цугов, длитель- ность которых не превышает 10
−8
с. В пределах одного цуга излуче- ние когерентно. Между излучением же отдельных атомов отсутствует какая-либо согласованность, поэтому
свет, испускаемый атомами
любого источника, некогерентен. Описанная модель испускания света справедлива и для любого макроскопического источника, так как атомы светящегося тела также излучают свет независимо друг от друга. Это означает, что
свет, испускаемый макроскопическим
источником, некогерентен. Однако после изобретения лазеров (см.
§ 158) эта проблема оказалась разрешенной. Лазер обладает высокой временн
й и пространственной когерентностью.
Описанная модель испускания света справедлива и для любого макроскопического источника, так как атомы светящегося тела также излучают свет
независимо друг от друга. Это означает, что свет, ис-
пускаемый макроскопическим источником, некогерентен.
Монохроматическая идеализация полезна при решении многих задач, в частности, для определения положения максимумов и ми- нимумов интерференционной картины.
Предположим, что в некоторую точку пространства приходят две монохроматические световые волны, напряженности электрическо-
208
го поля которых
E
1
и
E
2
совершают колебания вдоль одной прямой
(тогда можно отвлечься от векторного характера колебаний):
E
1
= E
01
cos (
ωt + j
1
);
E
2
= E
02
cos (
ωt + j
2
),
где
E
01
и
E
02
, j
1
и j
2
— амплитуды и начальные фазы колебаний.
Амплитуда результирующего колебания в рассматриваемой точке
E
E
E
E E
2 01 2
02 2
01 02 2
1 2
=
+
+
−
(
)
cos j
j
Поскольку волны когерентны, то cos (
j
2
− j
1
) имеет постоянное во времени (но свое для каждой точки пространства) значение, поэтому интенсивность результирующей волны (
I
E
2
)
I
I
I
I I
=
+
+
−
(
)
1 2
1 2 2
1 2
cos j
j
(119.1)
Если колебания
синфазны (фазы j
1
и j
2
одинаковы или отлича- ются на четное число
π), то интенсивность максимальна:
I
I
I
max
;
=
+
(
)
1 2
2
если колебания противофазны (фазы j
1
и j
2
отличаются на нечетное число
π), то интенсивность минимальна:
I
I
I
min
=
−
(
)
1 2
2
Следовательно, при наложении двух (или нескольких) когерент- ных световых волн происходит пространственное перераспределе- ние светового потока, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других — минимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией света.
Для некогерентных волн разность (
j
2
− j
1
) непрерывно изменяет- ся, поэтому среднее во времени значение cos (
j
2
− j
1
) равно нулю, а интенсивность результирующей волны всюду одинакова и при
I
1
= I
2
равна 2
I
1
(для когерентных волн при данном условии в максимумах
I
= 4I
1
, в минимумах
I
= 0).
Естественно, возникает вопрос: а можно ли создать условия, необходимые для возникновения интерференции световых волн?
Оказывается, можно. Для получения когерентных световых волн и наблюдения их интерференции при- меняют метод разделения волны, из- лучаемой одним источником света, на две или несколько систем волн.
В каждой такой системе имеются попарно когерентные между собой и одинаково поляризованные цуги.
Эти системы волн интерферируют при наложении.
рис. 136
209
Пусть в точке
O (в ней фаза колебаний равна
ω
t) произошло раз- деление волны (рис. 136) на две когерентные волны, а до точки
M, в которой наблюдается интерференционная картина, одна волна про- ходит в среде с показателем преломления
n1
путь
s1
, вторая — в среде с показателем преломления
n2
— путь
s2
Тогда в точке
M первая волна возбудит колебание
E01
cos
ω(
t −
s1
/
v1
), вторая —
E02
cos
ω(
t −
s2
/
v2
), где
v1
=
с/
n1
,
v2
=
c/
n2
— соответственно фазовая скорость первой и второй волн.
Разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке на- блюдения,
δ ω
π
λ
π
λ
π
λ
=
−
=
−
(
)
=
−
(
)
=
svsvs ns nLL2 2
1 1
0 2 2 1 1 0
2 1
0 2
2 2 ∆ (119.2)
(учли, что ω
πν
π
λ
cc=
=
2 2
0
, где
λ
0
— длина волны в вакууме).
Произведение геометрической длины
s пути световой волны в данной среде на показатель
n преломления этой среды называют
оптической длиной пути L, а
∆ =
L2
−
L1
— разность оптических длин проходимых волнами путей —
оптической разностью хода.
Если оптическая разность хода
равна целому числу длин волн в вакууме∆ = ±
mλ
0
(
m = 0, 1, 2, …),
(119.3)
то
δ = ±2
mπ, и колебания, возбуждаемые в точке
M обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе. Следовательно, выражение
(119.3) является
условием интерференционного максимума.
Если оптическая разность хода
∆ = ±
+
(
)
2 1
2 0
mλ
(
m = 0, 1, 2, …),
(119.4)
то
δ = ±(2
m + 1)π, и колебания, возбуждаемые в точке
M обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, (119.4) является
условием интерференционного минимума.
§ 120. некоторые примеры наблюдения интерференции света
До появления лазеров во всех приборах для наблюдения интер- ференции когерентные пучки
получали делением и последующим сведением световых лучей,
исходящих из одного и того же ис-точника. Практически это можно осуществить с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел. Для примера рассмотрим два
210
метода разделения световой волны на две части — с помощью отражения и пре- ломления света.
Зеркала Френеля (рис. 137). Свет источника
S падает расходящимся пуч- ком на два плоских зеркала
A
1
O и A
2
O, расположенных относительно друг друга под углом, лишь немного отличающимся от 180° (угол j мал). Учитывая правила построения изображения в плоских зер- калах, можно показать, что и его изобра- жения
S
1
и
S
2
(угловое расстояние между ними равно 2
j) лежат на одной и той же окружности радиусом r и центром в точке
O (точка соприкосновения зеркал).
Световые пучки, отражаясь от зеркал, образуют два мнимых изображения источника
S
1
и
S
2
, которые действуют как когерент- ные источники (получены разбиением одного и того же волнового фронта, исходящего из
S).
Интерференционная картина наблюдается в области взаимного перекрытия отраженных пучков (экран Э защищен от прямого по- падания света заслонкой З).
Бипризма Френеля (рис. 138). Образуется двумя одинаковыми призмами со сложенными основаниями и малыми преломляющими углами.
Свет от точечного источника
S преломляется в обеих призмах, в результате чего за бипризмой распространяются световые лучи, как бы исходящие из мнимых источников
S
1
и
S
2
, являющихся когерентными.
На экране Э в области перекрытия пре ломленных пучков наблю- дается интерференционная картина: в случае освещения бипризмы монохроматическим светом — в виде светлых и темных полос, в случае белого света — в виде радужно окрашенных.
рис. 138
рис. 137
211
§ 121. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников
Две узкие щели
S
1
и
S
2
(рис. 139) расположены близко друг к другу и являются
когерентными источниками — реальными или мнимыми изображениями источника в какой-то оптической системе. Результат интерференции — в некоторой точке
A экрана, параллельного обеим щелям и расположенного от них на расстоянии
l (l
>> d). Начало от- счета выбрано в точке
O, симметричной относительно щелей.
