Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
трансформа торов — устройств, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока. § 101. энергия магнитного поля Замкнутый проводящий контур с током создает в окружающем пространстве магнитное поле, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Если сила тока в замкнутом контуре возрастает, то в нем возникает ЭДС самоиндукции, противодействующая увеличению силы тока (см. § 99). Для увеличения силы тока необходимо, чтобы источник сторонних ЭДС совершил работу против ЭДС самоиндукции: d A = − 1 s d Q = IdΦ = LI dI (101.1) [учли, что d Q = I dt; 1 s t = − d d Φ ; Φ = LI ]. При совершении работы (101.1) происходит превращение энергии источника сторонних ЭДС в энергию магнитного поля в контуре, поэтому d W = LI dI. (101.2) Интегрируя выражение (101.2) от I = 0 до некоторого значения I, получим формулу, определяющую энергию магнитного поля, соз- даваемого током силы I в контуре индуктивностью L: W LI = 2 2 (101.3) Энергию магнитного поля можно представить как функцию ве- личин, характеризующих само поле. Рассмотрим частный случай однородного магнитного поля длинного (практически бесконечного) соленоида. Индуктивность соленоида [см. (99.2)] L N S l = µ µ 0 2 Согласно теореме о циркуляции вектора напряженности магнит- ного поля (95.4), в случае соленоида Hl = NI или I Hl N = Подставив эти значения L и I в формулу (101.3) и произведя пре- образования, получим W H V = µ µ 0 2 2 (101.4) (учли, что Sl = V — объем соленоида). Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия [см. (101.4)] заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью w H = µ µ 0 2 2 (101.5) 179 Гл а в а 14 УРавнЕния максвЕлла § 102. вихревое электрическое поле Объясняя возникновение ЭДС индукции в неподвижных прово- дниках, Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнит- ное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. Согласно Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле E B , циркуляция которого по (98.3) E l E l t B L Bl L d d d d ∫ ∫ = = − Φ, (102.1) где E Bl — проекция вектора E B на направление d l . Учитывая, что Φ = ∫ B S S d [см. (92.2)], получим E l t B S B L S d d d d ∫ ∫ = − Если поверхность и контур неподвижны, то операции диффе- ренцирования и интегрирования можно поменять местами. Следо- вательно, E l B t S B L S d d ∫ ∫ = − ∂ ∂ , (102.2) где символ частной производной подчеркивает тот факт, что интеграл B S S d ∫ является функцией только времени. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля (обозначим его E Q ) вдоль любого замкнутого контура равна нулю [см. (66.3)]: E l E l Q L Ql L d d ∫ ∫ = = 0. (102.3) Сравнивая выражения (102.2) и (102.3), видим, что между рассма- триваемыми полями ( E B и E Q ) имеется принципиальное различие: циркуляция вектора E B в отличие от циркуляции вектора E Q не 180 равна нулю. Следовательно, электрическое поле E B , возбуждаемое магнитным полем, как и само магнитное поле (см. § 90), является вихревым. § 103. Ток смещения Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля. Для установления количественных связей между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел понятие тока смещения. Согласно теореме Гаусса для электростатического поля в диэлек- трике (73.4), поток вектора электрического смещения сквозь произ- вольную замкнутую поверхность S D S Q S d ∫ = , (103.1) где Q — алгебраическая сумма свободных электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью. Продифференцируем (103.1) по времени: ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ Q t D t S L d , (103.2) где операции дифференцирования и интегрирования поменяли местами (поверхность неподвижна и не деформируется), а символ частной производной подчеркивает тот факт, что интеграл D S S d ∫ является только функцией времени. Правая часть выражения (103.2) имеет размерность силы тока. Кроме того, сравнивая выражения (103.2) и I j S S = ∫ d [см. (79.5)], видим, что ∂ ∂ D t имеет размерность плотности тока. Эту величину Максвелл назвал плотностью тока смещения: j D t см = ∂ ∂ (103.3) Ток смещения сквозь произвольную поверхность S I j S D t S S S см d d = = ∂ ∂ ∫ ∫ , (103.4) 181 т. е. он определяется потоком вектора плотности тока смещения сквозь поверхность S. Рассмотрим направление векторов j и j см . При зарядке конденса- тора (рис. 121, а) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от верхней обкладки к нижней. В данном случае поле в конденсаторе усиливается ∂ ∂ > D t 0 , вектор j D t см = ∂ ∂ направлен в ту же сторону, что и D, т. е. направления j и j см совпадают. В случае разрядки конденсатора (рис. 121, б) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от нижней обкладки к верхней. Поле в конденсаторе ослабляется ∂ ∂ < D t 0 , т. е. вектор j D t см = ∂ ∂ на- правлен противоположно вектору D. Однако вектор ∂ ∂ D t опять-таки направлен, как и вектор j. Из рассмотренных примеров следует, что направление вектора j, а следовательно, и вектора j см совпадает с направлением вектора ∂ ∂ D t , как это и следует из формулы (103.3). Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Мак- свелл приписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Таким образом, ток смещения (в вакууме или веществе) создает в окружающем про- странстве магнитное поле (линии индукции магнитных полей токов смещения при зарядке и разрядке конденсатора показаны на рис. 121 штриховыми линиями) Вектор электрического смещения согласно (73.2): D E P = + ε 0 , где E — напряженность электростатического поля, а P — поляризован- ность (см. § 72). Тогда по (103.3) плотность тока смещения j E t P t см = ∂ ∂ + ∂ ∂ ε 0 , (103.5) где ε 0 ∂ ∂ E t — плотность тока смещения в вакууме; ∂ ∂ P t — плотность тока по- ляризации — тока, обусловленного упо- рядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике (смещение зарядов в неполярных молекулах или поворот ди- полей в полярных молекулах). Рис. 121 182 Возбуждение магнитного поля токами поляризации правомерно, так как токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости. Однако то, что и другая часть плотности тока сме- щения ( ε 0 ∂ ∂ E t ), не связанная с движением зарядов, а обусловленная только изменением электрического поля во времени, также возбуж- дает магнитное поле, является принципиально новым утверждением Максвелла. Даже в вакууме всякое изменение во времени электриче- ского поля приводит к возникновению в окружающем пространстве магнитного поля. Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов про- водимости (а также конвекционных токов) и смещения. Плотность полного тока j j D t полн = + ∂ ∂ (103.6) Введя понятия тока смещения и полного тока, Максвелл по- новому подошел к рассмотрению замкнутости цепей переменного тока. Полный ток в них всегда замкнут, т. е. на концах проводника обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости. Следует отметить, что название «ток смещения» является услов- ным, а точнее исторически сложившимся, так как ток смещения по своей сути — это изменяющееся со временем электрическое поле. § 104. Уравнения максвелла Открытие Максвеллом тока смещения привело его к созданию единой теории электрических и магнитных явлений, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнит- ные явления, но и предсказать новые, существование которых было впоследствии подтверждено. В основе теории Максвелла лежат четыре уравнения. 1. Электрическое поле может быть как потенциальным [его цир- куляция определяется (66.3) и равна нулю], так и вихревым [его цир- куляция определяется (102.2) и равна − ∂ ∂ ∫ B t S S d ]. Поэтому циркуляция вектора напряженности суммарного электрического поля E l B t S L S d d ∫ ∫ = − ∂ ∂ (104.1) 183 Это уравнение Максвелла показывает, что источниками элек- трического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля. 2. Введя понятие тока смещения (см. § 103), Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора H [см. (95.4)], добавив в правую часть уравнения ток смещения (103.3) сквозь поверхность S, натянутую на замкнутый контур L: H l j D t S L S d d ∫ ∫ = + ∂ ∂ (104.2) Выражение (104.2) — обобщенная теорема о циркуляции вектора H : циркуляция вектора напряженности H магнитного поля по произвольному неподвижному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и тока смещения, охва- тываемых этим контуром. Уравнение (104.2) — одно из уравнений Максвелла — показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо пере- менными электрическими полями. 3. Теорема Гаусса для поля D [см. (73.4)], которая, как предпо- ложил Максвелл, справедлива для любого электрического поля, как стационарного, так и переменного, D S Q S d ∫ = , (104.3) где Q — алгебраическая сумма заключенных внутри поверхности свободных электрических зарядов. Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерыв- но с объемной плотностью ρ, то формула (104.3) запишется в виде D S V S V d d ∫ ∫ = ρ (104.4) 4. Теорема Гаусса для поля B [см. (92.5)]: d B S S ∫ = 0. (104.5) Уравнения (104.1) — (104.5) представляют собой полную систему уравнений Максвелла в интегральной форме: E l B t S L S d d ∫ ∫ = − ∂ ∂ ; D S V S V d d ∫ ∫ = ρ ; H l j D t S L S d d ∫ ∫ = + ∂ ∂ ; d B S S ∫ = 0. (104.6) 184 Полная система уравнений Максвелла дополняется материальны- ми уравнениями, связывающими векторы E D H B , , и с величинами, описывающими электрические и магнитные свойства среды: D E = ε ε 0 , B H = µ µ 0 , j E = γ , где ε 0 и µ 0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные; ε и µ — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости; γ — удельная проводимость вещества, а D, B и j описываются соот- ветственно формулами (73.1), (95.9) и (81.7). Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электри- ческого поля могут быть либо электрические заряды, либо изме- няющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (элек- трическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но отсутствуют магнитные. Для стационарных полей ( E = const и B = const) уравнения Максвелла примут вид E l L d ∫ = 0; D S Q S d ∫ = ; H l I L d ∫ = ; B S S d ∫ = 0, т. е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, а источниками магнитного — только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля. Уравнения Максвелла — наиболее общие уравнения для электри- ческих и магнитных полей. Они играют в учении об электромагне- тизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а перемен- ное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнит- ным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом — они образуют единое электромагнитное поле. Одним из основных следствий теории Максвелла был вывод о существовании электромагнитных волн — переменного электро- магнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. В дальнейшем было доказано, что скорость распространения свободного электромагнитного поля (не связанного с зарядами и токами) в вакууме равна скорости света c = 3 ⋅ 10 8 м/с. Этот вы- вод и теоретическое исследование свойств электромагнитных волн привели Максвелла к созданию электромагнитной теории света, согласно которой свет представляет собой также электромагнит- ные волны. 186 Гл а в а 15 элЕктРомагнитныЕ колЕбания § 105. колебательный контур Среди различных физических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величи- ны (заряды, токи) периодически изменяются и которые сопрово- ждаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур— замкнутая электрическая цепь, содержащая катушку индуктивности L, конденсатор емкостью C и резистор сопротивлением R. Мы будем рассматривать цепь из последовательно соединенных L, C и R. Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, сопротивление которого пренебре- жимо мало ( R ≈ 0). Для возбуждения в контуре колебаний конден- сатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±Q (табл. 1). Тогда в начальный момент времени t = 0 между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого Q C 2 2 [см. (78.4)]. Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со вре- менем ток I. В результате энергия электрического поля будет умень- шаться, а энергия магнитного поля катушки [она, согласно (101.3), равна LQ 2 2 ] — возрастать. Так как R ≈ 0, согласно закону сохранения энергии, полная энер- гия W Q C LQ = + = 2 2 2 2 const, (105.1) поскольку она на нагревание не расходуется. Поэтому в момент t T = 4 , когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а следовательно, и ток) достигает наибольшего значения. 187 Т а б л и ц а 1 Время Аналогия между колебаниями в идеализированном контуре ( R = 0) Электромагнитные Механические t = 0 W Q C = 2 2 E = П max t T = 4 W LQ = 2 2 E = T max t T = 2 W Q C = 2 2 E = П max t T = 3 4 W LQ = 2 2 E = T max t = T Повторение цикла С этого момента ( t T = 2 ) ток в контуре будет убывать, следова- тельно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, и в ней будет индуцироваться ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который в конце концов обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума. Далее ( t T = 3 4 ) те же процессы начнут протекать в обратном направлении и система к моменту времени t = T придет в первоначальное состояние. После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т. е. периодически из- менялись (колебались) бы заряд Q на обкладках конденсатора, на- 188 пряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электромагнит- ные колебания, причем колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей. Электромагнитные колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника (см. табл. 1), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника. В данном случае энергия электри- ческого поля конденсатора ( Q C 2 2 ) аналогична потенциальной энергии маятника, энергия магнитного поля катушки ( LQ 2 2 ) — кинетической энергии, сила тока в контуре — скорости движения маятника. Ин- дуктивность L играет роль массы m, а сопротивление контура — роль силы трения, действующей на маятник. § 106. Уравнение колебательного контура Рассмотрим колебательный контур, который помимо R, L и C содержит внешнюю переменную ЭДС 1. За положительное направ- ление обхода выберем, например, направление по часовой стрелке (рис. 122). Ток считается положительным, если течет по контуру в положительном направлении, и отрицательным — в противном случае. |