 1 , только не покрытая слоем серебра). Лучи 1 ′ и 2 ′ когерентны; следовательно, будет наблюдаться ин- терференция, результат которой зависит от оптической разности хода луча 1 от точки O до зеркала З 1 и луча 2 от точки O до зеркала З 2 При перемещении одного из зеркал на расстояние λ 0 /4 разность хода обоих лучей увеличится на λ 0 /2 и произойдет смена освещенности зрительного поля. Следовательно, по незначительному смещению интерференционной картины можно судить о малом перемещении одного из зеркал и использовать интерферометр Майкельсона для точного (порядка 10 −7 м) измерения длин тел, световой волны, а также длины тела при изменении температуры. Интерферометры применяют для изучения качества изготовления оптических деталей, измерения углов, исследования быстро про- текающих процессов в воздухе, обтекающем летательные аппараты и т. д. Применяя интерферометр, Майкельсон впервые провел срав- нение международного эталона метра с длиной стандартной световой волны. рис. 144 218 Гл а в а 18 диФРакЦия и дисПЕРсия свЕта § 125. дифракция света. Принципы гюйгенса и гюйгенса—Френеля При распространении любых волн характерно, что они огибают препятствия, встречающиеся на их пути, а также проникают в об- ласть за препятствия, иными словами, наблюдается отклонение волн у границ преград от прямолинейного направления. Это явление по- лучило название «дифракция». Например, звук хорошо слышен за углом дома (звуковая волна огибает дом), в лесу отчетливо слышно пение птиц и т. д. Дифракция является общим свойством для волн любой при- роды. Поскольку свет имеет волновую природу, то и для него (при определенных условиях) характерно явление дифракции. Дифракция света — это совокупность явлений, наблюдаемых при распростране- нии света сквозь малые отверстия (вблизи границ непрозрачных тел и т. д.) и обусловленных волновой природой света. Под дифракцией света обычно понимают отклонение от законов распространения света, описываемых геометрической оптикой. Согласно принципу Гюйгенса (1690), лежащему в основе вол- новой оптики, каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение (волнового фронта) в следующий момент времени. Напомним, что волновой поверхностью (см. § 111) называют геометрическое место точек, в которых в рассматриваемый момент времени фаза волны имеет одно и то же значение. Рассмотрим волновой фронт, распространяющийся от источни- ка S, в момент времени t (рис. 145). Чтобы найти положение волно- вого фронта в момент времени t + ∆t, согласно принципу Гюйгенса, проведем окружности, радиусы которых равны v ∆t, а центры лежат на волновом фронте для момента времени t, а сами окружности представляют собой вторичные волны Гюйгенса. Огибающая этих вторичных волн и определяет новое положение волнового фронта (в момент времени t + ∆t). Объясним дифракцию света, основываясь на принципе Гюйгенса. Пусть плоская волна нормально падает на отверстие CC в непрозрач- ном экране (рис. 146). Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит источником вторичных 219 волн (в однородной изотропной среде они сферические). Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента времени, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т. е. волна огибает края отверстия. Для наблюдения дифракции света необхо- димо, чтобы длина волны была много меньше размеров отверстий или преград. Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распро- странения волнового фронта, но не затрагивает вопросы об амплиту- де, а следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся за преградой световых полн. Таким образом, принцип Гюйгенса является принципом геометрическим. Френель дополнил принцип Гюйгенса физической идеей, за- ключающейся в том, что вторичные волны при наложении интер- ферируют друг с другом. Согласно принципу Гюйгенса—Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками. Такими источника- ми могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно. Таким образом, для определения в некоторой точке пространства результирующей интен- сивности следует учесть интерференцию всех этих вторичных волн. Френель исключил возможность возникновения обратных вто- ричных волн и предположил, что если между источником и точкой наблюдения находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии — такая же, как при отсутствии экрана. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства, т. е. определить закономерности распространения света как в случае свободного распространения световых волн (пря- молинейное распространение света), так и в случае наличия преград (дифракция). рис. 145 рис. 146 220 § 126. зоны Френеля Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, действие точечного ис- точника S заменяют действием воображаемых источников, располо- женных на волновой поверхности Ф (рис. 147). Амплитуда световой волны находится в точке M. Для определения результирующей амплитуды Френель волновую поверхность Ф разбил на кольцевые зоны (они получили название зон Френеля) такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до точки M отличались на λ/2 (λ— длина волны в среде, где волна распространяется), т. е. P M P M P M P M P M P M 1 0 2 1 3 2 2 − = − = − = λ . Колебания, возбуждаемые в точке M двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода соответствующих лучей от этих зон до точки наблюдения M равна λ/2, а поэтому при наложении эти колебания будут ослаблять друг друга. Следовательно, амплитуда результирующего колебания, возбужденного в точке M всей совокупностью зон, A = A 1 − A 2 + A 3 − A 4 + …, (126.1) где A 1 , A 2 , … — амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, … зонами. Вычислим площади зон Френеля. Пусть внешняя граница m-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент вы- соты h m (рис. 148). Обозначив площадь этого сегмента через s m , найдем, что площадь m-й зоны Френеля равна ∆s m = s m − s m −1 , где s m −1 — площадь сферического сегмента, выделяемого внешней гра- ницей ( m − 1)-й зоны. Из рис. 148 следует, что r a a h b m b h m m m 2 2 2 2 2 2 = − − ( ) = + − + ( ) λ (126.2) рис. 147 221 При не слишком больших m ввиду малости λ можно пренебречь слагаемым с λ 2 , тогда h bm a b m = + ( ) λ 2 (126.3) Площадь сферического сегмента и площадь m-й зоны Френеля соответственно равны s π π λ m m ah ab a b m = = + 2 ; (126.4) ∆s s s π λ m m m ab a b = − = + −1 (126.5) Выражение (126.5) не зависит от m, следовательно, при не слиш- ком больших m площади зон Френеля одинаковы. Таким образом, построение зон Френеля разбивает волновую поверхность сфериче- ской волны на равновеликие зоны. Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке M тем меньше, чем больше угол j m (см. рис. 148) между нор- малью n к поверхности зоны и направлением на M, т. е. действие зон постепенно убывает от центральной (около P 0 ) к периферическим. Кроме того, интенсивность излучения в направлении точки M умень- шается с ростом m и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки M. Следовательно, A 1 > A 2 > A 3 > A 4 … Общее число зон Френеля, умещающихся на полусфере, очень ве- лико; например, при a = b = 10 см и λ = 0,5 мкм N a ab a b = + ( ) = ⋅ 2 8 10 2 5 π π λ Поэтому в качестве допустимого приближения можно считать, что ам- плитуда колебания A m от некоторой m-й зоны Френеля равна средне- му арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон, т. е. A A A m m m = + − + 1 1 2 (126.6) рис. 148 222 Тогда выражение (126.1) можно записать в виде A A A A A A A A A = + − + + − + + = 1 1 2 3 3 4 5 1 2 2 2 2 2 2 , (126.7) так как выражения, стоящие в скобках, согласно (126.6), равны нулю, а оставшаяся часть от амплитуды последней зоны ничтожно мала. Таким образом, амплитуда результирующих колебаний в произ- вольной точке M определяется как бы действием только половины центральной зоны Френеля. Следовательно, влияние всей волновой поверхности на точку M сводится к влиянию ее малого участка, мень- шего центральной зоны. Если в выражении (126.2) положить, что высота сегмента h m << a (при не слишком больших m), тогда r ah m m 2 2 = . Подставив сюда зна- чение (126.3), найдем радиус внешней границы m-й зоны Френеля: r ab a b m m = + λ. (126.8) При a = b = 10 см и λ = 0,5 мкм радиус первой (центральной) зоны r 1 = 0,158 мм. Таким образом, распространение света от S к M происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т. е. прямолинейно. Следовательно, принцип Гюйгенса— Френеля объясняет прямолинейное распространение света в одно- родной среде. § 127. дифракция Френеля на круглом отверстии и диске Дифракция Френеля (дифракция в сходящихся лучах, 1818) на- блюдается в том случае, когда на препятствие падает сферическая или плоская волна, а дифракционную картину можно увидеть на экране, находящемся за препятствием на конечном от него рас- стоянии. При рассмотрении этого типа дифракции пользуются гипотезой Френеля (см. § 125), согласно которой часть волнового фронта, закры- тая экраном, не действует вообще, а незакрытые участки волнового фронта действуют, как в случае отсутствия экрана. Это приближение вполне допустимо в случаях, когда размеры отверстия значительно больше длины волны λ, так как влияние экрана существенно лишь в непосредственной близости от его края (на расстояниях, сравнимых с длиной волны λ). 1. Дифракция на круглом отверстии. На пути сферической монохроматической волны, распространяющейся от точечного источ- 223 ника S (рис. 149), расположен диск с небольшим круглым отверстием. Дифракционная картина наблюдается в точке B экрана Э, лежащей на линии, соединяющей S с центром круглого отверстия. Экран на- ходится на расстоянии b от отверстия и параллелен ему. Максимум или минимум будет наблюдаться в точке B, зависит от числа зон Френеля, укладывающихся на открытой части волновой поверхности в плоскости отверстия. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке B всеми зонами [см. (126.1) и (126.6)], A A A m = + 1 2 2 ( m — нечетное); A A A m = − 1 2 2 ( m — четное). Если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в точке B наблюдается минимум (рис. 150, а), если нечетное — то максимум (рис. 150, б). Наименьшая интенсивность соответствует двум откры- тым зонам Френеля, максимальная — одной зоне Френеля (в данном случае A = A 1 , т. е. интенсивность вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием). При большом диаметре от- верстия A A m << 1 2 интерференционная картина не наблюдается, свет распространяется так же, как и в отсутствие непрозрачного диска с отверстием, т. е. прямолинейно. |