Интенсивность в любой точке
A экрана, лежащей на расстоя- нии
x от точки O, определяется оптической разностью хода
∆ = s
2
− s
1
(см. § 119). Из рис. 139 имеем
s
l
x d
2 2
2 2
2
=
+
+
; s
l
x d
1 2
2 2
2
=
+
−
,
откуда
s
s
xd
2 2
1 2
2
−
=
, или
∆ =
−
=
+
s
s
xd
s
s
2 1
1 2
2
Из условия
l
>> d следует, что s
1
+ s
2
≈ 2l, поэтому
∆ = xd
l
(121.1)
Подставив найденное значение
∆ в условия (119.3) и (119.4), по- лучим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться в случае, если
x
m l
d
max
= ±
λ
0
(
m
= 0, 1, 2, …),
(121.2)
а минимумы — при
x
m
l
d
l
min
= ±
+
1 2
0
(
m
= 0, 1, 2, …).
(121.3)
Расстояние между двумя соседними максимумами (минимумами), называемое
шириной интерференционной полосы, равно
b
l
d
= λ
0
(121.4)
Величина
b не зависит от порядка ин- терференции (от
m) и является постоян- ной для данных
l, d и
λ
0
. Согласно форму- рис. 139
212
ле (121.4),
b обратно пропорционально
d, следовательно, при боль- шом
рассто янии между источниками, например при
d ≈
l, отдельные полосы становятся неразличимыми. Для видимого света
λ
0
≈ 10
−7
м, поэтому четкая, доступная для визуального наблюдения интерфе- ренционная картина имеет место при
l >>
d (это условие и прини- малось при расчете).
Согласно выражениям (121.2) и (121.3), интерференционная кар- тина, создаваемая на экране двумя когерентными источниками све- та, представляет собой чередование светлых и темных полос, парал- лельных друг другу. Главный максимум, соответствующий
m = 0, проходит через точку
O. Вверх и вниз от него на равных расстояни- ях друг от друга располагаются максимумы (минимумы) первого
(
m = 1), второго (
m = 2) порядков и т. д.
Описанная картина справедлива лишь для монохроматического света (
λ
0
= const). Для белого света (непрерывный набор длин волн от 0,39 до 0,75 мкм) интерференционные максимумы смещены друг относительно друга, а потому радужно окрашены. Только для
m = 0 максимумы для всех длин волн совпадают, и в середине экрана будет белая полоса.
§ 122. интерференция света при отражении в тонких пленках
Интерференцию света можно наблюдать и в естественных усло- виях, например радужное окрашивание
тонких пленок (масляные пленки на воде, мыльные пузыри и т. д.), возникающее в результате интерференции света, отраженного от передней и задней границ пленки.
Рассмотрим плоскопараллельную прозрачную пленку с показа- телем преломления
n и толщиной
d (рис. 140), на которую падает параллельный пучок света (на рисунке изображен только луч
1). На поверхности пленки в точке
A луч разделится на два: частично отра- жающийся от верхней поверхности пленки (луч
1′), частично прелом- ляющийся (луч
AC). Преломленный луч, дойдя до точки
C, частично преломляется в воздух, частично отражается и идет к точ- ке
B. Здесь он, преломляясь в точке
B, выходит из пленки (луч
1′′). Лучи
1 ′ и
1 ′′ когерентны, поскольку получены от одного луча
1.
Если на пути лучей
1′ и
1 ′′ поставить собирательную линзу, то они сойдутся в точке
P фокальной плоскости линзы и да- дут интерференционную картину, которая рис. 140
213
определяется оптической разностью хода между интерферирующими лучами.
Из точки
B восстановим перпендикуляр к лучу 1
′. Оптические пути лучей
1
′ и 1 ′′ от нормали BD до точки P одинаковы. Луч 1 ′ проходит в воздухе (показатель преломления
n
0
= 1) оптический путь
AD, а луч 1
′′ в пленке (показатель преломления n) — оптический путь (
AC
+ CB)n.
Оптическая разность хода, возникающая между интерферирую- щими лучами,
∆ = n(AC + CB) − AD.
Из рис. 140 следует, что
AC CB
d
=
=
cos
;
γ
AD
= AB sin α = 2d tg γ sin α.
Согласно закону преломления, sin
α = n sin γ, и получаем
∆ =
=
−
=
−
2 2
1 2
2 2
2
dn
dn
d n
cos sin sin
γ
γ
α
(122.1)
Световые волны, отражаясь от более плотной среды (от среды с большим показателем преломления), изменяют фазу на
π. Сдвиг по фазе на
π при отражении эквивалентен дополнительному пути света в первой среде (в воздухе), равному
λ
0
/2. Таким образом, искомая оптическая разность хода интерферирующих лучей с учетом формулы
(122.1) такова:
∆ =
−
−
2 2
2 2
0
d n
sin
α
λ
(122.2)
В точке
P будет интерференционный максимум, если [см.
(119.3)]
2 2
2 2
0 0
d n
m
−
−
=
sin
α
λ
λ (m = 0, 1, 2, …),
(122.3)
и
интерференционный минимум, если [см. (119.4)]
2 2
2 1
2 2
2 0
0
d n
m
−
−
=
+
(
)
sin
α
λ
λ
(
m
= 0, 1, 2, …).
(122.4)
При освещении пленки
белым светом интерференционная кар- тина в отраженном свете кажется окрашенной, поскольку каждая со- ставляющая со своей длиной волны (от 390 до 750 нм) дает усиления в разных точках экрана.
§ 123. Полосы равного наклона и равной толщины
Из выражений (122.3) и (122.4) следует, что интерференционная картина в плоскопараллельных пластинках (пленках) определяется
214
величинами
λ
0
,
d,
n и
i.
Для данных λ
0
,
d и n каждому наклону i лучей соответствует своя интерференционная полоса. Интерфе- ренционные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами, называются
полосами равного наклона.
На рис. 141 показано, как возникают полосы равного наклона. Все лучи, падающие на плоскопараллельную пластинку под одинаковым углом (например, лучи
1 и
2), соберутся на экране (расположен в фо- кальной плоскости линзы) в одной точке
B. Лучи, падающие под дру- гими углами (например, луч
3), соберутся в другой точке экрана
B′.
Так как в опыте используется протяженный источник света, то под одним и тем же
углом будет падать много лучей, и на экране получится не одна точка
B, а семейство точек, для которых угол па- дения одинаков, т. е. возникнет интерференционная полоса равного наклона. Каждому углу падения соответствует своя полоса,
локали-зованная в бесконечности.
Если оптическая ось линзы перпендикулярна поверхности пла- стинки, то полосы равного наклона будут иметь вид концентрических колец с центром в фокусе линзы.
Рассмотрим тонкую прозрачную пластинку (пленку) в виде клина
(угол
α между боковыми гранями мал). На нее падает плоская волна, направление распространения которой совпадает с параллельными лучами
1 и
2 (рис. 142). Из всех лучей, на которые разделяется па- дающий луч
1, рассмотрим лучи
1′ и
1 ′′, отразившиеся от верхней и нижней поверхностей клина. При определенном взаимном положе- нии клина и линзы лучи
1′ и
1 ′′ пересекутся в некоторой точке
A, являющейся изображением точки
B. Так как лучи
1′ и
1 ′′ когерентны, то они будут интерферировать.
Если источник расположен довольно далеко от поверхности клина и угол
α очень мал, то оптическая разность хода между интерфери- рующими лучами
1′ и
1 ′′ может быть с достаточной степенью точно- сти вычислена по формуле (122.2), где в качестве
d берется толщина клина в месте падения на него луча. Лучи
2′ и
2 ′′, образовавшиеся за счет деления луча
2,
падающего в другую точку клина, собирают- рис. 141 рис. 142
215
ся линзой в точке
A′. Оптическая разность хода уже определяется толщиной
d′.
Таким образом, на экране возникает система интерференцион- ных полос, каждая из которых образуется за счет отражения от мест пластинки, имеющих одинаковую толщину (в общем случае толщина пластинки может изменяться произвольно). Интерференционные по- лосы, возникающие в результате интерференции от мест одинаковой толщины, называют
Скачать 4.33 Mb.